Teoria das Estruturas: Vigas Contínuas

TEORIA DAS ESTRUTURAS VIGAS CONTÍNUAS Prof Dr José Luiz F de Arruda Serra SUMÁRIO 01 Hipóteses e conceitos preliminares 01 11 Introdução 01 02 Coeficientes fundamentais relativos à barra e a carga 02 21 Fatores de forma GG e F 02 22 Reações fictícias A e B 03 03 Exercícios propostos 03 04 Fatores ou termos de carga E e D 04 05 A equação dos três momentos 05 51 Introdução 05 52 Dedução da equação dos três momentos 05 53 Equação dos três momentos caso barras prismáticas 07 54 Engastamento 08 55 Extremidades articuladas ou com balanço 08 56 Roteiro 09 57 Exemplo número 51 Viga com barras prismáticas 10 58 Exemplo número 52 Barras com mísulas 12 59 Exemplo número 53 Viga simétrica 13 06 Outros coeficientes relativos à barra à carga e às condições de extremidade 16 61 Coeficiente de transmissão ou propagação 16 62 Coeficiente de rigidez ao giro 16 621 Caso outra extremidade engastada 17 622 Caso outra extremidade articulada 18 63 Convenção de Grinter para momentos fletores nas vizinhanças do nós 17 64 Momentos de engastamento perfeito 18 641 Barra biengastada 18 642 Barra engastadaarticulada 18 643 Barra articuladaengastada 19 65 Observações sobre os coeficientes 23 07 O Processo de Cross 24 71 Introdução 24 72 Coeficiente de distribuição 24 73 Roteiro para determinação dos momentos fletores sobre os apoios 25 74 Exemplo número 71 26 75 Vigas contínuas com balanço 28 76 Exemplo 73 30 08 Engastamento elástico 31 81 Exemplo número 81 31 09 Recalques de apoio e variação de temperatura 33 10 Simplificações de simetria 34 101 Eixo de simetria sobre um apoio 34 102 Eixo de simetria divide ao meio o vão central 35 103 Engastamento móvel 36 104 Exemplo 37 11 Exercícios propostos 38 ANEXO 01 Linhas de Influência de vigas contínuas 39 A11 Teorema de MüllerBreslau 39 A12 Exemplo de aplicação 40 1 ANÁLISE DE VIGAS CONTÍNUAS 1 Hipóteses e conceitos preliminares 11 Introdução Vamos nos limitar ao estudo de estruturas reticulares isto é formada por barras Todo o estudo será feito segundo o Método Clássico que se baseia nas seguintes hipóteses 1 validade das equações de equilíbrio da Mecânica Geral 2 continuidade da estrutura isto é as linhas elásticas das barras retas não possuem pontos angulosos e os ângulos entre as tangentes às linhas elásticas de várias barras concorrentes em um nó rígido se conservam constantes 3 aplicabilidade das hipóteses da Resistência dos Materiais para materiais elásticos conservação das seções planas proporcionalidade entre tensões e deformações 4 superposição de efeitos isto é o efeito produzido por vários esforços atuando simultaneamente é igual a soma dos efeitos de cada esforço atuando isoladamente Dentro do método clássico diversas marchas de cálculo podem ser estabelecidas para a solução de um problema A cada uma destas marchas de cálculo dáse o nome de Processo de Cálculo Assim dentro do Método Clássico para solução de estruturas hiperestáticas podemos usar por exemplo 1 O Processo dos Esforços 2 O Processo dos Deslocamentos 3 O Processo de Cross etc Neste trabalho vamos estudar os dois processos manuais mais usados para solução de vigas contínuas a equação dos três momentos e o processo de Cross ambos baseados no Método Clássico Inicialmente serão apresentados os fatores de forma e reações fictícias que são os coeficientes fundamentais relativos à barra e a carga Todos os outros coeficientes termos de carga coeficientes de propagação ou transmissão coeficientes de rigidez e distribuição assim como os momentos de engastamento perfeito são deduzidos em função dos fatores de forma e reações fictícias Após definidos os coeficientes fundamentais fatores de forma e reações fictícias e dos termos de carga deduzse a equação dos três momentos para solução de vigas contínuas apresentandose exemplos Segue a dedução dos outros coeficientes necessários para o Processo de Cross em cuja fase será apresentado uma solução simples para os engastamentos elásticos 2 2 Coeficientes fundamentais relativos à barra e à carga Dada uma barra AB de eixo retilíneo e comprimento L temse os coeficientes fundamentais 21 Fatores de forma G G e F G 1 x L x L 1 G F x 1 x L 1 F Figura 21 Fatores de Forma Aplicandose a técnica da carga unitária o PTV fornece as expressões dos fatores de forma G dx L EI x L L 0 2 2 21 G L 0 2 2 L dx EI x 22 F L 0 2 dx L EI x xL 23 Dimensão G G F FL1 Caso a barra seja prismática EI constante obtémse resolvendo as integrais G G 2 F EI 3 L 24 Notar que o nome fatores de forma é conveniente pois estes fatores dependem apenas da forma da barra além naturalmente do material que define o módulo de elasticidade E pois o carregamento é sempre um momento unitário aplicado em uma das extremidades da barra 3 22 Reações Fictícias A e B São os giros que aparecem nas extremidades de uma barra biapoiada submetida a um carregamento qualquer Positivos no sentido indicado A B x M Aplicando o PTV com os carregamentos unitários dados na figura 21 obtémse A dx L x L EI M L 0 25 B L dx x EI M L 0 26 Figura 22 Reações Fictícias O nome reações fictícias se justifica devido a analogia de MOHR Caso se carregue a viga com a carga p MEI as reações de apoio serão A e B As reações fictícias são adimensionais radianos 3 Exercícios propostos Calcular as reações fictícias a L b P a EIL L 6 ab P b EIL L 6 ab P B A L q EI 12 qL 3 A B L2 2EI L2 P EI EI 96 PL 5 EI 24 L P 2 2 B A Figura 31 Exercícios 4 4 Fatores ou Termos de Carga E e D Estes coeficientes são derivados dos coeficientes fundamentais anteriormente deduzidos e são utilizados pela equação dos três momentos no caso de barras prismáticas Por definição E A F 41 D BF 42 Os fatores de carga E e D têm dimensão de momento FL Notar que para o caso de barras prismáticas EI constante os fatores de carga não dependem de EI resultando valores simples A Tabela 01 apresenta os valores de E e D para barras prismáticas submetidas a diversos carregamentos que compostos cobrem praticamente todas as combinações de carga deslocamentos impostos recalques e variações de temperatura que podem atuar nas barras em geral A B q P a b a b M q q q a b a b t t t h A B L vão da barra 4 qL2 Pab 4 qL2 L 3 b 2 L 60 2 2 15 4 qa2 qa2 60 7 L2 6EI h 3EI t t L L2 6EI FATORES DE CARGA e em BARRAS PRISMÁTICAS EI cte 1 b L 1 L Pab L a 1 M 2 L M 1 3 a 2 2 7qL 2qL L 1 b 2 4 qa 2 2 a L L 21 b 12 2 L b 2 qa 15 5 a 3 L 2 2 2 2 zero h 3EI t t 5 5 A Equação dos Três Momentos 51 Introdução A solução de um viga contínua pelo processo dos esforços pode ser bastante simplificada quando se adota para incógnitas hiperestáticas os momentos nas seções sobre os apoios A solução com este esquema estático tornase bastante simples resultando em um sistema linear de equações onde todas as equações são formalmente iguais e o sistema é tridiagonal Qualquer equação do sistema é conhecida como equação dos três momentos 52 Dedução da Equação dos Três Momentos A figura 51 a representa uma viga contínua carregada por um sistema arbitrário de cargas verticais Os apoios estão numerados da esquerda para a direita 0 1 2 i1 i i1 e os tramos da viga por L1 L2 Li1 Li Li1 etc coincidindo desta maneira o índice de cada tramo com o índice do apoio à direita Na figura b está representado o esquema isostático fundamental para a solução da viga onde as incógnitas hiperestáticas são os momentos sobre os apoios considerados positivos quando tracionam as fibras inferiores em concordância com a convenção usual As figuras c d e f g e h ilustram os diagramas de M0 Mi2 Mi1 Mi Mi1 e Mi2 isto é os diagramas dos momentos fletores da estrutura isostática fundamental submetida ao carregamento M0 e esforços unitários na direção das incógnitas hiperestáticas Mi2 Mi2 O sistema de equações de compatibilidade de deslocamentos que resolve este problema pelo processo dos esforços é 11 M1 12 M2 1i M i 1n M n 10 21 M1 22 M2 2i M i 2n M n 20 i1 M1 i2 M2 ii M i in M n i0 51 n1 M1 n2 M2 ni M i nn M n n0 onde ds EI M M j i ij 52 e ds EI M M 0 i i0 53 As integrais são estendidas a toda estrutura e estão desprezados os efeitos da força cortante e força normal na deformação dos elementos da viga Devido as características particulares dos diagramas de Mi i 0 é fácil observar que vide figura 51 i j 0 sempre que i j 2 54 6 i2 i1 i i1 i2 L i2 L i1 L i L i1 L i2 i3 L M i2 i1 i i1 i2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a b c M0 d Mi2 e Mi1 f Mi g M i1 h M i2 M M M M Figura 51 Equação dos três momentos 7 Assim temse a iésima equação do sistema reduzida apenas aos três termos i i1 M i1 i i M i i i1 M i1 i 0 55 Calculando os deslocamentos e lembrando a definição dos fatores de forma G G e F e das reações fictícias A e B temse i i1 F i 56 i i G i G i1 57 i i1 F i1 58 i 0 B i A i1 59 Os índices dos fatores de forma e das reações fictícias indicam a barra respectiva Substituindo esses valores na iésima equação do sistema obtémse F i Mi1 G i G i1 Mi F i1 Mi1 B i A i1 510 Esta equação 510 é conhecida como equação dos três momentos Cada vez que se aplica a equação dos três momentos para um apoio i é estabelecida uma relação entre o momento fletor que atua sobre o apoio i com os momentos fletores que atuam nos nós anterior i1 e posterior i1ou seja três apoios consecutivos da viga contínua Daí o nome equação dos três momentos 53 Equação dos Três Momentos caso barras prismáticas No caso de viga formada por barras prismáticas Ei Ii constante para cada barra genérica i introduzindo os fatores de carga E e D temse G G 2F L3EI 511 A E F ou A E L6EI 512 B D F ou B D L6EI 513 Substituindo na equação 56 e multiplicando por 6 obtémse 1 i 1 i 1 i i i 1 i 1 i 1 i i 1 i 1 i i i 1 i i i EI L EI L M EI L M EI L EI L 2 EI M L E D i 514 Esta equação é denominada equação dos três momentos caso barras prismáticas O número de equações do sistema para uma determinada viga é exatamente igual ao número de apoios intermediários onde ocorrem os momentos incógnitas mais os eventuais engastes nos apoios extremos Terseá então que resolver um sistema linear de n equações a n incógnitas onde n é o grau de hiperestaticidade da viga contínua que coincide com o número de apoios intermediários mais os eventuais engastes O sistema formado constitui uma forma particular de um sistema de equações uma vez que é tridiagonal isto é tem coeficientes não nulos apenas na diagonal principal e nas duas diagonais adjacentes A grande vantagem sobre o processo dos esforços usual reside no fato de não haver necessidade de construir os diagramas de momentos fletores M0 M1 M2 Mn para a estrutura isostática fundamental e calcular os coeficientes do sistema de equações através do produto de duas funções Com o emprego da equação dos três 8 momentos no caso usual de vigas com barras prismáticas há necessidade de se determinar apenas os termos de carga E e D para os diversos tramos da viga contínua o que é realizado através da tabela 01 Após a solução do sistema de equações que determina os momentos fletores nos apoios o próximo passo é a determinação do diagrama de momentos fletores para toda a viga e também do diagrama de força cortante e reações nos apoios Os valores das forças cortantes nas vizinhanças dos apoios podem ser obtidos através da análise da viga isostática fundamental que nada mais é que uma seqüência de vigas simplesmente apoiadas eventualmente com balanço submetidas ao carregamento dado mais os momentos já determinados aplicados nas seções sobre os apoios 54 Engastamento No caso de um dos apoios extremos da viga contínua ser um engastamento o procedimento a ser seguido é baseado no raciocínio ilustrado na figura 52 tangente 0 1 2 tangente 0 1 2 L 1 L 2 L 3 L 1 0 2 1 Figura 52 Engastamento Considerese a viga contínua da figura 52 com L1 tendendo a zero Neste caso a tangente à elástica tende a coincidir com o eixo da viga ou seja o apoio 1 se comporta como um engastamento quando L1 zero Assim a análise de vigas contínuas com engastamento pode ser feita usandose a mesma equação dos três momentos apenas substituindose o engastamento por um apoio fixo mais um apoio móvel imaginários tornando nulo o comprimento do tramo fictício entre esses dois apoios 55 Extremidades articuladas ou com balanço Na extremidade articulada obviamente M igual a zero ou M igual ao valor do momento puro aplicado caso exista positivo quando traciona as fibras inferiores Caso ocorra balanço ele deve ser substituído pelos seus efeitos e neste caso a extremidade resulta articulada e submetida a uma carga concentrada e um momento 9 resultantes do carregamento oriundo do balanço A força concentrada só afetará a reação neste apoio e o momento com o sinal respectivo na convenção usual tração em baixo positivo é computado na primeira ou última equação do sistema como M0 ou Mn conforme o balanço ocorra na extremidade esquerda ou direita respectivamente 56 Roteiro Em síntese podese seguir a seguinte seqüência para análise de vigas contínuas pela equação dos três momentos 1 Desenhase a viga indicando todas as cargas aplicadas Caso exista engastamento substituise por dois apoios um fixo e o outro móvel tomando se o comprimento do tramo entre eles igual a zero Caso exista um balanço substituise o balanço pelos seus efeitos 2 Numerase da esquerda para a direita todos os apoios a partir do zero bem como os tramos a partir do número 1 3 Determinase para cada tramo os termos de carga E e D conforme tabela anexa 4 Aplicase a equação dos três momentos para cada apoio intermediário montando um sistema tridiagonal de n equações n número de apoios intermediários 5 Resolvese o sistema de equações obtido encontrando os momentos fletores que atuam sobre os apoios da viga contínua 6 Através de equações de equilíbrio determinamse os valores das forças cortantes e momentos fletores nos pontos de descontinuidade do carregamento necessários para o traçado completo destes diagramas 10 57 Exemplo número 51 Viga com Barras prismáticas 4m 2m 2m 15 6m 8m 2m 2t 4t 5t 2tm 1tm a Viga contínua e dados d Diagramas de M e Q 0 1 2 3 4 125EI EI 2EI 1 2 3 4 EI L i 0 64 60 40 E 2200 2200 D 1778 D 1822 E 3200 3200 D E c Ação dos nós sobre as barras t e m M 40 4 821 559 939 400 10 4 5 16 4 533 370 467 530 867 733 400 R 533t 1 R 837t 2 R 1397t 3 R 1133t 4 821 559 939 400 1600 100 181 121 511 200 200 b Valores para montagem das equações t e m 133 067 533 467 370 030 530 867 733 400 M tm t Figura 53 Exemplo número 1 11 Solução a Cálculo dos fatores de carga Utilizando a TABELA 01 temos Tramo 01 Tramo fictício L E e D nulos Tramo 12 simétrico E D 2200 tm 6 16 8 4 1 8 4 4 2 4 8 1 b 1 Pab 4 p 2 2 Tramo 23 E 1778 tm 889 889 6 2 1 6 2 4 5 6 4 1 6 4 2 4 b Pab 1 b Pab 1 D 1822 tm 1111 711 6 4 1 6 2 4 5 6 2 1 6 4 2 4 a Pab 1 a Pab 1 Tramo 34 simétrico E D 3200 tm 4 8 2 4 p 2 2 Balanço à direita M4 400 tm 2 2 2 2 p 2 2 tração nas fibras superiores b Montagem e solução do sistema de equações Este item nos cálculos manuais é facilitado adotandose o produto de inércia EI de uma barra típica da estrutura igual a unidade ajustandose todos os EI envolvidos em função deste No caso presente como não foram fornecidos no enunciado os valores absolutos dos produtos de inércia há necessidade de adotar um valor para eles preservandose as relações indicadas na figura 53 a Convém lembrar nesta oportunidade que a distribuição dos esforços em uma estrutura hiperestática trabalhando no regime elástico linear e em teoria de primeira ordem depende apenas da relação entre as rigidezes das barras não influindo seus valores absolutos Os valores absolutos influem apenas nas deformações e deslocamentos Como a extremidade 0 é um engastamento deve ser substituído por um apoio fixo mais um apoio móvel supondo nulo o comprimento do tramo entre eles Como a extremidade 4 é um balanço substituise o balanço pelos seus efeitos obtendose M3 400 tm o sinal negativo é devido a convenção usual tração em baixo positivo A figura 63 b contém os valores relevantes para a montagem do sistema de equações e para facilitar o acompanhamento repetese aqui a equação dos três momentos para o caso de barras prismáticas 1 i 1 i 1 i i i i 1 i 1 i 1 i i 1 i 1 i i i 1 i i i EI EI M EI M EI 2 EI EI M E D 0 2 0 64 M1 64 M2 0 2200 x 64 64 M1 2 64 60 M2 60 M3 2200 x 64 1778 x 60 12 60 M2 2 60 40 M3 40 40 1822 x 60 3200 x 40 Agrupando os termos semelhantes obtémse 1280 M1 640 M2 14080 640 M1 2480 M2 600 M3 24748 600 M2 200 M3 22132 Resolvendo M1 821tm M2 559tm M3 939tm c Cálculo das forças cortantes e reações Este cálculo pode ser feito em um esquema na própria estrutura conforme fig 53 c através das ações dos nós sobre as barras Como os momentos sobre os apoios e no engastamento são conhecidos o problema se resume à solução de uma seqüência de vigas simplesmente apoiadas Calculandose para cada viga o momento de todos os esforços em torno de uma extremidade como M 0 determinase a força vertical na outra extremidade Esta força a menos do sinal é a cortante na seção A soma vetorial das forças verticais à esquerda e direita de um apoio resulta a reação neste apoio d Diagramas de M e Q Conforme mostra a figura 53 d 58 Exemplo número 52 barras com mísulas Neste exemplo vamos resolver a viga contínua da figura 54 a As barras são de seção retangular com largura constante e altura variando segundo uma parábola mísulas parabólicas a Cálculo dos fatores de forma G G e F e das reações fictícias A e B Os valores indicados na figura 54 b foram obtidos através do programa FATORESEXE de autoria do autor e que faz parte de um pacote de programas que está disponível para os alunos e também podendo ser copiado por qualquer pessoa interessada b Montagem e solução do sistema de equações F i Mi1 G i G i1 Mi F i1 Mi1 B i A i1 0 0177 0819 M1 0642 M2 0499 8326 0642 M1 0819 0177 M2 0 8326 0 ou 0996 M1 0642 M2 8825 0642 M1 0996 M2 8326 Resolvendo obtémse M1 594 tm e M2 453 tm 13 c Ações dos nós sobre as barras e diagramas finas na figura 54 c e d 36m 72m 36m a Viga contínua e dados d Diagramas de M e Q 1 2 3 c Ação dos nós sobre as barras t e tm 594 453 36 72 015 380 345 340 126 126 R 015t 0 R 466t 2 R 126t 3 b Coeficientes h de comparação 025m M tm 025m 025m 075m 075m 025m p10tm G G F A B 0839 0177 0223 0946 0496 G G 0818 F 0642 A B 8326 G G F 0223 0177 0839 A B 0 R 725t 1 0 1 2 3 162 648 594 453 015 345 380 340 126 V Figura 54 Exemplo número 2 59 exemplo número 53 Viga simétrica A viga da figura 55 simétrica tem momentos puros aplicados nos nós 2 e 3 A solução aplicandose a equação dos três momentos considera as seções sobre os apoios articuladas não podendo portanto absorver eventuais momentos puros aplicados sobre os apoios Nestes casos devese considerar os momentos aplicados imediatamente à esquerda ou direita da seção do apoio influindo nos fatores de carga do tramo correspondente Como a viga é simétrica M0 M5 zero M1 M4 e M2 M3 Assim basta estabelecer a equação dos três momentos para os apoios 1 e 2 fazendo M3 M2 Os momentos de 2 tm aplicados em 2 e 3 para não afetar a simetria podem ser considerados aplicados imediatamente à esquerda de 2 e à direita de 3 influindo nos 14 fatores de carga dos trechos 12 e 34 respectivamente ou aplicados à direta de 2 e esquerda de 3 afetando os fatores de carga do tramo 23 Na solução a seguir considerouse os momentos atuando no trecho 23 a Cálculo dos fatores de carga tabela 01 Tramo 01 E 14333 tm 6 2 1 6 2 4 3 4 36 1 D 15667 tm 6 4 1 6 3 4 3 4 36 1 Tramo 12 E D 4 tm 4 16 1 Tramo 23 E D 15 tm 2 4 9 1 6 23 0 1 6 23 6 4 36 1 2 2 2 b Montagem do sistema de equações valores na figura 55 b 1 i 1 i 1 i i i i 1 i 1 i 1 i i 1 i 1 i i i 1 i i i EI L EI L M EI L M EI L EI L 2 EI M L E D 0 2 3 4 M1 4 M2 15667 3 4 4 4 M1 2 4 4 M2 4 M2 4 4 15 4 ou 14 M1 4 M2 63 4 M1 20 M2 76 Resolvendo obtémse M1 362 tm e M2 308 tm c Ações dos nós sobre as barras e diagramas finas na figura 55 c e d 15 2m 2m 6m 6m 4m 6m 3t a Viga contínua e dados d Diagramas de M e V 1 2 2EI EI 2EI 1 2 3 EI L i 0 30 40 40 E 14333 15667 D 4 D 4 E 15 D E c Ação dos nós sobre as barras t e m 362 108 6 3 6 340 214 560 186 300 R 340t 0 R 774t 1 R 486t 2 b Valores para montagem das equações t e m M tm 3t 1tm 4m EI 15EI 2tm 2tm 308 108 308 4 560 362 308 200 108 450 200 050 340 360 060 560 214 186 300 000 Mmax578 340 V t Figura 55 Exemplo número 3 16 6 Outros coeficientes relativos à carga à barra e às condições de extremidade 61 coeficiente de transmissão ou propagação Seja uma barra articuladaengastada ou engastadaarticulada Caso se aplique um momento na extremidade articulada ocorre uma transmissão ou propagação para a extremidade oposta engastada Pelo princípio da superposição de efeitos o valor do momento transmitido é sempre proporcional ao valor do momento aplicado ou seja MBA AB MAB onde AB é definido como coeficiente de propagação ou transmissão O valor de AB pode ser facilmente determinado em função dos fatores de forma aplicandose a superposição de efeitos conforme ilustra a figura 61 F M G AB MAB MAB AB AB MAB zero MAB AB MAB Figura 61 Coeficiente de propagação AB O giro real do nó B vale zero Assim a equação de compatibilidade de giro do nó B fica 0 F MAB G ABMAB daí AB F G 61 Caso a barra AB seja engastada articulada procedimento análogo ao anterior conduz ao coeficiente de propagação BA MBA BAMBA Figura 62 Coeficiente BA BA F G 62 Caso a barra seja prismática EI constante substituindo os valores dos fatores de forma dados em 24 obtémse AB BA 05 63 62 Coeficiente de rigidez ao giro O coeficiente de rigidez ao giro de uma extremidade é numericamente igual ao momento que deve ser aplicado nesta extremidade para provocar um giro unitário 18 adotada na Mecânica Geral e que na Teoria das Estruturas é conhecida como Convenção de Grinter para momentos fletores nas vizinhanças dos nós e estabelece Os momentos fletores serão positivos quando a ação da barra sobre o nó for no sentido horário ou pelo princípio da ação e reação quando a ação do nó sobre a barra for no sentido anti horário 64 MOMENTOS DE ENGASTAMENTO PERFEITO 641 Barra biengastada Seja uma barra biengastada submetida a um carregamento qualquer Os momentos fletores trocados entre as extremidades da barra e os respectivos nós são denominados Momentos de Engastamento Perfeito MEP Estes momentos nas vizinhanças dos nós são determinados usandose a convenção de Grinter conforme ilustra a figura 65 que inclui a superposição para o estabelecimento das equações de compatibilidade de giros nas extremidades necessárias para a determinação dos MEP Os momentos indicados nas figuras representam as ações dos nós sobre as barras isto é são os momentos fletores positivos na convenção de Grinter que atuam nas extremidades das barras MAB MBA A B A B G F AB M MAB AB M F M BA MBA BAG M Figura 65 Momentos de Engastamento Perfeito em barra biengastada Como os giros nas extremidades da barra biengastada são nulos temse F G A BA AB M M 0 68 G F B BA AB M M 0 69 Resolvendo para MAB e MBA resulta 2 BA 2 AB M e M F G G A F G B F G G A G B F 610 642 Barra engastadaarticulada Neste caso como B é uma articulação MBA zero e o giro em B não é necessariamente nulo não valendo portanto a expressão 69 Assim fazendo em 68 MBA igual a zero temse 19 MAB 0 M e M BA AB G A 611 Figura 66 Barra engastadaarticulada 643 Barra articuladaengastada Para as condições de contorno desta barra MAB zero e não vale a expressão 68 pois o giro em A não é necessariamente nulo Aplicando MAB 0 em 69 obtém se MBA G B M e 0 M BA AB 612 Figura 67 Barra articuladaengastada Os momentos de engastamento perfeito de barras prismáticas analogamente ao caso dos fatores de carga são tabelados para os casos usuais de carregamento deslocamentos impostos recalques e variação de temperatura As TABELAS 02a b e c fornecem os MEP para os barras biengastadas engastadasarticuladas e articuladasengastadas 20 30 6L 8La 3a 10L 15La 6a 2 L A h t t B t h L EI 4EI b a b a q 30L 6EI 2 qa2 2 q q qa 12L 2 2 2 qL 2 L h t t L t EI t 2EI 2 6EI 5L 4a 3 2 20L qa 2 2 4L 3a 3 2 12L qa 2 qL 20 AB 12 Pab 3b 2L L vão da barra A B a b M a b P Mb 2 L 2 L q qL M 2 2L 3a Ma L2 2 2 Pa L b 2 2 qL 12 BA M L TABELA 02a MEP caso barra biengastada de EIcte 21 q A B P a b M a b q q b a q a b h t t t B A L vão da barra AB M qa2 120L240L 45La 12a 2 2 2L a 8L2 qa2 2 120 7qL2 3b L 2L M 2 2 2 L b 2 L 2 Pab 2 8 qL 2h 3EI t L 3EI L2 3EI L Tabela 02b Barra engastadaarticulada 23 65 Observações sobre os coeficientes Os coeficientes fundamentais são os fatores de forma G G e F e as reações fictícias A e B Todos os outros coeficientes propagação rigidez ao giro fatores de carga E e D e os momentos de engastamento perfeito MAB e MBA podem ser expressos em função dos cinco coeficientes fundamentais No caso das barras prismáticas EI constante as expressões são simplificadas e é usual tabelarse diretamente os fatores de carga TABELA 01 e os momentos de engastamento perfeito MEP TABELAS 02 para os casos usuais de carregamento incluindo deslocamentos impostos nos apoios e variação de temperatura Para as barras retas não prismáticas isto é com seção variável ao longo do seu comprimento podese determinar os coeficientes fundamentais calculandose as integrais numericamente usando a regra do trapézio ou preferencialmente a regra de Simpson Barras com variação aleatória da seção não são encontradas na prática As barras retas não prismáticas eventualmente usadas são as que apresentam as seguintes variações 1 Mísulas ou Voutes a base da seção transversal se mantém constante e a altura varia segundo uma reta ou uma parábola Mísula reta simétrica Mísula reta de um lado só Mísula parabólica simétrica Mísula parabólica de um lado só Figura 68 Variação de seção transversal em mísula ou voute 2 Variação linear de inércia neste caso a base da seção transversal é variável linearmente e a altura se mantém constante plantas Figura 69 Variação linear de inércia plantas Para estes casos existem programas simples que fornecem os coeficientes em geral calculados através de integrais numéricas usando a fórmula de Simpson dividindo a barra em um número suficiente de intervalos de modo a privilegiar a precisão Assim o número de intervalos deve dividir o trecho variável em pelo menos 10 ou 12 partes implicando em geral mais ou menos 60 divisões para a barra toda O autor adotou em seus programas 100 divisões 24 7 O Processo de Cross 71 Introdução O processo de Cross muito difundido e usado nos cálculos manuais se baseia fundamentalmente nos coeficientes relativos à barra à carga e às condições de extremidade Como a análise é feita verificando o equilíbrio dos nós todo o procedimento usa a convenção de Grinter para momentos fletores nas vizinhanças dos nós conforme foi estabelecida no item 64 A título de reforço convém recordar que nas extremidades das barras os momentos são positivos se têm o sentido antihorário Obtidos os momentos nas vizinhanças dos nós na convenção de Grinter devese passálos para a convenção usual para traçar os diagramas de momentos fletores 72 Coeficiente de distribuição Sejam n barras concorrentes em um nó B submetido a um momento externo Mext e cujos deslocamentos translação são impedidos desprezase as deformações axiais das barras conforme figura 71 1 2 3 n B 1 2 3 n Mext Mext M1 M2 M3 Mn Equilíbrio do nó B Mext Mi 0 Mext Mi ou Figura 71 Coeficiente de distribuição No cálculo em teoria de primeira ordem os ângulos i são iguais 1 2 i n Como i i i i i i M se tem M propriedade das proporções M M M M daí M e i i n n i i 2 2 1 1 Isto é i i i i i i i i M ou M M M Chamando i i i de coeficiente de distribuição e lembrando que ext i M M ext i i M M 71 25 Esta última expressão mostra que um momento externo aplicado em um nó no qual concorrem mais de uma barra é distribuído entre as barras i concorrentes proporcionalmente aos respectivos coeficientes de distribuição i 73 Roteiro para determinação dos momentos fletores sobre os apoios pelo Processo de Cross Neste roteiro válido também para pórticos indeslocáveis isto é cujas translações dos nós são impedidas os momentos são considerados sempre na convenção de Grinter 1 Todo nó intermediário é suposto bloqueado por uma ação externa qualquer isto é são impedidas de início quaisquer rotações dos nós intermediários que passam a se comportar como engastamentos perfeitos Os nós externos são deixados na situação em que se encontram articulados ou engastados 2 Carregase a estrutura com a carga dada e determinamse os momentos de engastamento perfeito que as barras aplicam aos nós assim bloqueados 3 Para cada nó intermediário J calculamse os coeficientes de propagação e de rigidez das barras que nele concorrem Neste cálculo o nó J é suposto articulado e o nó oposto de cada barra que concorre em J é mantido na situação deixada quando do bloqueio proposto acima 4 Para cada nó intermediário J calculamse os coeficientes de distribuição i i i das várias barras i que nele concorrem 5 Soltase um nó intermediário qualquer supondo retirada a ação externa que impede a sua rotação Os restantes continuam bloqueados Caso os momentos aplicados no nó intermediário que foi solto se equilibrarem não haverá rotação desse nó caso contrário haverá um momento não equilibrado M tudo se passando como se o conjunto de barras concorrentes em J fossem solicitadas externamente por um momento M Nessa situação cada barra i concorrente no nó aplicará um momento Mi i M Calculados os Mi é necessário transmitilos aos nós opostos Isto é feito através dos coeficientes de propagação ou transmissão O procedimento descrito neste item recebe o nome de compensação e propagação do nó liberado 6 Terminada a compensação de um nó ele é novamente bloqueado na posição girada em que se encontra Passase então a liberar outro nó intermediário repetindo para ele as operações descritas no item anterior compensação e propagação Para esse nó intermediário considerado ao liberarmos a sua rotação no cálculo do momento não equilibrado M além dos momentos de engastamento perfeito das barras nele concorrentes devem ser computados os eventuais momentos transmitidos pela compensação dos nós vizinhos O processo estará terminado quando todos os nós intermediários que não eram perfeitamente engastados na estrutura real possam ser simultaneamente liberados sem que apareçam momentos não equilibrados 7 A soma dos momentos parciais que cada extremidade de barra aplica ao mesmo nó fornece o momento que na estrutura real essa barra aplica ao nó As várias operações do processo podem ser feitas sobre um esquema da própria estrutura semelhante à montagem de uma planilha de cálculo Três regras adicionais facilitam e padronizam o trabalho numérico a Terminada a compensação de um nó é conveniente passar um traço sobre os valores de Mi Caso seja necessário liberar o mesmo nó em outras etapas o traço indicará que todos os momentos escritos acima dele já estão equilibrados sendo desnecessário computálos no cálculo dos novos M 26 b A ordem de liberação não altera os resultados Nos casos de estruturas com muitos nós intermediários é aconselhável iniciar pelo nó de maior momento não equilibrado e proceder a liberação salteada c É conveniente evitar o cálculo com decimais Para isso multiplicase de início os momentos de engastamento perfeito por uma potência inteira de 10 desprezandose nos cálculos a parte decimal Naturalmente após completado o processo para evitar confusão multiplicamse os resultados finais das somas dos momentos parciais pela mesma potência inteira de 10 usada para iniciar as compensações e transmissões 74 Exemplo número 71 Determinar os diagramas de M e Q da viga da figura 72 de EI constante Solução a Momentos de engastamento perfeito conforme TABELAS 02 267 tcm 267 tm 8 p M M 2 21 12 609 tcm 609 tm Pab 12 p M 2 2 2 23 705tcm 705tm b Pa 12 p M 2 2 2 32 400 tcm 400 tm 8 p M 2 34 b Cálculo dos coeficientes e para os nós intermediários Nó 2 21 05 e 23 05 EI 18 e daí EI 8 0 EI 4 e EI 1 EI 4 23 23 21 21 0444 8 1 08 0556 18 1 23 23 21 21 Nó 3 32 05 e 34 00 EI 155 e daí EI 75 0 EI 3 e EI 8 0 EI 4 34 34 32 32 0484 55 1 075 0516 55 1 08 34 34 23 23 Observar que i 100 para qualquer nó intermediário pois deve ser distribuído 100 do momento não equilibrado 27 4m 3m 2m 4m 4t 2tm a Viga contínua e dados EI EI b Compensação dos momentos em tcm EI 1 2 3 4 0444 05 0556 05 05 0516 0484 00 267 705 0 267 609 95 190 152 76 400 98 197 184 0 44 54 27 22 11 11 0 6 3 3 2 1 0 1 0 143 143 0 0 0 514 514 595 595 514 595 Grinter usual c Esforços na viga t e tm e diagramas finais 143 514 595 8 10 4 8 307 493 644 549 756 251 307 493 644 756 549 251 044 356 400 225 100 400 595 514 518 143 V t tm M Figura 72 Exemplo número 1 28 c Compensação dos momentos No esquema mostrado na figura 72 b foram colocados os valores obtidos em a e b As setas mostram os momentos propagados Mi após a liberação do nó A compensação foi efetuada em tcm desprezandose as frações Primeiramente foi liberado o nó 2 no qual surge o momento não equilibrado M 267 609 342 Este momento não equilibrado provoca um giro no nó 2 no caso de M positivo no sentido horário Com esse giro as barras 21 e 23 supostas engastadas em 1 e 3 reagem aplicando em 2 os momentos 0556 x 342 190 e 0445 x 342 152 respectivamente à esquerda e direita do nó 2 ambos com sinal contrário à M para equilibrálo Esses momentos distribuídos são propagados para as extremidades opostas das barras 21 e 23 através dos coeficientes ou seja a liberação do nó 2 transmite os momentos 05 x 190 95 para o nó 1 e 05 x 152 76 para o nó 3 Completada esta compensação colocase um traço em 2 sendo o nó novamente bloqueado na posição girada em que se encontra Liberase então o no 3 cujo momento não equilibrado vale 705 400 76 381 Repetindo as operações de distribuição no nó e propagação para os nós vizinhos encontramos os valores 197 e 184 distribuição 98 e zero propagação Novamente bloqueado o nó 3 retornase a liberação do nó 2 onde o novo momento não equilibrado é apenas 98 uma vez que acima do traço os momentos já estão em equilíbrio O processo continua até não mais haver momentos inteiros a transmitir No esquema da figura 72b os traços duplos indicam que o processo terminou A soma de todos os momentos parciais fornece os momentos finais na convenção de Grinter que passados para a convenção usual permitem determinar as ações dos nós sobre as barras conforme figura 72c Em todo o processo os momentos foram calculados em inteiros aproximados desprezandose as frações No diagrama de momento fletor também estão indicados os momentos extremos e as seções onde ocorrem calculados rapidamente através do diagrama de forças cortantes 75 Vigas contínuas com balanço Como no caso da solução pela Equação dos Três Momentos os balanços devem ser substituídos pelos seus efeitos que serão considerados como cargas nas extremidades das respectivas barras adjacentes Para exemplificar consideremos a viga da figura 73a de El constante Na figura b os balanços já foram substituídos pelos seus efeitos os quais estão indicados com seus sentidos corretos As forças verticais 32 t e 16 t são absorvidas diretamente nos apoios 1 e 3 não introduzindo esforços na viga apenas afetando as reações em 1 e 3 Os momentos 18 tm e 08 tm convenção de Grinter vão influir no cálculo dos momentos M12 e M23 respectivamente pois foram considerados como parcela do carregamento Tais influências podem ser determinadas sem consultas a quaisquer tabelas através dos coeficientes 12 e 32 ambos iguais a 05 no caso presente Assim obtémse 29 4m 5m 1m 16tm a Viga contínua e dados EI EI c Compensação dos momentos em tcm 1 2 3 0444 00 0556 00 230 80 180 460 0 128 102 0 80 358 358 358 80 Grinter usual 15m b Substituição do balanço pelos seus efeitos EI 4m 2 16tm EI 5m 3 24t 16t 18tm 08tm 180 180 180 80 80 180 Figura 73 Exemplo número 2 Viga com balanços 230 tcm 23 tm 18 05 8 4 16 M 2 21 460 tcm 46 tm 08 05 8 5 16 M 2 23 Adotando EI1 135 060 5 3 e 075 4 3 23 21 1000 ok 0444 35 1 060 e 0556 35 1 075 dai 23 21 A compensação está apresentada na fig c Apenas o nó 2 é considerado intermediário e portanto o único a ser liberado Também foram indicados os momentos nos balanços a fim de não serem esquecidos nos cálculos seguintes 30 76 Exemplo 73 7m 3m 6m 5m 3t 24tm a Viga contínua e dados 12EI 12EI c Compensação dos momentos em tcm EI 1 2 4 5 0461 0539 0429 0571 1470 1716 270 316 245 82 132 113 10 32 17 15 4 2 589 1530 1530 Grinter d Ações dos nós sobre as barras e diagramas finais t e tm 680 1530 1379 168 30 120 961 1241 863 1179 653 1m 2m 3m 3 12EI 2t 1t 2tm b Coeficientes de rigidez 6667 5 5 0514 06 1114 06 08 14 16 08 08 05 05 200 680 340 2 0 680 680 0 0 0 0 680 2 1379 9 66 158 1707 1379 11 84 1 2 11 2 81 651 5 720 489 63 9 1 323 42 523 1 3 6 21 720 162 325 10 0 3 21 163 10 500 1 5 500 0 0 577 547 48 10 580 719 20 192 144 323 523 589 120 680 1530 1379 523 323 589 1470 1078 270 270 1080 750 580 719 961 1241 1179 863 577 547 653 761 561 159 459 300 397 1128 234 360 228 173 300 LEI 5833 M tm t V 10 472 120 Figura 74 Exemplo número 3 31 A figura 74 a mostra a viga e seu carregamento Como os valores dos coeficientes de transmissão ou propagação são muito simples zero ou meio foram omitidos na planilha Os coeficientes de rigidez estão calculados e indicados em um esquema na própria viga conforme figura 74 b Como o procedimento já foi descrito apresentaremos apenas a planilha de cálculo O momento externo de 20 tm aplicado em 4 não deve ser considerado no calculo dos momentos de engastamento perfeito pois estando o nó 4 inicialmente bloqueado ele é absorvido no engastamento não causando efeitos sobre as barras adjacentes Entretanto ao liberar o nó 4 esse momento externo deve ser computado no cálculo do momento não equilibrado em 4 Notar que no cálculo dos momento de engastamento perfeito o balanço foi tratado separadamente do resto do carregamento superposição de efeitos raciocínio que naturalmente conduz ao mesmo resultado do procedimento descrito no item anterior 8 Engastamento elástico A figura 81 a mostra um engastamento elástico com constante de mola k dimensão FL Este engastamento pode ser substituído por uma barra prismática BA que transmita ao nó B uma rigidez ao giro igual a rigidez ao giro do engastamento elástico conforme ilustra a figura 81 b Como o coeficiente de rigidez ao giro é numericamente igual ao momento que deve ser aplicado para produzir um giro unitário temos igualandose as rigidezes da mola e da barra prismática substitutiva k 3EI L ou 3EI k 81 Isto é basta substituir o engastamento elástico por uma barra fictícia com a extremidade oposta articulada com o comprimento calculado pela expressão 81 k B C a B b C A L B k 1 3EIL 1 c d Figura 81 Engastamento elástico 81 Exemplo número 81 Resolver a viga da figura 82 sabendose que EI 6000 tm2 e k 10000 tmrad A solução está apresentada na própria figura 32 Traçar digramas de M e Q dados EI6000 tm e K10000 tmrad 2 k EI EI 4tm 4t 6m 6m 2m 1800 1800 851 1388 800 11105 12895 1298 1102 400 L 3EIk mola 6m 6m 18m 4tm 4t 8tm 0714 0286 0571 0429 800 800 1200 172 16 1 1 1200 343 8 2 0 1800 400 12 857 6 851 851 1388 1388 800 800 Bal MEP 0 0 800 1388 851 4t 24 24 M tm V t Figura 82 Exemplo com engastamento elástico 33 9 recalques de apoio e variação de temperatura Os eventuais recalques translações em qualquer apoio e rotações nos engastamentos assim como variações de temperatura não uniforme produzem momentos de engastamentos perfeitos cujos valores estão contemplados nas tabelas tornando portanto a solução absolutamente normal Os recalques e variações de temperatura não uniforme são ações que atuam na estrutura como as cargas e portanto devem ser tratados igualmente Convém notar que no caso de vigas a variação uniforme de temperatura apenas produz dilatação térmica ao longo do eixo não produzindo elástica motivo pelo qual não gera momentos apenas forças normais caso exista mais de um apoio fixo ou engastamento caso contrário ou seja se apenas um apoio impede a translação ao longo do eixo a viga submetida a uma variação uniforme de temperatura apresentará mudança em seu comprimento sem geração de tensões normais pois os apoios móveis se acomodam a nova posição A figura 91 mostra um exercício proposto que apresenta os casos de variação de temperatura não uniforme e recalques translação de um apoio e rotação no engastamento Por ser bastante simples a solução foi omitida deixandoa para o leitor e apresentando apenas os resultados obtidos para os momentos fletores nos três casos Seja a VC da figura de seção tranversal 30cm X 50cm E200tcm e 10 C 5 2 05 m 5m 5m 2m Tracar diagramas de momento fletor para os casos a aumento de temperatura t 50C na parte superior b recalque rotação no sentido antihorário no apoio A 000175 radianos 01 c recalque translação vertical no apoio B r 1cm para baixo A B 1072 188 803 536 750 1286 caso a caso b caso c A B C D M tm Figura 91 Exemplo proposto Variação de temperatura e recalques 34 10 Simplificações de simetria Caso a viga apresente simetria é possível tirar vantagem deste fato resolvendo apenas metade da viga desde que se introduza no eixo de simetria vínculos convenientes Qualquer carregamento genérico atuando em uma estrutura simétrica pode ser decomposto na soma de um carregamento simétrico mais um carregamento antimétrico como ilustra a figura 101 q F P M q2 F P2 q2 P2 q2 P2 q2 P2 M genérico simétrico antimétrico Figura 101 Decomposição de carga A seguir serão tratados os casos possíveis de simetria em vigas contínuas 101 Eixo de simetria sobre um apoio a Carregamento simétrico Como pode ser notado na figura 102 a o apoio 3 devido a simetria do carregamento tem deslocamento rotação nulo Como sua translação está impedida pela presença do apoio ele se comporta como um engastamento Assim a viga deve ser substituída pela viga metade apresentada à direita de solução evidentemente mais simples b Carregamento antimétrico Neste caso conforme figura 102 b 0 apoio 3 tem deslocamento rotação diferente de zero e o momento fletor no eixo de simetria deve ser nulo pois tratase de esforço simétrico ou seja o apoio 3 deve ser articulado como mostra a figura à direita Convém observar que o momento fletor e a força normal assim como as forças concentradas e uniformemente distribuídas têm características de esforços simétricos enquanto a força cortante e os momentos puros aplicados têm características de esforço antimétrico Assim caso uma estrutura simétrica esteja submetida a um carregamento simétrico os diagramas de momento fletor e força normal serão simétricos e o digrama 35 de força cortante será antimétrico Mutatis mutandis caso o carregamento seja antimétrico os diagramas de momento fletor e força normal serão antimétricos e o diagrama de força cortante será antimétrico M P q P M q P F P M q M M P F2 q 1 2 3 M P q B B2 1 2 3 1 2 3 4 5 2 3 4 5 a Carregamento simétrico Resolver b Carregamento antimétrico Resolver 1 Figura 102 Eixo de simetria sobre um apoio 102 Eixo de simetria divide ao meio o vão central M b Carregamento antimétrico M 2 B 3 M 4 a Carregamento simétrico P q 2 q P 3 M 4 Resolver M 2 B2 S Resolver P 1 M 2 S P F q P F2 q S S Figura 103 Eixo de simetria no meio do vão central a Carregamento simétrico Neste caso conforme ilustra a figura 103 a a seção que contém o eixo de simetria apresenta deslocamento vertical mas sua rotação é nula ou seja o vínculo que deve ser introduzido no eixo de simetria é um engastamento móvel com indica a figura à direita 36 b Carregamento antimétrico A seção central não pode ter deslocamento vertical pois este tem características de deslocamento simétrico mas apresenta giro que tem característica de deslocamento antimétrico Assim a viga deve ser reduzida conforme mostra a figura 103 b à direita 103 Engastamento móvel Como no caso de vigas com eixo de simetria no meio do vão central com carregamento simétrico apareceu o engastamento móvel há necessidade de determinar o momento de engastamento perfeito e o coeficiente de rigidez ao giro de uma barra com esta vinculação pois são valores necessários para a solução pelo Processo de Cross A figura 104 a mostra que o momento de engastamento perfeito da barra metade com engastamento móvel é idêntico ao da barra dupla primitiva A B C MAB MBA M AB a Momento de engastamento perfeito A C MAB 1 1 b Coeficiente de rigidez F G G F L 1 L2 C Barra simétrica G G G F G 1 F 1 ou Caso EIcte 2EI L Figura 104 MEP e rigidez ao giro de barra com engastamento móvel A dedução do coeficiente de rigidez ao giro da barra metade pode ser deduzido a a partir de uma superposição de efeitos na barra dupla conforme ilustra a figura 104 b resultando Barra com EI variável G F 1 101 Barra com EI constante barradupla L 2EI 102 37 104 Exemplo A figura 105 resolve pelo Processo de Cross a mesma viga simétrica resolvida pela equação dos três momentos em 59 exemplo 53 2m 2m 6m 6m 4m 6m 3t d Diagramas de M e V 2EI EI 2EI c Ação dos nós sobre as barras t e m 362 107 6 3 6 340 214 560 186 300 R 340t 0 R 774t 1 R 486t 2 Adotando EI1 33 44 e 24 M tm 3t 1tm 4m EI 15EI 2tm 2tm 307 107 307 4 560 362 307 200 107 450 200 050 340 360 060 560 214 186 300 Mmax578 340m A B C D E F BA BC CD 12 12 23 13 783 325 783 325 177 88 14 7 1 1 362 362 89 7 3 307 107 15 1 44 133 163 300 177 200 353 29 2 0 200 307 362 560 Mmax578 200 050 107 300 214 340 060 360 560 186 b Compensação em tcm V t 340m 186m 133 214m 133 Mextr Mextr Figura 105 Solução pelo Processo de Cross de viga simétrica 38 11 Exercícios propostos 2m 4m 25m 15m 2m 4m 05 200 078 028 05 289 447 469 473 397 028 20 024 058 318m 228 10 30 228 172 428 178 322 122 522 318 082 028 15t 2t 1t 400 15EI 2t 2m 6m 15tm 10tm 3t 3m 4m 11EI 2tm 15tm 3m 4m 12EI 200 381 369 493 400 512 275m 300m 109 562 193 107 507 400 517 113 200 712 512 100 50 113 238 300 272 067m 561 3grau 2grau 140 1tm 10tm c b 124 16 063 173 147 054 046 073 035 011 216 4m 2m 1m 3m 1m 4m 2m 08tm 058 011 0525 255m 095 065 062 08 2m 030 100 100 054 066 007 006 3m 1t 1m 12tm 08tm EI cte 3grau 2grau a EI EI EI M tm Q t M tm Q t M tm Q t 39 Anexo 01 Linhas de Influência de vigas contínuas Não obstante o procedimento desenvolvido neste anexo esteja baseado no estudo de vigas contínuas ele é válido para qualquer estrutura hiperestática Será mostrada uma técnica cinemática baseada no Teorema de MüllerBreslau para a determinação da aparência ou forma das linhas de influência O cálculo dos valores das ordenadas obtidas com a aplicação do teorema não serão determinadas neste trabalho Um programa de autoria do autor determina as LI de vigas contínuas dividindo os tramos da viga em trechos cuja quantidade é definida pelo usuário em função da precisão desejada Apresenta além das ordenadas nos pontos de divisão as elásticas Este programa como todos os de autoria do autor são fornecidos aos alunos podendo ser livremente copiados pelos interessados A11 Teorema de MüllerBreslau As ordenadas da linha de influência para qualquer esforço solicitante ou reação de apoio em qualquer estrutura são idênticas às ordenadas da elástica obtida pela remoção do vínculo correspondente ao esforço procurado e aplicação de um deslocamento unitário contrário à incógnita convencionada positiva Demonstração Seja a viga da figura A1 a para a qual desejase determinar a LI de RB Suponhase a estrutura sem o apoio B submetida aos carregamentos 0 e 1 conforme figura A1 b Carregamento 0 viga com o carregamento real P 1 móvel e RB suposta positiva como carga Neste caso os deslocamentos são idênticos ao do problema real Carregamento 1 viga submetida a uma força contrária à RB variando até que o deslocamento correspondente a RB mas no sentido contrário seja unitário P1 móvel R B A B C D A B C D RB 1 P1 v F elástica v Carregamento 0 Carregamento 1 A B C D a b Figura A11 Demonstração do Teorema de MüllerBreslau 40 A esta estrutura submetida aos dois carregamentos aplicase o teorema de BETTI Os esforços externos do carregamento 0 multiplicados pelos deslocamentos correspondentes do carregamento 1 realizam o mesmo trabalho que os esforços externos do carregamento 1 multiplicados pelos deslocamentos correspondentes do carregamento 0 Ou seja P v RB 1 F zero Como P 1 RB v Isto é as ordenadas da LI são idênticas às ordenadas da elástica v É conveniente notar que a elástica é sempre compatível com as ligações remanescentes do sistema e a LI será positiva quando a forma deslocada for no sentido do carregamento carga unitária móvel pois neste caso o trabalho Pv é positivo A12 Exemplo A aplicação deste teorema torna bastante simples a determinação da aparência e do sinal das LI de estruturas hiperestáticas A figura A2 ilustra a aplicação deste teorema em uma viga contínua Os esforços para os quais a forma da LI foi determinada está indicado à direita da respectiva LI 41 reta 1 LI de M A B C D S tg reta 1 tg reta 1 reta tg 1 reta tg tg LI de V 1 tg LI de V tg LI de R V 1 1 reta reta reta tg 1 1 a a reta A B C D A LI de MB LI de MC LI de VS LI de MS 1 Bdir Cesq LI de VDesq LI de MD LI de VDdir A A Figura A12 Aplicação do Teorema de MüllerBreslau