Geometria Euclidiana II: Teoremas sobre Paralelismo

Geometria Euclidiana II Aula 02 Paralelismo Tópico 01 Primeiros Teoremas Doravante admitiremos todos os resultados concernentes à geometria euclidiana plana Passemos aos teoremas básicos acerca de paralelismo e perpendicularismo de retas ou planos que são assuntos sob os cuidados da geometria euclidiana espacial Teorema 01 Sejam r uma reta paralela a um plano e P Então a reta paralela a r passando por P está contida em Clique aqui para ver prova 01 CLIQUE AQUI PARA VER PROVA 01 Seja α o plano determinado por P e r Temos que e α são concorrentes Seja s α Pelo fato de s e r ser paralela a seguese que s r e pelo fato de s e r serem coplanares estão contidas em α vem que s e r são paralelas Desde que P é comum a α e decorre que P s Assim sendo a reta paralela a r passando por P está contida em Teorema 02 Se uma reta r é paralela a um plano então existe uma reta contida em paralela a r e distinta Clique aqui para ver prova 02 NCLIQUE AQUI PARA VER PROVA 02 Seja P um ponto qualquer de Pelo Teorema 1 a reta paralela a r passando por P está contida em Logo seguese o resultado Teorema 03 Se uma reta r é paralela a uma reta r contida num plano e não está contida nesse plano então r é paralela a Clique aqui para ver prova 03 CLIQUE AQUI PARA VER PROVA 03 Por absurdo suponhamos que r fura Seja P r Seja α o plano determinado por r Temos r α Sendo P r e r α vem que P r Como r α seguese que P r Isto é uma contradição ao fato de P r e r ser paralela e distinta a r Teorema 04 Sejam r e s e u e v pares de retas concorrentes Se ru e sv então os planos determinados por r e s e u e v são paralelos ou coincidentes Clique aqui para ver prova 04 CLIQUE AQUI PARA VER PROVA 04 Sejam α o plano determinado por r e s e β o plano determinado por u e v Suponhamos que α β Devemos mostrar que αβ Antes mostraremos que r não está contida em β Por absurdo suponha que r β Assim sendo teremos necessariamente s β pois do contrário como s é paralela a uma reta contida em β pelo Teorema 3 decorreria que sβ o que seria uma contradição ao fato de um ponto de s pertencer a r e r β Posto que r β e s β então α β Contradição Portanto r β Isto implica de acordo com o Teorema 3 que rβ já que r é paralela a uma reta contida em β Dado que s tem um ponto em comum com r e rβ seguese que a s β e daí pelo Teorema 3 sβ uma vez que s é paralela a uma reta contida em β Enfim r e s são retas paralelas a β Para encerrar a demonstração suponhamos por absurdo que α e β não são paralelos Como são distintos seja t α β Então t r e s são coplanares Como r e s são concorrentes t não é simultaneamentre paralela a r e s Assim t é concorrente a uma delas já que t é distinta de ambas Digamos r Seja P r t Isto é uma contradição ao fato de rβ Geometria Euclidiana II Aula 02 Paralelismo Tópico 02 Mais teoremas Teorema 05 Por um ponto não pertencente a um plano passa um único plano paralelo ao plano dado Clique aqui para ver prova 05 CLIQUE AQUI PARA VER PROVA 05 Existência Sejam P um ponto e π um plano tais que P π Sejam u e v retas concorrentes contidas em π e r e s as retas passando por P respectivamente paralelas a u e v É óbvio que r e s não estão contidas no plano π Pelo teorema anterior o plano α determinado por r e s é paralelo a π Unicidade Seja β um plano paralelo a α passando por P Mostraremos que β α É claro que as retas concorrentes u e v contidas em π são paralelas ao plano β Pelo Teorema 1 as respectivas paralelas a u e v passando por P estão contidas em β uma vez que P β Essas paralelas são r e s Posto que duas retas concorrentes determinam um único plano segue se que β α Teorema 06 Se uma reta fura um plano fura também qualquer plano paralelo a esse plano Clique aqui para ver prova 06 CLIQUE AQUI PARA VER PROVA 06 Sejam α e β planos paralelos e r uma reta que fura o plano α num ponto P Por absurdo suponhamos que r não fura o plano β Como P r e P β então r β logo rβ Seja s β tal que sr Desse modo temos P α sα pois s β e βα e r a paralela a s passando por P Pelo Teorema 1 segue se que r α Contradição Teorema 07 Se s t rs e rt então st Clique aqui para ver prova 07 CLIQUE AQUI PARA VER PROVA 07 Inicialmente vamos mostrar que s t Do contrário teríamos duas retas distintas s e t paralelas a r passando por um mesmo ponto fora de r Isto iria contradizer o axioma das paralelas axioma 7 Logo s t Resta provarmos que s e t são coplanares Sejam A s e B t Sejam u AB e α o plano determinado por u e s Distinguiremos dois casos Caso 1 r α O plano β contendo t e r tem um ponto em comum com α o ponto B e a reta r em que B r Desde que uma reta e um ponto fora desta determinam um único plano seguese que α β e portanto s e t são coplanares Caso 2 r α Sendo rs pelo Teorema 3 decorre que rα Assim sendo pelo Teorema 1 a reta paralela a r passando por B α está contida em α Essa reta é t Por conseguinte t e s estão contidas em α Teorema 08 Sejam r e s e u e v pares de retas concorrentes Se ru e sv então Lrs L uv Clique aqui para ver prova 08 CLIQUE AQUI PARA VER PROVA 08 Sejam P r s e Q u v Se os planos que contêm r e s e u e v são iguais o resultado é fácil de demonstrar Deixamos a prova detalhada do teorema para este caso como exercício Suponhamos que os planos são distintos Seja α o plano que contém r e u e β o que contém s e v Temos Sejam A r e B u pontos pertencentes a um mesmo semiplano determinado por em α tais que Desse modo ABQP é um paralelogramo donde Sejam C s e D v pontos pertencentes a um mesmo semiplano determinado por em β tais que Assim sendo CDQP é um paralelogramo donde Dessa maneira temos pela transitividade do paralelismo entre retas que Dado que ru e sv vem conforme o Teorema 4 que os planos determinados por r e s e u e v são paralelos logo Posto que e são coplanares seguese que Assim sendo ABDC é um paralelogramo donde Logo APC APC LLL e por conseguinte Portanto L rs L uv EXERCITANDO 19 A 31 O saber enobrece a consciência desse saber dignifica Prof Msc Ailton Feitosa CLIQUE AQUI PARA VISUALIZAR AS QUESTÕES ABAIXO 19 Assinale a afirmação verdadeira a Quatro pontos quaisquer são sempre coplanares b Existe um único plano que passa por três pontos distintos entre si c Se dois planos têm uma reta comum então eles são secantes d Dois planos distintos são secantes se e somente se tiverem uma única reta em comum e Uma reta e um plano podem ter dois e apenas dois pontos distintos em comum 20 Faça o que se pede a Defina retas paralelas b Sejam r e s duas retas paralelas distintas e P um ponto não pertencente ao plano pl rs Prove que a reta t intersecção plP r e plPs é paralela a r e s 21 Prove que se uma reta corta uma de duas paralelas então corta também a outra 22 Uma reta r é concorrente com uma reta s s contida num plano Qual é a posição da reta r em relação ao plano 23 Demonstre que Se m e n são retas paralelas então todos os pontos de m estão à mesma distância da reta n 24 Mostre a recíproca do teorema da questão 23 ou seja se todos os pontos de n estão à mesma distância da reta m então m e n são paralelas 25 Assinalar a afirmação falsa a Um plano fica determinado por duas retas paralelas distintas b Por um ponto de espaço existe uma única reta paralela a uma reta dada c Toda reta não contida num plano e paralela a um reta contida nesse plano é paralela ao plano d Por um ponto não pertencente a um plano existe uma única reta paralela esse plano e Se duas retas são paralelas então todo o plano secante a uma delas também é secante à outra 26 O segmento ligando os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado e tem metade de seu comprimento 27 Prove que as diagonais de um paralelogramo se intersectam em um ponto que é o ponto médio das duas diagonais 28 Dada uma reta r e um plano α podese afirmar que a Existe um plano β que contém r e é paralelo a α b Existe um plano β que contém r e é secante a α c Existe um plano β paralelo a α e paralelo a r d Existe uma reta t paralela a r e paralela a α e Não existe uma reta t concorrente com a r e paralela a α 29Uma condição necessária e suficiente para que dois planos sejam paralelos é que a Uma reta de um seja paralela ao outro b Duas retas de um sejam paralelas ao outro c Duas retas paralelas distintas de um sejam paralelas ao outro d Toda reta de um seja paralela a toda reta do outro e Um deles contenha duas retas concorrentes paralelas ao outro 30 Se uma reta é paralela a um plano e por um ponto do plano conduzimos uma reta paralela à reta dada então a reta conduzida está contida no plano 31 Se uma reta paralela a um dos lados de um triângulo corta os outros dois lados então ela os divide na mesma razão ATIVIDADE DE PORTFÓLIO O portfólio da aula 02 consiste em você resolver os seguintes exercitandos 20 22 24 26 e 30 e enviar as soluções através do seu portfólio FÓRUM Discuta suas dúvidas e as questões do portfólio com seus colegas Fontes das Imagens