Equações Diferenciais para Engenharia - Conceitos e Aplicações

Equações Diferenciais BA108 Métodos Aplicados à Engenharia Equações Diferenciais As equações matemáticas são o resultado do esforço humano em conhecer e entender melhor a vida e a natureza Mais do que simples ferramentas elas têm o poder de condensar gerações de pesquisa e sintetizar novas concepções de mundo Em algum momento num lugar específico alguém sentiu a necessidade de entender algo de transformar alguma coisa complicada em outra mais simples Robert P Crease filósofo A palavra equações nos faz lembrar de incógnitas variáveis e soluções enquanto que a palavra diferenciais nos remete à ideia de derivadas Simplificadamente uma equação diferencial se constitui quando não conhecemos a funçãochave yfx mas temos informação sobre sua taxa de variação ou derivada 𝒅𝒚 𝒅𝒙 Alguns exemplos de Equações Diferenciais importantes Equação da Onda 𝟐𝒖 𝒕𝟐 𝒄𝟐 𝟐𝒖 𝒙𝟐 𝒖 é o deslocamento A aceleração de um pequeno segmento de uma corda de violão por exemplo é proporcional ao deslocamento médio dos segmentos vizinhos A equação descreve o comportamento das ondas uma corda vibrando as ondulações provocadas por uma pedra jogada no lago a luz proveniente de uma lâmpada incandescente Atribuída a DAlembert Equação de Navier Stokes 𝝆 𝒗 𝒕 𝒗 𝒗 𝒑 𝑻 𝒇 𝒗 é a velocidade do fluído Fornece um meio de calcular como os fluidos se movem por exemplo a água em movimento dentro de um tubo o fluxo de ar sobre a asa de um avião a fumaça de um cigarro As equações de Maxwell 𝑬 𝟎 𝑬 𝟏 𝒄 𝑯 𝒕 𝑯 𝟎 𝑯 𝟏 𝒄 𝑬 𝒕 Onde E e H são campo elétrico e campo magnético respectivamente Eletricidade e Magnetismo estão intimamente inter relacionadas Equação de Schrödinger 𝒊ℏ 𝒕 𝜳 𝑯𝚿 onde 𝜳 é função de onda quântica A equação descreve como o estado Quântico de um sistema físico muda com o tempo Equação de BlackScholes 𝟏 𝟐 𝝈𝟐𝑺𝟐 𝟐𝑽 𝑺𝟐 𝒓𝑺 𝑽 𝑺 𝑽 𝒕 𝒓𝑽 𝟎 Onde V é o preço do derivativo financeiro Essa é uma Equação diferencial estocástica Descreve como o preço de um derivativo financeiro varia com o tempo A segunda lei de Newton é uma das leis que se traduz em equações diferenciais pois a aceleração não é mais do que a segunda derivada da posição em relação ao tempo e para muitos sistemas físicos a força só depende da posição das partículas tal como é o caso da lei de Hooke que descreve a oscilação de uma mola e da lei da atracção universal 𝑭 𝒎𝒂𝒔𝒔𝒂 𝒂𝒄𝒆𝒍𝒆𝒓𝒂çã𝒐 Se chamarmos de h a posição e t o tempo e considerarmos um objeto em queda livre temos 𝑭 𝒎 𝒅𝟐𝒉 𝒅𝒕𝟐 ou 𝒎 𝒈 𝒎 𝒅𝟐𝒉 𝒅𝒕𝟐 Se considerarmos um mola com x sua distensão e k sua constante elástica temos 𝑭 𝒎 𝒅𝟐𝒙 𝒅𝒕𝟐 ou 𝒌 𝒙 𝒎 𝒅𝟐𝒙 𝒅𝒕𝟐 17 IAN STEWART QUE EQUAÇÕES MUDARAM O MUNDO ZAHAR Classificação e Soluções Resolver uma Equação diferencial é dada uma equação como por exemplo 𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝟐𝒙𝒚 encontrar de algum modo uma função 𝒚 𝒇 𝒙 que satisfaça a equação As Equações diferenciais ED são classificadas por tipo ordem linearidade TIPO Equação diferencial ordinária EDO envolve derivadas ordinárias de uma ou mais variáveis em relação a uma única variável dependente 𝑑𝑦 𝑑𝑡 5𝑦 1 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 6𝑦 0 𝑦 𝑦 2𝑦 𝑥 Equação diferencial parcial EDP envolve as derivadas parciais de uma ou mais variáveis dependentes de duas ou mais variáveis independentes 𝑢 𝑦 𝑣 𝑥 2𝑢 𝑥2 2𝑢 𝑦2 0 ORDEM A ordem de uma Equação Diferencial é a ordem da derivada de mais alta ordem das derivadas nela presentes 5 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2 4 𝑑𝑥 𝑑𝑡 9𝑥 2𝑐𝑜𝑠3𝑡 𝑎2 4𝑢 𝑥4 2𝑢 𝑡2 0 LINEAR OU NÃO LINEAR Uma equação diferencial é linear quando pode ser escrita na forma 𝒂𝒏 𝒙 𝒅𝒏𝒚 𝒅𝒙𝒏 𝒂𝒏𝟏 𝒙 𝒅𝒏𝟏𝒚 𝒅𝒙𝒏𝟏 𝒂𝟏 𝒙 𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝒂𝟎 𝒙 𝒚 𝑭 𝒙 onde 𝑎𝑛 𝑥 𝑎𝑛1 𝑥 𝑎0 𝑥 𝑒 𝐹 𝑥 dependem apenas da variável independente x LINEAR OU NÃO LINEAR Observe que as ED lineares são caracterizadas por duas propriedades i A variável dependente y e todas as suas derivadas são do primeiro grau isto é a potência de cada termo envolvendo y é 1 iiCada coeficiente depende apenas da variável independente x 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 𝑦3 0 𝑁𝐿 𝑡3 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑡3 𝑥 𝐿 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑁𝐿 SOLUÇÃO PARA UMA EDO Definição Qualquer função f definida em algum intervalo I que quando substituída na ED reduz a equação a uma identidade é chamada de solução para a equação no intervalo SOLUÇÃO PARA UMA EDO Exemplo 1 Verifique que 𝑦 𝑥4 16 é uma solução para a equação nãolinear 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑥𝑦12 no intervalo 𝐼 𝑅 SOLUÇÃO PARA UMA EDO Exemplo 2 A função 𝑦 𝑥𝑒𝑥 é uma solução para a equação linear 𝑦 2𝑦 𝑦 0 Equação diferencial separável 𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝒈 𝒙 f 𝒚 é uma equação diferencial de primeira ordem que pode ser expressa como um produto de uma função de x por uma função de y Nota a ordem da derivada mais alta que ocorre na equação define sua ordem Exemplo 1 Queremos resolver a equação diferencial ordinária EDO e nãolinear 𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝒙 𝟓 𝒚𝟐 Mostrar a solução geral implícita b solução geral explícita y isolado se possível c Use um aplicativo e faça o gráfico da família de soluções para por exemplo C 36 24 12 0 12 Exemplo2 Resolver a EDO sabendo que 𝑦 0 3 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑥3 1 𝑦 Exemplo3 Resolver a EDO sabendo que 𝑦 1 𝜋 𝑑𝑦 𝑑𝑥 6𝑥2 2𝑦cos 𝑦 Resposta 𝑦2 𝑠𝑒𝑛𝑦 2𝑥3 𝜋2 2 Exemplo4 Resolver a EDO sabendo que 𝑆0 1 2 𝑑𝑠 𝑑𝑡 1 e2t Resposta S t t e2t 2 1 a solução geral implícita 𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝒙 𝟓 𝒚𝟐 Vamos separar as variáveis 𝑦2𝑑𝑦 𝑥 5 𝑑𝑥 𝑦2𝑑𝑦 𝑥 5 𝑑𝑥 𝑦3 3 𝐶1 𝑥2 2 5𝑥 𝐶2 𝑦3 3 𝑥2 2 5𝑥 𝐶2 𝐶1 𝑦3 3𝑥2 2 15𝑥 3 𝐶2 𝐶1 Se fizermos 𝐶 3 𝐶2 𝐶1 teremos 𝑦3 3𝑥2 2 15𝑥 𝐶 b solução geral explícita y isolado se possível 𝑦 3 3𝑥2 2 15𝑥 𝐶 Resolução 1 FAMÍLIA DE SOLUÇÕES k36 k24 k12 k0 k12 k44 Resolução 2 Resolver a EDO 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑥3 1 𝑦 sabendo que 𝑦 0 3 Vamos separar as variáveis 1 1𝑦 𝑑𝑦 𝑥3𝑑𝑥 1 1𝑦 𝑑𝑦 𝑥3𝑑𝑥 1 𝑦 𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑦 1 𝑑𝑢 𝑑𝑦 substituindo temos 1 𝑢 𝑑𝑢 𝐿𝑛 𝑢 1 1𝑦 𝑑𝑦 𝐿𝑛 1 𝑦 𝐶1 Assim 𝐿𝑛 1 𝑦 𝐶1 𝑥4 4 𝐶2 𝐿𝑛 1 𝑦 𝑥4 4 𝐶2 𝐶1 𝐿𝑛 1 𝑦 𝑥4 4 𝐶2 𝐶1 𝑳𝒏 𝟏 𝒚 𝒙𝟒 𝟒 𝑪 𝒄𝒐𝒎 𝑪 𝑪𝟏 𝑪𝟐 Solução geral implícita Solução explícita 𝑒𝐿𝑛 1𝑦 𝑒𝑥4 4 𝐶 1 𝑦 𝑒𝑥4 4 𝐶 1 𝑦 𝑒𝑥4 4 𝑒𝐶 𝑦 1 𝑒𝑥4 4 𝑒𝐶 𝑦 1 𝑘 𝑒𝑥4 4 𝑐𝑜𝑚 𝑘 𝑒𝐶 Vamos achar o valor da constante 𝑘 3 1 𝑘 𝑒04 4 3 1 𝑘 𝑒0 𝑘 2 Logo 𝒚 𝟏 𝟐𝒆𝒙𝟒 𝟒 solução particular e explícita