Transformada de Laplace e Circuito RC - Exercícios Resolvidos

BA108TAN1 Métodos Aplicados à Engenharia Transformada de Laplace e Circuito RC Prof Isaías Goldschmidt Tabela 1 Transformada de Laplace Função do tempo 𝒇𝒕 𝑓𝑡 𝐿1𝐹𝑠 Transformada de Laplace de 𝒇𝒕 𝐹𝑠 𝐿𝑓𝑡 1 1 1 𝑠 2 𝑡 1 𝑠2 3 𝑡𝑛 𝑛 𝑠𝑛1 4 𝑒𝑎𝑡 1 𝑠 𝑎 5 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 𝜔 𝑠2 𝜔2 6 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 𝑠 𝑠2 𝜔2 7 𝑡𝑛𝑔𝑡 1𝑛 𝑑𝑛 𝑑𝑠𝑛 𝐺𝑠 8 𝑡 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 2𝜔𝑠 𝑠2 𝜔22 9 𝑡 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 𝑠2 𝜔2 𝑠2 𝜔22 10 𝑡𝑛𝑒𝑎𝑡 𝑛 𝑠 𝑎𝑛1 11 𝑡𝑒𝑡 1 𝑠 12 12 𝑒𝑎𝑡𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 𝜔 𝑠 𝑎2 𝜔2 13 𝑒𝑎𝑡𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 𝑠 𝑎 𝑠 𝑎2 𝜔2 14 𝑔𝑡 𝑠𝐺𝑠 𝑔0 15 𝑔𝑡 𝑠2 𝐺𝑠 𝑠 𝑔0 𝑔0 16 𝑔𝑡𝑑𝑡 𝑡 0 𝐺𝑠 𝑠 17 𝑔𝑡𝑑𝑡 𝐺𝑠 𝑠 1 𝑠 𝑔𝑡𝑑𝑡 𝑡 0 Tabela 2 Tabela das Propriedades das Transformadas de Laplace 𝒇𝒕 𝑭𝒔 𝒆𝒂𝒕𝒇𝒕𝒅𝒕 𝟎 1 𝑎𝑓𝑡 𝑏𝑔𝑡 𝑎𝐹𝑠 𝑏𝐺𝑠 2 𝑒𝑎𝑡𝑓𝑡 𝐹𝑠 𝑎 3 𝑓𝑡 𝑠𝐹𝑠 𝑓0 4 𝑓𝑡 𝑠2𝐹𝑠 𝑠𝑓0 𝑓0 5 𝑡𝑓𝑡 𝑑 𝑑𝑠 𝐹𝑠 6 𝑡𝑛𝑓𝑡 1𝑛 𝑑𝑛 𝑑𝑠𝑛 𝐹𝑠 Exemplo 1 A partir do circuito RC indicado abaixo e considerando que 𝑅 1 Ω 𝐶 1 3 𝐹 e 𝑉𝑡 13𝑠𝑒𝑛2𝑡 Determine a a equação diferencial ordinária EDO que representa esse circuito b a carga elétrica em um instante t qualquer c a corrente elétrica em um instante t qualquer Resposta a a equação diferencial ordinária EDO que representa esse circuito A partir da 2ª Lei de Kirkchoff ou Lei das Malhas no circuito RC indicado acima obtémse 𝑈𝑓𝑜𝑛𝑡𝑒 𝑈𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑜𝑟 𝑈𝑐𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑡𝑜𝑟 0 𝑈𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑜𝑟 𝑈𝑐𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑡𝑜𝑟 𝑈𝑓𝑜𝑛𝑡𝑒 Sendo 𝑈𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑜𝑟 𝑅 𝑖𝑡 𝑈𝑐𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑡𝑜𝑟 1 𝐶 𝑞𝑡 ou 𝑈𝑐𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑡𝑜𝑟 1 𝐶 𝑖𝑡𝑑𝑡 e 𝑈𝑓𝑜𝑛𝑡𝑒 𝑉𝑡 𝑅 𝑖𝑡 1 𝐶 𝑞𝑡 𝑉𝑡 Substituise 𝑖𝑡 𝑑 𝑑𝑡 𝑞𝑡 𝑅 𝑑 𝑑𝑡 𝑞𝑡 1 𝐶 𝑞𝑡 𝑉𝑡 𝑅 𝑞 1 𝐶 𝑞 𝑉𝑡 Substituindo os valores dados no enunciado do exercício obtémse 1 𝑞 1 1 3 𝑞 13𝑠𝑒𝑛2𝑡 Assim a EDO de 1ª ordem do circuito RC que permite determinar como solução geral e particular a carga elétrica em função do tempo é dada por 𝒒 𝟑𝒒 𝟏𝟑𝒔𝒆𝒏𝟐𝒕 Outra possibilidade é dada por 𝑅 𝑖𝑡 1 𝐶 𝑞𝑡 𝑉𝑡 A corrente elétrica é a derivada da carga elétrica em relação a variável tempo isto é 𝑖𝑡 𝑑 𝑑𝑡 𝑞𝑡 Por outro lado se quiser determinar a carga elétrica a partir da corrente temse que 𝑞𝑡 𝑖𝑡𝑑𝑡 𝑅 𝑖𝑡 1 𝐶 𝑖𝑡𝑑𝑡 𝑉𝑡 Substituindo os valores dados no enunciado do exercício obtémse 1 𝑖𝑡 1 1 3 𝑖𝑡𝑑𝑡 13𝑠𝑒𝑛2𝑡 Assim a EDO de 1ª ordem do circuito RC que permite determinar como solução geral e particular a corrente elétrica em função do tempo é dada por 𝒊𝒕 𝟑 𝒊𝒕𝒅𝒕 𝟏𝟑𝒔𝒆𝒏𝟐𝒕 Optase em um primeiro momento por resolver a EDO de 1ª ordem para determinar a carga elétrica b a carga elétrica em um instante t qualquer 𝒒 𝟑𝒒 𝟏𝟑𝒔𝒆𝒏𝟐𝒕 A carga elétrica é obtida como solução particular da EDO de 1ª ordem apresentada acima usando EDO com fator integrante ou transformada de Laplace Neste exercício optouse por usar transformada de Laplace 𝑞 3𝑞 13𝑠𝑒𝑛2𝑡 𝐿𝑞 3𝑞 𝐿13𝑠𝑒𝑛2𝑡 𝐿𝑞 3 𝐿𝑞 13 𝐿𝑠𝑒𝑛2𝑡 Lembrando que 𝐿𝑞 𝑠 𝑄𝑠 𝑞0 𝐿𝑞 𝑄𝑠 e 𝐿𝑠𝑒𝑛2𝑡 𝜔 𝑠2𝜔2 𝑠 𝑄𝑠 𝑞0 3 𝑄𝑠 13 2 𝑠2 22 Supõese que o capacitor esteja inicialmente descarregado isto é a carga é nula no instante 𝑡 0 Assim a condição inicial é dada por 𝑞0 0 𝑠 𝑄𝑠 0 3 𝑄𝑠 13 2 𝑠2 22 𝑠 3 𝑄𝑠 26 𝑠2 4 𝑄𝑠 26 𝑠2 4𝑠 3 Usase o método de soma de frações parciais 𝑄𝑠 26 𝑠2 4𝑠 3 𝐴𝑠 𝐵 𝑠2 4 𝐶 𝑠 3 Multiplicase ambos os lados por 𝑠2 4 𝑠2 4 26 𝑠2 4𝑠 3 𝑠2 4 𝐴𝑠 𝐵 𝑠2 4 𝑠2 4 𝐶 𝑠 3 26 𝑠 3 𝐴𝑠 𝐵 𝑠2 4 𝐶 𝑠 3 Não tem como substituir 𝑠 por um valor real então não é possível aplicar esta forma de determinar a soma de frações parciais em relação aos valores de A e B Mas é possível determinar o valor de B multiplicandose ambos os lados por 𝑠 3 𝑠 3 26 𝑠2 4𝑠 3 𝑠 3 𝐴𝑠 𝐵 𝑠2 4 𝑠 3 𝐶 𝑠 3 26 𝑠2 4 𝑠 3 𝐴𝑠 𝐵 𝑠2 4 𝐶 Substituise 𝑠 3 26 32 4 3 3 𝐴𝑠 𝐵 32 4 𝐶 26 13 3 3 𝐴𝑠 𝐵 32 4 𝐶 𝐶 2 𝑄𝑠 26 𝑠2 4𝑠 3 𝐴𝑠 𝐵 𝑠2 4 𝐶 𝑠 3 Como 𝐶 2 então 𝑄𝑠 26 𝑠2 4𝑠 3 𝐴𝑠 𝐵 𝑠2 4 2 𝑠 3 26 𝑠2 4𝑠 3 𝐴𝑠 𝐵 𝑠2 4 2 𝑠 3 𝐴𝑠 𝐵𝑠 3 2𝑠2 4 𝑠2 4𝑠 3 26 𝑠2 4𝑠 3 𝐴𝑠2 3𝐴𝑠 𝐵𝑠 3𝐵 2𝑠2 8 𝑠2 4𝑠 3 26 𝑠2 4𝑠 3 𝐴 2𝑠2 3𝐴 𝐵𝑠 3𝐵 8 𝑠2 4𝑠 3 26 𝐴 2𝑠2 3𝐴 𝐵𝑠 3𝐵 8 0 𝑠2 0 𝑠 26 𝐴 2𝑠2 3𝐴 𝐵𝑠 3𝐵 8 𝐴 2 0 1 3𝐴 𝐵 0 2 3𝐵 8 26 3 𝑨 𝟐 1 3𝐴 𝐵 2 3𝐵 8 26 3 Substituindo 1 em 2 obtémse 3𝐴 𝐵 𝐵 3 2 𝑩 𝟔 Assim 𝑄𝑠 26 𝑠2 4𝑠 3 𝐴𝑠 𝐵 𝑠2 4 2 𝑠 3 𝑄𝑠 26 𝑠2 4𝑠 3 2𝑠 6 𝑠2 4 2 𝑠 3 𝑄𝑠 26 𝑠2 4𝑠 3 2𝑠 𝑠2 4 6 𝑠2 4 2 𝑠 3 𝑄𝑠 2 𝑠 𝑠2 22 3 2 𝑠2 22 2 1 𝑠 3 Lembrando que 𝐿cos𝜔𝑡 𝑠 𝑠2𝜔2 𝐿sen𝜔𝑡 𝜔 𝑠2𝜔2 e 𝐿𝑒𝑎𝑡 1 𝑠𝑎 então 𝑞𝑡 𝐿1𝑄𝑠 𝐿1 2 𝑠 𝑠2 22 3 2 𝑠2 22 2 1 𝑠 3 𝑞𝑡 𝐿1𝑄𝑠 𝐿1 2 𝑠 𝑠2 22 𝐿1 3 2 𝑠2 22 𝐿1 2 1 𝑠 3 𝑞𝑡 2 𝐿1 𝑠 𝑠2 22 3 𝐿1 2 𝑠2 22 2 𝐿1 1 𝑠 3 𝒒𝒕 𝟐𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒕 𝟑𝒔𝒆𝒏𝟐𝒕 𝟐𝒆𝟑𝒕 c a corrente elétrica em um instante t qualquer 𝑖𝑡 𝑑 𝑑𝑡 𝑞𝑡 𝑖𝑡 𝑑 𝑑𝑡 𝟐𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒕 𝟑𝒔𝒆𝒏𝟐𝒕 𝟐𝒆𝟑𝒕 𝑖𝑡 2 𝑑 𝑑𝑡 cos 2𝑡 3 𝑑 𝑑𝑡 𝑠𝑒𝑛2𝑡 2 𝑑 𝑑𝑡 𝑒3𝑡 Usase a regra da cadeia para resolver cada uma das derivadas 𝑖𝑡 2 𝑠𝑒𝑛2𝑡 2 3 cos2𝑡 2 2 𝑒3𝑡 3 𝒊𝒕 𝟒𝒔𝒆𝒏𝟐𝒕 𝟔 𝐜𝐨𝐬𝟐𝒕 𝟔𝒆𝟑𝒕 Exemplo 2 Outra forma de resolver a EDO de primeira ordem do circuito RC é encontrar a solução particular 𝑖𝑡 para a condição inicial 𝑖0 0 𝐴 𝒊𝒕 𝟑 𝒊𝒕𝒅𝒕 𝟏𝟑𝒔𝒆𝒏𝟐𝒕 Usase a transformada de Laplace 𝐿 𝑖𝑡 3 𝑖𝑡𝑑𝑡 𝐿13𝑠𝑒𝑛2𝑡 𝐿𝑖𝑡 3 𝐿 𝑖𝑡𝑑𝑡 13 𝐿𝑠𝑒𝑛2𝑡 Lembrando que 𝐿𝑖𝑡 𝐼𝑠 𝐿 𝑖𝑡𝑑𝑡 𝐼𝑠 𝑠 1 𝑠 𝑖𝑡𝑑𝑡𝑡 0 Tabela 1 linha 17 e 𝐿𝑠𝑒𝑛2𝑡 𝜔 𝑠2𝜔2 Como a transformada de Laplace da integral da corrente elétrica em função do tempo é novidade é necessário desenvolver melhor este raciocinio 𝐿 𝑖𝑡𝑑𝑡 𝐼𝑠 𝑠 1 𝑠 𝑖𝑡𝑑𝑡 𝑡 0 O segundo termo do segundo membro da igualdade 1 𝑠 𝑖𝑡𝑑𝑡𝑡 0 se refere a condição inicial quando 𝑡 0 A carga em função do tempo é dada por 𝑖𝑡 𝑑 𝑑𝑡 𝑞𝑡 𝑞𝑡 𝑖𝑡𝑑𝑡 No instante inicial 𝑡 0 𝑞𝑡 0 𝑖𝑡𝑑𝑡 𝑡0 𝑞𝑡 0 𝑖𝑡𝑑𝑡 𝑡0 0 Assim obtémse que 𝑡0 𝑖𝑡𝑑𝑡 0 𝐿 𝑖𝑡𝑑𝑡 𝐼𝑠 𝑠 1 𝑠 𝑖𝑡𝑑𝑡 𝑡 0 𝐿 𝑖𝑡𝑑𝑡 𝐼𝑠 𝑠 1 𝑠 0 𝐿 𝑖𝑡𝑑𝑡 𝐼𝑠 𝑠 𝐿𝑖𝑡 3 𝐿 𝑖𝑡𝑑𝑡 13 𝐿𝑠𝑒𝑛2𝑡 𝐼𝑠 3 𝐼𝑠 𝑠 13 2 𝑠2 4 𝐼𝑠 3 𝐼𝑠 𝑠 26 𝑠2 4 𝑠 𝐼𝑠 𝑠 3 𝐼𝑠 𝑠 𝑠 26 𝑠2 4 𝑠𝐼𝑠 3𝐼𝑠 26𝑠 𝑠2 4 𝑠 3𝐼𝑠 26𝑠 𝑠2 4 𝐼𝑠 26𝑠 𝑠2 4𝑠 3 Usase o método de soma de frações parciais 𝐼𝑠 26𝑠 𝑠2 4𝑠 3 𝐴𝑠 𝐵 𝑠2 4 𝐶 𝑠 3 Multiplicase ambos os lados por 𝑠 3 𝑠 3 26𝑠 𝑠2 4𝑠 3 𝑠 3 𝐴𝑠 𝐵 𝑠2 4 𝑠 3 𝐶 𝑠 3 26𝑠 𝑠2 4 𝑠 3 𝐴𝑠 𝐵 𝑠2 4 𝐶 Substituise 𝑠 3 26 3 32 4 3 3 𝐴𝑠 𝐵 32 4 𝐶 26 3 13 𝐶 𝑪 𝟔 𝐼𝑠 26𝑠 𝑠2 4𝑠 3 𝐴𝑠 𝐵 𝑠2 4 𝐶 𝑠 3 26𝑠 𝑠2 4𝑠 3 𝐴𝑠 𝐵 𝑠2 4 6 𝑠 3 𝐴𝑠 𝐵𝑠 3 6𝑠2 4 𝑠2 4𝑠 3 26𝑠 𝑠2 4𝑠 3 𝐴𝑠2 3𝐴𝑠 𝐵𝑠 3𝐵 6𝑠2 24 𝑠2 4𝑠 3 26𝑠 𝑠2 4𝑠 3 𝐴 6𝑠2 3𝐴 𝐵𝑠 3𝐵 24 𝑠2 4𝑠 3 26𝑠 𝐴 6𝑠2 3𝐴 𝐵𝑠 3𝐵 24 0𝑠2 26𝑠 0 𝐴 6𝑠2 3𝐴 𝐵𝑠 3𝐵 24 𝐴 6 0 3𝐴 𝐵 26 3𝐵 24 0 𝐴 6 0 1 3𝐴 𝐵 26 2 3𝐵 24 0 3 Da equação 1 obtémse que 𝐴 6 e da equação 3 𝐵 8 𝐼𝑠 26𝑠 𝑠2 4𝑠 3 𝐴𝑠 𝐵 𝑠2 4 𝐶 𝑠 3 𝐼𝑠 26𝑠 𝑠2 4𝑠 3 6𝑠 8 𝑠2 4 6 𝑠 3 𝐼𝑠 6𝑠 8 𝑠2 4 2 𝑠 3 6𝑠 𝑠2 4 8 𝑠2 4 6 𝑠 3 𝐼𝑠 6 𝑠 𝑠2 22 4 2 𝑠2 22 6 1 𝑠 3 Lembrando que 𝐿cos𝜔𝑡 𝑠 𝑠2𝜔2 𝐿sen𝜔𝑡 𝜔 𝑠2𝜔2 e 𝐿𝑒𝑎𝑡 1 𝑠𝑎 então 𝑖𝑡 𝐿1𝐼𝑠 𝐿1 6 𝑠 𝑠2 22 4 2 𝑠2 22 6 1 𝑠 3 𝑖𝑡 𝐿1𝐼𝑠 𝐿1 6 𝑠 𝑠2 22 𝐿1 4 2 𝑠2 22 𝐿1 6 1 𝑠 3 𝑖𝑡 6 𝐿1 𝑠 𝑠2 22 4 𝐿1 2 𝑠2 22 6 𝐿1 1 𝑠 3 𝒊𝒕 𝟔𝐜𝐨 𝐬𝟐𝒕 𝟒𝒔𝒆𝒏𝟐𝒕 𝟔𝒆𝟑𝒕 Essa resposta para a corrente em função do tempo é exatamente a mesma resposta obtida no item c do exemplo 6 A carga em função do tempo é obtida a partir da transformada de Laplace da EDO de 1ª ordem 𝑞 3𝑞 13𝑠𝑒𝑛2𝑡 como foi feito no item a do exemplo 6 Outra possibilidade é usar a relação entre a corrente que foi obtida acima e a carga elétrica 𝑖𝑡 𝑑 𝑑𝑡 𝑞𝑡 𝑖𝑡 𝑑 𝑑𝑡 𝑞𝑡 𝑖𝑡𝑑𝑡 𝑑𝑞𝑡 𝑖𝑡𝑑𝑡 𝑑𝑞𝑡 𝑖𝑡𝑑𝑡 𝑞𝑡 𝑞𝑡 𝑖𝑡𝑑𝑡 𝑞𝑡 6co s2𝑡 4𝑠𝑒𝑛2𝑡 6𝑒3𝑡𝑑𝑡 𝑞𝑡 6 co s2𝑡 𝑑𝑡 4 𝑠𝑒𝑛2𝑡𝑑𝑡 6 𝑒3𝑡𝑑𝑡 1 Usase a regra da cadeia para resolver cada uma das integrais acima co s2𝑡 𝑑𝑡 cos𝑢 1 2 𝑑𝑢 1 2 cos𝑢 𝑑𝑢 1 2 𝑠𝑒𝑛𝑢 𝐶 co s2𝑡 𝑑𝑡 1 2 𝑠𝑒𝑛2𝑡 𝐶 2 𝑢 2𝑡 𝑑𝑢 𝑑𝑡 𝑑 𝑑𝑡 2𝑡 2 então 1 2 𝑑𝑢 𝑑𝑡 sen2t𝑑𝑡 sen𝑢 1 2 𝑑𝑢 1 2 sen𝑢 𝑑𝑢 1 2 cos𝑢 𝐶 sen2t𝑑𝑡 1 2 𝑐𝑜𝑠2𝑡 𝐶 3 𝑢 2𝑡 𝑑𝑢 𝑑𝑡 𝑑 𝑑𝑡 2𝑡 2 então 1 2 𝑑𝑢 𝑑𝑡 𝑒3𝑡𝑑𝑡 𝑒𝑢𝑑𝑡 𝑒𝑢 1 3 𝑑𝑢 1 3 𝑒𝑢 𝐶 1 3 𝑒3𝑡 𝐶 4 𝑢 3𝑡 𝑑𝑢 𝑑𝑡 𝑑 𝑑𝑡 3𝑡 3 então 1 3 𝑑𝑢 𝑑𝑡 Substituindo as equações 2 3 e 4 em 1 obtémse 𝑞𝑡 6 co s2𝑡 𝑑𝑡 4 𝑠𝑒𝑛2𝑡𝑑𝑡 6 𝑒3𝑡𝑑𝑡 𝑞𝑡 6 1 2 𝑠𝑒𝑛2𝑡 4 1 2 𝑐𝑜𝑠2𝑡 6 1 3 𝑒3𝑡 𝐶 𝑞𝑡 3𝑠𝑒𝑛2𝑡 2𝑐𝑜𝑠2𝑡 2𝑒3𝑡 𝐶 Considerase a constante arbitrária nula A carga em função do tempo é exatamente a mesma resposta obtida no item a do exemplo 6 𝒒𝒕 𝟑𝒔𝒆𝒏𝟐𝒕 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝒕 𝟐𝒆𝟑𝒕