AULA 06 - Impressa- Quadricas pdf

GEOMETRIA ANALÍTICA AULA 6 Prof Ricardo Alexandre Deckmann Zanardini CONVERSA INICIAL Nesta aula estudaremos as quádricas e suas aplicações Quádricas são figuras tridimensionais e estão diretamente relacionadas às cônicas vistas em momento anterior Ao rotacionarmos uma cônica obtemos uma superfície denominada quádrica Uma esfera é um exemplo de quádrica Paraboloides hiperboloides e elipsoides também No decorrer da aula estudaremos cada uma delas TEMA 1 QUÁDRICAS Por meio das cônicas vistas anteriormente circunferência elipse hipérbole e parábola podemos obter figuras tridimensionais chamadas de quádricas A rotação de uma circunferência em torno de seu eixo gera uma esfera Quando rotacionamos uma elipse temos um elipsoide A rotação de uma hipérbole gera um hiperboloide e a rotação da parábola gera um paraboloide Todas essas figuras apresentam aplicações práticas algumas das quais veremos nesta aula Toda quádrica pode ser escrita como uma equação de segundo grau nas variáveis x y e z a0x2 a1y2 a2z2 2a3xy 2a4xz 2a5yz a6x a7y a8z a9 0 Nessa equação a0 a1 a9 são números reais e pelo menos um dos coeficientes a0 a1 a5 é diferente de zero Quando precisamos realizar determinados cálculos ou representar graficamente uma quádrica essa equação é utilizada Em relação às aplicações bolas de futebol basquete pinguepongue entre outras apresentam um formato esférico 3 Figura 1 Formato esférico Crédito Joliedame13Shutterstock A ponta de uma caneta esferográfica também é formada por uma esfera Figura 2 Esfera Crédito CollageartsPixabay Um elipsoide foi utilizado como base para a construção do Teatro Nacional de Beijing na China 4 Figura 3 Elipsoide Crédito ExcellentccPixabay Torres de usinas nucleares e de usinas movidas à carvão apresentam o formato de um hiperboloide É um formato muito adequado para as torres pois o formato utilizado otimiza o processo de resfriamento dos gases Figura 4 Hiperboloide Crédito DistelapparathPixabay 5 Muitos holofotes utilizam uma estrutura interna com formato de um paraboloide para direcionar os feixes de luz Figura 5 Paraboloide Crédito DanielkirschPixabay Nesta aula estudaremos as equações e representações das quádricas TEMA 2 ELIPSOIDE E ESFERA Ao rotacionarmos uma elipse a quádrica obtida é um elipsoide A respectiva equação é 1 2 2 0 2 2 0 2 0 2 c z z b y y a x x Nessa equação Cx0 y0 z0 é o centro e os termos a b e c são os semieixos das elipses obtidas pelas intersecções dos planos paralelos aos planos coordenados xy xz e yz com o elipsoide 6 Figura 6 Elipsoide representado graficamente Fonte o autor Em particular quando os semieixos são iguais ou seja quando a b c temos uma esfera de raio r a Figura 7 Esfera representada graficamente Fonte o autor 7 A equação da esfera é dada por 2 2 0 2 0 0 2 r z z y y x x Agora que já sabemos qual é a equação do elipsoide e qual é a equação da esfera vamos ver alguns exemplos em que vamos escrever essas equações com base nas informações dadas 21 Exemplo 1 Qual é a equação reduzida do elipsoide com centro no ponto C2 4 1 e semieixos a 5 b 2 e c 7 Resolução nesse caso temos x0 2 y0 4 z0 1 a 5 b 2 e c 7 Substituindo esses valores na fórmula a seguir temos 1 2 2 0 2 2 0 2 0 2 c z z b y y a x x 1 7 1 2 4 5 2 2 2 2 2 2 2 z y x 1 49 1 4 4 25 2 2 2 2 z y x Esta é a equação reduzida do elipsoide 22 Exemplo 2 Qual é a equação reduzida da esfera de centro C4 4 1 que tem raio r 6 Resolução considerando a fórmula 2 2 0 2 0 0 2 r z z y y x x com x0 4 y0 4 z0 1 e r 6 temos 2 2 2 2 5 1 4 4 z y x 25 1 4 4 2 2 2 z y x 23 Exemplo 3 Uma esfera tem equação x2 y2 z2 2x 10y 4z 5 0 Com base nessas informações obtenha as coordenadas do centro e o raio dessa esfera 8 Resolução vamos inicialmente agrupar os termos em x y e z x2 2x y2 10y z2 4z 5 0 A partir de x2 2x y2 10y e z2 4z vamos completar os quadrados desses termos para que possamos escrever as expressões na forma fatorada Para x2 2x vamos dividir o coeficiente de x nesse caso 2 por 2 e vamos elevar ao quadrado o resultado o que resulta em 1 e 12 1 Logo precisamos somar 1 e 1 nessa expressão Considerando agora y2 10y basta dividirmos 10 por 2 e elevarmos o resultado ao quadrado Assim 10 2 5 e 52 25 Portanto temos que somar e subtrair 25 aos termos em y Finalmente para z2 4z temos 4 2 2 e 22 4 Precisamos somar e subtrair 4 a esses termos x2 2x 1 1 y2 10y 25 25 z2 4z 4 4 5 0 Fazendo por produtos notáveis temos x2 2x 1 x 12 y2 10y 25 y 52 e z2 4z 4 z 22 Então x 12 1 y 52 25 z 22 4 5 0 Somando os termos 1 25 4 e 5 temos x 12 y 52 z 22 25 0 x 12 y 52 z 22 25 Comparando essa expressão com a fórmula 2 2 0 2 0 0 2 r z z y y x x temos o centro C1 5 2 e o raio r 5 TEMA 3 HIPERBOLOIDES Seguindo os mesmos princípios ao rotacionarmos uma hipérbole em torno do seu eixo temos uma figura tridimensional chamada de hiperboloide Como podemos ter hipérboles de uma ou de duas folhas o mesmo ocorre com os hiperboloides 9 Figura 8 Hiperboloides de uma ou de duas folhas Fonte o autor Dependendo da orientação em relação a cada um dos eixos coordenados temos algumas possibilidades para as fórmulas dos hiperboloides Veremos a seguir cada uma delas Nas respectivas equações os termos x0 y0 e z0 estão relacionados às coordenadas do centro em que a é o semieixo na direção do eixo x b o semieixo em relação ao eixo y e c é o semieixo na direção do eixo z Quando temos um hiperboloide de uma folha em relação ao eixo x a equação corresponde a 1 2 2 0 2 2 0 2 0 2 c z z b y y a x x O gráfico é um hiperboloide no sentido desse eixo 10 Figura 9 Hiperboloide no sentido do eixo x Fonte o autor Para o hiperboloide de uma folha em relação ao eixo y temos a seguinte equação e a respectiva representação gráfica Figura 10 1 2 2 0 2 2 0 2 0 2 c z z b y y a x x Figura 10 Hiperboloide no sentido do eixo y Fonte o autor 11 No caso do hiperboloide de uma folha em relação ao eixo z temos a seguinte equação e a respectiva representação gráfica Figura 11 1 2 2 0 2 2 0 2 0 2 c z z b y y a x x Figura 11 Hiperboloide no sentido do eixo z Fonte o autor Vamos ver agora os hiperboloides de duas folhas A equação e o gráfico associados ao hiperboloide de duas folhas em relação ao eixo x correspondem a 1 2 2 0 2 2 0 2 0 2 c z z b y y a x x 12 Figura 12 Hiperboloide de duas folhas em relação ao eixo x Fonte o autor Para o hiperboloide de duas folhas em relação ao eixo y temos 1 2 2 0 2 2 0 2 0 2 c z z b y y a x x Figura 13 Hiperboloide de duas folhas em relação ao eixo y Fonte o autor 13 Quanto ao hiperboloide de duas folhas em relação ao eixo z a equação e o gráfico são respectivamente 1 2 2 0 2 2 0 2 0 2 c z z b y y a x x Figura 14 Hiperboloide de duas folhas em relação ao eixo z Fonte o autor Vamos acompanhar alguns exemplos relacionados aos hiperboloides 31 Exemplo 1 Escreva a equação reduzida do hiperboloide que está no sentido do eixo x cujo centro é C9 3 2 e tem semieixos a 6 b 4 e c 11 Resolução por meio da equação 1 2 2 0 2 2 0 2 0 2 c z z b y y a x x podemos fazer as substituições necessárias 1 11 2 4 3 6 9 2 2 2 2 2 2 z y x 1 121 2 16 3 36 9 2 2 2 z y x 14 32 Exemplo 2 Uma empresa está projetando uma torre de resfriamento e para otimizá lo o formato é de um hiperboloide de uma folha Para o projeto será preciso modelar matematicamente essa torre e em seguida realizar testes computacionais para se necessário redimensionar a torre As medidas iniciais são 18 metros de altura e 6 metros de diâmetro na parte central da torre Sabendo que a torre está na direção do eixo z escreva a respectiva equação reduzida Figura 15 Exemplo 1 Fonte o autor Resolução vamos considerar que o centro do hiperboloide está na origem de um sistema tridimensional de eixos coordenados Assim C0 0 0 ou seja x0 0 y0 0 e z0 0 Como o diâmetro central é igual a 6 metros cada um dos respectivos semieixos a e b correspondem a 3 Sabemos que a altura do hiperboloide é igual a 18 metros Assim o semieixo c é igual a 9 Substituindo esses dados na fórmula 1 2 2 0 2 2 0 2 0 2 c z z b y y a x x temos 1 9 0 3 0 3 0 2 2 2 2 2 2 z y x 15 Logo a equação reduzida que modela matematicamente a torre é 1 81 9 9 2 2 2 z y x TEMA 4 PARABOLOIDE Outra quádrica muito importante e utilizada em muitos objetos do cotidiano é o paraboloide elíptico Essa quádrica recebe esse nome pois os traços consistem em parábolas e em elipses Figura 16 Paraboloide Fonte o autor Podemos observar paraboloides em luminárias na construção de holofotes em cúpulas em pontas de objetos entre outras situações A seguir vamos estudar equações de paraboloides elípticos que seguem a direção de cada um dos eixos coordenados Paraboloide elíptico ao longo do eixo x 2 2 0 2 0 2 c z z b y y x 16 Figura 17 Paraboloide elíptico ao longo do eixo x Fonte o autor Paraboloide elíptico ao longo do eixo y 2 2 0 2 0 2 c z z a x x y Figura 18 Paraboloide elíptico ao longo do eixo y Fonte o autor 17 Paraboloide elíptico ao longo do eixo z 2 2 0 2 0 2 b y y a x x z Figura 19 Paraboloide elíptico ao longo do eixo z Fonte o autor É importante ressaltar que os termos a e b estão relacionados aos semieixos da elipse e x0 e y0 são as coordenadas do vértice do paraboloide 41 Exemplo de aplicação paraboloide A parte interna de uma peça metálica precisa ter o formato de um paraboloide elíptico no sentido do eixo z Para a obtenção dessa peça será necessária a respectiva equação Sabendo que o vértice está no ponto 4 5 0 que o semieixo a é igual a 3 e que o semieixo b é igual a 5 obtenha a equação reduzida do paraboloide elíptico que está ao longo do eixo z Resolução utilizando a fórmula 2 2 0 2 0 2 b y y a x x z obtemos a equação do respectivo paraboloide elíptico 18 2 2 2 2 5 5 3 4 y x z 25 5 9 4 2 2 y x z 42 Paraboloides hiperbólicos É muito comum também a existência de paraboloides hiperbólicos Uma certa marca de batata frita muito famosa tem batatas em forma de paraboloide hiperbólico Figura 20 Batatas em forma de paraboloide hiperbólico Crédito DidgemanPixabay A representação gráfica de um paraboloide hiperbólico pode ser observada a seguir 19 Figura 21 Representação gráfica de um paraboloide hiperbólico Fonte o autor Podemos ter basicamente paraboloides hiperbólicos ao longo dos eixos coordenados cujas fórmulas são paraboloide hiperbólico ao longo do eixo x 2 2 0 2 0 2 c z z b y y x paraboloide hiperbólico ao longo do eixo y 2 2 0 2 0 2 c z z a x x y paraboloide hiperbólico ao longo do eixo z 2 2 0 2 0 2 b y y a x x z Por meio dessas equações é possível obtermos as representações gráficas de cada um deles 20 421 Exemplo Obtenha a equação canônica do paraboloide hiperbólico que se encontra ao longo do eixo y com x0 2 z0 6 a 3 e c 2 Resolução utilizando a fórmula 2 2 0 2 0 2 c z z a x x y temos 2 2 2 2 2 6 3 2 z x y 4 6 9 2 2 2 z x y Paraboloides hiperbólicos são comuns no estudo de problemas de otimização de funções de várias variáveis e os respectivos gráficos são conhecidos como gráficos de sela em razão da semelhança com a sela de um cavalo TEMA 5 SUPERFÍCIES CÔNICAS Uma superfície cônica é gerada por meio da rotação de uma reta em torno de um eixo coordenado A superfície cônica elíptica no sentido do eixo x tem equação 2 2 0 2 2 0 2 c z z b y y x Figura 22 Superfície cônica Fonte o autor 21 No caso da superfície cônica elíptica no sentido do eixo y a equação é dada por 2 2 0 2 2 0 2 c z z a x x y Figura 23 Superfície cônica elíptica no sentido do eixo y Fonte o autor Para a superfície cônica elíptica no sentido do eixo z a equação corresponde a 2 2 0 2 2 0 2 b y y a x x z 22 Figura 24 Superfície cônica elíptica no sentido do eixo z Fonte o autor 51 Exemplo Considere a reta z 3y x 0 pertencente ao plano yz Rotacionando a reta em torno do eixo z qual é a equação da superfície cônica obtida Resolução a superfície de revolução obtida é a cônica que tem vértice na origem do sistema de eixos coordenados Para obtermos a respectiva equação vamos substituir y por 2 2 x y Assim 2 2 3 y x z Elevando ambos os membros ao quadrado temos 2 2 2 9 y x z Escrevendo na forma canônica 2 2 0 2 2 0 2 b y y a x x z temos 23 1 9 9 1 2 2 2 y x z Fazendo a divisão de x2 por 1 9 e de y2 por 1 9 temos a equação procurada 2 2 2 9 9 y x z FINALIZANDO Nesta e nas demais aulas estudamos vetores e suas respectivas operações retas planos distâncias cônicas e quádricas Vimos algumas aplicações relacionadas a esses conteúdos mas dentro das diversas áreas do conhecimento há muito mais situações reais que podem ser resolvidas por meio da Geometria Analítica 24 REFERÊNCIAS BORIN JUNIOR A M S Org Geometria analítica São Paulo Pearson Education do Brasil 2014 FERNANDES L F D Geometria Analítica Curitiba InterSaberes 2016 SANTOS F J dos FERREIRA S F Geometria analítica Porto Alegre Artmed 2009 THOMAS G B HASS J WEIR M D Cálculo 12 ed São Paulo Pearson 2008 2 v WINTERLE P Vetores e Geometria Analítica 2 ed São Paulo Pearson 2014