Geometria Euclidiana II - Aula 03: Perpendicularismo

Geometria Euclidiana II Aula 03 Perpendicularismo Tópico 01 Reta Perpendicular a um Plano Def 8 Diremos que uma reta r que fura um plano num ponto O é perpendicular a em O ou simplesmente perpendicular a se toda reta contida em passando por O é perpendicular a r Nesse caso diremos ainda que O é o pé da perpendicular r em Teorema 9 Seja o plano determinado por duas retas concorrentes r e s no ponto O Se uma reta t é perpendicular a r e a s em O então t é perpendicular a em O PROVA 1 Seja u uma reta qualquer contida em passando por O Mostraremos que t u Podemos supor sem perda de generalidade que u r e u s Tomemos em r e s respectivamente pontos A e B tais que A e B se encontram em semiplanos abertos opostos em relação a u O segmento intercepta u num ponto C entre A e B Sejam D e D pontos distintos em t tais que O é ponto médio de Sendo t perpendicular a r seguese pelo caso LAL de congruência de triângulos que AOD AOD e sendo t perpendicular a s decorre por LAL que BOD BOD Desse modo AD AD e BD BD donde por LLL ABD ABD e portanto Isto acarreta por LAL que CAD CAD por conseguinte CD CD Assim sendo por LLL COD COD Este fato implicará que é reto e portanto t u Teorema 10 Seja P um ponto pertencente a um plano Então existe uma única reta r passando por P perpendicular a PROVA 2 EXISTÊNCIA Sejam A em que A P B e α o plano determinado por e B Sejam u α a reta perpendicular a passando por P e v π a reta perpendicular a passando por P Temos que u e v são retas concorrentes em P Seja β o plano determinado por u e v e r β a reta perpendicular a v passando por P Nessa construção observemos que r e v logo é perpendicular a qualquer reta contida em β passando por P Em particular r Agora notemos que r é perpendicular a duas retas concorrentes contidas em a saber e v Por conseguinte r é perpendicular a e passa por P Unicidade Seja s uma reta perpendicular a passando por P Mostraremos que r s Por absurdo suponhamos que r s Assim r e s concorrem ao ponto P em Seja γ o plano determinado por r e s Temos que γ e concorrente a Seja t t Desse modo r s e t são coplanares estão em γ em que r e s são perpendiculares a t no ponto P Contradição Teorema 11 Sejam r e s retas distintas em que r é perpendicular a Então sr s PROVA 3 Seja α o plano determinado por r e s Como r fura então α é concorrente a Seja t α Assim r s e t são coplanares estão contidas em α sendo que t r Como rs então ts Sejam A r t e B s t Sejam u e v em respectivamente perpendiculares a t em A e B Desse modo uv e como rs seguese que L ru Lsv de acordo com o Teorema 8 Desde que por hipótese r u então s v Enfim s é perpendicular a duas retas concorrentes contidas em a saber t e v Por conseguinte s Sejam A e B respectivamente os pés das perpendiculares r e s em Seja s a reta paralela a r passando por B Pela implicação deste teorema seguese que S é perpendicular a Sendo s e s perpendiculares a passando por B decorre pela unicidade do Teorema 10 que s s Logo s é paralela a r Teorema 12 Por um ponto fora de um plano passa uma única reta perpendicular a esse plano PROVA 4 EXISTÊNCIA Sejam α um plano e P α um ponto Seja β o plano paralelo a α passando por P Seja r a reta perpendicular a β passando por P Como αβ então r fura também α digamos num ponto Q Seja u α uma reta qualquer passando por Q Vamos mostrar que r u Seja v a reta paralela a u passando por P Sendo uβ vem pelo Teorema 1 que v β Desde que r β seguese que r v Posto que r é transversal às paralelas u e v decorre que r u Conclusão r é perpendicular a α e passa por P Unicidade Seja r uma reta perpendicular a α passando por P Devemos mostrar que r r Para isso basta mostrarmos que Q r Seja Q o pé da perpendicular r em α Mostraremos que Q Q Por absurdo suponhamos que Q Q Assim a soma dos ângulos internos do triângulo PQQ é maior do que 180o Contradição Logo Q Q donde Q r e portanto r r Escólio Se uma reta é perpendicular a um plano então é perpendicular a qualquer plano paralelo a Geometria Euclidiana II Aula 03 Perpendicularismo Tópico 02 Distâncias Def 9 Sejam um plano e P um ponto Definimos a distância de P a denotada por dP como sendo a distância de P ao pé da perpendicular a passando por P Se P a distância de P a é definida como sendo zero Observe que a distância de P a nos dois casos é a menor das distâncias de P aos pontos de Def10 Sejam α e β dois planos paralelos Definimos a distância entre α e β denotada por dα β como sendo a distância de um ponto qualquer de um dos dois planos ao outro plano DESAFIO A título de exercício demonstre que essa definição de fato não depende do ponto e nem do plano escolhidos Teorema 13 Sejam r e s retas reversas Então existem dois únicos planos paralelos e distintos α e β tais que r α e s β PROVA 1 EXISTÊNCIA Seja A r um ponto qualquer e ss passando por A Seja B s um ponto qualquer e rr passando por B Como r e s são reversas então r e s e r e s são pares de retas concorrentes Sejam α o plano determinado por r e s e β o determinado por r e s A reta r não está contida em β pois r e s são reversas consequentemente α β Pelo Teorema 4 seguese que α e β são paralelos Unicidade Sejam α e β planos paralelos tais que r α e s β Devemos mostrar que α α e β β Temos r é paralela a β pois r α e α β Pelo Teorema 1 seguese que a reta paralela a r passando por B β está contida em β Esta reta é r Assim β é o plano determinado pelas retas concorrentes r e s Portanto β β Posto que α e α são planos paralelos a β e passam pelo ponto A pois contêm a reta r decorre que α α de acordo com o Teorema 5 Def 11 Definimos a distância entre duas retas reversas como sendo a distância entre os planos paralelos referidos no teorema anterior Geometria Euclidiana II Aula 03 Perpendicularismo Tópico 03 Ângulos Sejam r e s retas Já é conhecida a definição do ângulo entre r e s caso elas sejam coplanares Vamos rever Se elas são coincidentes ou paralelas dizemos que o ângulo entre elas é zero Se são concorrentes elas formam dois pares de ângulos opostos pelo vértice que têm mesma medida sendo que dois desses ângulos não opostos pelo vértice são suplementares Neste caso o ângulo entre elas é por definição o menor dos quatro ângulos A novidade ocorre quando as retas r e s são reversas Vejamos como se define o ângulo entre elas Def 12 Sejam A r e B s pontos quaisquer r a reta paralela a r passando por B e s a reta paralela a s passando por A Pelo Teorema 8 Lrs Lsr Este será por definição o ângulo entre as retas r e s o qual independe da escolha dos pontos A e B Def 13 Diremos que duas retas são ortogonais se o ângulo entre elas é de 90o Vamos agora definir ângulo entre dois planos Def 14 Se dois planos são coincidentes ou paralelos dizemos que o ângulo entre eles é zero Suponhamos que dois planos α e β são concorrentes Seja t α β Sejam A B t distintos r e r as perpendiculares a t em α passando respectivamente por A e B e s e s as perpendiculares a t em β passando respectivamente por A e B Assim temos r e s e r e s pares de retas concorrentes tais que rr e ss Pelo Teorema 8 Lrs L rs Este será por definição o ângulo entre os planos α e β o qual independe da escolha dos pontos A e B Def 15 Diremos que dois planos são perpendiculares se o ângulo entre eles mede 90o Def 16 Chamase diedro ou ângulo diedral a reunião de dois semi planos com mesma origem Os semi planos são chamados de faces do diedro e a origem comum chamase aresta Iremos agora definir a medida de um ângulo diedral Def17 Se as faces de um ângulo diedral são semi planos coincidentes ou opostos a medida do ângulo diedral é por definição respectivamente zero ou 180o Suponhamos que os planos que contêm as faces são concorrentes Sejam A e B dois pontos distintos pertencentes à aresta A partir de A tracemos as semi retas e perpendiculares à aresta uma em cada face e a partir de B tracemos as semi retas e também perpendiculares à aresta sendo contida na mesma face em que se encontra e contida na mesma face em que se encontra tais que BC AD e BF AE Desse modo ABCD e ABFE são paralelogramos o que implica que CDEF é também um paralelogramo donde ADE BCF LLL Assim sendo Definiremos a medida do ângulo diedral nesse caso como sendo a medida de que independe do ponto escolhido sobre a aresta Def 18 Todo plano α reparte o espaço em três subconjuntos o próprio plano o subconjunto dos pontos que ficam a um mesmo lado do plano e o subconjunto dos pontos que ficam no outro lado Cada um desses dois últimos subconjuntos chamase semi espaço aberto determinado por α e a união do plano com um semi espaço aberto chamase semi espaço fechado determinado por α ou simplesmente semi espaço Assim um plano determina dois semi espaços que chamaremos de semi espaços opostos em relação a α Dados dois pontos A e B distintos e não pertencentes a α então A e B se situam num mesmo semi espaço determinado por Def 19 Um conjunto S subconjunto do espaço chamase convexo se goza da seguinte propriedade dados A B S distintos então S Todo semi espaço é um conjunto convexo Interseção de conjuntos convexos é um conjunto convexo Geometria Euclidiana II Aula 03 Perpendicularismo Tópico 04 Bissetor de um Diedro Considere um ângulo diedral de aresta r e cujas faces α e β não são coplanares Sejam E e F respectivamente o semi espaço determinado por α contendo β e o semi espaço determinado por β contendo α E F é um conjunto convexo por ser interseção de dois conjuntos convexos o qual será chamado de região convexa determinada pelo diedro Def20 Bissetor de um diedro Chamase bissetor de um ângulo diedral de aresta r e cujas faces Α e β não são coplanares o semi plano de origem r contido na região convexa determinada pelo diedro que o divide em dois ângulos diedrais com mesma medida Precisamos mostrar que todo diedro cujas faces não são coplanares tem um único bissetor É o que faremos agora CLIQUE AQUI PARA ABRIR Sejam r a aresta e α e β as faces de um tal ângulo diedral Seja A r um ponto qualquer β e β perpendiculares a r Seja a bissetriz do ângulo Desde que r e r então r é perpendicular ao plano determinado por A B e C logo r Seja γ o plano determinado por r e Assim o semi plano contido em γ determinado por r contendo é bissetor do diedro A unicidade seguese da unicidade da bissetriz de um ângulo Os detalhes da demonstração deixamos a seu cargo Def21 Chamase triedro a reunião de três ângulos não rasos com mesmo vértice contidos em planos distintos tais que a interseção de dois quaisquer é um lado comum O vértice comum aos três ângulos chamase vértice do triedro cada lado comum denominase aresta e cada ângulo chamase face Um triedro é denominado triretângulo se os planos que contêm as faces são mutuamente perpendiculares Teorema 14 Sejam r uma reta que fura um plano num ponto P A r P e A o pé da perpendicular a passando em A Então r é perpendicular a A P PROVA 1 Temos r e são perpendiculares a e passam no ponto A Pela unicidade do Teorema 12 seguese que r Desde que P A e r fura decorre que A P Temos r Sendo seguese que r Def22 Dados um ponto A e um plano o pé da perpendicular a passando por A chamase projeção ortogonal de A em ou simplesmente projeção de A em Observe que a projeção de A em só é igual a A se A Teorema 15 Seja r uma reta não perpendicular a um plano Sejam A B C r distintos e A B e C as projeções respectivamente de A B e C em Então A B e C são distintos e colineares PROVA 2 Podemos supor que r Assim dois dentre os pontos A B e C não pertencem a Digamos A e B Se A B pela unicidade do Teorema 10 decorre que Assim sendo r e portanto r é perpendicular a o que é uma contradição Logo A B Note que e por conseguinte pelo Teorema 11 Seja α o plano determinado por e Temos que α e são concorrentes pois A B α e A α Mais precisamente α Quanto a C há duas possibilidades C ou C Se C então C C e pelo Teorema 14 C A e C B já que r não é perpendicular a Desde que C α pois r α seguese que C A e B são colineares Se C temos em particular que A e C não pertencem a Usando o mesmo raciocínio empregado no início dessa demonstração chegaremos que C A e a interseção do plano β determinado por e com o plano é Entretanto os planos α e β têm em comum a reta r e o ponto A r logo são iguais donde α β e por conseguinte A B e C são colineares Para encerrar temos também que C B pois do contrário r seria perpendicular a Seja r uma reta não perpendicular a um plano Sejam A B r distintos e A e B as projeções de A e B em Pelo Teorema 15 A B Seja r Seja C r um ponto qualquer Pelo Teorema 15 podemos concluir que a projeção de C em C pertence a r Em outras palavras as projeções dos pontos de r em são colineares A reta r chamase a projeção ortogonal de r em ou simplesmente a projeção de r em Se r é perpendicular a então todos os pontos de r conforme o Teorema 14 se projetam no pé da perpendicular de r em Neste caso diremos que o pé da perpendicular de r em é a projeção de r em Def23 Definimos o ângulo entre uma reta r e um plano como sendo 90o se r é perpendicular a e se r não é perpendicular a como sendo o ângulo que r faz com sua projeção sobre ATIVIDADE DE PORTFÓLIO O portfólio da aula 03 consiste em você resolver os exercícios 33 37 42 46 e 51 da lista abaixo e enviar as soluções através do seu portfólio CLIQUE AQUI PARA VISUALIZAR AS QUESTÕES ABAIXO 32 Classifique em verdadeiro V ou falsoF a Para que uma reta e um plano sejam perpendiculares é necessário que eles sejam secantes b Uma reta perpendicular a um plano é perpendicular a todas as retas do plano c Se uma reta é perpendicular a duas retas distintas de um plano então ela é perpendicular ao plano d Uma reta e um plano perpendiculares a uma outra reta em pontos distintos são paralelos 33 Demonstrar que Por um ponto P podese conduzir um único plano perpendicular a uma reta a 34 Provar que se uma reta r forma ângulo reto com duas retas concorrentes s e t contidas em um plano então r é perpendicular a 35 Sejam r s e t retas no espaço Se r é perpendicular a t e s é perpendicular a t então a r e s são paralelas b r s e t são coplanares c r e s são perpendiculares d r e s são reversas 36 Qual a afirmação falsa a Se dois planos são perpendiculares a uma reta então eles são paralelos b Se duas retas são perpendiculares a um plano então elas são paralelas c Se dois planos são paralelos e uma reta é perpendicular a um deles então a reta também é perpendicular ao outro d Duas retas perpendiculares a uma terceira são paralelas entre si e Se uma reta é perpendicular a um plano então toda reta paralela a ela é perpendicular a esse plano 37 Prove que Se dois planos são paralelos todo plano perpendicular a um deles é perpendicular ao outro 38 Uma reta r é paralela a um plano Os pontos A e B são tais que A r B o segmento AB mede 13 cm e a projeção ortogonal de AB sobre mede 12 cm Qual é a distância entre r e 39 Considere a caixa de sapatos representada na figura em que AF mede 36cm e AH mede 18 cm a Qual é a distância do ponto A ao plano pl E F G b Qual é a distância do ponto B ao plano pl E F G c Qual é a distância da projeção ortogonal do segmento AF sobre o plano plE F G 40 Um ponto A dista 10 cm de um plano e um ponto B B é tal que AB mede 20 cm Qual é a medida de um ângulo agudo que a reta AB forma com o plano 41 Um ponto A pertencente a um plano e um ponto B B tais que AB mede 20 m e a projeção ortogonal de AB sobre o plano mede 12 m Qual é a distância do ponto B ao plano 42 Dois planos e β são secantes cuja reta comum é r Dois pontos distintos A e B são tais que B r A AB perpendicular a r AB mede 8 cm e a projeção ortogonal AB de AB sobre β mede 4 cm Qual é a medida de um ângulo agudo formado por β e β 43 Sejam os pontos A B C e o plano tais que Qual é a medida de um ângulo agudo que a reta BC forma com o plano 44 Demonstre que Se dois planos são perpendiculares entre si e uma reta de um deles é perpendicular à interseção dos planos então essa reta é perpendicular ao outro lado 45 Por um ponto P de um plano construa uma reta forme um ângulo θ agudo dado com o plano a 46 Por um ponto P não pertencente a um plano a construa uma reta que forme um θ agudo dado com o plano a 47 Em uma sala de aula duas paredes formam um diedro e são perpendiculares ao plano do piso a Descreva uma maneira de medir esse diedro b Sendo o plano do teto paralelo ao plano do piso que relação existe entre as medidas das secções determinadas nesse diedro pelos planos do teto e do piso 48 Dados quatro pontos não coplanares A B C e D determine os planos tais que cada um deles seja equidistante dos quatro pontos dados 49 Prove que Se dois planos são perpendiculares entre si toda reta perpendicular a um deles é paralela ou está contida no outro 50 Prove que por uma reta r não perpendicular a um plano existe um único plano β perpendicular a a 3cm b 5cm c 35cm d3 e3 51 Prove que Se dois planos são perpendiculares entre si toda reta perpendicular a um deles é paralela ou está contida no outro 52 Prove que por uma reta r não perpendicular a um plano existe um único plano β perpendicular a FÓRUM Discuta suas dúvidas e as questões do portfólio com seus 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