EDOs Separáveis e Aplicações na Engenharia - Taxa, Concentração e Temperatura

Método Aplicado à Engenharia Prof Isaias EDOs separáveis Aplicações Exemplo 1 Uma solução de glicose é administrada de maneira intravenosa na corrente sanguínea em uma taxa constante r À medida que a glicose é adicionada ela é convertida em outras substâncias e removida da corrente sanguínea a uma taxa que é proporcional à concentração naquele instante Então um modelo para a concentração C Ct da solução de glicose na corrente sanguínea é dCdt r kC onde k é uma constante positiva Suponha que a concentração no instante t 0 seja C0 Determine a concentração em um instante qualquer t resolvendo a equação diferencial Exemplo 2 Um tanque na forma de um cilindro circular reto de raio 5 pés e altura 16 pés que estava inicialmente cheio de água está sendo drenado a uma taxa de 𝟎 𝟓 𝒙 𝒑é𝒔𝟑 𝒎𝒊𝒏 O volume da água no tanque que é um cilindro circular reto é 𝑉 𝜋𝑟2ℎ então 𝑉 𝜋52𝑥 ou 𝑽 𝟐𝟓𝝅𝒙 Diante disso derive implicitamente ambos os lados da equação em relação a t monte uma EDO e depois resolvaa para determinar uma fórmula para a profundidade x da água no instante t Resp 𝑥 𝑡 4 𝑡 100𝜋 2 A lei de resfriamento e aquecimento de Newton A Lei de Newton diz que a temperatura T de um objeto varia a uma taxa proporcional à diferença entre sua temperatura T e a temperatura M dos objetos em torno dele Isso gera a equação diferencial 𝒅𝑻 𝒅𝒕 𝐊 𝑻 𝑻𝒂 Exemplo 3 Plasma sanguíneo é armazenado a 40 F Antes que possa ser usado ele precisa estar a 90 F Quando o plasma é colocado em um forno a 120 F precisa de 45 minutos para aquecer a 90 F Suponha que a lei de resfriamento de Newton se aplique Assim faça o que se pede a seguir a Encontre uma fórmula para a Temperatura T do Plasma sanguíneo em função do tempo t b Quanto tempo levará para o plasma aquecer até 90 F se a temperatura do forno for definida como 140 F Resposta 𝑇 𝑡 40 𝑀 𝑒00218𝑡 𝑀 e 𝑡 2156 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 Exemplo 4 População na vida selvagem Em uma população de coiotes a taxa de variação do número de animais 𝑁 𝑡 é diretamente proporcional a 650 𝑁 𝑡 onde t é o tempo medido em anos Isso leva a Equação diferencial 𝑑𝑁 𝑑𝑡 𝐾 650 𝑁 Inicialmente a população era de 300 coiotes e após 2 anos aumentou para 500 Assim resolva os itens a seguir a Encontre o número de coiotes em função do tempo b Qual a população de coiotes após 3 anos c Apresente um modelo gráfico do problema Resposta 𝑁 𝑡 350 𝑒042365𝑡 650 𝑒 𝑁 3 552𝑐𝑜𝑖𝑜𝑡𝑒𝑠 Modelo gráfico para o exemplo anterior Desafio Resolver a EDO 𝒚𝟐 𝒅𝒙 𝒅𝒚 𝒙𝒚 Resp 𝑥 𝐴 𝑦 Exemplo 5 Considere um tanque inicialmente fechado que contém 20 𝑘𝑔 de sal dissolvido em 5000 𝐿 de água Uma válvula é aberta e entra água salgada com 003 𝑘𝑔 de sal por litro a uma vazão volumétrica de 25 𝐿min A solução é misturada completamente e sai do tanque à mesma vazão volumétrica de entrada Determine a quantidade de sal que permanece no tanque após meia hora 𝑦 𝑡 075 0005𝑦𝑡 Resposta 𝑦 𝑡 150 130𝑒0005𝑡 𝑦 30 3811 kg Exemplo 6 Considere um circuito elétrico resistivo indutivo 𝑅𝐿 que contém uma força eletromotriz dado por uma pilha ou um gerador que produz uma tensão 𝐸𝑡 volts 𝑉 e uma corrente elétrica 𝐼𝑡 amperes 𝐴 em um instante 𝑡 O circuito também possui um resistor com resistência de 𝑅 ohms Ω e um indutor com indutância de 𝐿 henrys 𝐻 Considere que a resistência seja 12 Ω a indutância 4 𝐻 e a pilha forneça uma tensão constante de 60 𝑉 Determine a corrente no instante t18 s e a corrente máxima no circuito 4𝑖 𝑡 12𝑖 𝑡 60 Resposta 𝑖 𝑡 5 5𝑒3𝑡 𝑖 18 𝑠 499 A 𝑖𝑚á𝑥 5 A