AULA 02 - Impressao - Vetores pdf

GEOMETRIA ANALÍTICA AULA 2 Prof Ricardo Alexandre Deckmann Zanardini 2 CONVERSA INICIAL Agora que sabemos o que são vetores e qual a importância destes elementos na resolução de diversos problemas reais podemos tratar de operações relacionadas a eles A primeira operação que estudaremos é a multiplicação de um vetor por um número também conhecida como multiplicação de um vetor por um escalar Em seguida veremos como é possível efetuarmos a soma e a subtração de vetores Estudaremos ainda as multiplicações entre vetores Uma delas é conhecida como produto escalar pois o resultado é um número e outra é o produto vetorial pois é uma multiplicação entre dois vetores do R3 cujo resultado é um vetor Estudaremos também o produto misto que consiste em uma combinação do produto escalar com o produto vetorial A cada tema teremos aplicações reais relacionadas ao que estamos estudando TEMA 1 MULTIPLICAÇÃO DE UM VETOR POR UM ESCALAR A primeira operação que iremos estudar é simples mas muito importante Consiste na multiplicação de um vetor por um número pertencente ao conjunto dos reais A multiplicação é conhecida como multiplicação de um vetor por um escalar e além dos aspectos conceituais possui diversas aplicações Uma delas por exemplo é bem simples Se um automóvel está se deslocando para o leste a uma velocidade de 30 kmh o respectivo vetor é v 30 0 Se o motorista aumentar em três vezes esta velocidade ele estará trafegando a 90 kmh e o vetor passa a ser 90 0 3 v E como obtemos a multiplicação de um vetor por um escalar A resposta é bem simples Esta multiplicação consiste em multiplicarmos cada componente do vetor por um número O vetor resultante terá a mesma direção do vetor original Se o escalar for positivo o sentido do vetor resultante é o mesmo e se o escalar for negativo o sentido é oposto ao sentido do vetor inicial A respeito do módulo também temos uma relação fácil de ser observada Ao multiplicarmos um vetor por um número k o módulo deste vetor também fica multiplicado por k Se k0 o resultado da multiplicação de um vetor por k resulta no vetor nulo Para entendermos melhor vamos acompanhar um exemplo 3 Exemplo sabendo que 6 5 v obtenha o vetor v 2 Faça a representação gráfica calcule o módulo de v e o módulo de v 2 Resolução como 6 5 v para obtermos v 2 basta multiplicarmos cada componente de v por 2 6 5 v 2 2 6 5 v 2 10 1 2 v Graficamente temos o seguinte O vetor 6 5 v Figura 1 Gráfico 1 4 O vetor 2 10 1 2 v Figura 2 Gráfico 2 Os vetores 6 5 v e 2 10 1 2 v no mesmo sistema de eixos coordenados Figura 3 Gráfico 3 5 Módulo de 6 5 v 2 2 6 5 v 36 25 v 61 v 7 81 v Módulo de 2 10 1 2 v 2 2 12 10 2 v 144 100 2 v 244 2 v 2 1562 v Assim o módulo de v é igual a 781 e o módulo de v 2 é igual a 1562 o que corresponde ao dobro do módulo de v Exemplo considere o vetor 6 5 v Obtenha o vetor 2v e em seguida faça a representação gráfica calcule o módulo de v e o módulo de 2v Resolução como 6 5 v para obtermos 2v basta multiplicarmos cada componente de v por 2 6 5 v 2 6 5 2 v 10 12 2 v Graficamente temos o que se segue Figura 4 6 Figura 4 Gráfico 4 Módulo de 6 5 v 2 2 6 5 v 36 25 v 61 v 7 81 v Módulo de 10 12 2 v 2 2 12 10 2 v 144 100 2 v 7 244 2 v 2 1562 v Observe que o vetor 2v tem a mesma direção de v mas com sentido contrário E ainda o módulo de v é igual a 781 e o módulo de 2v é igual a 1562 o dobro do módulo de v Generalizando temos em R2 2 1 k v k v k v em que v v1 v2 e k R e em R3 3 2 1 k v k v k v k v em que 3 2 1 v v v v e k R A mesma ideia pode ser utilizada para vetores do Rn k nv k v k v k v 2 1 em que 2 1 nv v v v e k R Dentre diversas aplicações na computação por exemplo vetores são utilizados para armazenar informações Se estas informações forem números ao multiplicarmos um vetor por um escalar estamos multiplicando cada elemento do vetor por este número Para compreendermos melhor temos alguns exemplos Exemplo no vetor v 60 130 20 temos as medidas altura largura e profundidade em polegadas de um armário Sabendo que uma polegada corresponde a 254 cm obtenha o vetor w que contém as mesmas medidas mas em centímetros Resolução como uma polegada é igual a 254 centímetros precisamos multiplicar o vetor v por 254 para obtermos w v w 2 54 w 2 5460 130 20 302 5 08 3 4 w 152 Observe que neste caso a vírgula separa as casas decimais Sendo assim para separarmos as componentes do vetor estamos utilizando o ponto e vírgula 8 Se dividirmos um vetor v pelo módulo de v o resultado é um vetor unitário que tem mesmo sentido de v e denominado versor de v Há diferentes notações utilizadas para a representação de um versor Utilizaremos um acento circunflexo sobre a letra para indicarmos um versor Por exemplo vˆ indica o versor de v Exemplo dado o vetor v 11 13 obtenha o versor de v Resolução inicialmente precisamos calcular o módulo de v 2 2 13 11 v 121 169 v 290 v 17029 v Agora precisamos dividir cada componente de v por 17029 ou de forma equivalente multiplicarmos v por 117029 029 11 13 17 1 ˆ v 029 17 13 029 17 11 ˆv 0 65 0 76 ˆ v Podemos afirmar que o vetor 0 65 0 76 ˆ v tem módulo igual a 1 e é o versor do vetor v A seguir veremos duas outras importantes operações relacionadas a vetores A soma e a subtração TEMA 2 SOMA E SUBTRAÇÃO DE VETORES Quando temos duas ou mais forças aplicadas sobre um objeto podemos determinar uma força resultante dada pela soma de vetores Por exemplo ao mantermos suspensa uma planta temos um vetor que indica a força que estamos fazendo para cima e outro vetor decorrente da ação da gravidade força peso sobre a planta 9 Figura 5 Vetores Créditos AtlasStudioShutterstock A resultado é a soma do vetor decorrente da gravidade força peso com a força necessária para segurar a planta Também é possível observarmos a soma de vetores em estruturas tais como treliças Figura 6 Treliça A soma de vetores também auxilia no cálculo do contrapeso de uma plataforma 10 Figura 7 Contrapeso em plataforma Muitas aplicações relacionadas a vetores serão estudadas em disciplinas futuras O processo para realizarmos a adição de vetores é bem simples Basta somarmos as respectivas componentes de cada vetor De uma forma geral temos a soma dada por 2 2 1 1 n n v u v v u u v u em que 2 1 un u u u e 2 1 nv v v v e de maneira análoga a subtração de vetores é dada pela subtração das respectivas componentes 2 2 1 1 n n v u v v u u v u em que 2 1 un u u u e 2 1 nv v v v A subtração é um caso particular da soma pois podemos escrever v u na forma v u Exemplo dados os vetores 3 1 u e 4 2 v calcule v u Em seguida faça a representação gráfica 11 Resolução 4 2 3 1 u v 4 3 2 1 u v u v 7 3 A soma de 3 1 u e 4 2 v corresponde ao vetor u v 7 3 Vamos agora fazer a representação gráfica Figura 8 Representação gráfica 1 Exemplo dados os vetores 3 1 u e 4 2 v calcule v u Em seguida faça a representação gráfica 12 Resolução 4 2 3 1 u v 4 3 2 1 u v 1 1 u v A subtração de 3 1 u e 4 2 v corresponde ao vetor 1 1 u v Vamos agora fazer a representação gráfica Figura 9 Representação gráfica 2 Mas por que essa subtração resultou no vetor 1 1 u v A resposta é bem simples A subtração v u é equivalente à soma v u Vamos fazer a representação gráfica considerando agora o vetor v 13 Figura 10 Representação gráfica 3 Note que tanto na soma quanto na subtração podemos colocar a origem do segundo vetor na extremidade do primeiro vetor para obtermos o vetor resultante Chamamos este procedimento de regra do paralelogramo Figura 11 Vetores 14 Isso porque a imagem resultante corresponde a um paralelogramo Figura 12 Regra do paralelogramo De forma análoga podemos representar graficamente a subtração de vetores v u v u Figura 12 Subtração de vetores As diagonais de um paralelogramo de lados iguais a u e v correspondem a v u e v u Figura 13 Diagonais do paralelogramo 15 Temos uma aplicação relacionada à soma de vetores chamada de combinação linear Podemos dizer que um vetor qualquer v é uma combinação linear dos vetores nv v v 2 1 quando v é a soma dos múltiplos dos vetores nv v v 2 1 nvn v v v 2 2 1 1 onde n R 2 1 Por exemplo o vetor 4 2 v é uma combinação linear dos vetores 0 1 i e 1 0 j Observe que se multiplicarmos i por 2 e j por 4 temos o vetor 4 2 v 1 0 4 0 1 2 4 2 j i 4 0 0 2 4 2 j i 4 2 4 2 j i Os vetores i e j são chamados de vetores canônicos Além de serem vetores unitários formam uma base para o espaço vetorial R2 Observe que estes vetores estão sobre os eixos x e y respectivamente Figura 14 Vetores nos eixos x e y No caso do espaço tridimensional R3 temos que os vetores canônicos são 0 0 1 i 1 0 0 j e 1 0 0 k 16 Figura 15 Vetores no espaço tridimensional Os vetores canônicos 0 0 1 i 1 0 0 j e 1 0 0 k são importantes pois podemos escrever qualquer vetor de R3 como uma combinação linear destes vetores Por exemplo o vetor 5 2 3 v pode ser escrito como k j i v 5 2 3 Graficamente podemos representar vetores com duas ou com três componentes No entanto como na geometria analítica temos propriedades que garantem que as operações de soma e de subtração podem ser realizadas para vetores de n componentes podemos efetuar a soma e a subtração de vetores do Rn mesmo sem a respectiva representação gráfica Exemplo dados os vetores 1 3 4 6 u e 1 1 7 3 2 v calcule a soma v u Resolução 1 1 7 3 2 1 3 4 6 u v 11 1 7 3 3 2 4 6 u v 12 4 7 4 u v TEMA 3 PRODUTO ESCALAR Uma operação vetorial bastante importante é o produto escalar O produto escalar é utilizado por exemplo para calcularmos o ângulo entre vetores o ângulo entre retas e o ângulo entre planos Também podemos utilizar o produto 17 escalar para calcularmos a média ponderada onde os valores são representados por um vetor e os respectivos pesos por outro O nome produto escalar foi escolhido pois o resultado desta multiplicação é um número também denominado de escalar Para determinarmos o produto escalar entre dois vetores basta multiplicarmos as respectivas componentes e somarmos os resultados No R2 por exemplo o produto escalar é dado por 2 1 1 2 y y x x u v e no R3 o produto escalar é dado por 2 1 2 1 1 2 z z y y x x u v De uma forma geral temos un vn u v u v u v 2 2 1 1 em que 2 1 un u u u e 2 1 nv v v v Para compreendermos melhor vamos acompanhar alguns exemplos Exemplo dados os vetores 4 7 2 u e 3 6 5 v determine v u Resolução o produto escalar v u é obtido a partir da soma dos produtos das componentes dos vetores u e v ou seja 4x3 7x6 2x5 v u Fazendo as multiplicações temos 12 42 10 v u que resulta em 64 v u Exemplo determine o produto escalar v u em que 7 3 5 1 2 u e 1 3 8 2 5 v Resolução o produto escalar v u pode ser calculado como segue un vn u v u v u v 2 2 1 1 Em particular o produto v u com 7 3 5 1 2 u e 1 3 8 2 5 v é igual a 7x1 3x3 5x8 1x2 2x5 v u 7 9 40 2 10 v u 68 v u 18 Logo o produto escalar v u é igual a 68 Podemos definir também o produto escalar por meio da expressão cos v u u v Em que é o ângulo entre os vetores u e v e 180 0 Figura 16 Ângulo entre vetores Exemplo calcule o produto escalar entre os vetores 0 5 u e 6 0 v utilizando a expressão cos v u u v Resolução a figura a seguir ilustra os vetores u e v Figura 17 Vetores u e v 19 Como o ângulo entre esses vetores é igual a 90 pois cada um desses vetores está sobre cada um dos eixos coordenados temos 6 cos90 0 0 5 2 2 2 2 v u Vamos calcular as potências e o valor de cos 90 36 0 0 0 25 v u Efetuando as somas temos 25 36 0 v u Calculando as raízes temos 065 v u Finalmente vamos efetuar as multiplicações 0 v u Ou seja o produto escalar v u é igual a 0 O produto escalar entre dois vetores ortogonais é sempre igual a 0 ou seja u é ortogonal a v se e somente se 0 v u Dentre diversas aplicações do produto escalar uma delas é o cálculo de médias ponderadas Exemplo um estudante obteve nota 67 na prova objetiva nota 84 na prova discursiva e nota 99 em uma atividade prática Sabendo que os pesos dessas avaliações correspondem respectivamente a 50 30 e 20 utilize o vetor u para armazenar as notas o vetor v para armazenar os pesos de cada avaliação produto escalar v u para calcular a respectiva média ponderada Resolução sejam os vetores 9 9 4 u 67 8 e 3 0 2 0 50 v o produto escalar v u é dado por 3 0 2 0 50 9 9 4 67 8 v u 20 84x03 99x02 67x05 v u 19 8 25 2 335 v u 785 v u Como o produto escalar também pode ser escrito na forma cos v u u v Em que é o ângulo entre os vetores u e v podemos obter de forma análoga a expressão cos v u u v Com essa fórmula é fácil calcular o ângulo formado pelos vetores não nulos u e v Exemplo qual é o ângulo formado pelos vetores 7 3 u e 2 4 v Resolução o ângulo entre u e v é dado por cos v u u v Inicialmente vamos calcular v u 2 4 7 3 v u 14 12 v u 2 v u Em seguida os termos do denominador da fórmula 2 2 7 3 u 49 9 u 58 u 2 2 2 4 v 4 16 v 20 v 21 58 20 v u 1160 v u 34058773 v u Substituindo esses termos na fórmula cos v u u v Temos 058773 34 2 cos 0058722 cos cos 1 0058722 9337 TEMA 4 PRODUTO VETORIAL Quando precisamos obter a equação de uma reta ortogonal a outras duas ou para escrevermos a equação geral de um plano precisamos de um vetor que forme 90 com outros dois vetores Para isso temos uma operação definida em R3 e denominada de produto vetorial O produto vetorial também conhecido como produto externo é realizado a partir de dois vetores não colineares e o resultado é um terceiro vetor ortogonal aos outros dois ou seja o produto vetorial gera um vetor que forma 90 com os vetores utilizados no respectivo produto 22 Figura 18 Produto vetorial Podemos obter o produto vetorial de uma forma bem simples utilizando a Regra de Sarrus para o cálculo de determinantes Veremos os detalhes no exemplo a seguir Exemplo dados os vetores 2 1 3 u e 6 3 5 v obtenha um vetor w ortogonal aos vetores u e v Resolução o produto vetorial é dado por 6 3 5 2 1 3 k j i v u Vamos repetir as duas primeiras colunas 3 5 6 3 5 1 3 2 1 3 j i k j i v u 23 Agora basta fazermos as multiplicações no sentido da diagonal principal e em seguida as multiplicações no sentido da diagonal secundária Note que para as multiplicações no sentido da diagonal secundária fazemos a troca dos respectivos sinais A sequência de multiplicações de forma detalhada é 15 23 36 33 25 16 k i j k j i v u que resulta em k i j k j i v u 5 6 18 9 10 6 Somando os termos semelhantes temos k j i v u 14 8 12 ou de forma equivalente 1 8 4 u v 12 O módulo do produto vetorial está associado à área de um paralelogramo em que a base corresponde ao vetor u e a altura ao vetor v Assim v u A Figura 19 Paralelogramo 24 Quando tratamos de produto vetorial a associatividade não é válida ou seja v w u é diferente de w v u No entanto são válidas as seguintes propriedades i w u v u w v u e w v w u w v u II k v u v k u v k u III vw u w u v Em que u v e w são vetores quaisquer e k é um escalar TEMA 5 PRODUTO MISTO Quando temos uma combinação do produto escalar e do produto vetorial dos vetores u v e w temos um produto denominado de produto misto e é dado por 3 2 1 3 2 1 3 2 1 w w w v v v u u u w u v Geometricamente podemos interpretar o módulo do produto misto como sendo o volume de um paralelepípedo cujas arestas são definidas pelos vetores não coplanares u v e w Figura 20 Produto misto 25 Exemplo considere os vetores 0 3 2 u 1 2 0 v e 3 1 1 w Calcule w u v Resolução o produto misto é dado por 4 1 1 1 2 0 0 3 2 u v w Repetindo as duas primeiras colunas temos 1 1 4 1 1 2 0 1 2 0 3 2 0 3 2 u v w 0 2 0 0 3 16 u v w 15 u v w FINALIZANDO No decorrer da aula estudamos operações relacionadas a vetores A multiplicação de um vetor por um escalar é dada pela multiplicação de cada componente do vetor pelo escalar A soma de dois vetores consiste na soma das respectivas componentes dos vetores A subtração de vetores é dada pela subtração das respectivas componentes destes vetores Vimos que o produto escalar cujo resultado é um número é dado pela soma das multiplicações das respectivas componentes dos vetores O produto vetorial cujo resultado é um vetor está definido apenas no espaço tridimensional R3 e gera um vetor ortogonal a cada um dos vetores utilizados na operação 26 REFERÊNCIAS BORIN JUNIOR A M S org Geometria analítica São Paulo Pearson Education do Brasil 2014 FERNANDES L F D Geometria Analítica Curitiba InterSaberes 2016 SANTOS F J dos FERREIRA S F Geometria analítica Porto Alegre Artmed 2009 THOMAS G B HASS J WEIR M D Cálculo 12ed São Paulo Pearson 2008 2 v WINTERLE P Vetores e Geometria Analítica 2ed São Paulo Pearson 2014