Modelagem Matemática: Revisão de Áreas e Volume de Sólidos de Revolução

MODELAGEM MATEMÁTICA Aula 09 Teoria Revisão de áreas e Volume de Sólidos de Revolução Método dos discos Revisão de áreas entre curvas Modelagem Matemática Aula 09 Volume de Sólidos de Revolução Revisão de áreas entre curvas Modelagem Matemática Aula 09 Volume de Sólidos de Revolução Revisão de áreas entre curvas Modelagem Matemática Aula 09 Volume de Sólidos de Revolução Exemplo 1 Revisão de áreas entre curvas Modelagem Matemática Aula 09 Volume de Sólidos de Revolução Revisão de áreas entre curvas Modelagem Matemática Aula 09 Volume de Sólidos de Revolução Exemplo 2 Revisão de áreas entre curvas Modelagem Matemática Aula 09 Volume de Sólidos de Revolução Resolução 2 Á𝑟𝑒𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑜 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑒 𝑉 𝑡 𝑒 𝑎 𝑟𝑒𝑡𝑎 𝑉 0 é 0 𝜋2 6𝑠𝑒𝑛 2𝑡 𝑑𝑡 Resposta 𝑆 6 𝑚 Volume de sólidos de revolução Método dos discos Introdução 9 Dados um plano a uma reta r desse plano e uma região R do plano a inteiramente contida num dos semiplanos de a determinado por r vamos considerar o sólido de revolução gerado pela rotação da região R em torno da reta r a Para isso usaremos ainda seções transversais e tomaremos como eixo orientado o eixo de rotação a reta r Volumes Método dos discos Modelagem Matemática Aula 09 Volume de Sólidos de Revolução Volume de um sólido de revolução obtido pela rotação em torno ao eixo x ou y de um conjunto A Cálculo do volume Seja f uma função contínua num intervalo ab sendo fx 0 para todo x tal que a x b Considere o conjunto A delimitado pelo eixo x o gráfico de f e as retas x1 a e x2 b Seja B o sólido obtido através da rotação do conjunto A em torno do eixo x A x1 a x2b B Volumes Método dos discos Modelagem Matemática Aula 09 Volume de Sólidos de Revolução Volumes Método dos discos Cálculo do volume Considerando uma partição P do intervalo ab P a x0 x1 x2 xn b tal que a x0 x1 x2 xn b seja Modelagem Matemática Aula 09 Volume de Sólidos de Revolução Volumes Método dos discos Cálculo do volume Seja ainda xi xi xi1 o comprimento do intervalo xi1 xi Para cada intervalo xi1 xi escolhemos um ponto qualquer ci Para cada i i 1 n construímos um retângulo Ri de base xi e altura fci Fazendo cada retângulo Ri girar em torno do eixo dos x o sólido de revolução obtido é um cilindro cujo volume é dado por i i base x f c V altura A V 2 Modelagem Matemática Aula 09 Volume de Sólidos de Revolução Volumes Método dos discos Cálculo do volume A soma dos volumes dos n cilindros que representaremos por Vn é dada por n i i i n n n n x f c V x f c x f c x f c V 1 2 2 2 2 2 1 2 1 Modelagem Matemática Aula 09 Volume de Sólidos de Revolução Volumes Método dos discos Cálculo do volume A medida que n cresce muito e cada xi tornase muito pequeno a soma dos volumes dos n cilindros aproximase do que intuitivamente entendemos como o volume do sólido B Definição Seja y fx uma função contínua não negativa em ab Seja R a região sob o gráfico de f de a até b O volume do sólido B gerado pela revolução de R em torno do eixo x é definido por n i i i máx x n x f c V i 1 2 0 lim Modelagem Matemática Aula 09 Volume de Sólidos de Revolução Volumes Método dos discos Cálculo do volume A soma que aparece no slide anterior pode ser substituída pelo símbolo de integral uma vez que a função é contínua no intervalo e o limite existe Logo A x1 a x2b B dx f x V b a n 2 Modelagem Matemática Aula 09 Volume de Sólidos de Revolução Volumes Método dos discos Exercício 1 Se fx x2 determine o volume do sólido gerado pela revolução em torno doeixo x da região sob o gráfico de f no intervalo 1 2 De acordo com a definição Modelagem Matemática Aula 09 Volume de Sólidos de Revolução Volumes Método dos discos Exercício 2 Se fx x2 1 determine o volume do sólido gerado ela revolução em torno doeixo x da região sob o gráfico def no intervalo 1 1 De acordo com a definição 15 56 1 3 2 5 1 1 3 2 5 1 3 2 5 1 1 2 1 1 1 3 5 1 1 2 4 1 1 2 2 x x x dx x x dx x V Modelagem Matemática Aula 09 Volume de Sólidos de Revolução Volumes Método dos discos Quando ao invés de girar ao redor do eixo dos x a região A gira em torno do eixo dos y Neste caso temos dy g y V d c 2 Modelagem Matemática Aula 09 Volume de Sólidos de Revolução Volumes Método dos discos Exercício 1 A partir da figura indicada abaixo determine o volume do sólido de revolução formado pela rotação da região sombreada ao redor do eixo y Resposta 8𝜋 Modelagem Matemática Aula 09 Volume de Sólidos de Revolução Volumes Método dos discos Exercício 2 A partir da figura indicada abaixo determine o volume do sólido de revolução formado pela rotação da região sombreada ao redor do eixo y Resposta 256𝜋 15 Modelagem Matemática Aula 09 Volume de Sólidos de Revolução Volumes Método dos discos Aplicação Modelagem Matemática Aula 09 Volume de Sólidos de Revolução Volumes Método dos discos Exercícios Propostos 1 A partir da figura indicada abaixo determine o volume do sólido de revolução formado pela rotação da região sombreada ao redor do eixo indicado a Em torno do eixo x c Em torno do eixo x b Em torno do eixo y d Em torno do eixo y Modelagem Matemática Aula 09 Volume de Sólidos de Revolução Volumes Método dos discos 2