Geometria Euclidiana II: Aula 06 - Poliedros e Definições

Geometria Euclidiana II Aula 06 Poliedros Tópico 01 Definições Os sólidos que estudamos até agora foram o cilindro o cone e a esfera Falta estudarmos mais um tipo importante de sólido poliedro Conforme veremos são poliedros os prismas e as pirâmides Assim o estudo dos poliedros é uma extensão do estudo dos prismas e das pirâmides O conceito de poliedro está para o espaço assim como o conceito de polígono está para o plano É O QUE VEREMOS A SEGUIR Primeiramente vamos recordar o conceito de polígono Def 47 Chamase polígono a região de um plano delimitada por um número finito de segmentos de reta contidos nesse plano que satisfazem às seguintes condições i cada extremidade de qualquer segmento é extremidade de exatamente dois segmentos ii dois segmentos consecutivos quaisque nunca são colineares iii dois segmentos não consecutivos quaisquer jamais se interceptam Os segmentos são chamados de lados e suas extremidades de vértices do polígono A reunião dos lados chamase linha poligonal fechada bordo ou fronteira do polígono Adotaremos a notação P para denotar o bordo de um polígono P Um polígono é convexo se satisfaz à seguinte condição iv fixado cada lado os demais se encontram num mesmo semiplano em relação ao fixado Nas figuras anteriores o polígono da esquerda é convexo ao passo que o da direita é côncavo Def 48 Dois polígonos P e Q serão chamados de consecutivos se PQ PQ Def 49 Poliedro Chamase poliedro a região do espaço delimitada por um número finito de polígonos que satisfazem às seguintes condições i cada lado de qualquer polígono é lado de exatamente dois polígonos ii dois polígonos consecutivos quaisquer nunca são coplanares iii dois polígonos não consecutivos quaisquer jamais se interceptam Os polígonos são chamados de faces os lados das faces são chamados de arestas e os vértices das faces de vértices do poliedro Chamase diagonal do poliedro todo segmento de reta que une dois vértices não pertencentes a uma mesma aresta A reunião das faces chamase superfície bordo ou fronteira do poliedro Um poliedro é convexo se satisfaz à seguinte condição iv fixada cada face as demais se encontram num mesmo semiespaço em relação à fixada Nas figuras anteriores o poliedro da esquerda é convexo ao passo que o da direita é côncavo Seja P um poliedro com F faces que satisfaçam à condição iv Fixada a iésima face as demais estão contidas num mesmo semiespaço determinado por esta face fixada Denotemos por Ei esse semiespaço Então P E1 E2 Ef Chamaremos de poliedro convexo todo aquele que satisfaça à condição iv Geometria Euclidiana II Aula 06 Poliedros Tópico 02 Representação Plana de um Poliedro Convexo Podemos representar um poliedro convexo num plano Vejamos de que maneira Consideremos o poliedro particular a seguir O modo como procederemos neste poliedro pode ser realizado num poliedro convexo qualquer A ideia é a seguinte consideremos apenas o esqueleto do poliedro isto é somente as arestas e os vértices e imaginemos que as arestas podem tomar qualquer direção ser esticadas ou encolhidas como um elástico Admitamos ainda que elas conservam suas formas de segmento de reta e que os vértices são nós que não se desatam das arestas das quais são extremidades Escolhamos qualquer uma das faces do poliedro digamos a face ABCD Estiquemos suas arestas e movimentandoas livremente coloquemolas num plano de tal modo que as demais arestas e vértices do poliedro fiquem em seu interior decompondo esta face como soma das demais faces transformadas conforme mostra a seguinte figura Essa decomposição é possível dado que o poliedro é convexo Enfim temos a uma representação plana do poliedro cujos vértices A B C D E F e G correspondem respectivamente a A B C D E e G Note que nela estão preservados o número de vértices de arestas de faces do poliedro de arestas que partem de um mesmo vértice assim como a quantidade de arestas de uma mesma face Chamaremos essa representação do poliedro de representação plana segundo a face ABCD Veja a seguir exemplos de poliedros e a sua direita uma representação plana Descubra segundo qual face sem texto Geometria Euclidiana II Aula 06 Poliedros Tópico 03 Relação de Euler Leonhard Euler Euler 1707 1783 1 Leonhard Euler 2 suíço nasceu na cidade de Basiléia em 15 de abril de 1707 e morreu em 18 de setembro de 1783 em São Petersburgo Muito precoce aos vinte anos de idade tornouse membro associado da Academia de Ciências de São Petersburgo Sua contribuição para a geometria analítica e para a trigonometria pode ser comparada à de Euclides para a geometria plana É responsável por notações da Matemática utilizadas nos dias atuais tais como para constante neperiana Σ para somatório A B e C para ângulos de um triângulo fx para função etc Um dos teoremas mais importantes da geometria euclidiana espacial é o que estabelece uma relação existente entre o número de vértices arestas e faces de um poliedro convexo conhecida por Relação de Euler Eilo Teorema 34 Se V A e F são respectivamente o número de vértices arestas e faces de um poliedro convexo então V A F 2 PROVA Sejam P1 P2 Pf as faces do poliedro e n1 n2 nf respectivamente o número de arestas de P1 P2 Pf Consideremos a representação plana do poliedro segundo a face P1 Sejam A1 A2 An1 os vértices correspondentes aos vértices de P1 nessa representação plana Temos n₁ n₂ nᵖ 2A pois de acordo com a definição de poliedro cada aresta é aresta de exatamente duas faces e portanto na contagem n₁ n₂ nᵖ computamos duas vezes o número de arestas Agora vamos calcular o somatório de todos os ângulos internos de todos os polígonos da decomposição da face transformada A₁ A₂ A₁ₙ Faremos isso de dois modos e depois igualaremos os resultados A primeiro modo será calculandose a soma dos ângulos internos de cada polígono da decomposição e em seguida somar tudo A face transformada está decomposta em F 1 polígonos Os números de lados desses polígonos são n₂ n₃ nᵗ Por consequente as respectivas somas de seus ângulos internos são 180n₂ 2 180n₃ 2 180nᵗ 2 Logo a soma de tudo é 180n₂ n₃ nᵗ 2F 1 A outra maneira de se calcular o somatório será feita calculandose a soma dos ângulos internos de A₁ A₂ A₁ₙ e a este resultado somar os ângulos que ficam em torno dos vértices internos da decomposição de A₁ A₂ A₁ₙ Note que a soma dos ângulos que ficam em torno de cada um desses vértices é igual a 360 A quantidade desses vértices é V n₁ portanto o somatório é igual a 180n₁ 2 360V n₁ Igualandose I a II e substituindose n₂ n₃ nᵗ por 2A n₁ chegase a 1802A n₁ 2F 1 180n₁ 2 360V n₁ onde seguese que V A F 2 Nesse poliedro temos V 12 A 24 e F 12 donde V A F 0 Platão grego foi um dos pensadores mais influentes de todos os tempos Nasceu em Atenas por volta do ano 428 aC e morreu em 348 Foi o fundador de uma escola de filosofia chamada Academia2 situada em Atenas Conheceu Euclides em Mégara com quem compartilhava as mesmas ideias Há uma importante classe de poliedros que recebe uma denominação em sua homenagem Um poliedro convexo chamase poliedro de Platão se suas faces têm o mesmo número n de arestas e se de cada vértice partem o mesmo número m de arestas Vejamos a seguir dois exemplos Sejam V A e F respectivamente os números de vértices arestas e faces de um poliedro de Platão Pelo fato de suas faces terem o mesmo número n de arestas e cada aresta é aresta de exatamente duas faces seguese que nF 2A posto que de cada vértice partem o mesmo número m de arestas decorre que mV 2A e desde que o poliedro é convexo então V A F 2 Em suma as seguintes relações são válidas para um poliedro de Platão Expressando F e V em função de A m e n e substituindo essas expressões na relação de Euler chegaremos à relação Não podemos ter simultaneamente m 4 e n 4 pois se assim o fosse teríamos donde e por conseguinte o que é uma contradição Portanto m 3 ou n 3 Se m 3 então donde e por conseguinte n 6 Assim sendo se m 3 então n 3 4 ou 5 Se n 3 pelo mesmo argumento anterior seguese que m 3 4 ou 5 Em resumo as possibilidades para m e n respectivamente são 3 e 3 3 e 4 3 e 5 4 e 3 e 5 e 3 Para cada uma dessas possibilidades podemos determinar os respectivos valores de A V e F utilizando as relações mV 2A e nF 2A A tabela a seguir reúne esses resultados m n A V F Denominação 3 3 6 4 4 Tetraedro 3 4 12 8 6 Hexaedro 3 5 30 20 12 Dodecaedro 4 3 12 6 8 Octaedro 5 3 30 12 20 Icosaedro Note que essas denominações são quanto ao número de faces Observe ainda que as faces são triângulos quadriláteros ou pentágonos A análise que acabamos de fazer nos permite enunciar o Teorema 35 Quanto ao número de faces há no máximo cinco poliedros de Platão Informações mais detalhadas sobre os poliedros de Platão se encontram na tabela anterior Def 50 Um poliedro de Platão chamase regular se todas suas faces são polígonos regulares VEJA A SEGUIR OS CINCO POLIEDROS REGULARES EXISTENTES QUANTO AO NÚMERO DE FACES DESAFIO Em seguida apresentamos Planificações dos Poliedros Regulares Visite a aula online para realizar download deste arquivo a fim de voce construílos com folha de cartolina ou outro material similar As linhas cheias indicam recortes as pontilhadas dobras e as partes sombreadas colagem ATIVIDADE DE PORTFÓLIO O portfólio da aula 06 consiste em você resolver os exercícios 96 102 105 108 e 113 da lista abaixo e enviar as soluções através do seu portfólio CLIQUE AQUI PARA VISUALIZAR AS QUESTÕES ABAIXO 95 Um dodecaedro convexo possui todas as faces pentagonais Quantas arestas possui esse poliedro 96 Um poliedro convexo é constituído por três faces triangulares cinco quadrangulares e sete pentagonais Quantas arestas possui esse poliedro 97 Sabendo que um poliedro convexo é constituído por doze ângulos trídricos quantas arestas possui esse poliedro 98 Dado que um poliedro convexo é constituído por cinco ângulos tridéricos cinco ângulos tetraédricos Quatro aresta e um ângulo pentáedrico cinco arestas quantas arestas possui esse poliedro 99 Qual é o número de aresta de um poliedro convexo constituído por catorze faces triangulares 100 Obtenha o número de aresta de um poliedro convexo constituído por dez faces quadrangulares e duas pentagonais 101 Determine o número de aresta de um poliedro convexo constituído por vinte ângulos triédricos 102 Sabendo que um poliedro convexo é constituído por dez ângulos triédricos e cinco ângulos tetraédricosquatro arestas determine o número de arestas desse poliedro 103 Existe poliedro convexo que possua vinte vértices doze faces e dezoito arestas Por quê 104 Qual é o número de faces de um poliedro convexo constituídos por dezesseis vértices e 24 arestas 105 Existe poliedro convexo que possua o número de vértices igual ao número de arestas Por quê 106 Prove que Se um poliedro convexo possui o número de vértices igual ao número de faces então o número de arestas é par 107 Existe poliedro convexo constituído por V vértices A arestas e F faces de modo que V A F 17 Por quê 108 Todos as faces de um poliedro convexo são quadrangulares Sabendo que a soma dos ângulos dessas faces é 4320º determine o número de aresta desse poliedro 109 Mostre que a soma dos ângulos de todas as faces de um poliedro convexo é igual a 360ºV2 em que V é o número de vértices do poliedro 110 Calcule o número de arestas e de vértices de um poliedro convexo com oito faces das quais cinco são triangulares e três são pentagonais 111 Arquimedes descobriu um poliedro convexo formado por 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais todas regulares Esse poliedro inspirou a fabricação da bola de futebol que apareceu pela primeira vez na Copa do Mundo de 1970 Quantos vértices possui esse poliedro 112 Determinar o número de arestas e o número de vértices de um poliedro convexo com 6 faces quadrangulares e 4 faces triangulares 113 A soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo vale 720 Sabendose que o número de faces vale 23 do número de arestas podese dizer que o número de faces vale FÓRUM O fórum dessa aula será destinado a compartilhar as soluções dos exercitandos 95 97 99 101 103 105 107 109 111 e 113 Fontes das Imagens 1 httptbn0googlecomimagesqtbnPfPgYApSdfMMhttpwwwyorkacukdeptsmathshiststatpeopleeulergif 2 httpptwikipediaorgwikileonhardeuler 3 httptbn3googlecomimagesqtbnQuUvIIVjkYZ4IMhttpmauriciofernandofileswordpresscom200902plato academy3jpg