Prova AV Calculo Integrais Multiplas - Questões Resolvidas e Gabarito

Prova AV de cálculo de Integrais múltiplas de 26072023 4 Calcule a integral de linha Fdr onde Fxyz xyz e C é a curva parametrizada por sen t cos t t 0 t 2π Será π Será 3 π 1 Será 4 Será 3 π Será 2 π ² 5 Calcule C x²2 y²2 dx x²2 y⁴ dy onde C é fronteira da região D definida por D xy R² 1 x² y² 4 x 0 y 0 orientada no sentido anti horário 4 53 143 23 zero 6 Considere a superfície parametrizada por φrθ rcosθ rsenθ θ 0 r 1 0 θ 4π Encontre a expressão para o vetor normal a superfície N senθ cosθ r N tgθ cosθ r N cosθ senθ r N senθ cosθ 1 N senθ tgθ r 7 Calcule a área da superficie S definida por z x² y² com z 1 75 1π 5 5 1π 5 55 1π 6 57 7π 4 6 1π 6 8 Calcule S zds onde S é a superfície do sólido limitado pelo cilindro x² y² 1 e os planos z 1 e x z 4 π3 2 π2 33 82 π2 2 π2 82 π2 82 5π 9 Calcule σ rotFnds onde σ é a porção do paraboloide z 1 x² y² com z 0 n é normal cuja componente z é nãonegativa e Fxyz yzx π π7 3π2 π2 5π 10 Seja Fxyz zyx podemos determinar o fluxo do campo vetorial F sobre a esfera unitária como 4pi3 2 pi 5pi4 pi pi2 Questão 1 Determine o valor da integral dupla definida por fxy 2x y sobre a região R onde esta região é delimitada pela Figura em vermelho interior da Figura Solução Para montar a integral dupla observamos que a região de interesse pode ser dividida em duas subregiões retangulares a primeira delas com 1 x 2 e 2 y 3 e a segunda com 2 x 4 e 1 y 3 Dessa forma temos que R fxy dA 12 23 2x ydydx 24 13 2x ydydx 12 2xy y2223 dx 24 2xy y2213 dx 12 2x3 322 2x2 222 dx 24 2x3 322 2x1 122 dx 12 6x 92 4x 42 dx 24 6x 92 2x 12 dx 12 2x 52 dx 24 4x 4 dx x2 52 x12 2x2 4x24 22 52 2 12 52 1 242 44 222 42 4 5 1 52 32 16 8 8 14 52 332 Logo R fxydA 332 Resposta final Opção 3 332 Questão 2 Pedro precisa resolver um problema de cálculo e para isso precisa utilizar mudança de variável utilizando coordenadas polares Para isto considerou o círculo de raio r e o centro na origem A equação de tal círculo é dada por x2 y2 r2 Pedro encontrou em coordenadas polares o mesmo círculo como sendo Solução Para fazer mudança para coordenadas polares por construção definimos x r cosθ y r senθ Como a equação de interesse é uma circunferência as expressões básicas de mudança para coordenadas polares não serão alteradas Além disso como não há restrição para o ângulo concluímos que θ compreende à circunferência completa ou seja 0 θ 2π Logo em coordenadas polares a mesma circunferência pode ser escrita como x r cosθ y r senθ 0 θ 2π Resposta final Opção 1 x r cosθ y r senθ onde θ 0 2π Questão 3 Determine o valor da integral tripla da função fxyz xyz definida sobre a região 1 x 2 0 y 1 e 1 z 2 Solução Temos que V fxyz dV 12 01 12 xyz dzdydx 12 01 xy z2212 dydx 12 01 xy 222 122 dydx 12 01 xy 42 12 dydx 32 12 01 xydydx 32 12 x y2201 dx 32 12 x 122 022 dx 32 12 x 12 0 dx 32 12 x2212 32 12 222 122 32 12 42 12 32 12 32 98 Logo V fxyzdV 98 Resposta final Opção 3 98 Questão 4 Calcule a integral de linha C 𝐹d𝐫 onde 𝐹xyzxyz e C é a curva parametrizada por sent cost t 0 t 2π Solução Como rt sent cost t temos que rt cost sent 1 dt Além disso 𝐹𝑟𝑡 sent cost t portanto C 𝐹 d𝐫 0 2π 𝐹𝑟𝑡 𝑟𝑡 0 2π sent cost t cost sent 1 dt 0 2π sent cost cost sent t dt 0 2π t dt t22 0 2π 2π22 022 4π22 2π2 Logo C 𝐹 d𝐫 2π2 Resposta final Opção 5 2π2 Questão 5 Calcule C x2 y22 dx x22 y4 dy onde C é fronteira da região D definida por D xy ℝ2 1 x2 y2 4 x 0 y 0 orientada no sentido anti horário Solução Observe que a região D definida corresponde a parte de uma coroa circular com raio variando de 1 até 2 Como os valores de x e de y devem ambos ser nãonegativos D está limitada ao primeiro quadrante do plano cartesiano Então podemos representar D conforme figura a seguir Como a curva é fechada suave e definida com orientação positiva podemos aplicar o teorema de Green Para tanto defina Pxy x2 y22 Qxy x22 y4 Então Py xy y Qx xy x Pelo teorema de Green temos que C x2 y22 dx x22 y4 dy D Qx Py dA D x y dA D x y dA Como D é uma coroa circular podemos fazer uma mudança de coordenadas para coordenadas polares fazendo x r cosθ y r sinθ onde 0 θ π2 e 1 r 2 Dessa forma a integral dupla obtida pode ser escrita como D x y dA 1 2 0 π2 rr cosθ r sinθ dθ dr 1 2 0 π2 r2 cosθ r2 sinθ dθ dr 1 2 r2 sinθ r2 cosθ0 π2 dr 1 2 r2 sinπ2 r2 cosπ2 r2 sin0 r2 cos0 dr 1 2 r2 r2 dr 1 2 2r2 dr 2r33 1 2 2233 2133 163 23 143 Resposta final Opção 3 143 Questão 6 Considere a superfície parametrizada por φr θ rcosθ rsenθ θ 0 r 1 0 θ 4π Encontre a expressão para o vetor normal à superfície Solução Para a superfície dada a orientação induzida é dada pelo vetor normal não necessariamente unitário n φr φθ Temos que φrr θ cosθ senθ 0 φθr θ rsenθ rcosθ 1 Dessa forma φr φθ i j k cosθ senθ 0 rsinθ rcosθ 1 i senθ 0 j cosθ 0 k r cos²θ rsen²θ i senθ j cosθ k rcos²θ sen²θ i senθ j cosθ k r Portanto o vetor normal procurado é n senθ cosθ r Resposta final Opção 1 n senθ cosθ r Questão 7 Calcule a área da superfície S definida por z x² y² com z 1 Solução Notoriamente z descreve um parabolóide crescente no intervalo limitado pelo plano z 1 conforme imagem ilustrada a seguir Portanto a superfície dada fica acima do disco D com centro na origem e raio 1 Então a área da superfície pode ser calculada pela expressão A D 1 zx² zy² D 1 2x² 2y² dA D 1 4x² y² dA Fazendo a transformação para coordenadas polares temos x r cosθ y r senθ com jacobiano J r 0 r 1 e 0 θ 2π Assim obtemos A D 1 4x² y² dA ₀²π ₀¹ r 1 4r² cos²θ r² sen²θ dr dθ ₀²π ₀¹ r 1 4r² dr dθ Para resolver a integral interna com relação a r podemos aplicar a técnica de integração por substituição definindo u 1 4r² o que implica em du 8r dr ou ainda du8 r dr Com relação aos intervalos de integração temos que r 0 u 1 40² 1 r 1 u 1 41² 5 Dessa forma A ₀²π ₀¹ r 1 4r² dr dθ ₀²π ₁⁵ u du8 dθ 18 ₀²π ₁⁵ u12 du dθ 18 ₀²π u32 32₁⁵ dθ 18 23 ₀²π u32₁⁵ dθ 112 ₀²π 532 132 dθ 112 55 1 ₀²π dθ 112 55 1 θ₀²π 112 55 1 2π 0 55 1 2π 12 55 1 π 6 ua Portanto A 55 1 π 6 ua Resposta final Opção 3 55 1 π 6 Questão 8 Calcule S z d s onde S é a superfície do sólido limitado pelo cilindro x² y² 1 e os planos z 1 e x z 4 Solução A superfície S pode ser extraída da imagem abaixo e pode ser subdividida no círculo S2 x² y² 1 no lado S1 dado pelo cilindro x² y² 1 e S3 é a parte do plano z 4 x que está acima de S2 Para a superfície S1 é natural realizar uma mudança de coordenadas para coordenadas cilindricas em função dos parâmetros z e θ fazendo x cosθ y sinθ z z ou seja φθz cosθ sinθ z onde 0 θ 2π 1 z 4 cosθ Portanto um vetor normal à S1 é dado por φθ φz i j k sinθ cosθ 0 0 0 1 i cosθ 0 j sinθ 0 k 0 0 i cosθ j sinθ Então φθ φz cos²θ sin²θ 1 Dessa forma S1 z d S D zφθ φz d A 02π 14 cosθ z d z d θ 02π z²214 cosθ d θ 02π 4 cosθ²2 1²2 d θ 02π 16 8 cosθ cos²θ2 12 d θ 02π 16 8 cosθ 1 cos2θ22 12 d θ 02π 8 4 cosθ 14 cos2θ4 12 d θ 02π 314 4 cosθ cos2θ4 d θ 314 θ 4 sinθ sin2θ802π 314 2π 4 sin2π sin22π8 314 0 4 sin0 sin208 31π2 Como S2 está no plano z 1 temos S2 z d S S2 d S 01 02π r d θ d r 01 r θ02π d r 01 r 2π d r 2π r²201 π Por fim para calcular a superfície superior S3 convertendo mais uma vez as coordenadas para coorde nadas polares S3 z d S D 4 x 1 zx² zy² d A D 4 x 1 1 0 02π 01 4 r cosθ 2 r d r d θ 2 02π 01 4 r r² cosθ d r d θ 2 02π 2 r² r³3 cosθ01 d θ 2 02π 21² 1³3 cosθ d θ 2 02π 2 13 cosθ d θ 2 2θ 13 sinθ02π 2 22π 4 2 π Portanto S z d S S1 z d S S2 z d S S3 z d S 31π2 π 42 π 33 822 π ua Resposta final Opção 2 π2 33 82 Questão 9 Calcule σ rotFndS onde σ é a porção do paraboloide z1x²y² com z0 n é a normal cuja componente z é nãonegativa e Fxyzyzx Solução Se z1x²y² temos z01x²y²0 x²y² 1 Observe que a superfície σ é o gráfico da função f Aℝ onde Axy ℝ² x²y² 1 é o disco unitário de centro na origem e fxy1x²y² é de classe C¹ em A Esse tipo de superfície pode ser parametrizada por σ Aℝ² σuvuvfuv que é injetiva regular e de classe C¹ Assim vale o teorema de Stokes σrotFndS γ Fdγ onde neste caso γ é a circunferência unitária no plano xy percorrida no sentido antihorário quando vista de cima a qual delimita a superfície σ com orientação compatível com a estipulada para a normal n Podemos escrever então que γ 02πℝ³ γtcostsint0 Assim Fγtsint0cost γtsint cost0 Dessa forma γ Fdγ ₀²π Fγtγt dt ₀²π sint0costsintcost0 dt ₀²π sin²t dt ₀²π 12 cos2t2 dt 12 t sin2t4₀²π 12 2π sin2π4 12 0 sin204 π Resposta final Opção 1 π Questão 10 Calcule Fxyzzyx podemos determinar o fluxo do campo vetorial F sobre a esfera unitária como Solução Como a superfície para a qual desejamos calcular o fluxo é definida por uma esfera unitária ilustrada na imagem a seguir podemos fazer uma substituição de coordenadas para coordenadas esféricas Temos assim a parametrização rφθsinφcosθi sinφsinθj cosφk onde 0 φ π e 0 θ 2π Dessa forma Frφθcosφi sinφsinθj sinφcosθk Além disso rφ cosφcosθi cosφsinθj sinφk rθ sinφsinθi sinφcosθj Então rφ rθ i j k cosφcosθ cosφsinθ sinφ sinφsinθ sinφcosθ 0 i sin²φ cosθ j sin²φ sinθ k sinφ cosφ cos²θ sinφ cosφ sin²θ i sin²φ cosθ j sin²φ sinθ k sinφ cosφ Portanto Frφθ rφ rθ cosφ sin²φ cosθ sin³φ sin²θ sin²φ cosφ cosθ Logo o fluxo procurado é S F dS D F rφ rθ dA 02π 0π sin3φ sin2θ 2 sin2φ cosφ cosθ dφ dθ 0π sin3φ dφ 02π sin2θ dθ 2 0π sin2φ cosφ dφ 02π cosθ dθ 0π sin2φ sinφ dφ 02π 12 cos2θ2 dθ 2 sin3φ30π sinθ02π 0π 1 cos2φ sinφ dφ 12 θ sin2θ402π 2 sin3φ30π sinθ02π 0π sinφ sinφ cos2φ dφ 12 2π sin22π4 2 sin3π3 sin2π sin0 cosφ cos3φ30π π cosπ cos3π3 cos0 cos303 π 1 13 1 13 π 2 23 π 4π3 Resposta final Opção 1 4pi3