Lista de Exercícios 9: Equações Diferenciais de Segunda Ordem Homogêneas com Coeficientes Constantes

Calculo 4 Lista de Exercıcios 9 Equacoes diferenciais de segunda ordem homogˆeneas com coeficientes constantes Exercıcios basicos 1 Resolva as equacoes diferenciais a y 3y 2y 0 b y y 0 c 3y 8y 3y 0 d y 2y 10y 0 e y y f 9y 30y 25y 0 2 Resolva os problemas de valor inicial a y 3y 4y 0 y0 2 y0 3 b y 4y 0 y0 1 y0 0 c y 2y 2y 0 y0 1 y0 2 d y 4y 6y 0 y0 2 y0 4 e y 9y 0 yπ3 0 yπ3 1 f y 2y 5y 0 y0 1 y0 2 Exercıcios complementares 3 Resolva as equacoes diferenciais a y 9y 20y 0 b y 10y 41y 0 c y 25y 0 d y 4y 13y 0 e 2y y 0 f y 2y 4y 0 g y y 2y 0 h y 5y i d2y dx2 2dy dx y 0 4 Resolva os problemas de valor inicial a y 2y 3y 0 y1 3 y1 1 b y 2y y 0 y2 0 y2 1 c y 4y 0 yπ6 1 yπ6 0 5 A figura mostra um pˆendulo com comprimento L e ˆangulo θ a partir da vertical θ L Pode ser mostrado que θ como uma funcao do tempo satisfaz a equacao diferencial d2θ dt2 g L sin θ 0 onde g e a aceleracao da gravidade Para pequenos valores de θ podemos usar a aproxi macao sen θ θ e entao a equacao se torna linear Determine a equacao do movimento de um pˆendulo com comprimento de 1 m se ini cialmente θ for 02 rad e a velocidade angular for dθdt 1 rads Considere g 10 ms2 Nos exercicios 6 e 7 considere o sistema massamola mostrado na figura a seguir o qual se encontra em sua posicao de equilıbrio m x 0 Desprezandose a a massa da mola e as forcas de atrito existentes num sistema real podemos modelar o movimento da mola com a equacao diferencial md2x dt2 kx 0 em que k e a constante elastica da mola m e a massa do bloco e x e a sua posicao em funcao do tempo Em sistemas em que existe um amortecimento devido a forcas de atrito por exemplo que seja proporcional a velocidade do bloco o movimento pode ser modelado pela equacao diferencial md2x dt2 cdx dt kx 0 em que c e a constante de amortecimento do sistema 6 Uma mola com constante elastica k 100 Nm e comprimento natural de 075 m esta presa a uma massa de 5 kg A mola e esticada para um comprimento de 11 m e entao solta com velocidade 0 ms Encontre a posicao da massa apos t segundos desprezando quaisquer atritos no movimento 7 Uma mola com constante elastica k 12 Nm possui presa a si uma massa de 2 kg A mola e esticada 1 m alem de seu comprimento natural e entao solta a partir do repouso Determine a posicao da massa em qualquer instante t considerando uma constante de amortecimento c 14 kg ms para o sistema 8 ENADE 2011 Um peso atado a uma mola movese verticalmente para cima e para baixo de tal modo que a equacéo do movimento é dada por st 16st 0 em que st é a deformacao da mola no tempo t Sabese que st 2 e st 1 para t 0 Para a funcgao deformagao st temse que st 0 quando t é igual a 1 1 1 1 1 1 1 A ri arctg 8 B ri arctg C arctg 5 D Z arctg E Z arctg 8 Respostas loa y Cye Coe d yeC cos 3x Cy sen 32 b yC Coe e y Cie Coe c y Cye3 Coe f y Cies Cores 2a ye7 e d ye 2 cos V2x 42 sen v2 1 1 b y 5 e2 2 e y 3 sen 3x x 3 c ye cos x sen xr f yre cos 2x2 9 sen 2 3a yCie Coe f y CyetV5 4 Cyc tv b y e C cos 4x2 C2 sen 4 V7 V7 g e2 Ccos 32 Cy sen ae c y C cos 5a Cy sen 5x d y eC cos 3x Cy sen 32 h yC cos V5z Cy sen V5 e Y CL Cye72 i y Cyel1v2 Cyel1v2 4a y 2e 4 BD b y u2er 1 cy cos 2x V3 sen 2x 2 10 5 Ot vio sen V10t 02 cos V10t 6 st 035 cos 2V5t 1 t 6t 7 xt 5 6e e 8 D Faculdade de Engenharia de Sorocaba G Facens e AQUI TEM ENGENHARIA