AULA 01 - Impressao - Geometria Analitica pdf

GEOMETRIA ANALÍTICA AULA 1 Prof Ricardo Alexandre Deckmann Zanardini CONVERSA INICIAL Olá Seja bemvindoa a esta aula Nessa disciplina serão abordados temas de grande importância para a resolução de problemas do cotidiano e para um bom aproveitamento em outras disciplinas do curso Além dos aspectos teóricos teremos situações e problemas práticos relacionados não só aos aspectos acadêmicos e profissionais mas muitas vezes relacionados também às nossas vidas Desde já nos colocamos à disposição para auxiliálo no que for necessário A cada aula novos assuntos serão abordados e as aulas estão organizadas de modo a facilitar os estudos Para isso é importante seguir as orientações de leituras assistir aos vídeos participar do fórum da disciplina resolver os exercícios propostos e realizar as avaliações Sempre que possível crie grupos de estudos Está cientificamente comprovado que quando há interação e ajuda mútua entre os estudantes o aprendizado de todos é muito maior A leitura também tem um importante papel na aprendizagem Busque sempre complementar os estudos recorrendo às referências indicadas no plano de ensino O nosso principal objetivo é a aprendizagem Saiba que faremos sempre o melhor e que o nosso sucesso depende da participação de todos Nesta aula abordaremos a origem e a importância da geometria analítica Aprenderemos a representar pontos e vetores em sistemas de eixos coordenados Aprenderemos a calcular módulo e inclinação de vetores e teremos diversos exemplos e exercícios para fixarmos os temas abordados Bons estudos e conte sempre conosco TEMA 1 A GEOMETRIA ANALÍTICA A geometria analítica é uma área da Matemática que utiliza a álgebra na resolução de problemas de geometria ou seja está baseada em uma forma de resolver esses problemas utilizando fórmulas específicas e cálculos matemáticos na maioria das vezes elementares Há séculos problemas de geometria eram resolvidos com o uso de instrumentos tais como régua e compasso Com o passar do tempo os problemas geométricos passaram a ser resolvidos com o uso da álgebra 3 Essa relação entre geometria e álgebra teve início no século XVII com René Descartes que formalizou os princípios matemáticos necessários para que fosse possível analisar as propriedades de ponto reta e circunferência Outro importante matemático que colaborou com o surgimento da geometria analítica foi Pierre de Fermat que desenvolveu um sistema de coordenadas permitindo a localização de pontos em um plano Esses sistemas de coordenadas permitem que nos dias de hoje possamos por exemplo localizar objetos em um plano ou em um sistema tridimensional utilizar um dispositivo eletrônico para escrever emails jogar ver fotos assistir a vídeos em duas ou em três dimensões entre muitas outras aplicações Por meio da geometria analítica também foi possível ampliar todo esse estudo para contextos que não possuem uma representação geométrica Podemos por exemplo estudar situações que com quatro cinco seis ou n dimensões bem como suas aplicações práticas tais como a computação robótica etc mas que não há representação geométrica nesses casos Com todo esse potencial a geometria analítica deu suporte ao desenvolvimento do cálculo diferencial e integral como é conhecido nos dias de hoje ocorrido a partir do século XVII e que promoveu diversos avanços científicos e tecnológicos A partir do sistema de coordenadas cartesianas desenvolvido por Fermat mas denominado em homenagem a Descartes surgiram também as primeiras abordagens envolvendo vetores que são o tema desta aula Falaremos sobre vetores mais detalhadamente a seguir mas antecipando algumas explicações os vetores são amplamente utilizados na física e em outras áreas do conhecimento Em diversas situações do cotidiano nos deparamos com problemas que envolvem vetores Muitos filmes utilizam a computação gráfica como recurso para a criação de cenas Muitos softwares possuem ferramentas que facilitam o trabalho de criar animações mas em alguns casos é preciso programar o movimento desejado Mas como esse movimento é feito computacionalmente No caso de movimentos bidimensionais o computador precisa da expressão matemática associada ao movimento e ao variar o valor de x é possível obter os respectivos valores de y A cada par ordenado x y o personagem ou objeto tem a respectiva posição na tela do computador Por 4 exemplo se o objetivo é fazer com que um determinado objeto se desloque sobre uma reta é preciso a equação dessa reta De uma forma mais abrangente podemos identificar muitas relações entre elementos da geometria analítica e situações reais relacionadas ao nosso cotidiano Circunferências e elipses por exemplo são amplamente utilizadas nos logos de empresas e mais uma vez a representação gráfica dessas figuras feita por meio de softwares utiliza as respectivas equações Mas as aplicações da geometria analítica vão muito além do ambiente virtual Diversas construções utilizam figuras geométricas conhecidas para otimizar suas funções O formato de um hiperboloide observado em torres de usinas nucleares por exemplo permite um melhor resfriamento do calor que passa por elas Créditos DistelapparathPixabay Na construção da Igreja da Pampulha em Minas Gerais é possível observar o uso de uma parábola como referência para a sua construção Créditos WjgomesPixabay 5 Esferas são utilizadas em objetos que servem como peças de decoração mas que também seguem princípios físicos Créditos Blue AndyShutterstock Para a produção de determinados modelos de pendentes a base do projeto pode ser feita por meio de paraboloides Créditos Imagens XBQS42Pixabay Nos esportes temos a presença direta da geometria desde as marcações no campo e as construções de arenas e ginásios até os artigos esportivos e os movimentos dos atletas 6 Créditos JarmolukPixabay Um nadador por exemplo para ter um melhor desempenho precisa de precisão nos movimentos e posicionar os membros de acordo com determinados ângulos Créditos FotoemotionsPixabay O eletromagnetismo estuda as relações entre eletricidade e magnetismo e também utiliza fortemente elementos da geometria analítica Créditos ClkerFreeVectorImagesPixabay 7 Estas são algumas das relações da geometria analítica com as nossas vidas É claro que existem muitas outras aplicações importantes e veremos algumas delas no decorrer dos nossos estudos Para começarmos vamos estudar elementos associados ao plano cartesiano TEMA 2 O PLANO CARTESIANO Um sistema cartesiano ortogonal é muito utilizado para a localização de pontos em um plano e é composto de duas retas perpendiculares entre si Uma reta é geralmente denominada de eixo x e a outra de eixo y Em cada uma delas temos uma escala de tal maneira que ambas possuem a mesma origem Cada ponto do plano pode ser representado por dois valores Um indica a distância do ponto ao eixo y e o outro a distância do ponto ao eixo x 8 Podemos dizer que o ponto P é um par ordenado composto por dois números reais x e y em que x é a abscissa e y é a ordenada do ponto Exemplo Represente graficamente o ponto A 4 2 Resolução A representação do ponto é feita de uma forma simples Inicialmente a partir da origem do sistema de eixos coordenados vamos considerar quatro unidades para a direita Em seguida para cima duas unidades Assim teremos a seguinte representação Exemplo Faça a representação gráfica do ponto B 3 5 Resolução Considerando 3 unidades no sentido do eixo x da direita para a esquerda e em seguida 5 unidades no sentido do eixo y de cima para baixo temos a seguinte representação do ponto B 9 Será que temos exemplos de localização de coordenadas em situações do nosso dia a dia A resposta é sim Se prensarmos em um computador cada ponto localizado na tela corresponde a um par ordenado do tipo x y algo muito parecido com as coordenadas cartesianas que conhecemos A única diferença é que os valores positivos de y são contados de cima para baixo e não de baixo para cima como estamos acostumados Créditos TeeraphotoShutterstock Também é possível representar de maneira análoga pontos em um sistema tridimensional Exemplo Represente graficamente o ponto A 3 2 1 00 10 Resolução Precisamos considerar 3 unidades em relação ao eixo x 2 em relação ao eixo y e 1 em relação ao eixo z A partir de dois pontos em um espaço bidimensional R2 podemos obter a distância entre eles por meio da fórmula 2 2 A B A B A B y y x x d que corresponde a uma aplicação do Teorema de Pitágoras 11 Observe que 2 2 2 A B A B A B y y x x d Exemplo Em uma parede uma tomada com interruptor está localizada na posição A de coordenadas 2 1 e uma luminária está na posição B de coordenadas 3 2 Sabendo que as unidades estão em metros qual é a distância entre a tomada e a luminária Resolução 2 2 A B A B A B y y x x d 2 2 1 2 2 3 d A B 2 2 1 1 d A B 1 1 d A B 2 d A B 1 41 m d A B Para a distância entre pontos localizados no espaço tridimensional ou seja no R3 a fórmula segue o mesmo princípio 2 2 2 A B A B A B A B z z y y x x d 12 Exemplo Unreal Engine é uma suíte de ferramentas para o desenvolvimento de jogos Um personagem foi inicialmente colocado em um ponto A de coordenadas 30 40 20 Fonte httpswwwunrealenginecomenUS Fonte httpswwwunrealenginecomenUS Qual é a distância deste personagem a um objeto colocado no ponto B de coordenadas 0 20 20 conforme a figura a seguir 13 Resolução A 30 40 20 B 0 20 20 2 2 2 A B A B A B z z y y x x d 2 2 2 20 20 40 20 30 0 d 2 2 2 0 40 20 30 0 d 2 2 2 0 60 30 d 0 3600 900 d 4500 d d 6708 Exemplo Dois objetos em um ambiente 3D estão posicionados nos pontos A e B de coordenadas A 5 17 0 e B3 6 2 Calcule a distância dA B 14 Fonte httpswwwunrealenginecomenUS Resolução Dados A e B temos 2 2 2 A B A B A B A B z z y y x x d 2 2 2 0 2 17 6 5 3 d A B 2 2 2 2 23 2 d A B 4 529 4 d A B 537 d A B 2317 d A B 15 Um importante ponto é conhecido como baricentro O baricentro é o encontro das medianas de um triângulo ou seja o encontro das linhas que vão do ponto médio de cada lado do triângulo até o vértice oposto Para obtermos as coordenadas do baricentro basta calcularmos as médias das coordenadas dos vértices do triângulo 3 3 C B A C B A y y y x x x G Exemplo Considere o triângulo de vértices nos pontos A2 1 B5 4 e C 6 2 Calcule o baricentro desse triângulo 16 Resolução 3 3 C B A C B A y y y x x x G 3 2 4 1 3 6 5 2 G 3 3 3 9 G 1 3 G Agora que já sabemos localizar pontos em sistemas de eixos coordenados vamos aprender mais sobre vetores TEMA 3 VETORES A origem da palavra vetor está em levar transportar Mais precisamente na Física e na geometria o termo está associado ao fato de levar um ponto a outro Um vetor que tem origem no ponto A e final no ponto B é um segmento orientado de reta e pode ser denotado por AB Um vetor consiste então em um segmento de reta que possui uma intensidade ou comprimento também chamado de módulo uma direção e um sentido Utilizamos vetores para representarmos grandezas que não podem ser descritas apenas por um número A força é um exemplo de uma grandeza vetorial Ao aplicarmos uma força sobre um objeto podemos mover esse objeto em uma determinada direção e sentido utilizando uma certa intensidade A velocidade e o campo elétrico também são grandezas vetoriais Um vetor pode ser representado graficamente por meio de uma seta e analiticamente por meio de componentes Exemplo Represente graficamente o vetor 1 3 v Resolução Para representarmos 1 3 v basta considerarmos um segmento com início na origem do sistema de eixos coordenados e final no ponto de coordenadas 3 1 17 Também podemos representar vetores em que o ponto inicial é um ponto qualquer Exemplo Represente graficamente o vetor v que tem origem no ponto A2 1 e final no ponto B5 2 Resolução O primeiro passo é representarmos em um sistema de eixos coordenados os pontos A e B Em seguida basta desenharmos o vetor com início em A e final em B v v 18 Observe que as componentes do vetor v correspondem a 3 1 Para obtermos as componentes de um vetor que tem origem em A e final em B basta fazermos B A ou seja fazermos as coordenadas do ponto final menos as coordenadas do ponto inicial 5 2 2 1 5 2 2 1 3 1 Podemos dizer que se dois vetores possuem o mesmo módulo a mesma direção e o mesmo sentido então são vetores equipolentes iguais mesmo que estejam em localizações em diferentes A seguir alguns casos particulares de vetores Vetores iguais possuem mesmo módulo direção e sentido Vetores paralelos possuem a mesma direção Vetor nulo vetor de módulo igual a 0 qualquer ponto do espaço 19 Vetores opostos vetores de mesmo módulo e direção mas de sentidos contrários Vetor unitário vetor de módulo igual a 1 20 Vetores ortogonais vetores que formam um ângulo reto Vetores coplanares vetores que estão no mesmo plano Falamos em módulo de um vetor mas o que é o módulo e como podemos calcular o módulo de um vetor É o que veremos a seguir TEMA 4 MÓDULO DE UM VETOR O módulo é o comprimento do vetor e pode ser calculado pela fórmula 2 2 y x v 21 Para vetores tridimensionais a fórmula é análoga 2 2 2 z y x v Exemplo Determine o módulo do vetor indicado na figura a seguir Resolução O módulo v consiste no comprimento do vetor v Para calcularmos este comprimento vamos utilizar a fórmula 2 2 y x v Como x 4 e y 3 temos 2 2 3 4 v 9 16 v 25 v 5 v Portanto o módulo de v representado por v é igual a 5 Para vetores tridimensionais a fórmula é análoga 2 2 2 z y x v Exemplo Dado o vetor 3 6 5 v calcule v Resolução Para calcularmos o módulo vamos utilizar a fórmula 2 2 2 z y x v Observe que x 5 y 6 e z 3 Logo 22 2 2 2 3 6 5 v 9 36 25 v 70 v 8 37 v Além do módulo um temo muito importante para os nossos estudos é a inclinação de um vetor TEMA 5 INCLINAÇÃO DE UM VETOR A inclinação de um vetor é a medida θ em relação à horizontal no sentido antihorário Como temos um triângulo retângulo e as componentes x e y do vetor correspondem aos catetos temos a seguinte relação x y tg θ e para determinarmos o valor de θ utilizaremos o arco tangente de x y O arco tangente é obtido por meio de uma calculadora científica Exemplo Determine a inclinação do vetor v 23 Resolução Para determinarmos a inclinação do vetor v podemos utilizar a relação x y tg θ Como x 4 e y 3 temos 4 3 tg θ 0 75 tg θ Precisamos agora determinar qual é o ângulo cuja tangente é igual a 075 Vamos utilizar a função inversa 1 tg também conhecida como arco tangente e representada por arc tg O cálculo do arco tangente é feito facilmente com o uso de uma calculadora científica Sendo assim o valor de θ é dado por θ arc tg 0 75 Nesse caso o valor de θ é 368698976 Portanto com duas casas decimais 3687 θ Mas como utilizar uma calculadora científica para calcularmos o arco tangente Dependendo do modelo da calculadora pode haver pequenas diferenças mas na maioria das calculadoras o procedimento é bem simples 24 Créditos ApisithShutterstock Utilizaremos as teclas e Dependendo do modelo da calculadora primeiro iremos fazer a divisão de y por x Depois deveremos pressionar a tecla SHIFT e em seguida a tecla tan1 Em outros modelos primeiro pressionamos a tecla SHIFT em seguida a tecla tan1 e depois digitamos entre parênteses a divisão de y por x Veja como é simples 1 Caso 3 4 SHIFT tan1 2 Caso SHIFT tan1 3 4 Obs Dependendo do modelo da calculadora vamos encontrar a tecla 2ndf no lugar da tecla SHIFT Exemplo Determine o módulo e a inclinação do vetor v Resolução Neste exercício temos dois itens a serem calculados o módulo e a inclinação do vetor Para calcularmos o módulo de v vamos utilizar a fórmula 2 2 y x v 25 É importante ressaltar que x 9 e y 5 Vamos agora substituir os valores na fórmula 2 2 y x v 2 2 5 9 v 25 81 v 106 v 10 3 v Para calcularmos a inclinação do vetor v precisamos observar um detalhe como o ângulo que o vetor forma com a horizontal está entre 90 e 180 inicialmente vamos considerar o ângulo α indicado na figura a seguir Para que possamos calcular o valor de θ precisaremos calcular o valor de α Como 180 θ α temos que α θ 180 Para calcularmos α basta utilizarmos a relação x y tg θ 9 5 tg α 0 56 tg α α arc tg 0 56 Com o uso de uma calculadora científica chegamos à conclusão que α é igual a 2925 26 Vamos determinar agora o valor de θ Como α θ 180 e 2925 α temos 2925 180 θ Logo 15075 θ ou seja a inclinação do vetor v é igual a 15075 Exemplo Determine as componentes do vetor v sabendo que seu módulo é igual a 17 e sua inclinação é igual a 60 Resolução Quando conhecemos o módulo do vetor e a sua inclinação podemos utilizar as relações a seguir para encontrarmos as componentes x e y do vetor v sen v θ y cos v θ x Sabemos que θ 60 e que 17 v Inicialmente vamos calcular o valor de y sen v θ y O primeiro passo é substituirmos os valores de θ e de v por 60 e 17 respectivamente 17 sen60 y Como 08660254 sen60 podemos escrever 17 08660254 y 17 08660254 y 27 y 17 08660254 y 14722432 y 1472 O cálculo de x pode ser feito de forma análoga ao cálculo de y Para isso vamos utilizar a relação cos v θ x Substituindo θ por 60 e v por 17 temos 17 cos60 x Sabendo que 50 cos60 temos 17 50 x 50 17 x 50 x 17 58 x Sendo assim as componentes do vetor v são 58 x e y 1472 A representação de v é dada por 28 Exemplo Determine a inclinação de uma viga que deverá estar apoiada em uma estrutura que tem 20 metros de comprimento e 10 metros de altura conforme a figura abaixo Resolução x y tg θ 2 1 tg θ 2 arctg 1 θ 2657 θ Exemplo Para que um cadeirante possa ter acesso a planos elevados por meio de rampas existem normas que levam em conta o esforço necessário para o deslocamento sobre rampas É bastante comum a relação de 833 que corresponde à proporção 112 ou seja para cada centímetro de altura são necessários 12 centímetros de comprimento Caso uma rampa tenha a finalidade de fornecer acesso a um plano com elevação de 60 cm a base da rampa precisa ter 720 cm 72 m Sabemos que essa rampa tem uma relação de 833 Mas qual é a respectiva inclinação em graus 29 Resolução Para essa rampa temos x 720 e y 60 Sendo assim x y tg θ 720 60 tg θ 0 083333333 tg θ θ arc tg 0 083333333 4 76 θ Podemos concluir que a inclinação da rampa que tem uma relação de 833 entre altura e comprimento da base corresponde a 476 FINALIZANDO Chegamos ao final da nossa aula Agora sabemos o que é geometria analítica e qual a sua importância em diversas áreas do conhecimento Sabemos como devemos proceder para representarmos pontos e vetores em um sistema de eixos coordenados Também aprendemos a calcular o módulo e a inclinação de vetores Esperamos que você tenha aprendido da melhor forma possível os temas desta aula Se necessário retome os conteúdos abordados e refaça os exercícios propostos Para que possamos avançar nos nossos estudos é importante que os assuntos vistos até aqui estejam bem definidos e que as possíveis dúvidas sejam esclarecidas 30 REFERÊNCIAS BORIN JUNIOR A M S org Geometria analítica São Paulo Pearson Education do Brasil 2014 FERNANDES L F D Geometria Analítica Curitiba InterSaberes 2016 SANTOS F J dos FERREIRA S F Geometria analítica Porto Alegre Artmed 2009 THOMAS G B HASS J WEIR M D Cálculo 12 ed São Paulo Pearson 2008 2 v WINTERLE P Vetores e Geometria Analítica 2 ed São Paulo Pearson 2014