Geometria Euclidiana: Conceitos Primitivos e Axiomas

Geometria Euclidiana II Aula 01 Conceitos primitivos e Axiomas Tópico 01 Axiomas da Geometria Euclidiana Axioma 1 Existe um conjunto denominado espaço e duas coleções de subconjuntos do espaço satisfazendo às propriedades enunciadas nos axiomas subsequentes Os elementos do espaço são chamados de pontos os de uma das coleções referidas no axioma 1 são denominados retas e os da outra planos Vale observar que os elementos das retas e dos planos são pontos Ponto reta e plano são os conceitos primitivos da geometria euclidiana plana Os pontos são denotados usualmente por letras maiúsculas A B C as retas por letras minúsculas r s t e os planos por letras gregas α β Intuitivamente podemos imaginar que uma porção de um plano é a superfície de uma mesa ou uma folha de papel estirada uma porção de uma reta é um risco feito nesta folha com o auxílio de uma régua ou um cordão esticado e um ponto é um furinho feito com a ponta de um alfinete numa folha ou um pingo feito com uma caneta etc O espaço pode ser pensado como sendo nosso ambiente Diremos que dois ou mais pontos são coplanares ou colineares respectivamente se pertencem a um mesmo plano ou a uma mesma reta diremos ainda que dois ou mais conjuntos não vazios de pontos são coplanares ou colineares se todos os seus pontos são respectivamente coplanares ou colineares Se um ponto A pertence a uma reta r ou a um plano é usual dizer que r ou passa por A Estabelecida essa linguagem inicial fixaremos a seguir alguns princípios Axioma 2 Por dois pontos distintos passa uma única reta Se A e B são pontos distintos pertencentes à reta r denotamos ou Axioma 3 Por três pontos não colineares passa um único plano Axioma 4 Se o plano passa por dois pontos distintos A e B então Axioma 5 Se a interseção de dois planos é não vazia então esta contém pelo menos dois pontos distintos Axioma 6 Cada reta contém pelo menos dois pontos distintos todo plano contém no mínimo três pontos não colineares o espaço contém pelo menos quatro pontos distintos entre si não coplanares e não colineares Geometria Euclidiana II Aula 01 Conceitos primitivos e Axiomas Tópico 02 Consequências Imediatas dos Axiomas Estabeleceremos a seguir resultados decorrentes dos axiomas que foram estabelecidos no tópico anterior OBSERVAÇÃO Como consequência do axioma 2 podemos concluir que a interseção de duas retas distintas é um conjunto unitário ou o conjunto vazio No primeiro caso dizemos que elas são concorrentes e no segundo dizemos que são reversas se não são coplanares e paralelas e distintas se são Usaremos a notação rs para indicar que uma reta r é paralela a uma reta s Passemos agora a analisar as possibilidades acerca da interseção de dois planos distintos α e β Ela poder ser ou não vazia No caso de ser vazia dizemos que os planos são paralelos e distintos e escrevemos αβ Se não o axioma 5 garante que esta interseção contém pelo menos dois pontos distintos A e B Pelo axioma 4 podemos concluir que e donde Na realidade De fato de acordo com o axioma 3 nenhum ponto fora da reta isto é nenhum ponto não pertencente a pode pertencer a α β uma vez que α β Em resumo a interseção de dois planos distintos é vazia ou é uma reta No caso de ser uma reta diremos que os planos são concorrentes OLHANDO DE PERTO O que pode ser a interseção de uma reta com um plano Respondamos Se ela contém dois pontos então pelo axioma 4 a reta está contida no plano donde a interseção é a própria reta Restam as seguintes possibilidades vazia ou conjunto unitário Na primeira dizemos que a reta e o plano são paralelos e na segunda dizemos que a reta fura o plano ou ela é secante a ele Adotaremos a notação rπ para indicar que uma reta r é paralela a um plano π Existe um único plano contendo uma reta e um ponto fora desta dados assim como há um único plano contendo duas retas concorrentes dadas Justifiquemos a primeira afirmação Pelo axioma 6 existem dois pontos distintos A e B pertencentes a reta dada Seja C o ponto fora desta Assim sendo A B e C não são colineares Pelo axioma 3 existe um único plano que contém A B e C Este também contém a reta graças ao axioma 4 A unicidade seguese porque todo plano que contém e C contém A B e C Provemos agora a segunda assertiva Sejam r e s as retas concorrentes e A r s Sejam B r A s A e C s A usando o axioma 6 Temos a três pontos não colineares A B e C O plano π determinado por A B e C contém r e s Qualquer que seja o plano contendo r e s contém A B e C e por conseguinte e igual a π Também dadas duas retas paralelas existe um único plano que as contém Deixamos a prova deste fato como exercício Axioma 7 Postulado de Euclides Por um ponto fora de uma reta passa uma única reta paralela à reta dada OLHANDO DE PERTO Levouse a crer que o postulado de Euclides o quinto de seu trabalho pudesse ser demonstrado a partir dos quatro outros De modo que matemáticos famosos que passaramse em quase dois mil anos o tentaram Somente no século XIX é que dois matemáticos trabalhando independentemente provaram a independência do quinto postulado Foram eles Nicolai Lobachevsky 1793 1856 russo e o húngaro Johan Bolyai 1802 1860 Foi com o artigo On the Principles of Geometry em 1829 publicado por Lobachevsky que ficou provado definitivamente que o quinto postulado não podia ser obtido a partir dos demais A prova consistiu em substituílo por outro que lhe é contraditório e a partir disto demonstrouse que a soma dos ângulos internos de um triângulo é menor do que 180 resultado este que entra em choque com o teorema da geometria euclidiana plana que afirma ser igual a 180 esta soma A chamada geometria não euclidiana nascia oficialmente com aquele artigo EXERCITANDO Só conheço duas formas de aprender Matemática uma é pelo talento a outra é pelo esforço Prof Msc Ailton Feitosa CLIQUE AQUI PARA VISUALIZAR AS QUESTÕES ABAIXO 01 Demonstre que Duas retas distintas ou não se interceptam ou se interceptam em um único ponto 02 Prove que duas retas distintas ou não intersectamse ou intersectamse em um único ponto 03 Para todo ponto P existe pelo menos uma reta l que não passa por P 04 Demonstrar que duas retas paralelas distintas determinam um plano 05 Sejam dois pontos A e B e um terceiro ponto C entre eles É possível provar que C pertencente a reta que passa por A e B utilizando somente os 5 postulados de Euclides 06 É possível provar a partir dos 5 postulados de Euclides que para toda reta l existe um ponto pertencente a l e um ponto que não pertence a l 07 Demonstre que Três retas duas a duas concorrentes não passando por um mesmo ponto estão contidas no mesmo plano 08 Quais das afirmações abaixo são verdadeiras Por definição uma reta m é paralela a uma reta l se para quaisquer dois pontos P e Q em m a distância perpendicular de P a l é a mesma distância perpendicular de Q a l Axioma ou postulados são afirmações que são assumidas sem justificativas enquanto que teoremas ou proposições são provadas usando os axiomas Se A B e C são pontos colineares distintos é possível que ambos A B C e A C B ocorram ABC é logicamente equivalente a C B A 09 Demonstrar que duas retas concorrentes r e s determinam um plano 10 É comum encontrarmos mesas com 4 pernas que mesmo apoiadas em um piso plano balançam e nos obrigam a colocar um calço em uma das pernas se a quisermos firme Explique usando argumentos de geometria por que isso não acontece com uma mesa de 3 pernas 11 Quantos pontos comuns a pelo menos duas retas pode ter um conjunto de 3 retas no plano E um conjunto de 4 retas do plano E um conjunto de n retas do plano 12 Prove que a união de todas as retas que passam por um ponto A é o plano 13 Prove que Um segmento tem exatamente um ponto médio 14 Podemos afirmar que se dois planos são paralelos então toda reta contida em um deles é paralela ao outro Por quê 15 Justificar a seguinte afirmação nem sempre três pontos distintos determinam um plano 16 Demonstre que por qualquer ponto de uma reta passa uma única perpendicular a esta reta 17 Qual das afirmações seguintes é verdadeira a Se duas retas distintas não são paralelas então elas são concorrentes b Duas retas nãocoplanares são reversas c Se a intersecção de duas retas é o conjunto vazio então elas são paralelas d Se três retas são paralelas então existe um plano que as contém e Se três retas distintas são concorrentes duas a duas então elas determinam um plano 18 Na determinação de um plano são suficientes os seguintes elementos a Duas retas distintas b Uma reta e um ponto c Duas retas reversas d Duas retas concorrentes e Nda ATIVIDADE DE PORTFÓLIO As questões referentes ao primeiro portfólio dessa nossa disciplina são todos os exercitando portanto resolvam os exercitando 01 04 08 12 e 18 e enviem as soluções através do seu portfólio FÓRUM Discuta suas dúvidas e as questões do portfólio com seus colegas Fontes das Imagens 1 httpswwwyoutubecomembedQ1jI8RsGfOA 2 httpswwwyoutubecomembedxaBBHAYoCMstart122 3 httpswwwyoutubecomembedxaBBHAYoCMstart202 4 httpswwwyoutubecomembedE14j1eByZbUstart75 5 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