Equacao Diferencial Linear 1 Ordem - Fator Integrante e Solucoes

Equação Diferencial de 1ª Ordem linear com fator integrante EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM COM FATOR INTEGRANTE Uma equação diferencial ordinária linear de 1ª ordem pode ser escrita de forma genérica como Sendo 𝑃𝑥 e 𝑄𝑥 funções contínuas em um dado intervalo Um exemplo de EDO linear é dado por Nesta situação a equação diferencial não é separável já que não é possível deixar 𝑦 como uma função de 𝑥 vezes uma função de 𝑦 Neste e em outros casos a EDO deve ser deixada na forma linear Com 𝑃 𝑥 e Q 𝑥 3 Equação Diferencial de 1ª Ordem linear com fator integrante 𝑦 𝑃 𝑥 𝑦 𝑄𝑥 𝑥𝑦 𝑦 3𝑥 𝑦 1 𝑥 𝑦 3 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM COM FATOR INTEGRANTE Exemplo 1 Identifique a solução geral da EDO linear de 1ª ordem 𝑦 3𝑥𝑦 6𝑥 𝑦0 0 Equação Diferencial de 1ª Ordem linear com fator integrante EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM COM FATOR INTEGRANTE 𝑦 3𝑥𝑦 6𝑥 Essa equação diferencial é linear então é possível identificar os termos 𝑃𝑥 e 𝑄𝑥 𝑦 3𝑥𝑦 6𝑥 𝑦 𝑃𝑥𝑦 𝑄𝑥 O fator integrante 𝜇𝑥 é dado por 𝜇 𝑥 𝑒 𝜇 𝑥 𝑒 𝑒 𝑒 𝑒 então 𝝁 𝒙 𝒆𝒙𝟑 A solução geral é dada por 𝑦 1 𝜇 𝑥 0 𝜇 𝑥 𝑄 𝑥 𝑑𝑥 𝑦 1 𝒆𝒙𝟑 0 𝒆𝒙𝟑 6𝑥𝑑𝑥 Equação Diferencial de 1ª Ordem linear com fator integrante EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM COM FATOR INTEGRANTE 𝑦 1 𝒆𝒙𝟑 0 𝒆𝒙𝟑 6𝑥𝑑𝑥 Usando a regra da cadeia aplicada a integrais chamase 𝑢 𝑥 e deriva u em relação a variável x 𝑥 3𝑥 então 𝑑𝑢 3𝑥dx e por fim 𝑑𝑢 𝑑x Substituindo 𝑢 3𝑥 e 𝑑𝑢 𝑑x na integral 𝒆𝒙𝟑 6𝑥𝑑𝑥 então 𝑦 1 𝒆𝒙𝟑 0 𝒆𝒙𝟑 6𝑥𝑑𝑥 𝑦 1 𝒆𝒙𝟑 0 𝒆𝒖 6𝑥 1 3𝑥 𝑑𝑢 𝑦 1 𝒆𝒙𝟑 0 𝒆𝒖 2𝑑𝑢 Equação Diferencial de 1ª Ordem linear com fator integrante EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM COM FATOR INTEGRANTE 𝑦 1 𝒆𝒙𝟑 2 0 𝒆𝒖 𝑑𝑢 Não se esquecer de adicionar a constante arbitrária C sempre dentro do parênteses quando resolver esta integral no 2º membro da igualdade 𝑦 1 𝒆𝒙𝟑 2 𝒆𝒖 𝐶 𝑦 2 𝒆𝒙𝟑 𝒆𝒙𝟑 𝐶 Aplicando a distributiva temse que 𝑦 2 𝒆𝒙𝟑 𝒆𝒙𝟑 2 𝒆𝒙𝟑 𝐶 A solução geral é 𝒚 𝟐 𝟐 𝒆𝒙𝟑 𝑪 ou 𝒚 𝟐 𝑲 𝒆𝒙𝟑 Equação Diferencial de 1ª Ordem linear com fator integrante EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM COM FATOR INTEGRANTE A solução geral é 𝒚 𝟐 𝟐 𝒆𝒙𝟑 𝑪 ou 𝒚 𝟐 𝑲 𝒆𝒙𝟑 Para a condição inicial 𝑦 0 0 𝑦 2 0 2 0 2 𝑲 𝟐 Então a solução particular é 𝒚 𝟐 𝟐 𝒆𝒙𝟑 Equação Diferencial de 1ª Ordem linear com fator integrante EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Exemplo 2 Considere um circuito elétrico resistivo indutivo 𝑅𝐿 que contém uma força eletromotriz dado por uma pilha ou um gerador que produz uma tensão 𝐸𝑡 volts 𝑉 e uma corrente elétrica 𝐼𝑡 amperes 𝐴 em um instante 𝑡 O circuito também possui um resistor com resistência de 𝑅 ohms Ω e um indutor com indutância de 𝐿 henrys 𝐻 Considere que a resistência seja 12 Ω a indutância 4 𝐻 e a pilha forneça uma tensão constante de 60 𝑉 Equação Diferencial de 1ª Ordem linear com fator integrante EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM COM FATOR INTEGRANTE Outra forma de resolver a EDO de 1ª ordem é usando fator integrante 𝜇𝑥 𝑳 𝒅𝑰𝒕 𝒅𝒕 𝑹 𝑰 𝒕 𝑬𝒕 Sendo 𝐿 4 𝐻 𝑅 12 Ω e 𝐸 𝑡 60 𝑉 então temse uma equação diferencial de 1ª ordem 4 𝑑𝐼𝑡 𝑑𝑡 12 𝐼 𝑡 60 𝑑𝐼𝑡 𝑑𝑡 3 𝐼 𝑡 15 𝑑𝐼𝑡 𝑑𝑡 𝑃𝑡 𝐼 𝑡 𝑄𝑡 Fator integrante 𝜇𝑡 𝜇 𝑡 𝑒 𝑒 𝑒 𝑒 então 𝝁 𝒕 𝒆𝟑𝒕 Equação Diferencial de 1ª Ordem linear com fator integrante EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM COM FATOR INTEGRANTE 𝝁 𝒕 𝒆𝟑𝒕 Solução geral 𝐼𝑡 1 𝝁 𝒕 8 𝝁 𝒕 𝑄 𝑡 𝑑𝑡 𝐼𝑡 1 𝒆𝟑𝒕 8 𝒆𝟑𝒕15𝑑𝑡 Usando a regra da cadeia aplicada a integrais chamase 𝑢 3𝑡 e deriva u em relação a variável t 3𝑡 3 então 𝑑𝑢 3𝑑𝑡 e por fim 𝑑𝑢 𝑑𝑡 Substituindo 𝑢 3𝑡 e 𝑑𝑢 𝑑𝑡 na integral então 𝐼𝑡 1 𝒆𝟑𝒕 15 8 𝒆𝒖𝑑𝑡 Equação Diferencial de 1ª Ordem linear com fator integrante EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM COM FATOR INTEGRANTE 𝐼𝑡 1 𝒆𝟑𝒕 15 8 𝒆𝒖 1 3 𝑑𝑡 𝐼𝑡 1 𝒆𝟑𝒕 15 1 3 𝒆𝒖 𝐶 𝐼𝑡 5 𝒆𝟑𝒕 𝒆𝟑𝒕 𝐶 𝐼𝑡 5 5 𝒆𝟑𝒕 𝐶 Para a condição inicial I 0 0 0 5 0 𝒆𝟎 𝐶 então 𝐶 1 A solução geral é 𝒚 𝟓 𝟓 𝒆𝟑𝒕 Equação Diferencial de 1ª Ordem linear com fator integrante