Estudo das Funções: Conceitos Iniciais e Representações

ESTUDO DAS FUNÇÕES Imagem JC Santos Public Domain Matemática 9º ano Estudo das funções coceitos iniciais Funções conceitos iniciais PLANO CARTESIANO Entendemos por par ordenado um conjunto de dois elementos sendo Produto cartesiano PAR ORDENADO xy A X B XY X A e Y B Matemática 9º ano Estudo das funções coceitos iniciais Funções conceitos iniciais PLANO CARTESIANO Exemplo Dados os conjuntos A2 3 e B1 3 5 teremos A x B 2 12 32 53 13 3 3 5 primeiro elemento é do conjunto A e o segundo é do B Essa forma de representação é denominada forma tabular Matemática 9º ano Estudo das funções conceitos iniciais Matemática 9º ano Estudo das funções coceitos iniciais Funções conceitos iniciais Forma gráfica A x B 2 12 32 53 13 33 5 1 2 3 2 5 2 1 3 3 3 5 3 A 2 3 e B 1 3 5 B x A PLANO CARTESIANO 0 2 3 1 3 5 2 1 2 3 2 5 3 1 3 3 3 5 0 3 5 2 3 3 2 3 3 5 2 5 3 1 1 3 1 2 Y X Y X Matemática 9º ano Estudo das funções conceitos iniciais Matemática 9º ano Estudo das funções coceitos iniciais Funções conceitos iniciais RELAÇÃO BINÁRIA 2 22 42 5 Seja A 2 3 4 e B 2 4 5 6 7 8 9 temos A x B Chamamos de relação binária de A em B qualquer subconjunto do produto cartesiano A x B 2 62 72 82 93 23 43 5 3 6 3 73 8 3 94 24 44 54 64 74 84 9 Chamemos uma relação binária R do produto cartesiano A x B em que y é o consecutivo do dobro de x R 2 5 A equação y 2x 1 é a Lei da relação R 3 74 9 R XY A X B Y 2X1 Matemática 9º ano Estudo das funções conceitos iniciais Matemática 9º ano Estudo das funções coceitos iniciais Funções conceitos iniciais DIAGRAMA DE FLECHAS 2 3 4 6 A B A 2 3 4 e B 2 4 5 6 7 8 9 R 2 5 3 7 4 9 2 4 5 7 8 9 D 2 3 4 são os primeiros elementos da relação R CD 2 4 5 6 7 8 9 são os elementos do conjunto B Im 5 7 9 são os elementos do conj B que fazem parte da relação D domínio CD contradomínio Im imagem A relação R xy A x B y 2x1 em diagramas de flechas Matemática 9º ano Estudo das funções conceitos iniciais Matemática 9º ano Estudo das funções coceitos iniciais Funções conceitos iniciais DIAGRAMA DE FLECHAS Exemplo 1 3 4 A B A 1 3 4 7 e B 2 3 5 9 R 3 2 4 3 2 3 5 9 D 3 4 são os primeiros elementos da relação R CD 2 3 5 9 são os elementos do conjunto B Im 2 3 são os elementos do conj B que fazem parte da relação D domínio CD contradomínio Im imagem 7 R A relação R xy A x B y x 1 em diagramas de flechas Matemática 9º ano Estudo das funções conceitos iniciais Matemática 9º ano Estudo das funções coceitos iniciais Funções conceitos iniciais GRÁFICO CARTESIANO A 1 3 4 7 e B 2 3 5 9 R 3 2 4 3 0 2 3 1 3 9 3 2 4 3 Y X 4 2 Matemática 9º ano Estudo das funções conceitos iniciais Matemática 9º ano Estudo das funções coceitos iniciais Funções conceitos iniciais DEFINIÇÃO Função é uma relação binária em que cada elemento x do conjunto A corresponde a um único elemento y do conjunto B f A B lêse f é função de A em B Sejam A e B conjuntos não vazios Exemplos 1 3 4 A B 2 3 5 a R1 é uma função de A em B pois cada elemento do conjunto A corresponde a um único elemento do conjunto B R1 y fx lêse y é função de x com x A e y B Matemática 9º ano Estudo das funções conceitos iniciais Matemática 9º ano Estudo das funções coceitos iniciais Funções conceitos iniciais 1 3 4 A B 2 3 5 b R2 é uma função de A em B pois cada elemento do conjunto A corresponde a um único elemento do conjunto B R2 1 3 A B 2 3 5 c R3 não é uma função de A em B pois o elemento 3 do conjunto A corresponde a dois elementos do conjunto B R3 Matemática 9º ano Estudo das funções conceitos iniciais Matemática 9º ano Estudo das funções coceitos iniciais Funções conceitos iniciais 3 A B 2 3 5 d R4 não é uma função de A em B pois o elemento 3 do conjunto A corresponde a três elementos do conjunto B R4 1 3 A B 2 3 5 e R3 não é uma função de A em B pois o elemento 4 do conjunto A não corresponde a um elemento do conjunto B R5 4 Matemática 9º ano Estudo das funções conceitos iniciais Matemática 9º ano Estudo das funções coceitos iniciais Funções conceitos iniciais Quais diagramas representam funções a 8 7 6 9 8 7 b 1 2 4 1 3 c 3 3 d 6 12 12 e 4 7 2 8 3 f 2 3 1 0 0 A B A B A B A B A B A B Sim Não Sim Não Sim Não Matemática 9º ano Estudo das funções conceitos iniciais Matemática 9º ano Estudo das funções coceitos iniciais Funções conceitos iniciais Sejam os conjuntos A 1 0 1 2 3 e B 3 2 1 0 1 2 e a relação R 1 3 0 2 1 1 2 0 3 1 e 1 0 0 2 R 1 2 3 2 1 1 A B 3 R xy A x B y x 2 Matemática 9º ano Estudo das funções conceitos iniciais Matemática 9º ano Estudo das funções coceitos iniciais Funções conceitos iniciais 1 3 4 A B 2 3 5 Considerando uma função f AB temos f Df A lêse o domínio da função f é igual ao conjunto A CDf B lêse o contradomínio da função f é igual ao conjunto B Imf 2 3 lêse o conj imagem da função f está contido no CD Df 1 3 4 CDf 2 3 5 Imf 2 3 DOMÍNIO CONTRADOMÍNIO E IMAGEM Matemática 9º ano Estudo das funções conceitos iniciais Matemática 9º ano Estudo das funções coceitos iniciais Funções conceitos iniciais IMAGEM DE UM ELEMENTO 232 3 2x2 3 a Considerando a função fx x 2 temos f1 1 2 3 a imagem de 1 pela função f é f1 3 f2 2 2 0 a imagem de 2 pela função f é f 2 0 b Considerando a função fx 2x2 3 temos f3 29 3 a imagem de 3 pela função f é f3 21 18 3 21 f1 212 3 a imagem de 1 pela função f é f1 5 21 3 2 3 5 x 2 fx fx x 2 fx fx 2x2 3 Matemática 9º ano Estudo das funções conceitos iniciais Matemática 9º ano Estudo das funções coceitos iniciais Funções conceitos iniciais RAIZ OU ZERO DE UMA FUNÇÃO Dada a função f de A em B chamamos raiz ou zero da função todo elemento de A cuja imagem é zero portanto 3 não é raiz da função pois f 3 21 0 232 3 f2 2 2 0 portanto 2 é raiz da função ou seja f 2 0 f3 29 3 18 3 21 a Na função fIRIR dada por fx x 2 temos b Na função fIRIR dada por fx 2x2 3 temos Matemática 9º ano Estudo das funções conceitos iniciais Matemática 9º ano Estudo das funções coceitos iniciais Funções conceitos iniciais QUALIDADES DE UMA FUNÇÃO Exemplo Dados os conjuntos A 1 0 1 e B 1 1 2 3 determinar a função fAB definida pela lei y 2x 1 1 0 1 A B 1 1 2 f 3 x 1 y 21 1 y 2 1 y 1 x 0 y 20 1 y 0 1 y 1 x 1 y 21 1 y 2 1 y 3 OBS Cada elemento de A corresponde apenas a um elemento em B FUNÇÃO INJETORA Seja f uma função de A em B fA B Se para quaisquer elementos distintos do conjunto A x1 x2 correspondem elementos diferentes do conjunto B y1 y2 dizemos que a função é injetora Matemática 9º ano Estudo das funções conceitos iniciais Matemática 9º ano Estudo das funções coceitos iniciais Funções conceitos iniciais FUNÇÃO SOBREJETORA Seja f uma função de A em B fAB Dizemos que f é uma função sobrejetora se o conjunto imagem for igual ao conjunto B Exemplo Dados os conjuntos A 1 1 2 e B 1 7 determinar a função fAB definida pela lei y 2x2 1 1 1 2 A B 1 7 f x 1 y 212 1 y 2 11 y 2 1 y 1 OBS Cada elemento de B é imagem de pelo menos um elemento de A Imf B ou Imf CDf x 1 y 212 1 y 2 11 y 2 1 y 1 x 2 y 222 1 y 2 41 y 8 1 y 7 Matemática 9º ano Estudo das funções conceitos iniciais Matemática 9º ano Estudo das funções coceitos iniciais Funções conceitos iniciais FUNÇÃO BIJETORA x 0 y 20 1 y 0 1 y 1 x 2 y 22 1 y 4 1 y 3 x 4 y 24 1 y 8 1 y 7 Seja f uma função de A em B fAB Dizemos que f é uma função bijetora se for injetora e sobrejetora ao mesmo tempo Neste caso cada elemento distinto de A corresponde a um elemento distinto em B injetora e Imf B sobrejetora Exemplo Dados os conjuntos A 0 2 4 e B 1 3 7 determinar a função fAB definida pela lei y 2x 1 0 2 4 A B 1 3 f OBS Cada elemento de B é imagem de pelo menos um elemento de A e cada elemento de A possui uma imagem distinta em B 7 Matemática 9º ano Estudo das funções conceitos iniciais Matemática 9º ano Estudo das funções coceitos iniciais Funções conceitos iniciais Determinar o domínio de uma função em IR é determinar o subconjunto de IR formados por todos os valores de x possíveis para que as expressões resultem em um número real Exemplos Determine o domínio em IR das funções DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO REAL a D f x R x 52 b 2x 5 0 2x 5 x 52 2x 6 0 2x 6 x 3 D f x R x 3 Matemática 9º ano Estudo das funções conceitos iniciais Matemática 9º ano Estudo das funções coceitos iniciais Funções conceitos iniciais c x 2 0 x 0 2 x 2 d Não há restrição Qualquer nº real é possível Df IR D f x R x 2 Matemática 9º ano Estudo das funções conceitos iniciais Matemática 9º ano Estudo das funções coceitos iniciais Funções conceitos iniciais Exemplo Dados os conjuntos A 1 2 3 e B 6 7 8 sendo fAB definida pela lei fx x 5 Teremos f 16 2 7 3 8 1 2 3 A B 6 7 8 f e f1 6 1 7 2 8 3 1 2 3 A B 6 7 8 f 1 y x 5 y x 5 Seja fAB bijetora Chamase função inversa de f a função gBA se e somente se fm n equivaler a gn m quaisquer que sejam m A e n B Seja f1 a função inversa de f FUNÇÃO INVERSA Matemática 9º ano Estudo das funções conceitos iniciais Matemática 9º ano Estudo das funções coceitos iniciais Funções conceitos iniciais Exemplo 1 Seja a função y x 5 na lei de correspondência fAB Trocase o x por y e viceversa Então teremos x y 5 Isolase o y x 5 y Ou y x 5 Lei de correspondência da função f1 Exemplo 2 Determinar a lei da função inversa de A lei da inversa é igual a lei da função dada OBTENDO A FUNÇÃO INVERSA Matemática 9º ano Estudo das funções conceitos iniciais Matemática 9º ano Estudo das funções coceitos iniciais Funções conceitos iniciais Observe as tabelas Percurso km Consumo L 10 1 20 2 30 3 40 4 Consumo L Custo R 1 1200 2 2400 3 3600 4 4800 Percurso km Custo R 10 1200 20 2400 30 3600 40 4800 fx 01x gx 12x hx 12x Fazendo a composição das duas tabelas podemos obter o custo do percurso sem verificar o consumo Essa lei é obtida fazendo a composição entre as funções gx e fx ou seja g o fx gfx 12fx g o fx 1201x hx g o fx 12x FUNÇÃO COMPOSTA Matemática 9º ano Estudo das funções conceitos iniciais Matemática 9º ano Estudo das funções coceitos iniciais Funções conceitos iniciais 10 20 30 A C 12 24 36 1 2 3 B Percurso km Custo R Consumo L 4 40 48 Observe que CDf Dg h f g Então h é g o f função composta de g com f FUNÇÃO COMPOSTA EM DIAGRAMAS Matemática 9º ano Estudo das funções conceitos iniciais Matemática 9º ano Estudo das funções coceitos iniciais Funções conceitos iniciais Dadas as funções f e g de IR em IR determine g o f e f o g a fx x 3 e gx x2 5 g o fx gfx g o fx fx2 5 g o fx x 32 5 g o fx x2 6x 9 5 g o fx x2 6x 4 f o gx fgx f o gx gx 3 f o gx x2 5 3 f o gx x2 2 g o f f o g FUNÇÃO COMPOSTA Exemplos Matemática 9º ano Estudo das funções conceitos iniciais Matemática 9º ano Estudo das funções coceitos iniciais Funções conceitos iniciais b fx x 5 e gx x2 1 g o fx gfx g o fx fx2 1 g o fx x 52 1 g o fx x2 10x 25 1 g o fx x2 10x 24 f o gx fgx f o gx gx 5 f o gx x2 1 5 f o gx x2 4 g o f f o g Dadas as funções f e g de IR em IR determine g o f e f o g FUNÇÃO COMPOSTA Matemática 9º ano Estudo das funções conceitos iniciais Matemática 9º ano Estudo das funções coceitos iniciais Funções conceitos iniciais