AULA 03 - Impressao - Retas pdf

GEOMETRIA ANALÍTICA AULA 3 Prof Ricardo Alexandre Deckmann Zanardini 2 CONVERSA INICIAL Quando pensamos em retas temos muitas aplicações no cotidiano Linhas retas compõem as bordas de objetos tais como mesas retangulares armários e molduras de quadros dentre outros Também aparecem computacionalmente nas bordas de uma tabela em gráficos ilustrando a variação de valores tais como preço produção etc em delimitadores de páginas da internet e muito mais Uma reta está associada a quantidades proporcionais e para representarmos matematicamente uma reta precisamos de uma equação associada a ela Em particular na geometria analítica aprenderemos diferentes maneiras de escrevermos equações de retas Aprenderemos a identificar posições relativas entre retas determinar a intersecção caso exista e calcular o ângulo formado por retas TEMA 1 EQUAÇÃO REDUZIDA E EQUAÇÃO GERAL DA RETA Uma forma muito comum de representarmos uma reta é por meio da equação reduzida A equação reduzida tem a forma b ax y em que a e b são constantes Dizemos que a é o coeficiente angular e que o termo b é o coeficiente linear O coeficiente angular está associado à inclinação da reta e o coeficiente angular indica o ponto no qual a reta intercepta o eixo y Podemos pensar em uma aplicação real associada a uma reta Para isso vamos imaginar que em um certo local o litro de água mineral custa R 050 3 Como o total a ser pago é proporcional à quantidade de água adquirida temos a tabela a seguir que apresenta o total a ser pago em função da quantidade adquirida Quantidade Total R 0 000 1 050 2 100 3 150 4 200 5 250 Observe que o respectivo gráfico é uma reta Uma outra aplicação muito comum relacionada a retas e que será abordada com mais detalhes em disciplinas futuras é o que chamamos de mínimos quadrados Em um problema de mínimos quadrados não temos uma reta que passa sobre os pontos dados mas que se aproxima da melhor forma destes pontos Problemas de mínimos quadrados aparecem em diversas situações reais Por exemplo podemos analisar o que ocorre com o custo 4 quando há variações na produção A tabela a seguir mostra a relação entre a quantidade produzida por uma determinada empresa e os respectivos custos Produção Custo R 10 12300 12 14500 15 19000 18 22600 20 24000 23 28500 Em duas situações distintas temos exemplos relacionados a retas Mas como é possível obter os valores de a e de b para que tenhamos a respectiva equação reduzida da reta Há diversas formas Veremos a seguir alguns exemplos Exemplo Sabendo que a equação reduzida da reta r é yaxb encontre a equação da reta que passa pelos pontos A2 7 e B6 19 0 50 100 150 200 250 300 10 12 15 18 20 23 x 5 Resolução Uma forma simples para encontrarmos a equação da reta que passa pelos pontos A e B é substituirmos as coordenadas de cada um desses pontos na equação yaxb Assim podemos obter os coeficientes a e b da equação reduzida da reta Vamos considerar inicialmente o ponto A2 7 Note que x2 e y7 Vamos substituir os valores de x e y na equação yaxb 7a2b Multiplicando a por 2 temos 72ab ou equivalentemente 2ab7 Vamos substituir agora as coordenadas do ponto B 6 19 na equação yaxb Neste caso x6 e y19 Portanto 19a6b Multiplicando a por 6 temos 196ab que corresponde a 6ab19 Como temos duas variáveis e duas equações vamos resolver o seguinte sistema linear 19 6 7 2 b a b a Há vários métodos destinados à resolução de sistemas lineares Vamos utilizar um conhecido como método da adição Relembrando o método da adição consiste em multiplicarmos as duas equações por números convenientes de modo que somando as duas equações possamos obter uma nova equação com apenas uma variável Calculando o valor dessa variável basta substituíla 6 em uma das duas equações originais para que possamos obter o valor da outra variável No caso do sistema 19 6 7 2 b a b a podemos multiplicar a primeira equação por 1 Essa multiplicação faz com que ao somarmos as duas equações seja possível obtermos uma nova equação contendo agora apenas a variável a 19 6 1 7 x 2 b a b a Multiplicando cada termo da primeira equação por 1 temos 19 6 7 2 b a b a Agora podemos somar termo a termo as duas equações ou seja vamos calcular os valores de 2a4a bb e 719 Sendo assim temos 12 0 4 19 6 7 2 a b a b a o que resulta em 4a12 a124 a3 Como já sabemos o valor de a podemos calcular o valor de b substituindo este valor em uma das duas equações Vamos substituir a por 3 na primeira equação ou seja em 2ab7 para que possamos calcular o valor de b 23b7 Multiplicando 2 por 3 temos 6b7 7 b76 b1 Sabendo que a3 e que b1 a equação cartesiana da reta na forma reduzida que passa pelos pontos A e B corresponde a y3x1 Exemplo Obtenha a equação reduzida da reta r que passa pelos pontos A4 1 e B6 5 Resolução Vamos resolver este exemplo de uma forma mais direta para vermos como é simples a resolução Para A4 1 temos b ax y b a 4 1 1 4a b 1 4 a b Para B6 5 temos b ax y b a 6 5 5 6a b 5 6 a b A partir das duas equações temos o sistema 5 6 1 4 b a b a 5 6 1 1 4 b a b a 5 6 1 4 b a b a 8 4 0 2 5 6 1 4 a b a b a 2 4 a a 2 Substituindo na primeira equação temos 1 4 a b 1 42 b 1 8 b b 18 b 7 Logo a equação reduzida é 2 7 y x Como na equação reduzida o termo a é conhecido como coeficiente angular também podemos obter a equação a partir de um ponto pertencente à reta e da respectiva inclinação Basta utilizarmos 0 0 x m x y y O termo m 9 é o coeficiente angular da reta o mesmo que a na equação yaxb e é dado por A B A B x x y y m ou também por m tg onde é a inclinação da reta O exemplo a seguir ilustra o uso dela Exemplo Um desenvolvedor de games precisa da equação reduzida da reta para poder fazer a trajetória representada em vermelho da aeronave que tem uma inclinação de 78 em relação à horizontal e está inicialmente no ponto A de coordenadas 300 100 conforme a figura a seguir Com base nessas informações qual é a respectiva equação reduzida Resolução 10 0 0 x m x y y A300 1 00 tg 78 m 74 m 300 74 100 x y 1410 74 100 x y 1410 100 74 x y 1310 74 x y A partir da equação reduzida da reta podemos determinar por exemplo qual é a inclinação da reta qual a intersecção da reta com o eixo y se um dado ponto pertence à reta e muito mais Nos exemplos a seguir veremos isso com detalhes Exemplo Determine a inclinação da reta r de equação y12x3 Resolução A inclinação da reta r é dada pelo coeficiente angular a que é igual à tangente do ângulo de inclinação dessa reta Como a12 podemos obter a inclinação da reta através da equação 21 tg donde 21 arc tg o que resulta em 5019 Portanto a inclinação da reta r é igual a 5019 Relembrando o valor do arco tangente de 12 é obtido facilmente com o uso de uma calculadora científica Exemplo Qual é o ponto de intersecção da reta r de equação y12x3 com o eixo y Resolução O ponto de intersecção da reta r com o eixo y ocorre quando x é igual a 0 Neste caso vamos substituir x por 0 na equação y12x3 11 y1203 y03 y3 Portanto o ponto de intersecção procurado tem coordenadas 0 3 Note que quando x é igual a 0 o valor de y coincide com o valor de b da equação yaxb Exemplo Verifique se o ponto P5 9 pertence à reta r de equação y12x3 Resolução Para verificarmos se um determinado ponto pertence ou não a uma reta se ao substituirmos as coordenadas deste ponto na equação da reta a igualdade precisa valer No caso do ponto P5 9 basta substituirmos x por 5 e y por 9 na equação y12x3 91253 963 99 Como a igualdade se verifica podemos afirmar que o ponto P5 9 pertence à reta de equação y12x3 Exemplo Considere a reta t representada na figura a seguir 12 Com base nas informações apresentadas escreva a equação reduzida da reta t Resolução Note que neste caso temos a inclinação da reta t em relação ao eixo x e temos também o ponto de intersecção da reta com o eixo y Sabemos que a equação reduzida de uma reta corresponde a b ax y onde a é o coeficiente angular e b é o coeficiente linear Sendo assim conhecendo os valores de a e de b podemos encontrar a equação desejada O coeficiente angular a corresponde à inclinação da reta t com o eixo x Sabemos que essa inclinação é igual a 30 Como tg30 a e como 0 577 tg30 temos que a 0 577 O coeficiente linear b é igual a 4 pois esse é o valor de y no ponto de intersecção da reta t com o eixo y Como já temos os valores de a e de b podemos escrever a equação reduzida da reta t como sendo 4 0 577 x y Exemplo Uma viga reta tem inclinação de 30º e está apoiada em uma torre de 8 metros de altura A distância entre o outro ponto onde a viga será apoiada e a torre é igual a 10 metros 13 Qual é a equação reduzida da reta associada a essa viga e quais são as coordenadas do ponto Q Resolução A equação reduzida é dada por b ax y Como a tg30º temos a 0 577 Logo b x y 0 577 Para obtermos b utilizaremos as coordenadas do ponto P10 8 Assim b 0 57710 8 b 5 77 8 b 5 77 8 2 23 b b 2 23 Portanto 𝑦 0577𝑥 223 Para obtermos as coordenadas de Q vamos considerar x0 𝑦 0577𝑥 223 14 𝑦 05770 223 𝑦 0 223 𝑦 223 Assim Q0 223 Além da equação reduzida temos a equação cartesiana na forma geral 0 c by ax É uma outra maneira de representarmos a equação de uma reta A forma geral é útil por exemplo quando queremos calcular a distância de um ponto a uma reta Exemplo Seja a reta r definida pela equação reduzida 12 1 x y Escreva a equação de r na forma geral Resolução A forma geral da equação da reta é dada por 0 c by ax Considerando a equação 12 1 x y subtrairmos y dos dois membros ou seja passarmos o y que está positivo no primeiro membro para o segundo membro mas agora com o sinal negativo 12 1 x y 1 12 0 y x De forma equivalente temos 0 1 12 x y que é a respectiva equação geral Veremos a seguir outras formas de representarmos as retas 15 TEMA 2 EQUAÇÃO VETORIAL E EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS Uma forma muito simples e muito útil de representarmos retas é a forma vetorial A ideia consiste em a partir de um ponto pertencente à reta e de um vetor que tem a mesma direção da reta multiplicarmos o vetor direção por um número real t que varia de menos infinito até infinito e com isto gerar todos os pontos da reta Logo t v r A t R Graficamente temos alguns exemplos de pontos pertencentes à reta r para alguns valores de t Exemplo Obtenha a equação vetorial da reta r que contém o ponto A1 2 e tem direção dada pelo vetor 4 3 v 16 Resolução A figura a seguir mostra o ponto e o vetor A equação vetorial é dada por R t vt r A Logo R t t r 4 3 2 1 Graficamente temos Exemplo Um desenvolvedor de games precisa da equação vetorial da reta para poder fazer a trajetória representada em vermelho da aeronave que tem uma inclinação de 78 em relação à horizontal e está inicialmente no ponto A de coordenadas 300 100 conforme a figura a seguir 17 Sabendo que o vetor v 10 47 possui uma inclinação de 78 em relação à horizontal qual é a respectiva equação vetorial Resolução A resolução é muito simples Como temos A300 100 e v 10 47 basta substituirmos estes elementos na equação R t vt r A Logo R t t r 10 47 300 100 que é a respectiva equação vetorial Quando separamos os termos em x e y de uma equação vetorial em R2 ou os termos em x y e z de uma equação vetorial em R3 temos as equações paramétricas Para compreendermos melhor temos um exemplo escreva as equações paramétricas da reta que passa por A300 100 e tem vetor diretor v 1047 Resolução A300 1 00 v 10 47 R t vt r A R t t r 10 47 300 100 18 R t t y t x r 47 100 10 300 Exemplo Obtenha as equações paramétricas da reta r que contém o ponto A1 2 e tem direção dada pelo vetor 4 3 v Resolução Sabemos que a equação vetorial corresponde a R t t x y r 4 3 2 1 Sendo assim as equações paramétricas são t y t x 4 2 3 1 onde t R Exemplo Determine uma equação vetorial da reta r que passa pelos pontos A1 3 6 e B2 3 3 Resolução Vamos utilizar os pontos A e B para definirmos um vetor direção A B AB v Logo vamos fazer 6 3 1 3 3 2 v Subtraindo as respectivas componentes temos 6 3 3 3 1 2 v o que resulta em 3 0 3 v Como a equação vetorial de r corresponde a R t vt r A temos 3 0 3 6 3 1 t r t onde t R Exemplo Encontre uma equação vetorial para a reta r que contém os pontos A1 2 1 e B2 3 3 Resolução Podemos observar os pontos A e B na figura a seguir 19 Para escrevermos uma equação vetorial para a reta r precisamos de um vetor direção Faremos A B AB v 1 2 1 3 3 2 v 2 1 1 v Agora que já temos um vetor direção podemos obter a equação vetorial de r Sabemos que R t vt r A Logo 1 1 2 1 2 1 t r t onde t R A figura abaixo apresenta o vetor 2 1 1 v e a reta r 20 TEMA 3 EQUAÇÕES SIMÉTRICAS Outra forma de representarmos uma reta é por meio das equações simétricas Observe que se considerarmos as equações paramétricas de uma reta isolando t e igualando as equações temos as equações simétricas Para compreendermos melhor temos o seguinte exemplo Exemplo Obtenha as equações simétricas da reta r que contém o ponto A1 2 e tem direção dada pelo vetor 4 3 v Resolução Na figura a seguir temos o ponto A1 2 e o vetor 4 3 v 21 Sabemos que a equação vetorial da reta corresponde a R t t r 4 3 2 1 e que as equações paramétricas são R t t y t x 4 2 3 1 Para obtermos as equações simétricas vamos considerar primeiro t x 1 3 Isolando t temos t x 1 3 t x 1 3 t x 3 1 3 t x 1 22 Vamos considerar agora a equação t y 24 e em seguida vamos isolar t t y 24 t y 2 4 t y 4 2 4 t y 2 Finalmente vamos igualar as equações 3 t x 1 e 4 t y 2 Assim temos 4 2 3 1 y x que são as equações simétricas da reta que r que contém o ponto A1 2 e tem direção dada pelo vetor 4 3 v Observe que nos numeradores de cada fração temos as coordenadas do ponto A e nos denominadores as componentes do vetor v Sendo assim podemos escrever de uma forma geral as equações simétricas para retas em R2 v v y y y x x x 0 0 Para retas em R3 temos v v v z z z y y y x x x 0 0 0 No exemplo anterior obtivemos as equações simétricas a partir das equações paramétricas mas agora que temos as respectivas fórmulas podemos escrever as equações simétricas de uma forma simples e direta substituindo as coordenadas de A e as componentes de v na respectiva fórmula Exemplo Quais são as equações simétricas da reta r que passa por A2 3 4 e tem direção de 2 2 1 v 23 Resolução Substituindo as coordenadas de A e as componentes de v em v v v z z z y y y x x x 0 0 0 temos 2 4 2 3 1 2 z y x que são as respectivas equações simétricas Exemplo A partir das equações simétricas 2 4 2 3 1 2 z y x da reta r obtenha as respectivas equações reduzidas Resolução Como estamos tratando de uma reta em R3 as equações reduzidas são dadas por d cx z b ax y ou seja escrevemos y e z em função da variável x Desta maneira a partir das equações 2 4 2 3 1 2 z y x temos 2 3 1 2 y x e 2 4 1 2 z x pois precisamos relacionar y com x e também z com x Considerando a equação 2 3 1 2 y x temos 3 1 2 2 y x 3 4 2 y x y x 4 3 2 y x 2 1 24 2 1 y x A partir da equação 2 4 1 2 z x temos 4 1 2 2 z x 4 4 2 z x z x 4 4 2 z x 2 0 2x z x z 2 Sendo assim as respectivas equações reduzidas são x z x y 2 1 2 TEMA 4 ÂNGULO ENTRE RETAS Dentro da Geometria Analítica e em muitas áreas do conhecimento é importante sabermos calcular o ângulo formado por duas retas Para obtermos o ângulo entre retas utilizaremos a fórmula cos v u u v com 2 0 onde u e v são os vetores diretores das retas r e s Graficamente temos 25 Exemplo Determine o ângulo entre as retas r1 e r2 de equações t z t y t x r 7 6 2 8 5 12 1 e t z t y t x r 2 9 2 3 2 Resolução Os vetores diretores de r1 e r2 são respectivamente 7 2 5 u e 2 1 1 v Para determinarmos qual é o ângulo entre as retas r1 e r2 vamos utilizar esses vetores Sabemos que o ângulo pode ser calculado através da relação cos v u u v Vamos substituir os vetores u e v por 7 2 5 e 2 1 1 Logo 2 1 1 7 2 5 2 1 7 1 2 5 cos Calculando o produto escalar e os respectivos módulos dos vetores temos 2 2 2 2 2 2 2 1 7 1 2 5 72 21 5 1 cos 4 49 1 1 4 25 14 2 5 cos 6 78 2 14 5 cos 26 468 11 cos 633308 21 11 cos 0 508475 cos arc cos 0 508475 5944 Portanto o ângulo entre as retas r1 e r2 é igual a 5944 Dizemos que duas retas são ortogonais quando o ângulo entre elas é igual a 90 Simultaneamente duas retas são ortogonais quando o produto escalar dos respectivos vetores diretores é igual a zero 0 1 2 2 1 v v r r onde 1v e 2v são as direções de 1r e 2r respectivamente Se 1r e 2r são concorrentes então 1r e 2r são perpendiculares 27 Duas retas são concorrentes quando há um ponto de intersecção entre elas Exemplo Mostre que as retas r e s dadas por t z t y t x r 3 1 4 2 1 e t z y t x s 2 1 5 3 2 são ortogonais Resolução A ortogonalidade entre duas retas pode ser mostrada facilmente Basta calcularmos o produto interno entre os vetores direção u e v das retas r e s Se v u for igual a 0 as retas r e s são ortogonais Em particular 3 1 2 u e 2 0 3 v Vamos calcular o produto v u 2 0 3 3 1 2 v u 2 3 0 1 2 3 v u 6 0 6 v u 0 v u Como o produto interno v u é igual a 0 as retas r e s são ortogonais Duas retas são paralelas quando o ângulo entre elas é igual a 0 Exemplo Considere as retas g e h definidas pelas equações vetoriais g1 9 6t3 2 4 e h0 3 5t6 4 8 Mostre que g e h são paralelas Resolução Vamos utilizar a relação cos v u u v para podermos mostrar que as retas g e h são paralelas Para isso basta mostrarmos que o 28 ângulo formado entre elas é igual a 0 Os vetores diretores de g e h são respectivamente 4 2 3 u e 8 4 6 v Inicialmente precisamos substituir os vetores u e v por 4 2 3 e 8 4 6 Fazendo isto temos 8 4 6 4 2 3 8 4 6 4 2 3 cos 2 2 2 2 2 2 8 4 4 6 2 3 48 24 6 3 cos 64 16 16 36 4 9 32 8 18 cos 116 29 58 cos 3364 58 cos 58 58 cos 1 cos arccos1 0 Portanto as retas g e h são paralelas pois o ângulo entre elas é igual a 0 TEMA 5 INTERSECÇÃO ENTRE RETAS Quando existe um ponto P comum às retas r1 e r2 dizemos que elas possuem intersecção 29 A intersecção entre segmentos de retas é muito comum de ser observada no cotidiano Na representação de uma grade ou na trajetória retilínea de objetos podemos ter intersecções Mas como podemos encontrar a intersecção entre retas caso exista No exemplo a seguir veremos os detalhes Exemplo Considere as retas t z t y t x w 2 3 3 3 5 2 e h z h y h x s 4 1 2 3 2 1 Determine caso exista o ponto P de intersecção destas retas Resolução Duas retas são concorrentes quando há um ponto de intersecção entre elas Caso haja um ponto de intersecção entre as retas w e s então existe um valor de h e um valor de t tal que as equações paramétricas de w e de s podem ser igualadas em relação aos termos x y e z 30 h t h t h t 4 1 2 3 2 3 3 3 2 1 5 2 Os termos que possuem as variáveis t e h devem estar no primeiro membro e os termos independentes no segundo membro 3 1 4 2 3 3 2 3 2 1 2 5 h t h t h t que corresponde a 4 4 2 0 2 3 1 2 5 h t h t h t Agora precisamos resolver este sistema de equações lineares Note que temos três equações e duas variáveis Sistemas assim são chamados de sistemas sobredeterminados Uma maneira de verificarmos se há uma solução para este sistema é resolvermos por exemplo as duas primeiras equações e em seguida verificarmos se a solução obtida satisfaz a terceira equação Considerando apenas as duas primeiras equações temos 0 2 3 1 2 5 h t h t Para podermos resolver o sistema pelo método da adição vamos multiplicar a segunda equação por 1 1 0 x 2 3 1 2 5 h t h t o que resulta em 0 2 3 1 2 5 h t h t Vamos agora somar os termos correspondentes dessas equações 31 1 0 2 0 2 3 1 2 5 t h t h t Para resolvermos a equação 1 0 2 t vamos somar 2t com 0 1 2 t Para que possamos obter o valor de t precisamos agora dividir os dois termos da equação por 2 2 1 2 2 t donde 2 t 1 ou na forma decimal t05 Vamos agora encontrar o valor de h Para que possamos encontrar o valor de h vamos substituir t por 05 em uma das duas equações do sistema que acabamos de resolver A escolha é feita aleatoriamente Substituindo t por 05 na equação 1 2 5 t h temos 1 2 50 5 h Multiplicando 5 por 05 temos 1 2 52 h Vamos agora somar 25 nos dois membros 52 1 2 52 52 h 32 o que resulta em 51 2 0 h que é igual a 2 51 h Dividindo os dois membros por 2 temos 2 51 2 2 h Dividindo 2 por 2 e 15 por 2 temos h 0 75 Agora que já calculamos os valores de t e de h precisamos verificar se estes valores também satisfazem a terceira equação do sistema original Para isso vamos substituir os valores de t e de h na equação 4 4 2 t h Como t 05 e h 075 temos 4 0 75 4 50 2 Multiplicando 2 por 05 e 4 por 075 temos 4 3 1 Somando 1 com 3 4 4 Como a igualdade se verificou t05 e h075 correspondem à solução do sistema 4 4 2 0 2 3 1 2 5 h t h t h t 33 Neste caso podemos concluir então que as retas w e s são concorrentes Vamos agora determinar as coordenadas do ponto de intersecção dessas retas As coordenadas do ponto de intersecção podem ser obtidas com a substituição de t nas equações paramétricas de w ou com a substituição de h nas equações paramétricas de s A escolha é aleatória Vamos substituir t05 nas equações de w 50 2 3 50 3 3 50 5 2 z y x Multiplicando os respectivos valores temos 1 3 51 3 52 2 z y x O próximo passo é realizar a somas indicadas 2 51 50 z y x Logo o ponto de intersecção das retas w e s é P05 15 2 FINALIZANDO Vimos nesta aula que as retas são importantes ferramentas na resolução de problemas abstratos e na resolução de problemas reais Aprendemos que é possível obtermos a equação reduzida ou a equação geral a partir de algumas informações tais como dois pontos dados ou a partir da inclinação da reta e de um ponto pertencente a ela Vimos também que além da equação reduzida e da equação geral podemos ter também a equação vetorial as equações paramétricas as equações simétricas Aprendemos a calcular o ângulo entre duas retas analisar posições relativas entre retas e a obter o ponto de intersecção entre retas