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Engenharia Mecânica ·
Robótica
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CINEMATICA INVERSA ROBO PUMA 560 Obtençao de θ1 θT θT1 θT2 θT3 θT4 θT5 θT OT¹ θT θT1 C1 S1 0 0 S1 C1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 r11 r12 r13 pX r21 r22 r23 pY r31 r32 r33 pZ 0 0 0 1 r11 r12 r13 pX r21 r22 r23 pY r31 r32 r33 pZ 0 0 0 1 C1 r11 S1 r21 C1 r12 S1 r22 C1 r13 S1 r23 C1 pX S1 pY S1 r11 C1 r21 S1 r12 C1 r22 S1 r13 C1 r23 S1 pX C1 pY r31 r32 r33 pZ 0 0 0 1 r11 r12 r13 pX r21 r22 r23 pY r31 r32 r33 pZ 0 0 0 1 Igualando os componentes 2 4 S1 pX C1 pY pY 1 S1 pX C1 pY d3 2 Componentes da matriz 6T r11 C23C4 C5 C6 S4 S6 S23 S5 S6 r21 S4 C5 C6 C4 S6 r31 S23 C4 C5 C6 S4 S6 C23 S5 C6 r12 C23 C4 C5 S6 S4 C6 S23 S5 S6 r22 S4 C5 S6 C4 C6 r32 S23 C4 C5 S6 S4 C6 C23 S5 S6 r13 C23 C4 S5 S23 C5 r23 S4 S5 r33 S23 C4 S5 C23 C5 pX a2 c2 a3 c23 d4 s23 pY d3 pZ a3 S23 a2 S2 d4 C23 Componentes da matriz 6T r11 C1 C23 C4 C5 C6 S4 S6 S23 S5 C6 S1 S4 C5 C6 C4 S6 r21 S1 C23 C4 C5 C6 S4 S6 S23 S5 C6 C1 S4 C5 C6 C4 S6 r31 S23 C4 C5 C6 S4 S6 C23 S5 C6 r12 C1 C23 C4 C5 S6 S4 C6 S23 S5 S6 S1 C4 C6 S4 C5 S6 r22 S1 C23 C4 C5 S6 S4 C6 S23 S5 S6 C1 C4 C6 S4 C5 S6 r32 S23 C4 C5 S6 S4 C6 C23 S5 S6 r13 C1 C23 C4 S5 S23 C5 S1 S4 S5 r23 S1 C23 C4 S5 S23 C5 S1 S4 S5 r33 S23 C4 S5 C23 C5 pX C1 a2 C2 a3 C23 d4 S23 d3 S1 pY S1 a2 C2 a3 C23 d4 S23 d3 C1 pZ a3 S23 a2 S2 d4 C23 Obtenção de θ3 Obtido θ1 o lado esquerdo de QT1QT 1T é conhecido Igualando os elementos 14 24 e 34 e resolvendo as equações é possivel obter θ3 CI PX S1 PY a2 C2 a3 C23 d4 S23 S1 PX C1 PY d3 Pz a3 S23 a2 S2 d4 C23 Multiplicando a equação 15 por 1 Pz a3 S23 a2 S2 d4 C23 Elevando as equações 1314 e 16 ao quadrado e resolvendo o sistema de equações C1² Px² 2 C1 S1 Px Py S1² Py² a2² c2² a3 2 c2 3² d4 2 s2 3 2 a2 a3 c2 c2 3 2 a d1 y c2 s23 2 a 3 d4 c23 s23 S1² Px² 2 S1 C1 Px Py C1² Py² d3 2 Pz 2 a3 2 s23 a2 2 s2 2 d4 2 c2 3 2 a a3 s2 s23 2 a3 d4 s23 c23 2 a 2 d4 s2 C23 4 Somando 17 18 e 19 Px² Py² Pz² a2² a3² d4² 2 a 2 a 3 c 2 c23 s 2 s23 2 a 2 d 4 s 2 c 23 c 2 s 23 Aplicando identidades trigonométricas Px² Py² Pz² a2² a3² d4² 2 a2 a3 C3 2 a2 d4 S3 a3 C3 d4 S3 Px² Py² Pz² a2² a3² d4² 2 a2 K Px² Py² Pz² a2² a3² d4² 2 a2 Portanto a3 C3 d4 S3 K a3 ρ sen φ d4 ρ cos φ onde ρ a3² d4² φ Atan2 a3 d4 ρ sφ c3 ρ cφ s3 K Sen φ θ3 K ρ 2 Px ρ cos φ Py ρ sen φ ρ Px² Py² φ A tan Py Px Substituindo 3 e 4 em 2 s1 p cos φ C1 ρ sen φ d3 s1 cos φ C1 sen φ d3 ρ Aplicando propriedades trigonométricas sen φ θ1 d3 ρ então cos φ θ1 1 d3² ρ² e φ θ1 Atan d3 ρ 1 d3² ρ² θ1 Atan Px Px Atan d3 ρ 1 d3² ρ² Obtenção de θ2 3₄T¹ 6 T 3₄T 4₅T 5₆T 3₆T C1 C2 3 S1 C2 3 S2 3 a2 C3 C1 S2 3 S1 S2 3 C2 3 a2 S3 S1 C1 0 d3 0 0 0 1 r11 r12 r13 Px r21 r22 r23 Py r31 r32 r33 Pz 0 0 0 1 C4 C5 C6 S4 S6 C4 C5 S6 S4 C6 C4 S5 a3 S5 C6 S5 S6 C5 d4 S4 C5 C6 C4 S6 S4 C5 S6 C4 C6 S4 S5 0 0 0 0 1 Igualando os componentes 14 e 24 C1 C2 3 Px S1 C2 3 Py S2 3 Pz a2 C3 a3 C1 S2 3 Px S1 S2 3 Py C2 3 Pz a2 S3 d4 Isolando S23 em 36 S23 a3 C1 C2 3 Px S1 C2 3 Py a2 C3 Pz Substituindo em 37 a3 C1 Px C1² C2 3 Px² C1 S1 C2 3 Px Py a2 C1 C3 Px Pz a3 S1 Py S1 C1 C2 3 Px Py S1² C2 3 Py² a2 S1 C3 Py Pz C2 3 Pz a2 S3 d4 a3 C1 Px C1² C2 3 Px² C1 S1 C2 3 Px Py a2 C1 C3 Px a3 S1 Py S1 C1 C2 3 Px Py S1² C2 3 Py² a2 S1 C3 Py C2 3 Pz² a2 S3 Pz d4 Pz Isolando C2 3 C2 3 C1² Px² 2 C1 S1 Px Py S1² Py² Pz² d4 Pz a3 C1 Px a2 C1 C3 Px a3 S1 Py a2 S1 C3 Py a2 S3 Pz C2 3 d4 Pz a3 C1 Px a2 C1 C3 Px a3 S1 Py a2 S1 C3 Py a2 S3 Pz C1² Px² 2 C1 S1 Px Py S1² Py² Pz² C2 3 a2 C1 Px S1 Py a2 C3 C1 Px S1 Py a2 S3 d4 Pz C1 Px S1 Py² Pz² c23 a3 a2 c3c1 px s1 py a2 s3 d4 pz c1 px s1 py2 pz2 Substituir a equação 39 na 36 para isolar s23 c1 px a3 a2 c3 c1 px s1 py a2 s3 d4 pz c1 px s1 py2 pz2 s1 py a3 a2 c3 c1 px s1 py a2 s3 d4 pz c1 px s1 py2 pz2 s23 pz a2 c3 a3 c1 px a3 a2 c3 c1 px s1 py c1 px a2 s3 d4 pz c1 px s1 py2 pz2 s1 py a3 a2 c3 c1 px s1 py s1 py a2 s3 d4 pz c1 px s1 py2 pz2 s23 pz c1 px s1 py2 pz2 a2 c3 c1 px s1 py2 pz2 a3 c1 px s1 py2 pz2 s23 pz c1 px s1 py2 pz2 a3 c1 px s1 py2 pz2 c1 px a3 a2 c3 c1 px s1 py c1 px a2 s3 d4 pz s1 py a3 a2 c3 c1 px s1 py s1 py a2 s3 d4 pz a2 c3 c1 px s1 py2 pz2 s23 pz c1 px s1 py2 pz2 a3 c1 px s1 py2 a3 pz2 a3 a2 c3 c12 px2 c1 s1 px py s1 c1 py px s12 py2 a2 s3 d4 c1 px s1 py pz a2 c3 c1 px s1 py2 a2 c3 pz2 s23 pz c1 px s1 py2 pz2 a3 a2 c3 c1 px s1 py2 a3 a2 c3 c1 px s1 py2 a3 a2 c3 pz2 a2 s3 d4 c1 px s1 py pz s23 a3 a2 c3 pz2 a2 s3 d4 c1 px s1 py pz c1 px s1 py2 pz2 s23 a3 a2 c3 pz a2 s3 d4 c1 px s1 py c1 px s1 py2 pz2 40 Então tan θ23 sen θ23 cos θ23 θ23 Atan sen θ23 cos θ23 θ23 Atan a3 a2 c3 pz a2 s3 d4 c1 px s1 py a3 a2 c3 c1 px s1 py a2 s3 d4 pz 41 Como θ23 θ2 θ3 e θ3 já foi determinado θ2 θ23 θ3 42 Obtenção de θ4 Como o lado esquerdo de 3T1 6T 3T e contém o ângulo θ4 pode ser obtido igualando os componentes 13 e 33 e dividindo 33 pelo 13 33 s1 r13 c1 r23 s4 s5 43 13 c1 c23 r13 s1 c23 r23 s23 r33 c4 s5 c1 c23 r13 s1 c23 r23 s23 r33 c4 s5 42 Fazendo s4 s5 c4 s5 s4 c4 tan θ4 θ4 Atan s1 r13 c1 r23 c1 c23 r13 s1 c23 r23 s23 r33 43 Obtenção de θ5 044 T1 06T 45T56T 46T c1 c23 c4 s1 s4 s1 c23 c4 c1 s4 s23 c4 a c3 c4 d2 s4 a3 c4 c c23 s4 s1 c4 s1 c23 s4 c1 c4 s23 s4 a2 c3 s4 d3 c4 a3 s4 c1 s23 s1 s23 c23 a2 s3 d4 0 0 0 1 r11 r12 r13 Px r21 r22 r23 Py r31 r32 r33 Pz 0 0 0 1 c5 c6 c5 s6 s5 0 s6 c6 0 0 s5 c6 s5 s6 c5 0 0 0 0 1 Igualando os componentes 13 e 33 e dividindo um pelo outro c1 c23 c4 s1 s4 r13 s1 c23 c4 c1 s4 r23 s23 c4 r33 s5 44 c1 s23 r13 s1 s23 r23 c23 r33 c5 45 Portanto θ5 Atanc1 c23 c4 s1 s4 r13 s1 c23 c4 c1 s4 r23 s23 c4 r33 c1 s23 r13 s1 s23 r23 c23 r33 46 Obtenção de θ6 056 T 1 06T 56T 05T c1 c23 c45 s23 s5 s1 s4 c5 c1 c23 c4 s5 s23 c5 s1 s4 s5 s1 c23 c45 s23 s5 c1 s4 c5 s1 c23 c45 s23 s5 c1 s4 s5 s23 c45 c23 s5 s23 c45 c23 c5 0 0 c1 c23 s4 s1 c4 c1 a2 c2 a3 c23 d4 s23 d3 s1 s1 c23 s4 c1 c4 s1 a2 s2 a3 c23 d4 s23 d3 c1 s23 s4 a2 s2 a3 s23 d4 c23 0 1 Inversa de 05T c1 c23 c45 s23 s5 s1 s4 c5 s1 c23 c45 s23 s5 c1 s4 s5 c1 c23 s4 s1 c4 0 s1 c23 c45 s23 s5 c1 s4 c5 s1 c23 c45 s23 s5 c1 s4 s5 s1 c23 s4 c1 c4 0 c1 c23 s4 s1 c4 s23 c45 c23 s5 s23 c45 c23 c5 s23 s4 0 5 Px0OR6 5 Py0OR6 5 Pz0OR6 1 06T r11 r12 r13 Px r21 r22 r23 Py r31 r32 r33 Pz 0 0 0 1 56T c6 s6 0 0 0 0 1 0 s6 c6 0 0 0 0 0 1 Igualando os elementos 31 e 11 e dividindo um pelo outro temos c1 c23 s4 s1 c4 r11 s1 c23 s4 c1 c4 r21 s23 s4 r31 s6 47 c1 c23 c45 s23 s5 s1 s4 c5 r11 s1 c23 c45 s23 s5 c5 s4 c5 r21 s23 c45 c23 s5 r33 c6 48 Portanto θ6 Atanc1c23 s4 s1 c4 r11 s1 c23 s4 c1 c4 r21 s23 s4 r31c c23 c45 s23 s5 s1 s4 c5 r11 s1 c23 c45 s23 s5 c5 s4 c5 r21 s23 c45 c23 s5 r33
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CINEMATICA INVERSA ROBO PUMA 560 Obtençao de θ1 θT θT1 θT2 θT3 θT4 θT5 θT OT¹ θT θT1 C1 S1 0 0 S1 C1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 r11 r12 r13 pX r21 r22 r23 pY r31 r32 r33 pZ 0 0 0 1 r11 r12 r13 pX r21 r22 r23 pY r31 r32 r33 pZ 0 0 0 1 C1 r11 S1 r21 C1 r12 S1 r22 C1 r13 S1 r23 C1 pX S1 pY S1 r11 C1 r21 S1 r12 C1 r22 S1 r13 C1 r23 S1 pX C1 pY r31 r32 r33 pZ 0 0 0 1 r11 r12 r13 pX r21 r22 r23 pY r31 r32 r33 pZ 0 0 0 1 Igualando os componentes 2 4 S1 pX C1 pY pY 1 S1 pX C1 pY d3 2 Componentes da matriz 6T r11 C23C4 C5 C6 S4 S6 S23 S5 S6 r21 S4 C5 C6 C4 S6 r31 S23 C4 C5 C6 S4 S6 C23 S5 C6 r12 C23 C4 C5 S6 S4 C6 S23 S5 S6 r22 S4 C5 S6 C4 C6 r32 S23 C4 C5 S6 S4 C6 C23 S5 S6 r13 C23 C4 S5 S23 C5 r23 S4 S5 r33 S23 C4 S5 C23 C5 pX a2 c2 a3 c23 d4 s23 pY d3 pZ a3 S23 a2 S2 d4 C23 Componentes da matriz 6T r11 C1 C23 C4 C5 C6 S4 S6 S23 S5 C6 S1 S4 C5 C6 C4 S6 r21 S1 C23 C4 C5 C6 S4 S6 S23 S5 C6 C1 S4 C5 C6 C4 S6 r31 S23 C4 C5 C6 S4 S6 C23 S5 C6 r12 C1 C23 C4 C5 S6 S4 C6 S23 S5 S6 S1 C4 C6 S4 C5 S6 r22 S1 C23 C4 C5 S6 S4 C6 S23 S5 S6 C1 C4 C6 S4 C5 S6 r32 S23 C4 C5 S6 S4 C6 C23 S5 S6 r13 C1 C23 C4 S5 S23 C5 S1 S4 S5 r23 S1 C23 C4 S5 S23 C5 S1 S4 S5 r33 S23 C4 S5 C23 C5 pX C1 a2 C2 a3 C23 d4 S23 d3 S1 pY S1 a2 C2 a3 C23 d4 S23 d3 C1 pZ a3 S23 a2 S2 d4 C23 Obtenção de θ3 Obtido θ1 o lado esquerdo de QT1QT 1T é conhecido Igualando os elementos 14 24 e 34 e resolvendo as equações é possivel obter θ3 CI PX S1 PY a2 C2 a3 C23 d4 S23 S1 PX C1 PY d3 Pz a3 S23 a2 S2 d4 C23 Multiplicando a equação 15 por 1 Pz a3 S23 a2 S2 d4 C23 Elevando as equações 1314 e 16 ao quadrado e resolvendo o sistema de equações C1² Px² 2 C1 S1 Px Py S1² Py² a2² c2² a3 2 c2 3² d4 2 s2 3 2 a2 a3 c2 c2 3 2 a d1 y c2 s23 2 a 3 d4 c23 s23 S1² Px² 2 S1 C1 Px Py C1² Py² d3 2 Pz 2 a3 2 s23 a2 2 s2 2 d4 2 c2 3 2 a a3 s2 s23 2 a3 d4 s23 c23 2 a 2 d4 s2 C23 4 Somando 17 18 e 19 Px² Py² Pz² a2² a3² d4² 2 a 2 a 3 c 2 c23 s 2 s23 2 a 2 d 4 s 2 c 23 c 2 s 23 Aplicando identidades trigonométricas Px² Py² Pz² a2² a3² d4² 2 a2 a3 C3 2 a2 d4 S3 a3 C3 d4 S3 Px² Py² Pz² a2² a3² d4² 2 a2 K Px² Py² Pz² a2² a3² d4² 2 a2 Portanto a3 C3 d4 S3 K a3 ρ sen φ d4 ρ cos φ onde ρ a3² d4² φ Atan2 a3 d4 ρ sφ c3 ρ cφ s3 K Sen φ θ3 K ρ 2 Px ρ cos φ Py ρ sen φ ρ Px² Py² φ A tan Py Px Substituindo 3 e 4 em 2 s1 p cos φ C1 ρ sen φ d3 s1 cos φ C1 sen φ d3 ρ Aplicando propriedades trigonométricas sen φ θ1 d3 ρ então cos φ θ1 1 d3² ρ² e φ θ1 Atan d3 ρ 1 d3² ρ² θ1 Atan Px Px Atan d3 ρ 1 d3² ρ² Obtenção de θ2 3₄T¹ 6 T 3₄T 4₅T 5₆T 3₆T C1 C2 3 S1 C2 3 S2 3 a2 C3 C1 S2 3 S1 S2 3 C2 3 a2 S3 S1 C1 0 d3 0 0 0 1 r11 r12 r13 Px r21 r22 r23 Py r31 r32 r33 Pz 0 0 0 1 C4 C5 C6 S4 S6 C4 C5 S6 S4 C6 C4 S5 a3 S5 C6 S5 S6 C5 d4 S4 C5 C6 C4 S6 S4 C5 S6 C4 C6 S4 S5 0 0 0 0 1 Igualando os componentes 14 e 24 C1 C2 3 Px S1 C2 3 Py S2 3 Pz a2 C3 a3 C1 S2 3 Px S1 S2 3 Py C2 3 Pz a2 S3 d4 Isolando S23 em 36 S23 a3 C1 C2 3 Px S1 C2 3 Py a2 C3 Pz Substituindo em 37 a3 C1 Px C1² C2 3 Px² C1 S1 C2 3 Px Py a2 C1 C3 Px Pz a3 S1 Py S1 C1 C2 3 Px Py S1² C2 3 Py² a2 S1 C3 Py Pz C2 3 Pz a2 S3 d4 a3 C1 Px C1² C2 3 Px² C1 S1 C2 3 Px Py a2 C1 C3 Px a3 S1 Py S1 C1 C2 3 Px Py S1² C2 3 Py² a2 S1 C3 Py C2 3 Pz² a2 S3 Pz d4 Pz Isolando C2 3 C2 3 C1² Px² 2 C1 S1 Px Py S1² Py² Pz² d4 Pz a3 C1 Px a2 C1 C3 Px a3 S1 Py a2 S1 C3 Py a2 S3 Pz C2 3 d4 Pz a3 C1 Px a2 C1 C3 Px a3 S1 Py a2 S1 C3 Py a2 S3 Pz C1² Px² 2 C1 S1 Px Py S1² Py² Pz² C2 3 a2 C1 Px S1 Py a2 C3 C1 Px S1 Py a2 S3 d4 Pz C1 Px S1 Py² Pz² c23 a3 a2 c3c1 px s1 py a2 s3 d4 pz c1 px s1 py2 pz2 Substituir a equação 39 na 36 para isolar s23 c1 px a3 a2 c3 c1 px s1 py a2 s3 d4 pz c1 px s1 py2 pz2 s1 py a3 a2 c3 c1 px s1 py a2 s3 d4 pz c1 px s1 py2 pz2 s23 pz a2 c3 a3 c1 px a3 a2 c3 c1 px s1 py c1 px a2 s3 d4 pz c1 px s1 py2 pz2 s1 py a3 a2 c3 c1 px s1 py s1 py a2 s3 d4 pz c1 px s1 py2 pz2 s23 pz c1 px s1 py2 pz2 a2 c3 c1 px s1 py2 pz2 a3 c1 px s1 py2 pz2 s23 pz c1 px s1 py2 pz2 a3 c1 px s1 py2 pz2 c1 px a3 a2 c3 c1 px s1 py c1 px a2 s3 d4 pz s1 py a3 a2 c3 c1 px s1 py s1 py a2 s3 d4 pz a2 c3 c1 px s1 py2 pz2 s23 pz c1 px s1 py2 pz2 a3 c1 px s1 py2 a3 pz2 a3 a2 c3 c12 px2 c1 s1 px py s1 c1 py px s12 py2 a2 s3 d4 c1 px s1 py pz a2 c3 c1 px s1 py2 a2 c3 pz2 s23 pz c1 px s1 py2 pz2 a3 a2 c3 c1 px s1 py2 a3 a2 c3 c1 px s1 py2 a3 a2 c3 pz2 a2 s3 d4 c1 px s1 py pz s23 a3 a2 c3 pz2 a2 s3 d4 c1 px s1 py pz c1 px s1 py2 pz2 s23 a3 a2 c3 pz a2 s3 d4 c1 px s1 py c1 px s1 py2 pz2 40 Então tan θ23 sen θ23 cos θ23 θ23 Atan sen θ23 cos θ23 θ23 Atan a3 a2 c3 pz a2 s3 d4 c1 px s1 py a3 a2 c3 c1 px s1 py a2 s3 d4 pz 41 Como θ23 θ2 θ3 e θ3 já foi determinado θ2 θ23 θ3 42 Obtenção de θ4 Como o lado esquerdo de 3T1 6T 3T e contém o ângulo θ4 pode ser obtido igualando os componentes 13 e 33 e dividindo 33 pelo 13 33 s1 r13 c1 r23 s4 s5 43 13 c1 c23 r13 s1 c23 r23 s23 r33 c4 s5 c1 c23 r13 s1 c23 r23 s23 r33 c4 s5 42 Fazendo s4 s5 c4 s5 s4 c4 tan θ4 θ4 Atan s1 r13 c1 r23 c1 c23 r13 s1 c23 r23 s23 r33 43 Obtenção de θ5 044 T1 06T 45T56T 46T c1 c23 c4 s1 s4 s1 c23 c4 c1 s4 s23 c4 a c3 c4 d2 s4 a3 c4 c c23 s4 s1 c4 s1 c23 s4 c1 c4 s23 s4 a2 c3 s4 d3 c4 a3 s4 c1 s23 s1 s23 c23 a2 s3 d4 0 0 0 1 r11 r12 r13 Px r21 r22 r23 Py r31 r32 r33 Pz 0 0 0 1 c5 c6 c5 s6 s5 0 s6 c6 0 0 s5 c6 s5 s6 c5 0 0 0 0 1 Igualando os componentes 13 e 33 e dividindo um pelo outro c1 c23 c4 s1 s4 r13 s1 c23 c4 c1 s4 r23 s23 c4 r33 s5 44 c1 s23 r13 s1 s23 r23 c23 r33 c5 45 Portanto θ5 Atanc1 c23 c4 s1 s4 r13 s1 c23 c4 c1 s4 r23 s23 c4 r33 c1 s23 r13 s1 s23 r23 c23 r33 46 Obtenção de θ6 056 T 1 06T 56T 05T c1 c23 c45 s23 s5 s1 s4 c5 c1 c23 c4 s5 s23 c5 s1 s4 s5 s1 c23 c45 s23 s5 c1 s4 c5 s1 c23 c45 s23 s5 c1 s4 s5 s23 c45 c23 s5 s23 c45 c23 c5 0 0 c1 c23 s4 s1 c4 c1 a2 c2 a3 c23 d4 s23 d3 s1 s1 c23 s4 c1 c4 s1 a2 s2 a3 c23 d4 s23 d3 c1 s23 s4 a2 s2 a3 s23 d4 c23 0 1 Inversa de 05T c1 c23 c45 s23 s5 s1 s4 c5 s1 c23 c45 s23 s5 c1 s4 s5 c1 c23 s4 s1 c4 0 s1 c23 c45 s23 s5 c1 s4 c5 s1 c23 c45 s23 s5 c1 s4 s5 s1 c23 s4 c1 c4 0 c1 c23 s4 s1 c4 s23 c45 c23 s5 s23 c45 c23 c5 s23 s4 0 5 Px0OR6 5 Py0OR6 5 Pz0OR6 1 06T r11 r12 r13 Px r21 r22 r23 Py r31 r32 r33 Pz 0 0 0 1 56T c6 s6 0 0 0 0 1 0 s6 c6 0 0 0 0 0 1 Igualando os elementos 31 e 11 e dividindo um pelo outro temos c1 c23 s4 s1 c4 r11 s1 c23 s4 c1 c4 r21 s23 s4 r31 s6 47 c1 c23 c45 s23 s5 s1 s4 c5 r11 s1 c23 c45 s23 s5 c5 s4 c5 r21 s23 c45 c23 s5 r33 c6 48 Portanto θ6 Atanc1c23 s4 s1 c4 r11 s1 c23 s4 c1 c4 r21 s23 s4 r31c c23 c45 s23 s5 s1 s4 c5 r11 s1 c23 c45 s23 s5 c5 s4 c5 r21 s23 c45 c23 s5 r33