Lista de Exercícios Resolvidos - Equações Diferenciais Ordinárias e Séries

AVA 2 Equações Diferenciais Ordinárias AVA 1 Equações Diferenciais Ordinárias 1 Marque a alternativa que apresenta uma equação implícita que corresponde à solução da equação diferencial 3 y 2 y 4 x 32 x0 sabendo que para x1 o valor de y2 3 y 2 y 4 x 32x EDO de variáveis separáveis 3 y 2 dy dx 4 x 32x 3 y 2dy4 x 32xdx Integrar em ambos os lados 3 y 2dy4 x 32xdx y 3x 4 x 2k Aplicando a condição dada 2 31 41 2k k6 Logo y 3x 4x 26 2 Determine a solução da equação diferencial 2 x 2 y 6 x y 2 y0 para x0 EDO de CauchyEuler 2 x 2 y 6 x y 2 y0 Fazendo yx λ e substituindo na EDO temos 2 x 2x λ 6x x λ 2x λ0 2 x 2 λ λ1 x λ26 x λ x λ12x λ0 2 λ λ1x λ6 λ x λ2 x λ0 Para x0 2 λ λ16 λ20 2 λ 22λ6 λ20 2 λ 24 λ22 λ 22 λ12 λ1 20 λ1 Assim y1 x x 1 Uma segunda solução pode ser obtida pelo método da redução de ordem y2 xu x y1 x Onde u x e p xdx y1 x 2 dx Onde p x é o coeficiente de y em uma EDO da forma y p x y q x y0 Assim para p x 6 x 2x 23 x u x e 3 x dx x 1 2 dx e 3ln x x 2 dx e ln x3 x 2 dx x 3 x 2 dx x 1dxln x Assim y2 xx 1ln x E a solução geral é dada pela combinação linear de y1 x e y2 x y x c1 y1 x c2 y2 x y x c1x 1c2 x 1ln x 3 Marque a alternativa correta em relação às séries k 1 k1 k1 k1 e k1 3 k2 k1 Para a primeira usando o teste da razão temos lim k ak1 ak lim k k2 k 2 k2 k1 k 1 k1 lim k k2 k1 k2 k2k1 k1 k1 k1 lim k k2 k1 k1 k1 lim k ak1 ak lim k k2 k1 k1 Fazendo k1n se k n Assim lim k ak1 ak lim k k11 k1 k1 lim n n1 n n lim n1 1 n n e Assim como e1 a série é divergente pelo teste da razão Para segunda novamente pelo teste da razão temos lim k ak1 ak lim k 3 k3 k2 3 k2 k1 lim k 3 k 23 k2 k1 k1 3 k2 lim k 3 k20 Como 01 então a série é convergente 4 Desejase construir uma janela normanda para isso colocase um semicírculo em cima de uma janela retangular conforme esquematizada na figura abaixo Encontre as dimensões da janela de área máxima sabendose que seu perímetro é de 5 m Perímetro da janela πrx2 y5 que é a nossa restrição g x y π2 2 x2 y5 Área da janela f x y Axy π r 2 2 xy π x 2 2 2 xy π x 2 8 Aplicando os multiplicadores de Lagrange temos que f λ g g x y 5 Assim f y πx 4 x g π2 2 2 Assim y πx 4 xλ π2 2 2 π2 2 x2 y5 y πx 4 π2 2 λ x2 λ π2 2 x2 y5 Assim π 4 1 π2 2 1 0 2 π2 2 2 0 x y λ 0 0 5 Usando a regra de Cramer temos A π 4 1 π2 2 1 0 2 π2 2 2 0 1 2 π 4 022 1 302 π2 2 1 4 π2 2 20 Aππ2π24π Ax 0 1 π2 2 0 0 2 5 2 0 1 45 20 10 A y π 4 0 π2 2 1 0 2 π2 2 5 0 1 55 π 2 π 2 15 Aλ π 4 1 0 1 0 0 π2 2 2 5 1 65 015 Assim xAx A 10 4π 10 4π yA y A 5 4π 5 4π λA λ A 5 4π 5 4π Logo temos que P 10 4π 5 4π Logo rx 2 5 4π m Perímetro π2 2 10 4π2 5 4π5 π2 5 4π2 5 4π5 π22 5 4π5 π4 5 4π5 55 Área A 10 4π 5 4π 10 4π 5 4π π 10 4π 2 8 50 4π 2 25π 24π 2 1 4π 250 25π 2 m 2 5 Obtenha a transformada de Laplace da função g t se n2t t Sabendo que L f t t s F udu L f t F s L senbt b s 2b 2 Assim L sen2t 2 s 24 Assim L sen 2t t s 2 u 24 du u2tgθdu2 sec 2θdθ us θtg 1 s 2 uθ π 2 Assim L sen 2t t tg 1 s 2 π 2 2 4 tg 2θ4 2 sec 2θdθ tg 1 s 2 π 2 sec 2θ tg 2θ1 dθ tg 1 s 2 π 2 dθθ tg1 s 2 π 2 Logo L sen 2t t π 2 tg 1 s 2 6 Seja um circuito RL em série com resistência de 10 Ω e indutor de 1 H A tensão é fornecida através de uma fonte continua de 50 V que é ligada em t 0 s Determine a corrente máxima obtida no circuito Sabendo que em um circuito em série a soma das tensões é a força eletromotriz temos que ε t V RV L ε t Ri L di dt Para uma corrente constante de 50 V RiL di dt 50 Para di dt 0 temos que Ri50i50 105 A 7 Determine quais intervalos no qual podemos garantir que a equação diferencial y 4 x 2 y4 ycos x tenha solução única para um problema de valor inicial Sabemos que para uma EDO da forma y p x y q x yr x O intervalo de validade da solução depende de p x q x e r x Isto é a intersecção do domínio dessas funções será o domínio da solução Veja que p x 4 x 2 é um polinômio contínuo em todos os reais q x 4 é uma função constante também contínuo r x cos x uma função continua também em todos os reais Assim como o domínio de todas as funções acima é x o intervalo de validade da solução y x também é x 8 Determine o raio e o intervalo de convergência respectivamente da série de potencia k 1 x5 k k1 Pelo teste da razão temos lim k ak1 ak lim k x5 k 1k2 x5 k k1 lim k x5 kx5 k2k1 x5 k k1 lim k ak1 ak lim k x5 k x5 k2 k1 x5 k k1 lim k x5 k2 Logo o raio de convergência da série acima é R0 e a mesma só converge para R5 9 Você foi incumbido de delimitar um terreno retangular de 300 m 2 usando muros externos e divisórias internas como mostrado na figura abaixo Sabendose que o preço do muro é de R 1000m e o preço das divisórias é de R 500m determine as dimensões do terreno de modo que o custo total seja o menor possível Temos que a área do terreno é dada por A x y xy300 Custo total do muro em função das medidas do mesmo C x y 52x y 102 x2 y 10 x5 y20 x20 y30 x25 y Aplicando novamente os multiplicadores de Lagrange temos Cλ A A x y 300 Assim C3025 A y x Assim 3025 λ y x xy300 30λy y30 λ 25λx x25 λ xy300 30 λ 25 λ 300λ 2750 300 λ 5 2 Assim temos dois candidatos a pontos críticos Como um deles tem valores negativos podemos descartar x25 λ 25 5 2 25 2 5510m y30 λ 30 5 2 610m 10 As transformadas de Laplace e Fourier são técnicas matemáticas utilizadas para analisar e transformar funções de uma variável em domínios alternativos Dessa forma Calcule a transformada de Laplace da função f t e 2t0t 1 4 t 1 Temos que L f t 0 f t e st dt 0 1 e 2te st dt 1 4e st dt 0 1 e 2stdt 4 1 e st dt L f t e 2s t 2s 0 1 4 e st s 1 e 2s 1 2s 4 s lim b e sbe s L f t e 2s t 2s 0 1 4 e st s 1 e 2s1 2s 4e s s 11 Marque a alternativa que apresenta uma equação diferencial linear homogênea Para uma EDO ser homogênea e linear ela deve ser da seguinte forma anx d n y d x n an1 x d n1 y d x n1 a2x d 2 y d x 2 a1 x d y dx a0 x y0 Logo apenas a primeira bate 3v du dv d 2u d v 24u Reescrevendo d 2u d v 23 v du dv 4u0 12 Determine a solução particular da equação diferencial s 6s 9s0 que atenda a condição inicial s 02 e s 08 Equação característica λ 26 λ9λ3 20 λ3 Assim s1 x e 3x Uma segunda solução pode ser obtida usando a redução de ordem s2 x u x s1 x Onde u x e p xdx s1x 2 dx u x e 6dx e 3x 2 dx e 6x e 6x dx dxx Assim s2 x xe 3x E a solução geral é dada pela combinação linear de s1 x e s2 x s x c1s1x c2s2 x s x c1e 3 xc2 xe 3x Aplicando as condições iniciais temos s 0c1c202c12 s x 3c1e 3xc2e 3 x3 x e 3 x s 03c1c2130 8c22 Assim s x 2e 3 x 1x 13 Marque a alternativa correta em relação a série k 1 3 15 n Fiz um teste e vi que a soma dessa série é aproximadamente 0645186 mas todas as alternativas bateriam Então não dá para concluir nada Vou apenas provar que a série converge Usando teste da comparação no limite temos que an 3 15 n bn 1 5 n Assim lim n an bn lim n 3 15 n 1 5 n 3 lim n 5 n 15 n3 lim n 1 15 n 5 n 3 lim n 1 1 5 n1 30 Assim k 1 3 15 n Converge 14 Um circuito RLC é formado por uma fonte de tensão 15 V um resistor de 20 Ω um capacitor de 10 3 F e um indutor de 01 H todos conectados em série Detemrine a corrente que circula pelo circuito em todo tempo se inicialmente o capacitor estiver totalmente descarregado e não flui corrente sobre o circuito Temos que V RV LV Cε t RiL di dt 1 C q tε t Para idqdt temos que R dq dt L d 2q dt 2 1 C q t ε t 20 dq dt 01 d 2q dt 2 1 10 3 q t 15 d 2q d t 2 200 dq dt 10000q t 15 Capacitor descarregado implica em q 00 Corrente não flui implica em i 0q 0 0 Assim temos o seguinte PVI para resolver q t 200q t 10000 q t15 q 0q 0 0 Aplicando a Transformada de Laplace temos L q t200q t 10000q t L 15 L q t200 Lq t 10000 L q t 15 L 1 Onde L t n n s n1 n0 1 s L q t Q s L q t sQ s q 0sQ s L q ts 2Q ssq 0q 0 s 2Qs Assim s 2Qs 200sQ s 10000Q s 15 1 s s 2200 s10000Q s 15 1 s Q s 15 1 ss 2200s10000 s 2200s10000s 22 s100100 2s100 2 Assim Q s 15 1 s s100 215 A s B s100 C s100 215 A s100 2Bs s100Cs s s100 2 Assim 1A s 2200 As10000 ABs 2100BsCs 1AB s 2200 A100 BC s10000 A AB0BA 1 10000 200 A100BC0C200 A100B1 50 1 1001 100 10000 A1 A 1 10000 Assim Q s 15 1 10000 1 s 1 10000 1 s100 1 100 1 s100 2 Assim aplicando a transformada inversa temos q t L 1Q s 15 1 10000 L 1 1 s 1 10000 L 1 1 s100 1 100 L 1 1 s100 2 Sabendo que L e at 1 sa L e at t n n sa n1 Temos que q t 15 1 10000 1 10000 e 100tt e 100t 100 Como o enunciado deseja a corrente e não a carga basta derivar i t dq dt 15 100 10000 e 100 t 1 100 e 100t100t e 100t i t 15 e 100t 100 e 100t 100 t e 100t i t 15t e 100t 15 A transformada de Laplace é usada para resolver equações diferenciais ordinárias com condições iniciais Sabendo que f é uma função seccionalmente continua definida sobre e cuja derivada é seccionalmente contínua e de ordem exponencial E que f 0 1 e L f t s tan 1s calcule L e 2t f t s Sabendo que L g t sG sg 0 L e at g t Gsa L f t stan 1sf 0 s tan 1s1 Assim L e 2t f t s2 tan 1 s21 16 Marque a alternativa que apresenta uma equação diferencial ordinária EDO EDOs devem contar apenas derivadas ordinárias de uma variável em relação a outra apenas Assim apenas dz dx x2z d 2 z d x 2 É uma EDO 17 Resolva a equação diferencial y 4 y 13 y0 Equação característica λ 24 λ13λ 24 λ4413λ2 290 λ23i λ23i Como as raízes da equação característica são complexas e conjugadas y1 x e 2x cos3 x y2 x e 2x sen3 x Assim y x c1e 2 xcos3 xc2e 2x sen3 x 18 Determine o terceiro termo da série numérica associado à sequência an 2 n 3 n12 se iniciando para n1 Temos que 2 n 3 n12 2 3 02 2 2 3 212 2 3 3 312 Logo 2 3 3 312 8 928 7 19 Um objeto com massa de 5 kg está em queda livre em um ambiente cuja constante de proporcionalidade da resistência do ar é de 05 N s 2 m O objeto sai do repouso Determine a expressão da velocidade em função do tempo obtida por ele durante sua queda Considere a aceleração da gravidade como 10 m s 2 O enunciado não nos diz sobre como é a natureza da resistencia do ar Então utilizaremos dois casos Um deles tem que bater Para a resistência do ar ser proporcional a velocidade F yFRmgm v cvmgm v cvm vmg v c m vg Veja que a EDO é linear e de ordem 1 v t e c m dtke c m dt gdt v t e ct m kg e ct m dt v t e ct m k gm c e ct m v t k e ct m gm c Veja que a condição inicial foi dada que v 0 0 Assim 0k gm c kgm c Assim v t gm c 1e ct m Para c05 m5 e g10 v t 50 05 1e 05t 5 v t 1001e t 10 20 Marque a alternativa que apresenta a transformada de Laplace para a função f tsenh2tcosh2t Sabendo que senh2te 2te 2t 2 cosh 2te 2te 2t 2 Temos que senh2t cosh 2te 2te 2t 2 e 2te 2t 2 e 2te 2te 2te 2t 2 e 2t Assim L senh2tcosh2t L e 2t 1 s2