Geometria Euclidiana II - Aula 04: Definições e Teoremas sobre Cilindro, Cone e Esfera

Geometria Euclidiana II Aula 04 Definições e Teoremas Cilindro Cone e Esfera Tópico 01 Cilindro Fonte 1 Entenderemos por figura plana qualquer um dos seguintes subconjuntos de um plano polígono convexo ou côncavo mais a região delimitada por ele disco fechado elipse mais seu interior etc enfim qualquer curva fechada simples isto é sem auto interseção mais a região delimitada por ela Vale ressaltarmos que a ideia de figura plana que acabamos de dar é um conceito primitivo ou seja sem definição uma vez que não demos a definição de curva fechada simples e nem tampouco a definição da região delimitada por ela Enfim temos somente uma ideia Def 25 Cilidro Sejam F uma figura contida num plano α um plano beta paralelo a α uma reta r que fura αconsequentemente fura também β e h a distância ente α e β O subconjunto do espaço que é a união de todos os segmentos da reta com uma das extremidades em F e a outra em β paralelo a r chamase cilindro de base F com reta de inclinação r entre α e β Definimos a altura do cilindro como sendo hCaso a reta r seja perpendicular a αe a β o cilidreo chamase cilindro reto de base F entre α e β Conforme demonstraremos adiante a interseção do cilindro com o plano β é uma figura congruente à base veja a definição de figuras congruentes logo após o Teorema 16 a qual será também chama de base Def 26 Chamase prisma todo cilindro cuja base é um polígono Num prisma cada segmento paralelo à reta de inclinação partindo de um vértice da base com outra extremidade do plano β e os lados da base são chamados de aresta As extremidades das arestas são denominadas de vértices do prisma e todo prisma são pertencentes a uma mesma aresta de diagonal do prisma A reunião dos segmentos paralelos à reta de inclinação com uma das extremidades num lado da base e a outra em β chamase face lateral do prisma Def 27 Um cilindro chamase circular se sua base é um disco Def 28 Chamase paralelepípedo todo prisma cuja a base é um paralegramo Todo paralelepípedo reto cuja base é um retângulo ou paralelepídedo retângulo Def 29 Chamase cubo todo paralelepípedo retangular cuja base é um quadrado e cuja altura é igual ao lado da base DICA Seja r uma reta que fura um plano α Então toda reta paralela a r fura qualquer plano paralelo a α PROVA 1 Seja s uma reta qualquer paralela a r Seja y o plano determinado por r e s Como r fura α então α e y são concorrentes Seja t α γ Temos r s e t são coplanares estão contidas em y rs e t e r são concorrentes Logo t e s são concorrentes O ponto de concorrência de t e s é comum a s e α Desde que s αpois s t seguese que s fura α Pelo Teorema 6 s fura qualquer plano paralelo aα Teorema 16 Seja P um prisma entre os planos α e β Se é um plano paralelo a α e β entre α e β então P é uma figura congruente à base de P PROVA 2 Seja F α a base de P Pelo lema as retas que contêm os segmentos paralelos à reta de inclinação do prisma com uma das extremidades em F furam E mais o fazem em pontos pertencentes aos próprios segmentos Sejam A B e C vértices consecutivos quaisquer de F e A B e C as respectivas interseções dos segmentos paralelos à reta de inclinação de P partindo de A B e C com Basta mostrarmos que ABC ABC Temos e como e estão contidos em planos paralelos respectivamente em α e π e são coplanares então Logo ABBA é um paralelogramo Pela mesma razão BCCB e ACCA são paralelogramos Logo e e daí pelo caso LLL de congruência de triângulos seguese que ABC ABC O teorema anterior continua válido se trocarmos a palavra prisma por cilindro Porém precisamos de uma definição de figuras congruentes Antes vamos recordar a definição de polígonos congruentes Dois polígonos são congruentes quando é possível estabelecer uma correspondência biunívoca entre os vértices de um e os vértices do outro de tal maneira que os lados de um são todos congruentes aos lados correspondentes do outro e o mesmo acontecendo com os ângulos DEF 30 Diremos que uma figura F é congruente a uma figura G e escrevemos F G se existe uma função bijetiva f F G tal que fAfB para quaisquer que sejam os pontos distintos AB F Em outras palavras uma figura é congruente à outra se é possível estabelecer uma correspondência biunívoca entre elas de tal maneira que segmentos correspondentes são congruentes Note que pelo caso LLL de congruência de triângulos figuras congruentes têm ângulos correspondentes congruentes É possível demonstrar que a definição que acabamos de dar no caso de F ser um polígono é equivalente à definição de congruência de polígonos que recordamos há pouco Omitiremos a prova Teorema 17 Seja C um cilindro entre os planos α e β Se é um plano paralelo a α e β entre α e β então C é uma figura congruente à base de C PROVA 3 Seja F α a base de C Pelo lema do Teorema 16 as retas que contêm os segmentos paralelos à reta de inclinação do cilindro com uma das extremidades em F furam E mais o fazem em pontos pertencentes aos próprios segmentos Seja F π C Para mostrar que F F basta estabelecermos uma correspondência biunívoca entre F e F de tal modo que segmentos correspondentes sejam congruentes A correspondência é a seguinte a cada A F associamos A F em que A é o ponto de interseção do seguinte segmento com aquele paralelo à reta de inclinação do cilindro com uma das extremidades em A e a outra em β Sejam A B e C distintos Mostraremos que Com efeito temos e como e estão contidos em planos paralelos respectivamente em α e π e são coplanares então Logo ABBA é um paralelogramo e portanto Geometria Euclidiana II Aula 04 Definições e Teoremas Cilindro Cone e Esfera Tópico 02 Cone Def 31 cone Sejam F uma figura plana e V um ponto não pertencente ao plano que contém F O subconjunto do espaço que é a união de todos os segmentos de reta com uma das extremidades em F e a outra em V chamase cone de base F e vértice V Definimos a altura do cone como sendo a distância do vértice ao plano que contém a base Def 32 Chamase pirâmide todo cone cuja base é um polígono DEFINIÇÃO Numa pirâmide cada segmento que une um vértice da base e o vértice da pirâmide e os lados da base são chamados de aresta Os triângulos cujos vértices são o vértice da pirâmide e dois vértices consecutivos da base são chamados de faces laterais da pirâmide Def 33 Uma pirâmide chamase regular se sua base é um nágono regular n 4 e a projeção de seu vértice sobre o plano da base coincide com o centro desta Def 34 Chamase tetraedro toda pirâmide cuja base é um triângulo DEFINIÇÃO Um tetraedro é dito regular se todas as suas faces são triângulos equiláteros Note que quatro pontos não coplanares são sempre vértices de um tetraedro e que qualquer face lateral de um tetraedro pode ser tomada como base Def 35 Um cone chamase circular se sua base é um disco Um cone circular é dito reto se a projeção ortogonal de seu vértice sobre o plano da base coincide com o centro dela Todo segmento de reta que une o vértice de um cone circular reto a um ponto da fronteira da base chamase geratriz do cone DEFINIÇÃ Note que as geratrizes de um cone circular reto tem a mesma medida DICA Sejam V um ponto não pertencente a um plano α AB α distintos π um plano paralelo a α entre V e α e Então V AB VAB com razão de semelhança igual a PROVA 1 Temos pois estão contidas em planos paralelos e desde que são coplanares seguese que são paralelas Logo VAB VAB Sendo A e B quaisquer pontos distintos em fixemos A e façamos B igual à projeção de V em α Desse modo B é a projeção de V em Então a razão de semelhança é igual a Teorema 18 Seja P um pirâmide de vértice V e base F contida num plano Se é um plano paralelo a entre V e α então π P é uma figura semelhante a F cuja razão de semelhança é PROVA 2 As retas que contêm os segmentos com uma das extremidades em F e o outra em V furam E mais o fazem em pontos pertencentes aos próprios segmentos Sejam A B e C vértices consecutivos quaisquer de F e A B e C as respectivas interseções dos segmentos que unem V a A B e C com Basta mostrarmos que ABC ABC com razão de semelhança igual a Pelo lema temos V AB VAB VCB e VAC VAC com razão de semelhança igual a Desse modo seguese que Pelo caso LLL de semelhança de triângulos decorre o resultado O teorema anterior continua válido se trocarmos a palavra pirâmide por cone Porém precisamos de uma definição de figuras semelhantes Antes vamos recordar a definição de polígonos semelhantes Dois polígonos são semelhantes quando é possível estabelecer uma correspondência biunívoca entre os vértices de um e os vértices do outro de tal maneira que os lados de um são proporcionais aos lados correspondentes do outro e ângulos correspondentes são congruentes A razão de semelhança é a razão de proporcionalidade entre os lados do primeiro e os lados do segundo DEF 36 SEMELHANÇA DE FIGURAS Sejam F e G figuras e k um número real positivo Diremos que F é semelhante a G com razão de semelhança k e escrevemos ou simplesmente F G se existe uma função bijetiva f F G tal que para quaisquer que sejam os pontos distintos A B F Em outras palavras uma figura é semelhante à outra se é possível estabelecer uma correspondência biunívoca entre elas de tal maneira que segmentos correspondentes são proporcionais Note que pelo caso LLL de semelhança de triângulos figuras semelhantes têm ângulos correspondentes congruentes É possível demonstrar que a definição que acabamos de dar no caso de F ser um polígono é equivalente à definição de semelhança de polígonos que recordamos há pouco Omitiremos a prova Outro fato que não iremos demonstrar e que utilizaremos na aula subsequente acerca de figuras semelhantes é o seguinte a razão entre as áreas de duas figuras semelhantes é igual ao quadrado da razão de semelhança Teorema 19 Seja C um cone de vértice V e base F contida num plano Se π é um plano paralelo a α entre V e α então π C é uma figura semelhante a F cuja razão de semelhança é PROVA 3 As retas que contêm os segmentos com uma das extremidades em F e o outra em V furam E mais o fazem em pontos pertencentes aos próprios segmentos Seja F π C Para mostrar que F F basta estabelecermos uma correspondência biunívoca entre F e F de tal modo que segmentos correspondentes sejam proporcionais com razão de proporcionalidade A correspondência é a seguinte a cada A F associamos A F em que A é o ponto de interseção do seguinte segmento com aquele com uma das extremidades em A e a outra em V Sejam AB F distintos Mostraremos que De fato isto é decorrente do lema do Teorema 18 DEF 37 Sejam C um cone de vértice V e base F contida num plano α e π um plano paralelo a entre V e α O subconjunto de C dos pontos que se situam entre α e π chamase tronco do cone C determinado por π A distância dos planos α e π chamaremos de altura do tronco e F e π C de bases Geometria Euclidiana II Aula 04 Definições e Teoremas Cilindro Cone e Esfera Tópico 03 Esfera Def38 Esfera Sejam O um ponto e r um número real positivo O conjunto dos pontos do espaço cuja distância a O é menor do que ou igual a r chamase esfera de centro O e raio r e será denotada por O r Duas esferas são ditas concêntricas se possuem o mesmo centro Def39 Dados uma esfera e um ponto P dizemos que P é um ponto interior ou exterior de α se respectivamente dPO r ou dPO r O conjunto de todos os pontos interiores de a é chamado de interior de α e é denotado por int α e o dos pontos exteriores é chamado de exterior de e é denotado por ext Def 40 O subconjunto de uma esfera formado pelos pontos cuja distância ao centro é igual ao raio chamaremos de superfície da esfera Teorema 20 Se um plano tem pelo menos dois pontos em comum com uma esfera então a interseção dos dois é um disco cujo centro é a projeção ortogonal do centro da esfera no plano e cuja circunferência é a interseção deste com a superfície da esfera PROVA 1 Sejam αOr a esfera π o plano e A e B pontos distintos pertencentes a α e π Seja O a projeção ortogonal de O em π Como A e B são distintos então O A ou O B Digamos que O A Seja C tal que está bem definido e é positivo pois dOO dOA r E mais dOC r pois caso O O o triângulo OOC é retângulo em O Mostraremos que o disco D contido em π de centro O e raio r OC e α π De fato seja x D Temos dXO2 dOO2 dXO2 dOO2 r2 dOO2 OC2 r2 por conseguinte X α π Tomemos agora X α π Temos DOO2 dXO 2 dXO2 r2 donde d X O2 r2 dOO2 OC2 r2 portanto X e D Isso mostra que D α π Seja C a circunferência de D C é a interseção de com a superfície de Para provar isso é só seguir os mesmos passos que foram utilizados na demonstração de que D α π trocandose por Geometria Euclidiana II Aula 04 Definições e Teoremas Cilindro Cone e Esfera Tópico 04 Posições Relativas entre Planos e Esferas Def 41 Diremos que uma esfera e um plano são secantes se eles têm em comum pelo menos dois pontos se eles têm em comum apenas um ponto diremos que são tangentes naquele ponto e se não tiverem ponto em comum diremos que são exteriores Teorema 21 Sejam α Or uma esfera π um plano e P α π Então π é tangente a α em P P pertence à superfície de α e π PROVA 1 Seja O a projeção de O em π Afirmamos que O P Por absurdo suponhamos que O P Então O O ou o triângulo OOP é retângulo em O Em ambos os casos temos OO OP r donde O alpha o que é uma contradição ao fato de α π P Portanto O P e por conseguinte P O ou π Não podemos ter P O pois se assim o fosse tomandose em um ponto Q tal que O dOQ r teríamos outro ponto comum a e Logo P O e π Vamos agora mostrar que PO r Por absurdo suponhamos que PO r Seja a π tal que Desde que o triângulo OPA é retângulo em P teremos OA2 OP2 PA2 r2 donde A seria outro ponto comum a e Seja Q um ponto qualquer de π distinto de P Dado que π seguese que e como P pertence à superfície de então r OQ Conclusão os pontos de exceto P não pertencem a Portanto α π P Def 42 Consideremos agora as superfícies de duas esferas distintas Se a interseção delas possuir exatamente um ponto diremos que elas são tangentes e se possuir pelo menos dois pontos diremos que são secantes Teorema 22 Sejam α1O1 r1 e α2O2 r2 esferas não concêntricas e P um ponto comum às superfícies de α1 e α2 Então elas são tangentes O1 O2 e P são colineares PROVA 2 Por absurdo suponhamos que O1 O2 e P não são colineares Consideremos o plano determinado por O1 O2 e P Podemos tomar no semi plano oposto ao que contém P em relação a um ponto Q tal que QO1 r1 e QO2 r2 já que r1 r1 O1O2 r1 r2 Assim sendo as superfícies de são secantes o que contraria a hipótese Por absurdo seja Q um ponto comum às superfícies de α1 e α2 tal que Q P Desde que O1 e O2 são equidistantes de P e Q vem que está contida no plano mediador de Logo P contrariando a hipótese Geometria Euclidiana II Aula 04 Definições e Teoremas Cilindro Cone e Esfera Tópico 05 Posição Relativa entre duas Esferas Teorema 23 Dadas duas esferas α1 O1 r1 e α2 O2 r2 não concêntricas temos i as superfícies de α1 e α2 são tangentes dO1O2 r1 r2 ou O1O2 r1 r2 ii as superfícies de α1 e α2 são secantes r1 r2 dO1O2 r1 r2 iii as superfícies de α1 e α2 tem interseção vazia dO1O2 r1 r2 ou dO1O2 r1 r2 PROVA 1 i Seja P o ponto comum às superfícies de α1 e α2 Pelo teorema anterior P O1e O2 são colineares Por conseguinte P ou P É imediato que no primeiro caso temse d O1O2 r1 r2 e no segundo dO1 O2 r1 r2 Se d O1O2 r1 r2 tomemos P tal que O1P r1 Desse modo vem que O2P r2 Portanto P é um ponto comum às superfícies de Como P O1 e O2 são colineares o teorema anterior garante o resultado Suponhamos agora que d O1O2 r1 r2 Assim d O1O2 r1 r2 ou d O1O2 r2 r1 No primeiro caso tomemos P tal que O2 se situa entre O1 e P e O2P r2 e no segundo tomemos P tal que O1 se situa entre O2 e P e O1P r1 No primeiro caso vem que O1P r1 e no segundo O2P r2 Logo em ambos os casos temos que P é um ponto comum às superfícies de Como P O1 e O2 são colineares seguese que P é a interseção das superfícies de ii Seja P um ponto comum às superfícies de Pelo teorema anterior P O1 e O2 não são colineares e portanto o resultado seguese pela desigualdade triangular Consideremos um plano qualquer que contenha O1 e O2 Podemos tomar em cada semiplano em relação a respectivamente um ponto P e um ponto Q tais que PO1 r1 PO2 r2 QO1 r1 e QO2 r2 já que r1 r2 O1O2 r1 r2 Logo as superfícies de α1 e α2 são secantes iii É óbvio Sejam β1 e β 2 as respectivas superfícies de α1 e α2 Observação 01 No caso em que d O1O2 r1 r2 temos que os pontos de uma exceto o de tangência P são exteriores à outra Com efeito seja QP tal que Q β1 e α2 1 isto é d QO1 r1 Como Q vem que dO1O2 d O1Qd QO2 donde r1r2 r1dQO2 e portanto r2 d QO2 ou seja Q ext 2 Nesse caso dizemos que 1 e 2 são tangentes externas Observação 02 No caso em que dO1O2r1r2 então os pontos exceto o de tangência P daquela que tiver o menor raio são interiores à outra enquanto que os pontos exceto o de tangência daquela que tiver o maior raio são exteriores à outra De fato digamos que r1 r2 Seja Q P tal que Q β1 β2 Desde que O1 verifique isto seguese que d QO2 d O1Qd O1O2 É imediato que se Q β1 então dQO2 r2 e se Q β2 então r1 d QO1 como queríamos provar Nesse caso dizemos que aquela de menor raio é tangente interna à outra e que esta é tangente externa à primeira Observação 03 Se dO1O2 r1r2 então os pontos de uma são exteriores à outra De fato seja Q β1 β1 Temos que r1r2 d O1O2 d O1O2 O1Q QO2 donde decorre que se Q β1 então d QO2 r2e se Q β2 então d O1Q r1 Dizemos nesse caso que elas são externas Observação 04 Se d O1O2 r1r2 então os pontos daquela de menor raio são interiores à outra enquanto que os pontos desta são exteriores à primeira Com efeito para fixarmos as ideias digamos que r1 r2 Seja Q β1 β2 Posto que dQO2 d O1Q dO1O2 O1Q r1r2 decorre que se Q β1 então d O1Q r1 Nesse caso dizemos que a de menor raio é interna à outra e que está é externa à primeira Se duas esferas distintas são concêntricas é imediato que os pontos daquela de menor raio são interiores à outra ao passo que os pontos da superfície desta são exteriores à primeira Neste caso diremos que a superfície da primeira é interna à da segunda e que a superfície desta é externa à da primeira Teorema 24 Sejam α1O1 r1 e α2O2 r2 duas esferas não concêntricas e cujas superfícies são secantes Então estas se interceptam segundo uma circunferência cujo centro é a projeção ortogonal de O1 e de O2 no plano que a contém PROVA 1 Seja P um ponto comum às superfícies de α1 e α2 Como elas são secantes temos que P não pertence a Sejam o plano passando por P e perpendicular a e O o pé da perpendicular em Temos O O1 ou O O2 Digamos que O O1 Seja β a circunferência contida em de centro O e raio r OP Afirmamos que a interseção das superfícies é β Seja Q um ponto qualquer distinto de P na interseção Q não pertence a Mostraremos que Q β Com efeito desde que O1O2P O1O2Q seguese que donde e portanto P1O QO1O Posto que é reto decorre que também o é e portanto Q e π Uma vez que r PO QO vem que Tomemos agora Devemos mostrar que Q pertence à interseção De fato como QO r PO então PO1O QO1O donde QO1 PO1 r1 e logo por conseguinte O1O2P O1O2Q e assim QO2 PO2 r2 Assim sendo Q pertence à interseção das superfícies de α1 e α2 Por conseguinte a interseção das superfícies das esferas é uma circunferência cujo centro é a projeção ortogonal de O1 e de O2 no plano que a contém EXERCITANDO 51 A 74 Sonhos são projetos da verdadeira riqueza Valores Virtudes e Sabedoria Prof Ms Ailton Feitosa CLIQUE AQUI PARA VISUALIZAR AS QUESTÕES ABAIXO 51 Determine o raio de um círculo cuja área é igual à área lateral de um cilindro equilátero de raio r 52 Um reservatório para álcool tem a forma de um cilindro reto com 16m de altura e 8m de diâmetro da base Qual a capacidade em litros do reservatório 53 Determine o volume do cilindro inscrito num cubo de aresta 2 cm 54 O tonel representado ao lado está ocupado em 60 de sua capacidade Qual a quantidade de água nele contida em litros 55 O raio interior de uma torre circular é de 120 cm a espessura 50 cm e o volume do material utilizado na construção é 145 m3 Qual é a altura da torre 56 Um pluviômetro cilíndrico tem um diâmetro de 30 cm A água colhida pelo pluviômetro depois de um temporal é colocada em um recipiente também cilíndrico cuja circunferência da base mede 20 cm Que altura havia alcançado a água no pluviômetro sabendo que no recipiente alcançou 180 mm 57 O Líquido contido em uma lata cilíndrica deve ser distribuída em potes também cilíndricos cuja altura é ¼ da altura da lata e cujo diâmetro da base é 13 do diâmetro da base da lata O Número da potes necessários é a 6 b12 c 18 d 24 e 36 58 A altura de um cilindro é de 20 cm Aumentandose 5 cm o raio da base desse cilindro a área lateral do novo cilindro fica igual à área total do primeiro O Raio da base do primeiro cilindro é igual a a 10 cm b 12 cm c 6 cm d 8 cm e 5 cm 59 Determinar o volume de um cilindro reto de raio r sabendo que sua área total é igual à área de um circulo de raio 5r 60 Um cone equilátero tem raio da base 3 cm Calcule a a área lateral do cone b a área total do cone c A medida em graus do ângulo central do setor circula equivalente à superfície lateral do cone 61 As áreas da base e de uma secção transversal de um cone circula são 32cm2 e 4cm2 respectivamente Sabendo que a altura do cone é 12cm calcule a distância entre o plano dessa secção transversal e a base do cone 62 Num cone reto a altura é 3m e o diâmetro da base é 8m Então a área total vale a 52 b 36 c 20 d 16 e 12 63 Qual o volume de um cone circular reto se a área de sua superfície lateral é de 24 cm2 e o raio de sua base mede 4 cm 64 O ângulo central do setor circular equivalente à superfície lateral de um cone de revolução mede 72º Determine o volume desse cone sabendo que o perímetro de sua base é 6πcm 65 Um cone de revolução de raio da base 12cm é equivalente a um cilindro de revolução de altura 12cm e raio da base 8cm Qual é a área total do cone 66 Um cone circular reto de altura 9m é equivalente a uma pirâmide regular quadrangular de altura de altura 4m e aresta da base 12 m Obtenha a área da base do cone 67 Um cone circula reto de altura 2 cm tem área lateral 8 3cm2 Calcule a medida do ângulo que uma geratriz forma com o eixo do cone 68 O diâmetro da base de um cone circula reto mede 6 cm e a área da base é igual a 35 da área lateral Encontre o volume desse cone 69 Uma secção meridiana de um cone equilátero é um triângulo de área A Calcule em função de A o volume desse cone 70 Um Cilindro de revolução tem raio da base r e altura 2r Retiramse desse cilindro dois cones circulares tais que suas bases coincidem com as bases do cilindro e seus vértices coincidem com o centro do cilindro Calcule o volume do sódio remanescente em função de r 71 Uma secção plana de uma esfera tem raio 3 cm e dista 4 cm do centro da esfera Calcular o volume dessa esfera 72 Sabendo que a área de uma superfície esférica é 8 cm2 o raio da esfera é a 2cm b 32cm c 5cm d 75cm e 3cm 73 O volume de uma esfera é 36 cm3 Qual é a área de uma secção plana que dista 22cm do centro dessa esfera 74 O volume de uma esfera é 83 cm3 Qual é a área da superfície dessa esfera ATIVIDADE DE PORTFÓLIO O portfólio da aula 04 consiste em você resolver os seguintes exercitandos 54 58 63 70 e 74 e enviar as soluções através do seu portfólio FÓRUM Discuta suas dúvidas e as questões do portfólio com seus colegas Fontes das Imagens 1 httpwwwalgosobrecombrimagesstoriesmatematicageomplana02png