Series Geometricas - Exercicios Resolvidos e Problemas de Aplicacao

Métodos Aplicados 20242 Prof Isaias Séries geométricas exercícios 1 Um servidor de internet transmite pacotes de dados para um cliente No início da transmissão 500 MB de dados são enviados No entanto devido a falhas na rede 30 dos dados são perdidos a cada tentativa de envio O servidor continua retransmitindo os dados perdidos até que todos os pacotes sejam entregues Quantos megabytes serão transmitidos ao todo considerando que o servidor continua retransmitindo infinitamente até que nenhum dado seja perdido Resp 71429 MB 2 A figura a seguir mostra as primeiras três fileiras e parte da quarta de uma sequência de fileiras de semicírculos Há 2 semicírculos na n ésima fileira cada um com raio Encontre a soma das áreas de todos os semicírculos Resp 3 Um smartphone é utilizado diariamente e a cada noite a bateria é recarregada até 100 No entanto durante o dia o consumo de bateria segue um padrão No primeiro dia o smartphone consome 40 da bateria Nos dias subsequentes o consumo de bateria é sempre 90 do consumo do dia anterior Qual será o consumo total de bateria ao longo de infinitos dias Resp 4 vezes a capacidade total da bateria Resp 250 4 Suponha que um vírus de computador se espalhe por uma rede No primeiro dia 100 computadores são infectados No segundo dia 60 dos computadores infectados no dia anterior espalham o vírus para novos computadores A cada dia subsequente o número de novos computadores infectados é sempre 60 do número de infectados no dia anterior Quantos computadores serão infectados no total após um número infinito de dias 5 Curva do floco de neve de Helge von Koch Comece com um triângulo equilátero cujos lados tenham comprimento 1 chamandoo de Curva 1 Divida cada lado em três partes iguais e na terça parte do meio de cada lado construa um triângulo equilátero apontando para fora Então apague o interior das antigas terças partes do meio Chame a curva expandida de Curva 2 Agora coloque triângulos equiláteros novamente apontando para fora em cada terça parte do meio dos lados da Curva 2 Apague o interior das antigas terças partes do meio para obter a Curva 3 Repita o processo como mostrado para definir uma sequência infinita de curvas planas A curva limite da sequência é a curva do floco de neve de Koch a Encontre o comprimento 𝐿 da enésima curva b Mostre que lim 𝐿 6 Uma indústria de máquina de lavar louças estima que a venda anual de seu novo produto será de cerca de 11000 máquinas No entanto a cada ano 5 dessas máquinas apresentam defeitos que as tornam inoperantes Dessa forma 11000 máquinas de lavar louça estarão em uso depois de 1 ano 11000 09511000 após 2 anos e assim por diante Perguntase quantas máquinas estarão em uso após 18 anos Dica Fórmula para a enésima soma parcial de uma série geométrica 𝑆 𝑐𝑜𝑚 𝑟 1 Resolução do 1 500 500 03 500 03 500 03 𝑅𝑎𝑧ã𝑜 é 𝑟 03 𝑒 0 𝑟 1 Converge Soma Resolução do 2 𝑆 𝜋 2 𝜋 4 𝜋 8 𝜋 2 𝑆 𝜋 série geométrica de razão 𝑟 𝑆𝑜𝑚𝑎 então 𝑆 Resolução do 3 Seja 𝑥 a capacidade total da bateria 𝑎 04𝑥 𝑎 09 04𝑥 𝑎 09 04𝑥 04𝑥1 09 09 09 𝑅𝑎𝑧ã𝑜 é 𝑟 09 𝑒 0 𝑟 1 Converge Soma 0 10 Logo 04𝑥 10 4𝑥 Digite a equação aqui Resolução do 4 100 100 06 100 06 100 06 𝑟 06 0 𝑟 1 𝑆 100 1 06 250 Resolução do 5 Floco de Koch Sequência 𝐿 3 𝐿 3 3 4 𝐿 3 3 4 𝐿 3 3 1 3 4 1 3 64 9 3 4 16 3 𝐿 3 4 3 Resolução do 6 𝑆 𝑎𝑝ó𝑠 1 𝑎𝑛𝑜 11000 𝑆 𝑎𝑝ó𝑠 2 𝑎𝑛𝑜𝑠 11000 09511000 𝑆 𝑎𝑝ó𝑠 3 𝑎𝑛𝑜𝑠 11000 09511000 095 11000 O que seria 𝑆 11000 095 11000 095 11000 𝑆 11000 095 11000 095 11000 095 11000 𝑆 11000 095 11000 095 11000 𝑎 11000 𝑒 𝑟 095 Logo pela fórmula enésima soma da série geométrica 𝑆 𝑆 11000 1 095 1 095 132613