Lista 3 Método dos Deslocamentos com Resposta-2021 2

MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II Método dos Deslocamentos UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ – CURSO DE ENGENHARIA CIVIL TC – 036: MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II - LISTA DE EXERCÍCIOS 3 2 LISTA DE EXERCÍCIOS 3 – MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS Ex. 3.1: Utilizando o Método dos Deslocamentos, determine as reações de apoio e o diagrama de momentos fletores da viga da Figura 1. Todas as barras possuem rigidez EI constante. Figura 1 Ex. 3.2: Obtenha o diagrama de momentos fletores da viga da Figura 2 utilizando o Método dos Deslocamentos. A rigidez da peça à flexão vale 104 kN.m². Figura 2 Ex. 3.3: Para a viga hiperestática de um edifício mostrada na Figura 3, com rigidez EI = 2x105 kN.m² constante em todo o comprimento, utilize o Método dos Deslocamentos, considerando o Sistema Hipergeométrico fornecido, para calcular: a) O valor da deslocabilidade D1; b) O diagrama de momentos fletores da viga. Figura 3 Ex. 3.4: Para o pórtico de uma estrutura de edifício apresentado na Figura 4, utilize o Método dos Deslocamentos, levando em conta as deformações axiais das barras, para obter o diagrama de momentos fletores. Considere EI = 105 kN.m² e EA = 2x105 kN em todas as barras. UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ – CURSO DE ENGENHARIA CIVIL TC – 036: MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II - LISTA DE EXERCÍCIOS 3 3 Figura 4 Ex. 3.5: A estrutura hiperestática (Figura 5) possui todas as barras com rigidez à flexão igual a 2x105 kN.m² e rigidez axial igual a 105 kN. Utilizando o Método dos Deslocamentos, considerando todas as deformações axiais das barras, determine: a) As deslocabilidades do nó B; b) O diagrama de momentos fletores do pórtico. Figura 5 Ex. 3.6: Obtenha o diagrama de momentos fletores dos pórticos hiperestáticos pelo Método dos Deslocamentos e considerando apenas deformações por flexão. O módulo de elasticidade das peças é constante em todas as barras. a) Pórtico com momento de inércia (I) constante em todas as barras (Figura 6); Figura 6 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ – CURSO DE ENGENHARIA CIVIL TC – 036: MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II - LISTA DE EXERCÍCIOS 3 4 b) Pórtico com rigidez à flexão igual a 104 kN.m² (Figura 7). Figura 7 Ex. 3.7: (Adaptado de Soriano e Lima, 2006) Para a estrutura representada na Figura 8, na qual todas as barras têm I = 0,03 m4 e E = 2,1x107 kN/m², determine o diagrama de momentos fletores considerando a atuação simultânea do carregamento mecânico indicado e de um recalque de 2,0 cm para baixo no apoio B. Utilize o Método dos Deslocamentos e considere as barras inextensíveis. Figura 8 Ex. 3.8: A reconstrução da antiga ponte sobre o Rio Danúbio em Bratislava, Eslováquia, empregou um pórtico de apoio sobre uma balsa (Figura 9). Quando apoiada sobre o pórtico a ponte exerce uma carga de 20 kN/m em cada viga superior do pórtico. Considerando o modelo plano para uma das faces do pórtico e que todas as barras são inextensíveis, pedem- se: a) O diagrama de momentos fletores; b) O efeito sobre os momentos internos caso fosse aumentada a rigidez à flexão da barra 5. Esse efeito se manteria caso as barras fossem consideradas inextensíveis? Justifique. UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ – CURSO DE ENGENHARIA CIVIL TC – 036: MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II - LISTA DE EXERCÍCIOS 3 5 Figura 9 Ex. 3.9: (Adaptado de Soriano e Lima, 2006) Determine o diagrama de momentos fletores do pórtico da estrutura da Figura 10, no qual a rigidez à flexão vale 2,9x105 kN.m². Utilizando o Método dos Deslocamentos e considerando as barras inextensíveis, suponha que além do carregamento mecânico indicado, atuem: a) Um recalque de apoio em A de 0,5 cm para baixo; b) Uma rotação de 0,5º do apoio A no sentido anti-horário. Figura 10 Ex. 3.10: Encontre o diagrama de momentos fletores para a viga da Figura 2 considerando que simultaneamente ao carregamento ocorre um recalque de 0,02 m para baixo do apoio extremo direito e a viga está sujeita a uma variação térmica ∆Ts = +20 ºC na face superior e Ti = 0 ºC na face inferior. O coeficiente de dilatação térmica do material é α = 10-5 /ºC e a seção transversal da viga é retangular com 50 cm de altura. Ex. 3.11: Encontre o diagrama de momentos fletores do pórtico da Figura 4 considerando que todas as barras estão sujeitas a uma variação térmica uniforme ∆T = +20 ºC e não atua nenhum outro carregamento. O coeficiente de dilatação térmica do material é α = 10-5 /ºC. Ex. 3.12: Encontre o diagrama de momentos fletores do pórtico da Figura 5 considerando que simultaneamente ao carregamento ocorre um recalque de 0,01 m para baixo do apoio A UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ – CURSO DE ENGENHARIA CIVIL TC – 036: MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II - LISTA DE EXERCÍCIOS 3 6 e a viga BC está sujeita a uma variação térmica ∆Ts = +20 ºC na face superior e ∆Ti = -10 ºC na face inferior. O coeficiente de dilatação térmica do material é α = 10-5 /ºC e a seção transversal da viga é retangular com 60 cm de altura. Ex. 3.13: Para a viga contínua da Figura 11, utilizando o Método dos Deslocamentos, calcule: a) As reações de apoio; b) O diagrama de momentos fletores; c) No caso de uma rotação de 1 grau no sentido anti-horário prescrita no engaste, obter o vetor dos termos de carga devido ao recalque. Haveria mudança na matriz de rigidez no caso deste deslocamento de apoio? Justifique. Figura 11 Ex. 3.14: Utilizando o Método dos Deslocamentos, obter o diagrama de momentos fletores para o quadro da Figura 12, cujas barras são inextensíveis. Todas as barras têm a mesma inércia à flexão EI = 105 kN.m², com exceção das barras verticais da esquerda que são infinitamente rígidas à flexão. Figura 12 Ex. 3.15: Empregando o Método dos Deslocamentos, obter o diagrama de momentos fletores para o quadro da Figura 13, cujas barras podem ser consideradas inextensíveis. Todas as barras possuem a mesma inércia à flexão EI = 1,2x104 kN.m², com exceção da barra vertical inferior na esquerda, a qual é infinitamente rígida à flexão. UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ – CURSO DE ENGENHARIA CIVIL TC – 036: MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II - LISTA DE EXERCÍCIOS 3 7 Figura 13 Ex. 3.16: Muitas estruturas usuais de construção civil fazem uso de vigas hiperestáticas para suporte de cargas. Determine, para a viga contínua da Figura 14, todas as deslocabilidades, considerando que a rigidez da barra é EI = 1,2x104 kN.m² e utilizando o Método dos Deslocamentos. Figura 14 Ex. 3.17: Utilizando os resultados obtidos para a viga contínua do exercício anterior, construa o diagrama de momentos fletores (DMF) para a peça estrutural. Ex. 3.18: Para as estruturas da Figura 15, pedem-se, indicando os vínculos adicionados e numerando as deslocabilidades: a) O grau hisperestático das estruturas I, II e III; b) O número mínimo de deslocabilidades independentes caso todas as barras sejam consideradas extensíveis para as estruturas I e II; c) O número mínimo de deslocabilidades independentes caso todas as barras sejam consideradas inextensíveis para as estruturas I e II; d) O número mínimo de deslocabilidades independentes caso as barras verticais sejam consideradas extensíveis e as horizontais inextensíveis para a estrutura III; e) Alguma das estruturas é externamente indeslocável? UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ – CURSO DE ENGENHARIA CIVIL TC – 036: MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II - LISTA DE EXERCÍCIOS 3 8 (I) (II) (III) Figura 15 Ex. 3.19: A viga contínua de suporte para uma laje de uma edificação de concreto armado convencional é composta por três vãos, conforme indicado na Figura 16. O apoio da esquerda é considerado engastado, existindo dois apoios intermediários do segundo gênero. A viga possui um balanço de 4 metros na extremidade direita. O carregamento proveniente da reação da laje apoiada sobre a viga resulta em uma carga distribuída de 12 kN/m. Para o projeto desta estrutura, determine: a) O diagrama de momentos fletores da viga contínua considerando apenas o carregamento mecânico proveniente da laje e uma carga acidental momento de 5 kN.m aplicada na extremidade do balanço; b) As reações de apoio da viga considerando os carregamentos do item anterior com os efeitos de um aquecimento das fibras inferiores em 10 ºC nos vãos com 3 metros de comprimento (não há aquecimento no balanço); c) Qual o efeito da variação de temperatura nessa estrutura hiperestática? Dados: O módulo de elasticidade do concreto armado dessa edificação vale 25 GPa, o coeficiente de dilatação térmica do material vale α = 10 -5/ºC e a seção transversal é de 20x40 cm. Figura 16 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ – CURSO DE ENGENHARIA CIVIL TC – 036: MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II - LISTA DE EXERCÍCIOS 3 9 Ex. 3.20: A viga do esquema abaixo foi executada em concreto armado (E=25000kN/cm²) e possui seção transversal de 20x50cm, disposta da maneira que lhe confere maior rigidez flexional. Utilizando o método dos deslocamentos, calcule o maior valor admissível de um carregamento distribuído “g”, aplicado em toda a estrutura, sabendo-se que a estrutura possui um valor de momento resistente de cálculo igual a 1053kN.m. Figura 17 Ex. 3.21: Avalie a influência da inserção de um apoio extra na metade do vão da viga de concreto armado do exercício anterior e calcule a variação da tensão normal no engaste provocada por desta modificação. Assumindo que mudanças acima da ordem de 50% das tensões normais, conduzam, hipoteticamente, a uma redução significativa do consumo de aço, responda: A inserção do apoio é viável? Figura 18 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ – CURSO DE ENGENHARIA CIVIL TC – 036: MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II - LISTA DE EXERCÍCIOS 3 10 Ex. 3.22: Assumindo-se as mesmas propriedades de seção transversal e de módulo de elasticidade dos dois exercícios anteriores, avalie o que se pede. Determine em termos da rotação do nó de junção das barras, qual das duas configurações apresenta menores valores de rotação? As duas configurações foram executadas em barras axialmente rígidas. Figura 19 Ex. 3.23: Agora, para os dois quadros do exercício anterior, determine o diagrama de momentos fletores e compare qual dos quadros representa uma alternativa mais vantajosa em termos de esforços. UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ – CURSO DE ENGENHARIA CIVIL TC – 036: MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II - LISTA DE EXERCÍCIOS 3 11 RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS Ex. 3.1: Ex. 3.2: Ex. 3.3: a) D1 = 1,5 x 10-5 rad; b) Ex. 3.4: UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ – CURSO DE ENGENHARIA CIVIL TC – 036: MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II - LISTA DE EXERCÍCIOS 3 12 Ex. 3.5: a) Dh = 1,503 x 10-4 m ; Dv = 6,318 x 10-4 m ; D = 6,285 x 10-5 rad  b) Ex. 3.6: a) UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ – CURSO DE ENGENHARIA CIVIL TC – 036: MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II - LISTA DE EXERCÍCIOS 3 13 b) Ex. 3.7: Ex. 3.8: UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ – CURSO DE ENGENHARIA CIVIL TC – 036: MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II - LISTA DE EXERCÍCIOS 3 14 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ – CURSO DE ENGENHARIA CIVIL TC – 036: MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II - LISTA DE EXERCÍCIOS 3 15 Ex. 3.9: a) b) Ex. 3.10: UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ – CURSO DE ENGENHARIA CIVIL TC – 036: MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II - LISTA DE EXERCÍCIOS 3 16 Ex. 3.11: Ex. 3.12: Ex. 3.13: c) r={-EI/360}. UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ – CURSO DE ENGENHARIA CIVIL TC – 036: MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II - LISTA DE EXERCÍCIOS 3 17 Ex. 3.14: Ex. 2.15: Ex. 3.16: D1 = -1,053x10-3 rad; D2 = 2,632x10-4 rad Ex. 3.17: UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ – CURSO DE ENGENHARIA CIVIL TC – 036: MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II - LISTA DE EXERCÍCIOS 3 18 Ex. 3.18: a) 6, 7 e 6; b) 9 e 11; c) 4 e 4; d) 10; e) I. Ex. 3.19: a) b) UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ – CURSO DE ENGENHARIA CIVIL TC – 036: MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II - LISTA DE EXERCÍCIOS 3 19 Ex. 3.20: 234kN/m Ex. 3.21: Redução de 85,7%, portanto, a inserção é viável sim. Ex. 3.22: Configuração I: 0,0108 rad. e configuração II: 0,00864 rad. Ex. 3.23: MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II – MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS Material elaborado com base na bibliografia da disciplina TC036 – Mecânica das Estruturas II da UFPR Revisão 2018: BRUNO COUGO KOWALCZUK(monitor)