Lista 4 Método da Rigidez Direta com Resposta-2021 2

MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II Método da Rigidez Direta UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ – CURSO DE ENGENHARIA CIVIL TC – 036: MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II - LISTA DE EXERCÍCIOS 4 2 LISTA DE EXERCÍCIOS 4 – MÉTODO DA RIGIDEZ DIRETA Ex. 4.1: Monte as matrizes de esforços, de deslocamentos e de rigidez global ordenadas para as estruturas a seguir. a) Observe que o trecho AB tem o momento de inércia da seção J e o restante da viga 2J, havendo uma variação brusca da seção no ponto B (Figura 1). (Obs.: considerar um nó em B) Figura 1 b) O 1º tramo sofre uma variação brusca do momento de inércia de J para 4J (Figura 2). Figura 2 Ex. 4.2: Para a viga da Figura 3, obter a Matriz de Rigidez Global e a Matriz dos Esforços Ordenadas. Figura 3 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ – CURSO DE ENGENHARIA CIVIL TC – 036: MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II - LISTA DE EXERCÍCIOS 4 3 Ex. 4.3: Para a viga da Figura 4, obter os valores dos momentos fletores nos pontos A e B utilizando apenas os dados fornecidos: a matriz de rigidez da barra AB e os deslocamentos das suas extremidades. AB 240 720 - 240 720 720 2880 - 720 1440 RB = - 240 - 720 240 - 720 720 1440 - 720 2880             AB 0 0 D = 0 - 1 1680 rad               Figura 4 Ex. 4.4: Para uma das vigas da plataforma de uma estação tubo (Figura 5), considerando que a carga de usuários próxima à porta de embarque é 3/2 do restante da plataforma, e que os tramos da viga têm rigidez à flexão constante, pedem-se: a) Discretizar a estrutura (numerando elementos, nós e graus de liberdade), colocando- se nós nos pontos de mudança de seção, lei de carregamento e nos apoios (considerar barras inextensíveis); b) A matriz de rigidez local no sistema local para o terceiro elemento da estrutura discretizada; c) Obter o vetor das cargas nodais (esforços) generalizadas no sistema global. Reordenar o vetor para particionamento da equação de equilíbrio, colocando-se os graus de liberdade fixos ao final do vetor; d) Obter o vetor dos deslocamentos generalizados no sistema global, ordenado conforme o vetor do item (c). Figura 5 Ex. 4.5: Para a viga da Figura 6, pede-se: a) Discretizar a estrutura (numerando elementos, nós e graus de liberdade), colocando- se nós nos pontos de mudança de seção, lei de carregamento e nos apoios (considerar barras inextensíveis); UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ – CURSO DE ENGENHARIA CIVIL TC – 036: MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II - LISTA DE EXERCÍCIOS 4 4 b) O vetor local de forças nodais generalizadas no sistema local para o primeiro elemento; c) A matriz de rigidez local no sistema global para o segundo elemento; d) Os elementos K32,K33 ,K34e K38 da matriz de rigidez global; e) Considerando que há um recalque vertical no apoio A para cima de 1 cm obter o vetor dos deslocamentos no sistema global; Figura 6 Ex. 4.6: Considere a viga da Figura 7, com módulo de elasticidade constante em todo o comprimento e dois apoios do segundo gênero à esquerda e um engaste à direita. Para os carregamentos indicados, pede-se: a) Discretizar a estrutura (numerando elementos, nós e graus de liberdade), colocando- se nós nos pontos de mudança de seção, lei de carregamento e nos apoios (considerar barras inextensíveis); b) Obter o vetor das cargas nodais (esforços) generalizadas no sistema global. Reordenar o vetor para particionamento da equação de equilíbrio, colocando-se os graus de liberdade fixos ao final do vetor; c) Obter o vetor dos deslocamentos generalizados no sistema global, ordenado conforme o vetor do item b. Figura 7 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ – CURSO DE ENGENHARIA CIVIL TC – 036: MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II - LISTA DE EXERCÍCIOS 4 5 Ex. 4.7: (Instituto Militar de Engenharia) Uma viga contínua de um estádio foi modelada conforme a Figura 8. Pede-se o diagrama de momentos fletores para o caso de carregamento apresentado. Figura 8 Ex. 4.8: Discretize a viga da Figura 9 e determine o vetor dos esforços considerando que a rigidez à flexão EI é constante. Figura 9 Ex. 4.9: Para a viga da Figura 9, encontre a Matriz de Rigidez Ordenada utilizando o vetor dos esforços já determinado. Ex. 4.10: Para a viga da Figura 9, calcule o valor de todas as deslocabilidades existentes e determine o valor das reações nos apoios utilizando o Método da Rigidez Direta. Ex. 4.11: Para a viga contínua de uma estrutura de edifício mostrada na Figura 10, determine a Matriz de Rigidez Global ordenada e o vetor dos esforços ordenado. Considere o carregamento mecânico proveniente da análise estrutural das lajes e que há uma mudança na rigidez da estrutura a uma distância L do apoio da esquerda (ponto B). Figura 10 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ – CURSO DE ENGENHARIA CIVIL TC – 036: MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II - LISTA DE EXERCÍCIOS 4 6 Ex. 4.12: Determine a matriz de esforços da viga abaixo para essa condição de contorno dos apoios: Rigidez EI. Figura 11 Ex. 4.13: Determine a matriz de esforços da viga abaixo para essa condição de contorno dos apoios: Rigidez EI. Figura 12 Ex. 4.14: Interprete a mudança destes valores, e explique o motivo da matriz de rigidez permanecer a mesma em ambos os casos. UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ – CURSO DE ENGENHARIA CIVIL TC – 036: MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II - LISTA DE EXERCÍCIOS 4 7 RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS Ex. 4.1: a) Matriz de Rigidez Global Ordenada Matriz de Deslocamentos ordenada Matriz de Esforços Ordenada b) Matriz de Rigidez Global Ordenada Vetor de Deslocamentos Ordenado Vetor de Esforços Ordenado Ex. 4.2: Matriz de Rigidez Global Ordenada Vetores de Esforços e Deslocamentos Ordenados Ex. 4.3: UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ – CURSO DE ENGENHARIA CIVIL TC – 036: MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II - LISTA DE EXERCÍCIOS 4 9 Ex. 4.4: b) c) d) Ex. 4.5: b) c) d)                         = 0 0 /100 1 6 5 4 3 2 D D D D D D UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ – CURSO DE ENGENHARIA CIVIL TC – 036: MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II - LISTA DE EXERCÍCIOS 4 10 Ex. 4.6: b) c) Ex. 4.7: UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ – CURSO DE ENGENHARIA CIVIL TC – 036: MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II - LISTA DE EXERCÍCIOS 4 11 Ex. 4.8: [𝐸] = [ −𝑃 − 𝑃𝐿 4 −𝑃 − 𝑃 2 + 𝑅𝑏 2𝑃𝐿 8 − 𝑃𝐿 8 − 𝑃𝐿 − 𝑃 2 + 𝑅𝑐 𝑃𝐿 8 + 𝑀𝑐 ∗ ] Ex. 4.9: Matriz de Rigidez Global Ordenada Ex. 4.10: Deslocabilidades: D1 = − 17PL3 96EI D2 = 7PL² 32EI D4 = − PL2 32EI Reações de Apoio: RB = 37P 16 RC = 11P 16 MC = − 3PL 16 12 6L 6L -12 0 0 6L 4L² 2L² -6 0 0 K = EI/L³ 6L 2L² 8L² 0 -6L 2L² -12 -6L 0 24 -12 -6L 0 0 -6L -12 12 -6L 0 0 2L² 6L -6L 4L² UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ – CURSO DE ENGENHARIA CIVIL TC – 036: MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II - LISTA DE EXERCÍCIOS 4 12 Ex. 4.11: Ex. 4.12: − 𝑞𝑙 2 + 𝑅𝑎 𝑞𝑙2 12 − 𝑞𝑙 2 + 𝑅𝑏 − 𝑞𝑙2 12 Ex. 4.13: − 𝑞𝑙 2 + 𝑅𝑎 𝑞𝑙2 12 + 𝑅𝑏 − 𝑞𝑙 2 − 𝑞𝑙2 12 + 𝑅𝑐 Ex. 4.14: O valor da rigidez não se altera pois ele depende unicamente das dimensões do perfil e de suas propriedades mecânicas, o que altera o resultado das disposições dos deslocamentos é apenas a distribuição das condições de contorno (apoios) que alteram a forma com a qual a matriz será reordenada e o sistema será resolvido por blocos. 36 6L 12 -12 -6L -24 0 0 6L 12L² 4L² 6L 2L² -12L 0 0 12L 4L² 12L² 0 0 -9L -3L 2L² K = EI/L³ -12 6L 0 12 6L 0 0 0 -6L 2L² 0 6L 4L² 0 0 0 -24 -12L -9L 0 0 27 -3 3L 0 0 -3L 0 0 -3 3 -3L 0 0 2L² 0 0 3L -3L 4L² -3P PL -PL/12 E = -P+RA -PL/4+MA* -3P+RC -P+RD PL/3+MD* UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ – CURSO DE ENGENHARIA CIVIL TC – 036: MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II - LISTA DE EXERCÍCIOS 4 13 MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II – MÉTODO DA RIGIDEZ DIRETA Material elaborado com base na bibliografia da disciplina TC036 – Mecânica das Estruturas II da UFPR Revisão 2018: BRUNO KOWALCZUK (monitor)