Teoria das Estruturas: Arcos Triarticulados e Exercícios Resolvidos

TEORIA DAS ESTRUTURAS ARCOS TRIARTICULADOS NOTAS DE AULAS Ponte Alexandre III Paris 18971900 SUMÁRIO 1 Generalidades 01 2 Viga curva 02 3 Arcos triarticulados 03 31 Exemplo 06 32 Definição e determinação da linha de pressões 06 33 Observações 07 34 Equação do arco de eixo parabólico 08 4 Exercícios resolvidos 09 41 Exercício 41 Determinação de M V e N 09 42 Exercício 42 linha de pressões 10 5 Exercícios propostos 11 1 Introdução ao estudo de arcos 1 Generalidades Arco é uma estrutura plana com carregamento no próprio plano Em geral possui eixo curvo e sua característica principal é de ser possível escolher a forma de seu eixo de modo a apresentar pequenos esforços de flexão quando submetido ao carregamento permanente A figura 11 ilustra um resumo da nomenclatura usada para os arcos fflecha Lvão A B C Vizinhança de C fecho do arco Vizinhança de A e B nascença do arco Linha AB linha de impostas A e B impostas Figura 11 Nomenclatura usual para arcos A figura 12 mostra os tipos usuais de arcos Nesta publicação apenas o arco Tri articulado isostático será estudado para o caso de carregamento perpendicular à linha de impostas 1 vez hiperestático atirantado triarticulado isostático biengastado 3 vezes hiperestático biarticulado 1 vez hiperestático Figura 12 Tipos de arcos 2 2 Viga curva Antes de iniciarmos propriamente o estudo dos arcos vamos analisar a distribuição dos esforços solicitantes em uma viga curva cujos resultados servirão para o estudo dos arcos Vamos nos preocupar somente com cargas perpendiculares ao movimento do carrinho Nestas condições o apoio fixo não apresentará reação na direção paralela ao movimento do apoio móvel carrinho o qual tomaremos como movimento horizontal r p A R RA y x P1 q P1 q RB B R Vp Mp P2 P2 yfx Seja y f x a equação do eixo da viga curva e p a projeção da viga curva e seu carregamento em uma viga horizontal para a qual determinamos os diagramas de momento fletor e força cortante Mp e Vp respectivamente figura 21 Como para o cálculo de momentos só interferem as distâncias horizontais o momento fletor na viga curva é o mesmo que ocorre na viga projetada na seção correspondente ou seja M p M r x x 21 Vamos determinar os diagramas de força cortante e força normal na viga curva figura 22 Dada a equação do eixo da viga curva y f x o ângulo que mede a inclinação da curva vale dx arc tg dy 22 Seja Rv soma das forças verticais à esquerda do corte em uma seção genérica Como Rv é igual a força cortante com sinal na viga projetada temos Rr Vp 23 Então em qualquer seção da viga curva temos Vp sen Nr Vp cos r V Mp Mr 24 Figura 21 Viga curva tangente x Rv Vr Nr p Rv Figura 22 Forças cortante e normal 3 As expressões de Mr Vr e Nr valem para qualquer seção da viga curva Convém não esquecer que tanto Vp como possuem sinal Naturalmente nos trechos descendentes da viga curva o ângulo estará situado no 4o quadrante trigonométrico e o seno e a tangente terão valores negativos 3 Arcos triarticulados Os arcos triarticulados são formados por duas chapas articuladas entre si Como se trata de uma estrutura isostática já foi objeto de estudo em Resistência dos Materiais A finalidade de retomar a análise de estruturas isostáticas em Teoria das Estruturas é desenvolver uma técnica para tornar expedita a solução dessas estruturas Seja o arco triarticulado da figura 31 a A x y L b C B yc Os valores de yC a e b referemse à articulação C As cargas que atuam no arco podem ser decompostas em duas direções ortogonais paralela e perpen dicular à linha de impostas AB Neste trabalho vamos estudar apenas as cargas perpendiculares à linha de impostas AB Figura 31 Arco triarticulado Em benefício da simplicidade vamos estabelecer a nomenclatura simplificadora à linha de impostas horizontal à linha de impostas vertical Para resolver tecnicamente o arco triarticulado vamos aplicar o artifício de Henneberg ou troca de vínculos entre a articulação C e o apoio fixo B Retirandose a barra vincular horizontal do apoio fixo B ele se torna apoio móvel na horizontal Colocandose esta barra na articulação C ela se transforma em uma seção comum que mantém a continuidade da estrutura A C Detalhe após a troca apoio móvel solda Detalhe da articulação C e do apoio B B C B Figura 32 Troca de vínculos 4 Com esta troca de vínculos podemos fazer o raciocínio de superposição de efeitos H A 0 viga curva C B A C r B A 1 C solda 1 B C H tal que Mczero A r B solda H Figura 33 Superposição de efeitos Notação r problema real 0 problema zero apenas o carregamento está aplicado sem H 1 problema um apenas H1 está aplicada sem carregamento A correspondente equação de superposição é r 0 H1 31 Ou seja qualquer grandeza esforço ou deslocamento no problema real r é igual a grandeza correspondente no problema 0 mais H vezes a mesma grandeza no problema 1 Aplicandose a equação de superposição 31 para os esforços solicitantes temos em qualquer seção Mr M0 HM1 Vr V0 HV1 32 Nr N0 HN1 Os diagramas de M V e N no problema 0 M0 V0 e M0 não apresentam dificuldades para serem calculados O problema 0 é a viga curva já resolvida e M0 V0 e N0 são os valores fornecidos nas expressões 24 Como o carregamento do problema 1 é apenas uma carga horizontal unitária é fácil determinar os valores de M1 V1 e N1 Como se sabe os esforços solicitantes em uma seção genérica S são a soma dos efeitos de todos os esforços à esquerda ou à direita de um corte efetuado na seção S Assim os efeitos da carga unitária reação em A na seção S são os indicados na figura 34 a Na figura 34 b estão indicados as projeções da carga horizontal unitária nas direções correspondentes a N e V Devese estabelecer uma convenção para os esforços solicitantes no arco M 0 tração nas fibras do intradorso dentro V 0 percorre a seção no sentido horário N 0 esforço de tração 5 x tangente N cos compressão V sen antihorário 1 1 tangente x y M y tração fora a seção genérica S b decomposição em S A Figura 34 Determinação de M1 V1 e N1 M1 y V1 sen 33 N1 cos Os sinais negativos aparecem devido a convenção adotada Assim a única incógnita nas equações 32 que determinam os esforços finais é H Este valor será determinado com a condição de ser nulo o momento fletor do problema real na articulação C ou seja Mc real 0 A aplicação da equação de superposição 31 para o ponto C fornece zero M0C H yc 34 Como M0C MPC momento da viga projetada na seção correspondente a C temos C PC y H M 35 Isto é em um arco triarticulado com carregamento perpendicular à linha de impostas considerada horizontal a componente horizontal do empuxo é o resultado da divisão do momento fletor da viga projetada na seção correspondente à articulação C pelo valor da altura da articulação ou distância da articulação à linha de impostas Com o valor de H determinado expressão 35 os esforços solicitantes finais são obtidos pela aplicação de 24 e 33 em 32 Mr Mp Hy Vr Vpcos Hsen Nr Vpsen Hcos tração 36 6 31 Exemplo A figura 35 mostra um arco triarticulado de eixo parabólico submetido a um carregamento simétrico constituído de duas cargas concentradas Vamos determinar o diagrama de momento fletor A solução é apresentada na própria figura C 16kNm viga projetada 16kNm 2kN 2kN 8m 8m 2kN 05m 8m B y 2kN 20 20 como linha de referência temos Retificando ou usando uma linha horizontal 2kNm 2kNm 20 2kNm ou de referência nova linha de fecho Diagrama de Mr Mp 4y H 16kNm 4m 16kNm yc Mpc 4 16 Mr 40kN Mp Mr Figura 35 Exemplo 1 Arco triarticulado O diagrama de M final pode ser determinado graficamente a partir do diagrama de MP Traçase neste diagrama uma nova linha de fecho fêcho ou linha de referência que é a equação do arco a menos de um fator de escala igual a H Esta curva é construída em escala vertical conveniente H de forma que passe pelo ponto C correspondente a articulação pois nela temos a condição Mr 0 Os valores finais de Mr do arco tri articulado são na escala considerada os valores das ordenadas que ligam essa nova linha de referência com o diagrama de Mp Convém notar que o diagrama de momentos fletores da viga curva ou da viga projetada MP apresenta valores muito maiores que o diagrama de momentos fletores Mr do arco Neste exemplo o Mmáx no arco é 8 vezes menor que o Mmáx na viga curva Este fato mostra a vantagem fundamental do arco sobre a viga curva no caso de cargas verticais o pequeno momento fletor que o solicita 32 Definição e determinação da linha de pressões Caso y kMp teremos Mr Vr zero em qualquer seção do arco triarticulado ou seja Se o digrama de momento fletor da viga projetada for proporcional a forma do arco serão nulos os momentos fletores e forças cortantes em qualquer seção do arco Esta forma particular que anula os momentos fletores e forças cortantes é denominada linha de pressões Demonstração k 1 kM M y M kM H y como PC PC C PC P 7 Dai 0 zero ou seja M k y 1 k y fica M Hy M M r r P r Como zero V dx dM V r r r N H Vp Caso a forma do arco seja a linha de pressões ele estará sujeito apenas a esforços normais Em uma seção genérica conforme ilustra a figura 36 temos 2 2 P H V N 37 H V tg P 38 Figura 36 Esforço normal 33 Observações 1 A linha de pressões é a forma ideal para as estruturas triarticuladas pois corresponde a sua forma estrutural mais econômica uma vez que o momento fletor é o esforço mais sedento de seção 2 Com o conhecimento do conceito de linha de pressões a estrutura mais econômica para o carregamento do exemplo anterior seria a apresentada na figura 37 a O valor de f pode assumir qualquer valor não nulo devendo ser evitado valores muito pequenos pois o empuxo horizontal H é inversamente proporcional a f equação 35 e a normal sendo diretamente proporcional a H equação 37 cresce demasiado nos arcos muito abatidos quase vigas retas podendo apresentar problemas de flambagem 3 O mesmo princípio explica a forma final que toma um cabo sem resistência à flexão quando solicitado por cargas verticais As figuras 37 b c ilustram este comentário 4 A linha de pressões para carregamento uniformemente distribuído é uma parábola do 2o grau isto é o arco de eixo parabólico submetido a carregamento uniformemente distribuído aproximadamente peso próprio não tem momentos fletores nem forças cortantes motivo pelo qual é adotado para estruturas com grandes vãos livres 5 Na prática além dos arcos triarticulados são muito utilizados os arcos biarticulados e biengastados para os quais também constitui ponto de partida para o projeto a determinação da linha de pressões do carregamento permanente Para os arcos hiperestáticos também vale muito aproximadamente a regra se forma do arco for proporcional ao diagrama da viga projetada ele coincide com a linha de pressões isto é M V zero 6 É oportuno observar a notável intuição dos construtores da antigüidade clássica que sem conhecimento formal dos princípios da estática construíram abóbadas e arcos de alvenaria de pedra que não resistem à tração e muitos deles permanecem íntegros até hoje Também as Catedrais da idade média com suas cúpulas e leveza dos seus arcos e abóbadas merecem menção 8 peso próprio 8m funiculum latim pequena corda P P e b A funicular Polígono 8m a 2t compressão catena latim corrente c P Catenária d tração 8m B C 2t f0 P Figura 36 Linhas de pressão 34 Equação do arco de eixo parabólico A dedução a seguir por ser geométrica vale para qualquer tipo de arco Seja o arco de eixo parabólico da figura 37 com sistema de eixos nas impostas A L2 B f L2 y x Figura 37 Arco parabólico A equação genérica desta parábola é y ax2 bx c Como passa pelos pontos 00 L0 e L2ftemos 9 Para x 0 y 0 c0 Para x L y 0 0 aL2 bL b aL Para x L2 y f f aL24 aL22 a 4fL2 Com a 4fL2 temse b 4fL Substituindose os valores calculados de a b e c0 em y ax2 bx c temse y 4fx2L2 4fxL ou colocandose 4fxL2 em evidência x L x L 4f y 2 39 4 Exercícios resolvidos 41 Exercício determinação de M V e N Seja o arco de eixo parabólico da figura 41 Determinar M V e N de metro em metro 4m 8m 3m 4kN 1kNm 4m A C 0000 0 4esq 3000 2250 Tabela x y 10 50 Mr Mp Hy Vr Vp cos Hsen Nr Vp sen Hcos 0000 0600 5000 0000 0351 0000 1000 1000 5000 24000 20000 0000 2000 sen Mp Vp cos Mr Vp 0800 9400 1873 1000 1873 7842 8000 9246 Vr Nr 200 Mp H H 2250 20000 3000 0351 2000 0000 8544 0000 0000 7000 0600 0000 0800 10600 5kN 7kN 4kN viga projetada 1kNm kNm kN Solução a viga projetada b Equação do arco e sua derivada tg y 4f L 2 x Lx y x 16x 3 64 y 8x 3 32 dy dx tg c Cálculo de H p y 24 3 8kN M c c d Cálculo de através da tabela tg 0750 0375 0000 0375 0750 0800 0936 1000 0936 0800 H8 A B B C D 4kN 1kNm B 200 240 150 100 500 210 220 230 245 240 225 165 120 650 30 40 50 60 70 20 10 00 1m 2m 3m 4esq 7m 6m 5m 16m 15m 14m 11m 10m 9m 8m 13m 12m 0703 1828 1313 2578 2813 2953 2578 2813 2953 0703 1313 1828 5000 15000 10000 21000 22000 23000 24500 24000 22500 16000 12000 6500 5000 5000 5000 1000 1000 1000 0000 1000 2000 4000 5000 6000 0549 0490 0424 0271 0184 0093 0271 0184 0424 0490 0549 0093 0836 0872 0905 0963 0983 0996 0996 0983 0963 0905 0872 0836 0625 0500 0375 0375 0500 0625 0875 1500 1875 1875 1500 0875 0209 9432 0436 9424 1132 9366 0800 7972 0800 8047 0800 8058 0800 7965 0800 8047 0800 8243 0800 8941 0800 9424 0800 9980 0656 0563 0469 0281 0188 0094 0094 0188 0281 0469 0563 0656 0625 0500 0375 2000 0375 0500 0625 0000 0875 1500 1875 2000 1875 1500 0875 0000 0000 1873 1873 1132 0436 0209 0800 1203 0491 0249 1000 0747 0491 0000 0226 0436 0627 0800 0241 9400 9432 9424 9366 9246 7972 8047 8058 8000 8047 7965 8243 8544 8941 9424 9980 1060 7842 kNm kN kN Mr Vr Nr Dados Figura 41 Exercício Determinação de M V e N 10 42 Exercício linha de pressões N H Vp b determinar Nmáx e Nmím indicando as seções onde ocorrem a Lançar um triarticulado que seja a linha de pressões do carregamento indicado com altura máxima igual a 3 metros 4m A x 4m y 8m 4m B 05kNm c Determinar também os valores de N para x igual a 4 8 e 12 metros 3kN 2 2 2 400 400 100 300 2m 160 200 120 Mmax210 Mp em kNm Vp em kN y 30 metros 0571 2286 2857 1714 y x 40 40 60 40 Arco procurado 20 Todas as normais são de compressão máx y k Mp 3 21 k k 1 7 H 7kN y k Mp máx máx N 7 4 máx 2 2 8062kN em qualquer seção com 0 x 4m 7000kN na seção com x 10m N 7 0 mín 2 2 para x 4m 7071kN 8062kN N 7 4 esq N 7 1 dir 2 2 2 2 Solução viga projetada e determinação de Mp e Vp 05kNm 3kN 8m 4t 4m 4m 4m 3t 7 Mp y só Vp varia N 7 1 N 7 1 para x 8m 2 2 7071kN 7071kN 2 2 para x 12m Figura 42 Exercício linha de pressões 11 5 Exercícios propostos A B D E F G C 5x210m 10m f25m 04kNm 01 Para o arco de eixo parabólico determinar M V e N nas seções A D E F G e C Respostas MVzero D A E B C 4m 5m 5m 5m 5m 1kN 4m 4m 4m 4m D A 4m E B C Respostas 4m 4m 2kNm 4kN 3kN 2kN 3kN 4kN para 30 60 90 120 150 e 180 graus A B 1kNm x y Respostas kNm kN kN graus C R5m D E Esforços nos pilares AD e BE 125 125 125 125 375 125 625 625 375 125 kN e kNm 5m 5m 02 Para o arco de eixo parabólico determinar M V e N nas seções A D C E e B 03 Para o arco de eixo parabólico determinar M V e N nas seções A D E e C 04 Para o arco de eixo circular determinar as reações e M V e N seção M V N kNm kN kN 0 0555 58521 54524 52900 50436 49789 49000 49000 1000 1000 1844 1085 1625 2031 3111 1778 A Desq Ddir Eesq Edir Cesq Cdir 0 0195 0250 0464 1875 B E C Ddir 0 0464 Respostas seção Desq A M 0 kNm V 0195 kN 0625 0644 0673 0487 0859 0957 N kN 0 0625 0 seção NkN D A F E C G 894 862 835 816 804 800 M V N 0 0 1250 3750 30 0837 0458 3292 60 0837 0458 1708 90 0 1250 1250 120 2288 0458 1708 1708 0458 2288 150 180 0 1250 1250 12 c o valor de N N e a abscissa das seções onde ocorrem b a equação das inclinações da linha de pressões figura que só apresente N como esforço solicitante e cuja altura máxima seja 5m 07 Desejase construir uma estrutura triarticulada para resistir ao carregamento da A Determinar a a equação da linha de pressões L20m y x B mín máx p3kNm mín c N 2524 kN e ocorre no apoio B N 1540 kN e ocorre na seção x11547m máx b y3 3 4003x 3200 a y3 3 400xx 3200 Respostas 2 3 Nesqx4m6288kN Ndirx4m5472kN Nmáx7010kN na seção x20m Nmín5290kN na seção x108m com altura máxima igual a 4 m 05 Lançar um triarticulado que seja a linha de pressões do carregamento indicado RESPOSTA parábola quadrada Determinar Nmáx e Nmín indicando onde ocorrem e os valores de N para x4m 06 Determinar um triarticulado com Nmáx5kN que seja a linha de pressões do carregamento indicado 2m A y x 1kN 1kNm 1kN 2m 2m 2m 2m 2m 2 2 A 2 2 2 2 reta reta parábola quadrada em m 05 20 25 25 20 RESPOSTA reta reta x 4 4 28 y 2571 A y x 2kN 3629 y 4m 92 Arco procurado metros 1701 05kNm B 4m 4m 12m máx