AULA 04 - Impressao - Planos pdf

GEOMETRIA ANALÍTICA AULA 4 Prof Ricardo Alexandre Deckmann Zanardini CONVERSA INICIAL Planos são figuras geométricas tridimensionais presentes em diversas aplicações Podemos observar superfícies planas em tampos de mesas portas paredes folha de papel e em muitas outras situações No entanto estes elementos representam partes de planos pois um plano se prolonga infinitamente No decorrer desta aula estudaremos diferentes formas de escrevermos equações de planos Também estudaremos ângulo e intersecção entre eles além de posições relativas entre planos e retas TEMA 1 EQUAÇÃO GERAL DE UM PLANO O conjunto de todos os pontos Px y z formam um plano sempre que 0 n AP em que A é um ponto pertencente ao plano e n é um vetor normal ao plano ou seja n forma 90 com qualquer vetor pertencente ao plano Por meio da expressão 0 n AP podemos escrever a equação geral do plano na forma 0 d cz by ax na qual a b e c são as componentes do vetor n 0 0 0 cz by ax d e 0 n AP A P α Graficamente temos Superfícies planas podem ser encontradas facilmente no dia a dia Podemos por exemplo utilizar a equação de um plano para realizarmos estudos em relação ao posicionamento de um painel solar 3 Créditos GyuszkoPhotoShutterstock Veremos no decorrer da aula alguns exemplos práticos mas antes vamos ver como é possível escrevermos a equação de um plano em diferentes situações Exemplo Determine uma equação geral cartesiana do plano α que tem vetor normal 3 7 7 n e contém o ponto 1 2 3 A Resolução Para escrevermos uma equação geral do plano α vamos considerar a expressão 0 n AP Sabemos que o vetor AP pode ser escrito como P A onde P x y z Sendo assim 1 2 3 x y z AP 1 2 3 z y x AP Vamos substituir AP por 1 2 3 z y x e n por 3 7 7 na equação 0 n AP Desta forma temos 4 0 3 7 7 1 2 3 z y x 0 1 3 2 7 3 7 z y x Aplicando a propriedade distributiva temos 0 3 3 14 7 21 7 z y x E somando os termos semelhantes 0 38 3 7 7 z y x Portanto a equação geral do plano α é 0 38 3 7 7 z y x Por meio desta equação todos os pontos pertencentes ao plano são obtidos Muitas vezes não temos o vetor normal ao plano mas temos informações referentes a 3 pontos pertencentes ao plano Conhecendo 3 pontos do plano podemos escrever a respectiva equação geral Basta combinarmos os pontos dois a dois para termos as componentes de dois vetores paralelos ao plano Em seguida utilizando estes dois vetores e o produto vetorial entre eles obtemos um vetor normal ao plano Finalmente tendo o vetor normal e utilizando um dos pontos dados conseguimos determinar a respectiva equação geral Exemplo Obtenha a equação geral do plano que passa pelos pontos A2 1 1 B2 3 2 e C4 2 0 Resolução Podemos combinar os pontos de diversas maneiras mas o mais usual é fazermos u AB e v AC O resultado final será o mesmo 5 u AB A B u 1 1 2 2 3 2 u 1 2 1 3 2 2 u 1 2 0 u v AC A C v 1 1 2 0 2 4 v 1 0 1 2 2 4 v 1 1 2 v Graficamente os vetores são Por meio dos vetores u e v vamos obter o vetor normal v u n 1 1 2 1 2 0 k j i n 6 1 2 1 1 2 2 0 1 2 0 j i k j i n k i j i n 4 0 0 2 2 k j i n 4 2 3 4 2 3 n Tendo o vetor n e considerando A2 1 1 vamos escrever a equação geral do plano 0 n AP Inicialmente vamos obter o vetor AP A P AP 1 1 2 x y z AP 1 1 2 z y x AP Substituindo AP e n na equação 0 n AP Temos 0 4 2 3 1 1 2 z y x 0 1 4 1 2 2 3 z y x 0 4 4 2 2 6 3 z y x 0 8 4 2 3 z y x Portanto a equação geral do plano α é 0 8 4 2 3 z y x Vamos acompanhar a resolução de mais um exemplo com todos os passos em sequência Exemplo Obtenha a equação geral do plano a que passa pelos pontos A3 4 4 B1 0 2 e C3 1 1 Resolução 7 u AB A B u 4 4 3 2 0 1 u 4 2 4 0 3 1 u 2 4 2 u v AC A C v 4 4 3 1 1 3 v 4 1 4 1 3 3 v 3 3 0 v v u n 3 3 0 2 4 2 k j i n 3 0 3 3 0 4 2 2 4 2 j i k j i n 0 6 6 6 0 12 i j k i n k j i n 6 6 6 6 6 6 n 8 0 n AP A P AP 4 4 3 x y z AP 4 4 3 z y x AP 0 n AP 0 6 6 4 6 4 3 z y x 0 4 6 4 6 3 6 z y x 0 24 6 24 6 18 6 z y x 0 18 6 6 6 z y x Exemplo Um painel destinado à captura de energia solar está apoiado em vigas cujas extremidades estão localizadas nos pontos 2 6 2 A 4 1 3 B e 3 2 5 C em que as coordenadas de cada ponto estão em metros Determine a equação geral do plano que contém os pontos A B e C e está associado ao painel 9 Resolução Precisamos inicialmente de um vetor n normal ao plano α Podemos fazer u AB e v AC Como u e v são paralelos ao plano α o vetor v u n é normal a α Logo vamos calcular o produto vetorial v u para que possamos encontrar o vetor n u AB A B u 2 6 2 4 1 3 u 2 4 6 1 2 3 u 2 5 1 u Para encontrarmos o vetor v vamos fazer v AC A C v 2 6 2 3 2 5 v 2 3 6 2 2 5 v 1 4 3 v O produto vetorial v u n é dado por 1 4 3 2 5 1 k j i n 4 3 1 4 3 5 1 2 5 1 j i k j i n k i j k j i n 15 8 4 6 5 k j i n 11 5 3 1 1 5 3 n 10 Podemos agora utilizar a expressão 0 n AP para encontrarmos uma equação geral para o plano α com 1 1 5 3 n 2 6 2 A e P x y z A P AP 2 6 2 x y z AP 2 6 2 z y x AP 0 n AP 0 1 1 5 3 2 6 2 z y x 0 2 11 6 5 2 3 z y x 0 22 11 30 5 6 3 z y x 0 58 11 5 3 z y x que é a equação geral do plano α Também é possível utilizarmos o produto misto para obtermos a equação geral de um plano No exemplo a seguir apresentaremos os detalhes Exemplo Utilize o produto misto para encontrar uma equação geral do plano α que passa pelos pontos 2 6 2 A 4 1 3 B e 3 2 5 C Resolução Sabemos que o produto misto w u v é calculado com base na determinante da matriz formada pelas componentes dos vetores u v e w 3 3 3 2 2 2 1 1 1 z y x z y x z y x w u v Precisamos então definir diante dos pontos A B C e P os vetores u v e w É importante ressaltar que P é um ponto pertencente a α tal que P x y z Vamos fazer u AP v AB e w AC 11 O vetor u AP é obtido como segue A P u 2 6 2 x y z u 2 6 2 z y x u Para encontrarmos o vetor v AB temos A B v 2 6 2 4 1 3 v 2 4 6 1 2 3 v 2 5 1 v O vetor w AC também pode ser facilmente obtido A C w 2 6 2 3 2 5 w 2 3 6 2 2 5 w 1 4 3 w Como já temos os vetores u v e w podemos calcular o produto misto w u v e para obtermos a equação geral do plano igualar esse produto misto a zero 0 1 4 3 2 5 1 2 6 2 z y x w u v que corresponde a 0 2 53 61 1 22 4 21 4 623 2 5 1 z y x z y x w u v 0 30 15 6 16 8 8 4 36 6 10 5 z y x z y x 0 58 11 5 3 z y x que é a equação geral do plano α 12 A seguir temos mais um exemplo prático relacionado a planos Exemplo Uma cobertura metálica está apoiada em vigas cujas extremidades estão associadas aos seguintes pontos de um sistema tridimensional A0 0 4 B5 0 3 e C5 7 3 Qual é a equação geral do plano associado à cobertura que está apoiada nestes pontos Resolução Vamos fazer a representação gráfica dos pontos A B e C Considerando u AB e v AC temos u AB A B u 4 0 0 3 0 5 u 4 3 0 0 0 5 u 1 0 5 u v AC A C v 4 0 0 3 7 5 v 13 4 3 0 7 0 5 v 1 7 5 v v u n 1 7 5 1 0 5 k j i n 7 5 1 7 5 0 5 1 0 5 j i k j i n 0 7 5 35 5 0 i j k j n k j i n 35 0 7 5 3 0 7 n 0 n AP A P AP 4 0 0 x y z AP 4 x y z AP 0 n AP 0 5 3 0 7 4 x y z 0 4 35 0 7 z y x 0 140 35 0 7 z y x 14 0 140 35 7 z x que corresponde à equação procurada TEMA 2 EQUAÇÃO VETORIAL E EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS Além da equação geral do plano podemos obter outras equações Dentre elas temos a equação vetorial e consequentemente as equações paramétricas A equação vetorial de um plano consiste em pot meio de um ponto A pertencente ao plano combinar os vetores u e v não alinhados e paralelos ao plano de modo a gerar todos os pontos do plano Assim a equação vetorial do plano é dada por t v t u A 2 1 α em que u e v são paralelos a α Aα e R t t 1 2 Isolando x y e z temos as equações paramétricas do plano 3 2 3 1 2 2 2 1 1 2 1 1 t v t u z z t v t u y y t v t u x x A A A Como existem infinitos pontos pertencentes ao plano e infinitos vetores paralelos ao plano podemos ter infinitas equações vetoriais diferentes entre si mas representando o mesmo plano O mesmo ocorre para as equações paramétricas É muito simples de se obter a equação vetorial e as equações paramétricas de um plano Vamos acompanhar alguns exemplos para aprendermos de uma forma mais efetiva Exemplo Escreva a equação vetorial e as equações paramétricas do plano que passa pelo ponto A7 2 11 e é paralelo aos vetores 9 7 2 u e 3 0 4 v 15 Resolução Para a equação vetorial basta substituirmos A u e v na equação t v t u A 2 1 α 3 0 4 9 7 2 1 1 2 7 2 1 t t α As equações paramétricas são dadas por 3 2 3 1 2 2 2 1 1 2 1 1 t v t u z z t v t u y y t v t u x x A A A Logo 2 1 1 2 1 3 9 11 7 2 4 2 7 t t z t y t t x Exemplo Encontre uma equação vetorial do plano α que passa pelos pontos 1 3 4 A 1 1 9 B e 1 3 2 3 C Resolução Considere u AB Logo A B u 1 3 4 1 1 9 u 1 3 1 1 4 9 u 0 4 u 13 Vamos considerar v AC Logo A C v 1 3 4 1 3 2 3 v 1 3 1 2 3 4 3 v 1 1 0 1 v Agora que temos os vetores u e v e o ponto 1 3 4 A a equação vetorial do plano pode ser facilmente obtida Vamos substituir A u e v na expressão t v t u A 2 1 α 16 o que resulta em 11 0 1 0 4 13 1 3 4 2 1 t t α que é a equação vetorial de α Exemplo Obtenha um sistema de equações paramétricas do plano α que passa pelos pontos 1 3 4 A 1 1 9 B e 1 3 2 3 C Resolução Fazendo u AB temos A B u 1 3 4 1 1 9 u 1 3 1 1 4 9 u 0 4 u 13 Para v AC temos A C v 1 3 4 1 3 2 3 v 1 3 1 2 3 4 3 v 1 1 0 1 v Assim podemos escrever as equações paramétricas do plano 2 1 2 1 11 1 4 3 13 4 t z t y t t x Exemplo Uma cobertura metálica está apoiada em vigas cujas extremidades estão associadas aos seguintes pontos de um sistema tridimensional A0 0 4 B5 0 3 e C5 7 3 Qual é a equação vetorial do plano associado à cobertura que está apoiada nestes pontos Resolução Vamos fazer a representação gráfica dos pontos A B e C 17 Considerando u AB e v AC temos u AB A B u 4 0 0 3 0 5 u 4 3 0 0 0 5 u 1 0 5 u v AC A C v 4 0 0 3 7 5 v 4 3 0 7 0 5 v 1 7 5 v Tendo A u e v a equação vetorial do plano pode ser facilmente obtida por meio da fórmula t v t u A 2 1 α 18 Na qual 11 0 1 0 4 13 1 3 4 2 1 t t α que é a equação vetorial do plano α associado à cobertura metálica Por meio de uma equação de um plano podemos saber se um dado ponto pertence ou não a este plano Exemplo Verifique se o ponto 3 2 4 A pertence ao plano 2 3 3 3 2 1 2 1 2 1 2 1 t t t t t t x y z α Resolução Para sabermos se um ponto pertence ou não a um plano basta substituirmos as coordenadas x y e z do ponto na equação do plano e verificarmos se os parâmetros t1 e t2 satisfazem a equação do plano Neste caso temos 2 3 3 3 2 1 2 1 2 1 2 1 t t t t t t x y z α Sendo assim 2 3 3 3 2 1 3 2 4 2 1 2 1 2 1 t t t t t t em que 3 2 3 3 2 3 4 2 1 2 1 2 1 2 1 t t t t t t Agrupando os termos semelhantes temos 3 3 2 3 3 2 1 4 2 2 1 2 1 2 1 t t t t t t Ou equivalentemente 0 2 3 1 3 2 2 1 2 1 2 1 t t t t t t Precisamos agora resolver o sistema de três equações e duas incógnitas para encontrarmos caso existam os parâmetros t1 e t2 que satisfazem o sistema de equações Podemos resolver inicialmente o sistema formado pelas duas primeiras equações Caso exista solução devemos substituir t1 e t2 na 19 terceira equação para enfim sabermos se o sistema possui solução e consequentemente se o ponto 3 2 4 A pertence ao plano Logo 1 3 2 2 1 2 1 t t t t Multiplicado a segunda equação por 1 temos 1 3 2 2 1 2 1 t t t t Vamos agora somar os termos semelhantes 4 0 1 3 2 2 2 1 2 1 t t t t t Logo t2 4 Podemos substituir esse valor na equação 1 2 1 t t o que resulta em 1 2 1 t t 1 4 1 t 4 1 1 t 5 1 t Finalmente para sabermos se o ponto A pertence ao plano vamos substituir 5 1 t e t2 4 na equação 0 2 3 2 1 t t 0 2 3 2 1 t t 0 24 5 3 0 8 15 7 0 Como 7 0 podemos concluir que o ponto 3 2 4 A não pertence ao plano 2 3 3 3 2 1 2 1 2 1 2 1 t t t t t t x y z α 20 TEMA 3 EQUAÇÃO SEGMENTÁRIA Uma forma bastante simples de escrevermos a equação de um plano quando conhecemos as respectivas intersecções com os eixos x y e z é a equação segmentária Se o plano α não é paralelo aos planos xy xz e yz então a equação segmentária de α é dada por 1 r z q y p x em que p q e r são as intersecções com os eixos x y e z respectivamente Por meio destas intersecções facilmente obtemos a equação segmentária do plano Exemplo Obtenha a equação segmentária do plano que contém os pontos A 3 0 0 B 0 5 0 e C 0 0 2 Resolução Como os pontos A B e C correspondem às intersecções do plano com os eixos x y e z respectivamente temos 1 r z q y p x em que 1 2 5 3 z y x é a equação segmentária 21 Podemos escrever a equação segmentária de um plano quando temos a equação geral 0 d cz by ax Basta dividirmos toda a equação por d e efetuarmos as devidas simplificações Exemplo Obtenha a equação segmentária do plano α de equação geral 0 16 8 4 z y x Resolução Como d16 vamos dividir a equação por 16 e realizar as possíveis simplificações 16 0 16 16 16 8 16 16 4 z y x 0 1 2 16 4 z y x 1 2 16 4 z y x que é a equação segmentária referente ao plano α Por meio de uma equação geral podemos também obter as intersecções com os eixos coordenados e caso seja preciso obter a equação segmentária correspondente Exemplo Considere o plano α definido por 0 20 2 5 4 z y x Determine os pontos A B e C de intersecção do plano α com os eixos coordenados x y e z respectivamente e em seguida escreva a equação segmentária do plano α Resolução O ponto de intersecção do plano α com o eixo x ocorre quando y0 e z0 Logo vamos substituir estes valores na equação 0 20 2 5 4 z y x o que resulta em 0 20 20 50 4 x 0 20 0 0 4 x 0 20 4 x 4 20 x 4 x 20 22 x 5 Logo o ponto A de intersecção do plano com o eixo x é igual a 0 0 5 A Para encontrarmos o ponto de intersecção do plano α com o eixo y vamos considerar agora x0 e z0 Substituindo estes valores na equação 0 20 2 5 4 z y x Temos 0 20 20 5 40 y 0 20 0 5 0 y 0 20 5 y 20 5 y 5 y 20 y 4 Portanto o ponto B de intersecção do plano α com o eixo y corresponde a 0 4 0 B O ponto de intersecção do plano α com o eixo z ocorre quando x0 e y0 Logo 0 20 2 50 40 z 0 20 2 0 0 z 0 20 2 z 2 20 z 2 z 20 z 10 Assim o ponto C de intersecção do plano α com o eixo z é igual a 0 1 0 0 C 23 Para obtermos a respectiva equação segmentária vamos substituir p q e r na equação 1 r z q y p x Logo 1 10 4 5 z y x TEMA 4 PLANOS E RETAS Muitas vezes precisamos estudar a posição relativa entre planos e retas Por exemplo em um determinado jogo temos o movimento retilíneo de um objeto em direção a uma superfície plana e precisamos saber qual é o ângulo entre a reta associada ao movimento e o plano associado à superfície Não é a única possibilidade mas uma forma de obtermos este resultado é calculando o ângulo entre a reta e o plano com uso das respectivas equações Este é um exemplo mas podemos ter muitas situações em que a Geometria Analítica pode auxiliar na resolução de problemas reais Vamos ver alguns exemplos envolvendo planos e retas 24 Exemplo Seja r a reta dada pelas equações t z t y t x 2 1 5 3 2 Verifique se r é paralela ao plano α dado por 2 3 3 3 2 1 2 1 2 1 2 1 t t t t t t x y z α Resolução Vamos considerar as equações paramétricas da reta 2 1 3 5 2 t t t x y z r Na qual o vetor diretor corresponde a 2 1 3 v Temos também a equação do plano 2 1 2 3 1 1 3 3 1 2 1 t t x y z α em que 3 1 1 u 2 1 2 v Precisamos do vetor normal ao plano Vamos calcular o produto vetorial entre u e v v u n 2 1 2 3 1 1 k j i n 1 2 2 1 2 1 1 3 1 1 j i k j i n k i j k j i n 2 3 2 6 2 k j i n 4 1 4 1 n Para que a reta seja paralela ao plano o vetor diretor da reta precisa ser ortogonal ao vetor normal ao plano Vamos verificar se existe ou não a 25 ortogonalidade entre eles Para isto precisamos do produto escalar entre 2 1 3 v e 1 4 1 n 1 4 1 2 1 3 n v 1 2 1 4 1 3 n v 2 4 3 n v 1 n v Como o produto escalar é diferente de 0 então os vetores v e n não são ortogonais Logo a reta e o plano não são paralelos Podemos calcular o ângulo φ entre uma reta e um plano por meio da fórmula n v v n sen φ Assim v é o vetor diretor da reta e n é o vetor normal ao plano Utilizamos esta fórmula pois φ é o complemento do ângulo θ que a reta forma com o vetor normal ao plano ou seja 90 θ φ e sendo assim sen cos φ θ 26 Exemplo Seja r a reta dada pelas equações t z t y t x 2 1 5 3 2 Obtenha o ângulo entre r e o plano α dado por 2 3 3 3 2 1 2 1 2 1 2 1 t t t t t t x y z α Resolução Por meio das equações paramétricas da reta o respectivo vetor diretor corresponde a 2 1 3 v Considerando a equação do plano o vetor normal é dado pelo produto escalar entre 3 1 1 1 u e 2 1 2 2 u Logo 2 1 u u n 2 1 2 3 1 1 k j i n 1 2 2 1 2 1 1 3 1 1 j i k j i n k i j k j i n 2 3 2 6 2 k j i n 4 1 4 1 n Substituindo 2 1 3 v e 1 4 1 n na fórmula n v v n sen φ Temos 1 4 1 2 1 3 1 4 1 2 1 3 sen φ 27 2 2 2 2 2 2 1 4 1 2 1 3 1 2 1 4 1 3 sen φ 1 1 16 4 1 9 2 4 3 sen φ 18 14 1 sen φ 252 1 sen φ 15874508 1 sen φ 0 062994 sen φ φ sen 1 0 062994 3 61 φ Logo o ângulo entre a reta e o plano corresponde a 361 TEMA 5 ÂNGULO ENTRE PLANOS Quando precisamos calcular o ângulo entre dois planos utilizamos a fórmula 2 1 1 2 cos n n n n θ com 90 0 θ em que 1n e 2 n são os vetores normais destes dois planos Exemplo Encontre o ângulo formado entre os planos 0 5 z y x α e 0 12 3 2 z y x β Resolução Vamos utilizar a fórmula 2 1 2 1 cos n n n n θ O vetor normal ao plano α é 1 1 1 1 n e o vetor normal ao plano β é 1 3 2 2 n Substituindo estes vetores na expressão 2 1 2 1 cos n n n n θ 28 Temos 1 3 2 1 1 1 1 3 2 1 1 1 cos θ 2 2 2 2 2 2 1 3 1 2 1 1 1 1 1 3 1 2 cos θ 1 9 4 1 1 1 1 3 2 cos θ 14 3 6 cos θ 42 6 cos θ 6 4807 6 cos θ 0 9258 cos θ θ arccos 0 9258 θ 2221 Logo o ângulo entre os planos 0 5 z y x α e 0 12 3 2 z y x β é igual a 2221 Podemos utilizar a fórmula para determinarmos por exemplo o ângulo entre uma placa de captura de energia solar e o solo entre paredes de uma construção em aplicações tridimensionais relacionadas à computação gráfica e em muitas outras aplicações FINALIZANDO Chegamos ao final desta aula em que aprendemos a escrever a equação geral de um plano por meio de um ponto pertencente ao plano e de um vetor normal ao plano Aprendemos também a escrever a equação geral do plano com base em três pontos dados Além da equação geral vimos que um plano pode ser escrito de outras formas ou seja por meio de uma equação 29 vetorial de equações paramétricas e da equação segmentária Nesta aula aprendemos a determinar o ângulo entre retas e planos e também a determinar o ângulo entre planos 30 REFERÊNCIAS BORIN JUNIOR A M S org Geometria analítica São Paulo Pearson Education do Brasil 2014 FERNANDES L F D Geometria Analítica Curitiba InterSaberes 2016 SANTOS F J dos FERREIRA S F Geometria analítica Porto Alegre Artmed 2009 THOMAS G B HASS J WEIR M D Cálculo 12 Ed 2 v São Paulo Pearson 2008 WINTERLE P Vetores e Geometria Analítica 2 ed São Paulo Pearson 2014