Cálculo III - Derivadas Parciais e Equações de Laplace

Cálculo III Agradecimento aos participantes da Palestra Oriente Médio Notas Liberadas e postadas no Virtual Class Questão cancelada VA3 será em 04122023 Música de Hoje httpswwwyoutubecomwatchvbQMvP5BcGw Aterrar Fio Enterrar Fios Avião a aterrar Segundafeira 20112023 Feriado e SP mas para nós Cálculo III Funções de duas ou mais variáveis Domínio dessas funções Imagem dessas funções Curvas de nível Gráficos Derivadas Parciais Exemplo 1 de Derivadas Parciais Determine a derivada parcial de fxy x² y² em relação a x e a y x fx 2x 0 fx 2x y fy 0 2y fy 2y Determine a derivada parcial de fxy3x35y4 em relação a x e a y DERIVADAS PARCIAIS DERIVADAS PARCIAIS SUCESSIVAS ORDEM SUPERIOR Dada a função fxy x³y x²y⁴ determine suas derivadas parciais de 2ª ordem Estratégia utilizada na resolução do exemplo 3 Resumo Dada a função fxy xy³ x⁴y² determine suas derivadas parciais de 2ª ordem Exercício 2 Derivadas Superiores Homework Dada a função z x4 3x3y 6x2y2 4xy3 6y4 2 determine as derivadas parciais de 2ª ordem TEOREMA DE SCHWARTZ INVERTIBILIDADE DA ORDEM DE DERIVAÇÃO Seja z fxy uma função com derivadas parciais de 2ª ordem contínuas num conjunto aberto A ℝ² então ²fyx x₀y₀ ²fxy x₀y₀ para todo x₀y₀ A Exemplo 4 Verificar a Condição de Schwartz Verificar a condição de igualdade de derivadas parciais do Teorema de Schwartz para as funções z yx² y² Resposta ²fyx ²fxy 6xy² 2x³x² y²³ se xy 00 Equação de Laplace ou Equação Harmônica Definição Uma função z fx y dizse harmônica quando satisfaz à equação de Laplace ²zx² ²zy² 0 Uma função w fx y z dizse harmônica quando satisfaz à equação de Laplace ²wx² ²wy² ²wz² 0 Nota Essas equações são exemplos de equações diferenciais parciais conhecidas como EDP e de grande aplicabilidade Aplicações A equação ²Vx² ²Vy² ²Vz² 0 pode aparecer em problemas de eletricidade calor aerodinâmica teoria do potencial e em muitos outros campos Por outro lado a equação Ut k ²Ux² ²Uy² aparece na teoria da condução bem como na difusão de nêutrons em uma pilha atômica para a produção de energia nuclear E ainda a equação ²yt² α² ²yx² aparece no estudo de vibração de cordas ou fios bem como na propagação de sinais elétricos Exemplo 5 Laplace Verifique que a função z exsen y é harmônica Exercício 3 Laplace Resolução Exercício 3 Laplace Verifique que a função z eycos x é harmônica Exercício 4 Laplace Verifique que a função z exsen y eycos x é harmônica Exercício 4 Laplace Resolução Solução Observe que este exemplo é a soma dos exemplos 1 e 2 assim de forma direta temos ²zx² ²zy² exsen y eycos x exsen y eycos x 0 cqd Nota A derivada de uma função harmônica é uma função harmônica Da mesma forma a soma de funções harmônicas é uma função harmônica