AULA 05 - Impressao - Conicas pdf

GEOMETRIA ANALÍTICA AULA 5 Prof Ricardo Alexandre Deckmann Zanardini CONVERSA INICIAL Chegamos na nossa quinta aula de Geometria Analitica Nesta aula estudaremos inicialmente as distancias Abordaremos a distancia entre pontos entre ponto e reta entre ponto e plano Em seguida iniciaremos nossos estudos relacionados as conicas Mas 0 que sao as C6nicas Sao figuras geradas a partir de cortes feitos em um cone No decorrer da aula abordaremos cada uma delas TEMA 1 DISTANCIAS E muito comum determinarmos constantemente as distancias tanto no mundo real quanto no mundo virtual Na computagao em um projeto de uma construgao de uma pega ou no desenvolvimento de jogos o calculo da distancia entre pontos muito comum Ao pensarmos em entregas ou em uma viagem também é usual pensarmos nas distancias entre determinados pontos Assim iniciaremos nossa aula tratando deste importante tdopico O mais usual é determinarmos a distancia entre dois pontos Tendo as coordenadas destes pontos podemos obter de uma forma bastante simples a respectiva distancia entre eles Em duas dimens6es a distancia entre os pontos A e B é dada por ap 2 2 dcap AB y p X4 We Ya Graficamente temos y da x B X4 Xp x Considerando o espaco tridimensional R a forma de calcularmos a distancia entre dois pontos dados segue a mesma ideia 7B 2 2 2 dias AB V p X4 Ve Ya ZB Za Graficamente Z Pe Oday 7 a nd x Veremos a seguir alguns exemplos referentes a distancia entre dois pontos Exemplo em um ambiente 3D foram criados dois blocos referentes a representagao simplificada de dois prédios Podemos observar dois pontos A e B associados a cada um dos prédios Calcule a distancia em metros do ponto A20 10 30 ao ponto B18 2 25 Resolugao a distancia entre os pontos A e B é dada pela formula d V xg X4 Oe Ya Zp 24 3 a 7 Fazendo as substituig6es das coordenadas de cada ponto temos d 18 20 2 10 25 30 d 2 8 5 dV44 64425 dV464425 d V93 d 964 Logo a distancia entre A e B corresponde a 964 metros Exemplo considerando os pontos A e B representados a seguir determine a distancia da B y 5 3 Resolugao as coordenadas dos pontos A e B sao respectivamente 3 4 e 7 2 Como a distancia entre dois pontos é dada por dap V Xp Xa Ve Ya temos diag V7 3 2 4 dap y 4 2 dap V164 dias V20 dap 447 4 Portanto a distancia entre os pontos A e B é igual a 447 unidades de comprimento uc Exemplo Sejam A2 5 4 e B3 3 2 Calcule da 8 Resolucdo quando estamos tratando de pontos no R a distancia entre Ae B é dada por dap V Xp Xa Vp Ya Ze Za Para que possamos calcular a distancia entre os pontos A e B vamos substituir xa por 2 xB por 5 ya por 5 ys por 3 Za por 4 e Zs por 2 dias V32 35 2 4 dap v 12 2 62 dAB Vv14 36 dAB V41 AB 640 que é a distancia entre os pontos Ae B Exemplo um cabo devera conectar o ponto A de uma torre de transmissao ao ponto B de outra torre As coordenadas cartesianas dos pontos a serem conectados sao A10 12 20 e B32 10 25 Essas coordenadas em metros foram estabelecidas a partir de um mapeamento da regiao na qual as torres estao instaladas Calcule a distancia entre os pontos Ae B Resolugao d xg X Wp Ya Zp Za d 32 10 10 12 25 20 d 22 2 5 d vV4844425 dv513 d 2265 5 A distancia é igual a 2265 metros Exemplo uma empresa precisa construir uma ponte em desnivel sobre um rio bastante largo e extenso e tem as coordenadas dos pontos de referéncia nas margens opostos obtidas a partir de um rastreamento tridimensional feito com um GPS Global Positioning System Sistema de Posicionamento Global As coordenadas tridimensionais geodésicas em metros do ponto Axa ya Za referente ao inicio da ponte e Bxs ys ZB referente ao final da ponte sao Xa 345124112 ya 456758179 ZA 289334012 XB345200135 yp456758821 ZB289332499 Calcule a distancia em metros entre os pontos A e B Resolugao d xg X Wp Ya Zp Za d y 345200135345124112 4567588214567581792 2893324992893340122 d 76023 642 1513 d 5779496529 412164 2289169 d 5782197862 d 76041 Assim a distancia entre o ponto inicial e o ponto final da ponte é igual a 76041 metros Além da distancia entre pontos também podemos obter por meio da Geometria Analitica a distancia entre um ponto P e uma reta r Ha diferentes formas de calcularmos essa distancia Inicialmente vamos estudar casos em R em que utilizamos o mddulo do produto vetorial entre o vetor u que tem a direcao da reta r e o vetor v que tem origem em um ponto A pertencente a reta r e final 6 no ponto P O resultado obtido precisa ser dividido pelo modulo de u para que tenhamos a respectiva distancia Assim a formula é lu x D fen a Para compreendermos melhor temos a seguinte ilustragao a 0 A ii r Temos uma vista lateral dos elementos mas é importante ressaltar que essa abordagem é feita em um sistema tridimensional de eixos coordenados Vamos acompanhar agora um exemplo Exemplo em um dado sistema de eixos 0 ponto P2 1 4 esta associado ao centro de um alvo e a reta r4t3 t1 2t2 indica a trajetéria da flecha 10 oo so id Créditos IrinakeinanenPixabay Sabendo que as unidades estao em metros encontre a distancia entre o ponto P e aretar Resolugao a partir das equacgdes paramétricas da reta r temos u 41 2 Note que os componentes de u correspondem aos coeficientes de t nessas equacées Além do vetor u precisamos de um ponto A pertencente a 7 reta Como é um ponto qualquer podemos fazer t0 nas equagdes parameétricas de r para obtermos o ponto Assim temos A3 1 2 Ainda precisamos do vetor que tem origem no ponto P e final no ponto A vPAAP v 312 214 v 122 Finalmente para obtermos a distancia entre P er vamos utilizar a formula lo lu x en til O primeiro passo é calcularmos o produto vetorial uw x v Vamos utilizar o mesmo procedimento visto na Aula 2 fi gj kt FZ UXV4 1 2 4 1 1 2 2 1 2 ux 27 278k 87 4ik ix B 27 107 9k u x B 210 9 Agora que calculamos o produto vetorial vamos calcular o respectivo modulo u x B V2 10 9 ju x b V4 100 81 u x vb V185 u x B 136 Precisamos ainda do modulo de w 8 u V42 12 22 ju v1614 u v21 u 458 Por ultimo vamos calcular a distancia de P ar por meio da formula uxv dp eo ii 136 dp 458 dp 297 Portanto a distancia do ponto P a reta r corresponde a 297 metros Exemplo sabendo que P1 0 3 er 3t1 2t 5t2 encontre a distancia entre o ponto P e a retar Resolugao para obtermos o vetor direto a partir das equacgdes paramétricas de r precisamos dos coeficientes de t Como r3t1 2t 5t2 temos que u 3 25 Vamos agora obter um ponto A pertencente a reta r para determinarmos o vetor v Sabemos que r3t1 2t 52 Fazendo t0 temos A301 20 502 Logo A1 0 2 Ja temos um ponto A que pertence a reta r Assim podemos obter o vetor v tal que 9 7 bAPPA Como P1 0 3 e A1 0 2 temos v 103 10 2 que resulta em B 005 Finalmente podemos calcular a distancia entre P er diay ee u Primeiro vamos calcular o produto vetorial w x v Sabemos que 7 ki 4 UXV132 2 5 3 2101000150 00 5 0 0 uxv1071157 u x 10 15 0 Precisamos agora calcular o mddulo de wu x v Basta calcularmos a raiz quadrada da soma dos quadrados de cada componente do vetor u x v lui x B 10 15 0 u x B V100 225 0 u x B V325 lu x d 1803 Como ja temos o modulo de u x v precisamos agora do mddulo de u que dado por u ju uz u2 Como u 3 25 temos 10 ui 32 22 52 ju V94425 u V38 u 616 Finalmente a distancia entre P er é d 1803 Pr 616 dcp 293 Quando temos a equacéo geral da reta raxtbytc0 no R e as coordenadas do ponto Pxo yo podemos calcular a distancia entre P e r por meio da formula d axgtbyortcl Pir Vazb2 Uma aplicagao pode ser vista no exemplo a seguir Exemplo em um mapa temos a reta r que indica a trajetoria de um veiculo e o ponto P indicando a localizagao de um acampamento Qual é a distancia d entre o acampamento e a trajetéria do veiculo Considere ryx1 e P5 2 em que as unidades estao em quilémetros sy 7 sa oa é 7 to f 11 Resolugao como a equagao da reta r esta na forma reduzida yx1 o primeiro passo é escrevermos a equagao equivalente na forma geral ou seja na forma xy10 Assim a1 b1 e c1 Como as coordenadas do ponto P correspondem a 5 2 temos xo5 e yo2 Precisamos substituir esses termos na equagao d axgtbyortcl Pr Vatb2 O que resulta em 10G6 G1 M dQ y 1 1 q 5241 On VIF1 den a Pr V2 d 4 Pr V2 dcp 283 Observe na figura a seguir a distancia correspondente a 283 km fae 5 yt 12 Exemplo determine a distancia entre o ponto P5 7 e a reta r2xy20 Resolugao a imagem seguinte apresenta a reta ry2x2 e o ponto P5 7 y ry2x2 d P5 7 2 7 2 5 Para calcularmos a distancia entre a reta r2xy20 e o ponto P5 7 vamos utilizar a formula aX9 byg dpr Va b2 em que a2 b1 c2 xo5 e yo7 Logo 125 17 2 dcpr OT oo Jaseréé vy 2 1 do 1072 On VFFI thom Pr V5 q 5 Pr V5 dcp 224 Portanto a distancia entre o ponto P e aretar é igual a 224 uc unidades de comprimento 13 Também podemos utilizar uma formula bastante parecida com a que acabamos de ver mas agora para obtermos a distancia entre um determinado ponto Pxo yo Zo e um plano aaxtbyczd0 A formula é d axotbyotcZota Pa Vazb2c2 Veremos alguns exemplos para entendermos como possivel determinarmos a distancia entre ponto e plano Exemplo encontre a distancia entre o ponto D4 1 6 e o plano O2x3ytz20 Resolugao podemos calcular a distancia entre D e q utilizando a formula q axo by CZ a Pa Va b c em que Xo yo Zo SAO aS Coordenadas de D e a b c ed sao os Coeficientes de OU2x3yz20 ou seja Xo4 yo1 e Zo6 e a2 b3 C1 e d2 da I24 QQ 2 oe VQ O I8362 402 V4491 15 dpa V14 15 U0 TG dpa 401 que é a distancia entre De a Exemplo em um ambiente computacional tridimensional o ponto D de coordenadas 2 1 3 esta associado a uma luminaria e o plano de equagao x2yz10 representa um painel 14 D2 I 3 i V x Qual é a distancia em metros entre a luminaria e o painel Resolugao sabemos que o plano tem equacao geral x2yz10 Assim a1 b2 c1 e d1 Sabemos também que o ponto D tem coordenadas 2 1 3 Logo xo2 yo1 e zo3 Vamos substituir esses valores na formula d axo by CZ a Pa va b2 c2 de 1 2 2 C2 3 1 Oe Ji 22 12 2231 400 v141 de a 2 Da V6 2 0 745 dpa 082 A distancia entre o painel e a luminaria corresponde a 082 metros 15 16 TEMA 2 CÔNICAS Diariamente nos deparamos com imagens como a circunferência ou elipses em logos na representação das rodas de um automóvel ou bicicleta etc Também temos o gráfico de uma função do segundo grau a trajetória de um objeto lançado e muitas outras aplicações associadas a uma parábola Podemos também ter a vista lateral da base de uma mesa ou das torres de resfriamento de uma usina associada a uma hipérbole Todas essas figuras circunferência elipse parábola e hipérbole são chamadas de cônicas pois são obtidas a partir de cortes feitos em um cone Na imagem a seguir temos uma parábola uma elipse e uma hipérbole respectivamente Podemos obter também cônicas denominadas cônicas degeneradas que são retas ou pontos dependendo de como foi feito o corte A seguir temos uma reta um ponto e duas retas concorrentes Estudaremos cada uma das cônicas nos próximos temas 17 TEMA 3 ELIPSE E CIRCUNFERÊNCIA Vamos estudar a elipse e a circunferência que é um caso particular da elipse Além da representação gráfica uma circunferência tem seus pontos dados por uma equação baseada nas coordenadas do centro da circunferência e no raio Essa equação é chamada de equação reduzida e corresponde a 𝑥𝑥 𝑥𝑥02 𝑦𝑦 𝑦𝑦02 𝑟𝑟2 Em que r é o raio da circunferência Cx0 y0 é o centro e Px y é um ponto qualquer da circunferência Exemplo qual é a equação reduzida de uma circunferência com centro em C2 2 e raio r4 Resolução a equação reduzida de uma circunferência corresponde a 𝑥𝑥 𝑥𝑥02 𝑦𝑦 𝑦𝑦02 𝑟𝑟2 Como C2 2 e r4 temos 𝑥𝑥 22 𝑦𝑦 22 42 Para obtermos a equação reduzida basta elevarmos r ao quadrado 𝑥𝑥 22 𝑦𝑦 22 16 A partir da equação reduzida podemos obter a equação geral da circunferência Para isso precisamos calcular os produtos notáveis 𝑥𝑥 𝑥𝑥02 e 𝑦𝑦 𝑦𝑦02 18 Exemplo qual é a equação geral de uma circunferência com centro em C3 1 e raio r6 Resolução 𝑥𝑥 𝑥𝑥02 𝑦𝑦 𝑦𝑦02 𝑟𝑟2 𝑥𝑥 32 𝑦𝑦 12 62 𝑥𝑥 32 𝑦𝑦 12 36 𝑥𝑥2 6𝑥𝑥 9 𝑦𝑦2 2𝑦𝑦 1 36 0 𝑥𝑥2 𝑦𝑦2 6𝑥𝑥 2𝑦𝑦 26 0 Assim a respectiva equação geral é 𝑥𝑥2 𝑦𝑦2 6𝑥𝑥 2𝑦𝑦 26 0 As circunferências estão presentes em diversas situações e muitas vezes utilizamos algum software para fazer a representação que queremos Para isso geralmente selecionamos a circunferência clicamos um ponto da tela arrastamos o mouse e obtemos o desenho Mas para que a construção da imagem seja possível internamente o programa utiliza a equação da circunferência Exemplo qual é a equação reduzida e qual é a equação geral da circunferência de centro no ponto C450 300 e de raio r igual a 140 Resolução inicialmente vamos escrever a equação reduzida 𝑥𝑥 𝑥𝑥02 𝑦𝑦 𝑦𝑦02 𝑟𝑟2 𝑥𝑥 4502 𝑦𝑦 3002 1402 𝑥𝑥 4502 𝑦𝑦 3002 19600 19 Para obtermos a equação geral vamos utilizar o produto notável 𝑎𝑎 𝑏𝑏2 𝑎𝑎2 2𝑎𝑎𝑏𝑏 𝑏𝑏2 nos termos do primeiro membro da equação 𝑥𝑥 4502 𝑦𝑦 3002 19600 𝑥𝑥2 900𝑥𝑥 202500 𝑦𝑦2 600𝑦𝑦 90000 19600 𝑥𝑥2 900𝑥𝑥 𝑦𝑦2 600𝑦𝑦 202500 90000 19600 0 𝑥𝑥2 900𝑥𝑥 𝑦𝑦2 600𝑦𝑦 272900 0 Podemos também fazer o processo inverso ou seja a partir de uma equação dada saberemos qual é a respectiva figura associada Exemplo qual é a cônica cuja equação corresponde a x2y22x6y8 Resolução sabemos que a equação da cônica é igual a x2y22x6y8 Precisamos agora descobrir qual é a sua forma para que com isso possamos determinar que cônica é essa Pensando em produtos notáveis podemos agrupar os termos em x ou seja x22x e adicionar 1 e 1 a esses termos Esse procedimento não altera a equação mas permite que possamos escrever x22x1 como x12 Mas como é possível saber que nesse caso é preciso adicionar 1 e 1 A resposta é bem simples basta considerarmos o coeficiente de x e dividirmos esse coeficiente por 2 e em seguida elevarmos o resultado ao quadrado 221 e 121 Agrupamos também os termos em y y26y e acrescentamos 9 e 9 a esses termos A escolha desses números é feita da mesma maneira que explicamos anteriormente Nesse caso dividimos o coeficiente de y por 2 e elevamos o resultado ao quadrado 623 e 329 Assim podemos escrever y26y9 como sendo y 32 x22x11 y26y998 Substituindo então x22x1 por x12 e y26y9 por y 32 temos x121 y 3298 x12 y 32108 x12 y 32810 x12 y 3218 20 Como a equação obtida possui o formato 𝑥𝑥 𝑥𝑥02 𝑦𝑦 𝑦𝑦02 𝑟𝑟2 trata se de uma circunferência de raio 𝑟𝑟 18 pois r218 e centro em 1 3 No caso de uma elipse a equação canônica corresponde a 𝑥𝑥 𝑥𝑥02 𝑎𝑎2 𝑦𝑦 𝑦𝑦02 𝑏𝑏2 1 em que a é o semieixo horizontal b é o semieixo vertical e x0 e y0 são as coordenadas do centro da elipse Uma elipse tem uma característica importante A distância de F1 a P somada com a distância de F2 a P é sempre constante Os pontos F1 e F2 são os focos da elipse Temos ainda que essa soma é igual a 2a 𝑑𝑑𝐹𝐹1𝑃𝑃 𝑑𝑑𝐹𝐹2𝑃𝑃 2𝑎𝑎 Graficamente os elementos da elipse são Exemplo a figura seguinte apresenta uma elipse com centro na origem semieixo vertical igual a 3 e semieixo horizontal igual a 4 Com base nessas informações determine a equação canônica da elipse Resolução a equação canônica da elipse é 21 𝑥𝑥 𝑥𝑥02 𝑎𝑎2 𝑦𝑦 𝑦𝑦02 𝑏𝑏2 1 Substituindo x0 por 0 y0 por 0 a por 4 e b por 3 temos 𝑥𝑥 02 42 𝑦𝑦 02 32 1 𝑥𝑥2 16 𝑦𝑦2 9 1 que é a equação canônica da elipse dada Exemplo determine qual é a cônica de equação 25x29y2100x18y 1160 Resolução para sabermos qual é a cônica cuja equação é 25x29y2100x18y1160 precisamos encontrar a sua forma padrão Inicialmente vamos agrupar os termos em x e os termos em y 25x2100x9y218y1160 Podemos agora em relação aos termos em x colocar 25 em evidência Em relação aos termos em y podemos colocar 9 em evidência 25x24x9y22y1160 Vamos agora acrescentar 4 e 4 ao termo x24x e vamos também acrescentar 1 e 1 ao termo y22y Relembrando para sabermos que é preciso acrescentar 4 e 4 basta dividirmos o coeficiente de x por 2 e elevarmos o resultado ao quadrado Para obtermos 1 e 1 dividimos o coeficiente de y por 2 e elevamos o resultado ao quadrado 25x24x449y22y111160 Assim podemos utilizar os produtos notáveis para simplificarmos esses termos A seguir iremos colocar parênteses nos termos a serem simplificados para que possamos visualizar melhor 25x24x449y22y111160 22 Podemos escrever x24x4 como x22 e y22y1 como y12 25x2249y1211160 Multiplicando 25 por x22 e por 4 e multiplicando 9 por y12 e por 1 temos 25x221009y1291160 25x229y122250 25x229y12225 Vamos dividir a equação por 225 para termos 1 no segundo membro 25𝑥𝑥 22 225 9𝑦𝑦 12 225 225 225 𝑥𝑥 22 9 𝑦𝑦 12 25 1 Podemos escrever 9 como sendo 32 e 25 como sendo 52 𝑥𝑥 22 32 𝑦𝑦 12 52 1 Como a equação está na forma 𝑥𝑥𝑥𝑥02 𝑎𝑎2 𝑦𝑦𝑦𝑦02 𝑏𝑏2 1 temos uma elipse de centro em 2 1 e cujos semieixos medem 3 horizontal e 5 vertical TEMA 4 HIPÉRBOLE Uma hipérbole tem equação canônica 𝑥𝑥 𝑥𝑥02 𝑎𝑎2 𝑦𝑦 𝑦𝑦02 𝑏𝑏2 1 quando possui ramos à esquerda e à direita 23 Para ramos acima e abaixo a equação canônica é dada por 𝑥𝑥𝑥𝑥02 𝑎𝑎2 𝑦𝑦𝑦𝑦02 𝑏𝑏2 1 Os termos F1 e F2 são os focos da hipérbole A distância de F1 a P somada menos a distância de F2 a P é igual a 2a 𝑑𝑑𝐹𝐹1𝑃𝑃 𝑑𝑑𝐹𝐹2𝑃𝑃 2𝑎𝑎 Exemplo determine a equação reduzida da hipérbole apresentada na figura a seguir 24 Resolução a forma da equação canônica da hipérbole com ramos à esquerda e à direita é 𝑥𝑥 𝑥𝑥02 𝑎𝑎2 𝑦𝑦 𝑦𝑦02 𝑏𝑏2 1 Nesse caso x00 y00 a3 e b1 𝑥𝑥 02 32 𝑦𝑦 02 12 1 Subtraindo os termos entre parênteses e elevando os denominadores ao quadrado temos 𝑥𝑥2 9 𝑦𝑦2 1 1 que corresponde a 𝑥𝑥2 9 𝑦𝑦2 1 a equação canônica da hipérbole em questão Exemplo escreva a equação geral da hipérbole apresentada a seguir 25 Resolução inicialmente vamos considerar a equação canônica da hipérbole com ramos à esquerda e à direita 𝑥𝑥 𝑥𝑥02 𝑎𝑎2 𝑦𝑦 𝑦𝑦02 𝑏𝑏2 1 em que x00 y00 a3 e b1 Substituindo esses termos temos 𝑥𝑥 02 32 𝑦𝑦 02 12 1 𝑥𝑥2 9 𝑦𝑦2 1 1 𝑥𝑥2 9 𝑦𝑦2 1 Para obtermos a equação geral precisamos multiplicar toda a equação por 9 9𝑥𝑥2 9 9𝑦𝑦2 9 𝑥𝑥2 9𝑦𝑦2 9 𝑥𝑥2 9𝑦𝑦2 9 0 que é a respectiva equação geral da hipérbole Exemplo obtenha a equação reduzida da hipérbole apresentada a seguir 26 Resolução como temos uma hipérbole com ramos acima e abaixo vamos utilizar a fórmula 𝑥𝑥𝑥𝑥02 𝑎𝑎2 𝑦𝑦𝑦𝑦02 𝑏𝑏2 1 Note que x00 y00 a2 e b4 Logo 𝑥𝑥 02 22 𝑦𝑦 02 42 1 𝑥𝑥2 4 𝑦𝑦2 16 1 que é a equação procurada TEMA 5 PARÁBOLA A parábola já é conhecida na Matemática elementar pois corresponde ao gráfico de uma função do segundo grau Na Física a parábola está associada ao movimento parabólico ou seja ao movimento gerado a partir do lançamento de um objeto Podemos ter parábolas na construção de estruturas de pontes em fachadas de igrejas na variação do lucro em função do preço de uma certa mercadoria e em muitas outras situações Uma parabola consiste em um conjunto formado por todos os pontos pertencentes a um plano que possui a mesma distancia de um ponto fixo F chamado de foco e de uma reta r chamada de diretriz pertencente ao plano l 3 d 1 d i 1 1 7 ts d SN dyi vs d dj d i Vv 4 d r O ponto V o vértice da parabola Assim como ocorre com os demais pontos da parabola a distancia de V ao ponto F é igual a distancia de V a reta r Quando a parabola é vertical sua equagao geral é dada por y ax bx c As intersecg6es com 0 eixo x sao obtidas por meio da formula quadratica x bvb24ac 2a A intersecgao com o eixo y corresponde ao ponto 0 c e o vértice da parabola é dado por V 27 2a 4a Graficamente temos 27 P F V No caso da parabola horizontal a equagao geral corresponde a xaybytc As intersecgdes com o eixo x sao dadas pela respectiva equacgao quadratica bvb24ac y 2a A intersecgao com o eixo y corresponde ao ponto 0 c Ainda o vértice b4ac b da parabola 6 V Vi oF P A partir de 3 pontos nao alinhados podemos obter a equagao da parabola que contém esses pontos A explicagao de como proceder esta no exemplo a seguir Exemplo a imagem a seguir esta associada a uma parte da fachada de uma igreja Para que a construgao dessa parte possa ser feita com precisao precisamos da equagao da parabola 28 29 A partir das medidas informadas obtenha a respectiva equação reduzida Resolução observando o gráfico a parábola passa pelos pontos 0 0 5 12 e 10 0 Para que possamos encontrar a equação dessa parábola vamos substituir cada um desses pontos na equação yax2bxc Para o ponto 0 0 temos yax2bxc 0a02b0c 000c 0c c0 Para o ponto 5 12 temos yax2bxc 12a52b50 12a25b50 1225a5b 25a5b12 Note que obtivemos uma equação linear com duas incógnitas Como há uma infinidade de soluções para essa equação no momento não é possível encontrar os valores de a e de b mas iremos utilizála depois Para o ponto 10 0 temos yax2bxc Oa10b100 0a100b100 0100a10b 100a10b0 Para encontrarmos os valores de a e b vamos resolver o sistema de equacgdes 254 5b12 100a10b0 Ha varias possibilidades de resolugao desse sistema Vamos utilizar o método da adigao Observe que 100254 Logo se multiplicarmos a primeira equagao por 4 sera possivel zerarmos o coeficiente de a ao Somarmos as duas equagoes 254 5b12 x4 100a10b0 Multiplicando cada termo da primeira equagao por 4 temos 1004 20b 48 100a10b0 Vamos agora somar as duas equacgoes freee 20b 48 100a10b 0 0 10b 48 Como 10b 48 podemos multiplicar a equagao por 1 o que resulta em 10b 48 Dividindo os dois membros por 10 temos 38 10 30 31 Logo 𝑏𝑏 48 Vamos agora calcular o valor de a O procedimento é bem simples Basta substituirmos b por 48 em uma das duas equações Independente da escolha o resultado obtido é o mesmo Substituindo b por 48 na equação 25a5b12 temos 25a54812 Vamos multiplicar 5 por 48 25a2412 Subtraindo 24 dos dois membros temos 25a1224 que é igual a 25a12 Agora basta dividir os dois membros por 25 𝑎𝑎 12 25 Logo a 048 Como a048 b48 e c0 a equação procurada é y048x248x que corresponde à parábola da parte que compõe a fachada da igreja Vimos como podemos obter a equação de uma parábola a partir de três pontos dados Também é possível saber qual é a cônica a partir da equação dada Exemplo qual é a cônica cuja equação corresponde a x2y100 Resolução vamos isolar a variável y xy100 xy010 xy10 yx10 Note que a equacao obtida esta na forma yaxbxc que é uma parabola vertical com concavidade voltada para baixo Exemplo determine qual é a cénica de equagao igual a y2x3y50 Resolugao y2x3y50 2x y3y5 ay 3y5 2 y By 5 XS 922 Parabola horizontal com concavidade voltada para a esquerda Exemplo represente graficamente a parabola dada por x6xy50 Resolugao vamos escrever essa equagéo sob a forma yaxbxtc Sendo assim temos yx26xt5 Uma forma de representarmos graficamente uma parabola é encontrarmos as coordenadas do vértice e caso existam as raizes dessa equagao Depois basta representarmos a parabola que passa pelos pontos encontrados Inicialmente calculando as raizes temos bt vb 4ac 2a Como a1 b6 e c5 temos xe 6 6 4 4 5 21 32 6 36 20 2 6v16 x 2 644 x 9 Para resolvermos esse problema precisamos calcular separadamente x CX2 Logo 64 10 11 z Puss e 64 2 a 2 5 2 1 Portanto as raizes sao 1 e 5 Vamos agora calcular as coordenadas do vértice utilizando a formula ye b b4ac 2a 4a Vamos substituir a por 1 b por6 ec por 5 y 6 6 415 20 41 y 36 2 4 y 2 4 V 34 Logo o vértice esta localizado no ponto 3 4 Sendo assim a representacao grafica da parabola é a seguinte 33 34 Estamos chegando ao final da quinta aula Na próxima veremos que as cônicas geram figuras tridimensionais chamadas de quádricas FINALIZANDO Nesta aula estudamos a distância entre pontos entre ponto e reta e entre ponto e plano Vimos algumas das muitas aplicações relacionadas às distâncias Em seguida aprendemos que as circunferências elipses parábolas e hipérboles são conhecidas como cônicas pois são geradas a partir de cortes feitos em um cone Estudamos as principais características de cada uma delas 35 REFERÊNCIAS BORIN JUNIOR A M S Org Geometria analítica São Paulo Pearson Education do Brasil 2014 FERNANDES L F D Geometria Analítica Curitiba Intersaberes 2016 SANTOS F J dos FERREIRA S F Geometria analítica Porto Alegre Artmed 2009 THOMAS G B HASS J WEIR M D Cálculo v 2 12 ed São Paulo Pearson 2008 WINTERLE P Vetores e Geometria Analítica 2 ed São Paulo Pearson 2014