Introdução aos Números Complexos - Cálculo III

Cálculo III Números Complexos Cálculo III 1 INTRODUÇÃO AOS NÚMEROS COMPLEXOS Na resolução de uma equação algébrica um fator fundamental é o conjunto universo que representa o contexto onde poderemos encontrar as soluções Por exemplo trabalhando no conjunto dos números racionais a equação 2x 7 0 tem uma única solução dada por x 72 e o conjunto solução é S 72 mas se estivermos procurando por um número inteiro como resposta o conjunto solução será o conjunto vazio isto é S Cálculo III De forma análoga ao tentar obter o conjunto solução para a equação x² 1 0 sobre o conjunto dos números reais obtemos como resposta o conjunto vazio isto é S o que significa que não existe um número real que elevado ao quadrado seja igual a 1 mas seguindo o desenvolvimento da equação pelos métodos comuns obtemos 2 Definição de número complexo Número complexo é todo número que pode ser escrito na forma z a bi onde a e b são números reais e i é a unidade imaginária O número real a é a parte real do número complexo z e o número real b é a parte imaginária do número complexo z denotadas por a Rez e b Imz x 1 3 Elementos complexos especiais 1 Igualdade de números complexos Dois números complexos z a bi e w c di são iguais se e somente se a c e b d Para que os números complexos z 2 yi e w c 3i sejam iguais devemos exigir que c 2 e y 3 2 Oposto de um número complexo O oposto do número complexo z a bi é o número complexo denotado por z a bi isto é z opostoa bi a bi Exemplo O oposto de z 2 3i é o número complexo z 2 3i 3 Conjugado de um número complexo O número complexo conjugado de z a bi é o número complexo denotado por z conjugadoa bi a bi Exemplo O conjugado de z 2 3i é o número complexo z 2 3i Isto parece não ter significado prático e foi por esta razão que este número foi denominado imaginário mas o simples fato de substituir 1 pela letra i unidade imaginária e realizar operações como se estes números fossem polinômios faz com que uma série de situações tanto na Matemática como na vida tenham sentido prático de grande utilidade e isto nos leva à teoria dos números complexos Cálculo III Exemplos 1 Se z 2 3i e w 4 6i então z w 2 3i 4 6i 6 3i 2 Se z 2 3i e w 4 6i então zw 2 3i4 6i 4 0i Cálculo III Cálculo III 6 O INVERSO DE UM NÚMERO COMPLEXO Dado o número complexo z a bi não nulo a 0 ou b 0 definimos o inverso de z como o número z¹ u iv tal que z z¹ 1 O produto de z pelo seu inverso z¹ deve ser igual a 1 isto é a bi u iv au bv av bui 1 1 0i o que nos leva a um sistema com duas equações e duas incógnitas au bv 1 bu av 0 Cálculo III Este sistema pode ser resolvido pela regra de Cramer e possui uma única solução pois a 0 ou b 0 fornecendo u a a² b² v b a² b² assim o inverso do número complexo z a bi é z¹ a a² b² b a² b²i Obtendo o inverso de um número complexo Para obter o inverso do número complexo z 5 12i devese 1 Escrever o inverso desejado na forma de uma fração 2 Multiplicar o numerador e o denominador da fração pelo conjugado de z 3 Lembrar que i² 1 simplificar os números complexos pela redução dos termos semelhantes para obter z¹ 1 5 12i 1 5 12i 5 12i 5 12i 5 12i 169 Cálculo III 7 DIFERENÇA E DIVISÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS Diferença de números complexos A diferença entre os números complexos z a bi e w c di é o número complexo obtido pela soma entre z e w isto é z w z w Exemplo A diferença entre os complexos z 2 3i e w 5 12i é z w 2 3i 5 12i 2 5 3 12i 3 9i Cálculo III Divisão de números complexos A divisão entre os números complexos z a bi e w c di w 0 é definida como o número complexo obtido pelo produto entre z e w¹ isto é zw zw¹ Exemplo Para dividir o número complexo z 2 3i por w 5 12i basta multiplicar o numerador e o denominador da fração zw pelo conjugado de w zw 2 3i 2 3i 5 12i 5 12i 46 9i 169 Cálculo III 8 Representação geométrica de um complexo Um número complexo da forma z a bi pode ser representado do ponto de vista geométrico no plano cartesiano como um ponto par ordenado tomandose a abscissa deste ponto como a parte real do número complexo a no eixo OX e a ordenada como a parte imaginária do número complexo z no eixo OY sendo que o número complexo 0 0 0i é representado pela própria origem 0 0 do sistema Cálculo III 9 Módulo e argumento de um número complexo Módulo de um número complexo No gráfico anterior observamos que existe um triângulo retângulo cuja medida da hipotenusa é a distância da origem 0 ao número complexo z denotada aqui pela letra r o cateto horizontal tem comprimento igual à parte real a do número complexo e o cateto vertical corresponde à parte imaginária b do número complexo z Desse modo se z a bi é um número complexo então r² a² b² e a medida da hipotenusa é por definição o módulo do número complexo z denotado por z isto é z a² b² Argumento de um número complexo O ângulo φ formado entre o segmento OZ e o eixo OX é denominado o argumento do número complexo z Pelas definições da trigonometria circular temos as três relações cosφ ar sinφ br tanφ ba Por experiência observamos que é melhor usar o cosseno ou o seno do ângulo para definir bem o argumento uma vez Cálculo III Duvida Cálculo III Obrigado a todos