Interferência e Diferença de Caminho Óptico na Óptica Wave

Interferência 31 Introdução 32 Diferença de Caminho Óptico 33 Experiência de Young Cap 3 0TI0002 QUI14106U 31 Introdução Neste capítulo passamos a fazer uma abordagem da óptica segundo o princípio de Hyugens pelo qual a luz se comporta como uma onda Uma prova cabal deste comportamento vem através do fenômeno de Interferência provado experimentalmente por Thomas Young em 1801 Basicamente o fenômeno de interferência ocorre quando dois movimentos ondulatórios coincidem no tempo e no espaço A propagação pode ser discutida em termos dos teoremas de Fermat e Huygens Fermat A natureza sempre atua pelo caminho mais curto de todos os caminhos possíveis para se ir de um ponto a outro a luz segue aquele percorrido no tempo mínimo Huygens 162916950 Todos os pontos de uma frente de onda funcionam como fontes puntuais para ondas secundárias depois de um de intervalo de tempo t a nova posição da frente de onda será dada por uma superfície tangente a estas ondas secundárias A partir do princípio de Huygens como vimos é possível obter a lei de refração lei de Snell 𝑛1𝑠𝑒𝑛𝜃1 𝑛2𝑠𝑒𝑛𝜃2 32 Diferença de Caminho Óptico Quando duas ondas provenientes da mesma fonte percorrem caminhos diferentes e depois se superpõem num mesmo ponto a diferença de números de comprimentos de onda associados aos dois caminhos determinam a diferença de fase δ Seja o seguinte arranjo para o qual considere 𝜆𝑛 o comprimento de onda em um determinado meio L 𝑛1 𝑛2 𝜆1 𝜆2 𝑣1 𝑣2 Se 𝜆1 é o comprimento de onda no meio n tal que 𝜆1 𝜆𝑛 𝜆2 é o comprimento de onda no vácuo escrito como 𝜆2 𝜆 𝜆𝑛 𝜆 𝑣 𝑐 𝜆𝑛 𝑣 𝑐 𝜆 𝑐 𝑣 𝑛 𝜆𝑛 𝜆 𝑛 Seja 𝑁1 o número de comprimentos de onda em um determinado meio de índice de refração n₁ e largura L tal que 𝑁1 𝐿 𝜆𝑛1 𝑛1𝐿 𝜆 𝑁2 𝐿 𝜆𝑛2 𝑛2𝐿 𝜆 Para calcularmos a diferença de fase basta calcularmos a diferença de números de onda ΔN Δ𝑁 𝑁2 𝑁1 𝑛2𝐿 𝜆 𝑛1𝐿 𝜆 Δ𝑁 𝐿 𝜆 𝑛2 𝑛1 o que nos dá um resultado em termos de números de onda Para termos δ em termos de radianos 𝛿 Δ𝑁 2𝜋 Diferença de fase da ordem de 1 2 𝜆 𝛿 1 2 𝜆 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑓𝑜𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑓𝑎𝑠𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑡𝑟𝑢𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑓𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎 𝑒𝑠𝑐𝑢𝑟𝑎 Diferença de fase da ordem de 0𝜆 𝑜𝑢 𝑛𝜆 𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜 𝛿 0𝜆 𝑜𝑢 1𝜆 𝑒𝑚 𝑓𝑎𝑠𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑟𝑢𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑓𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎 𝑐𝑙𝑎𝑟𝑎 33 Experiência de Young Vamos partir do caso mais geral Sejam S₁ e S₂ duas fontes que emitam ondas em fase com a mesma frequência angular ω e amplitudes ξ₀₁e ξ₀₂ dadas por 𝑆1 𝜉1 𝜉01𝑠𝑒𝑛𝑘𝑟1 𝜔𝑡 𝑆2 𝜉2 𝜉02𝑠𝑒𝑛𝑘𝑟2 𝜔𝑡 na qual r₁ e r₂ de qualquer ponto as fontes S₁e S₂ respectivamente Embora as fontes sejam iguais se r₁ e r₂ forem diferentes elas não produzirão a mesma amplitude em um ponto p distante uma vez que a amplitude de uma onda esférica decresce com 1r²Partindo do princípio que kr₁ e kr₂ possam ser tratados como as fases iniciais de cada uma das ondas podemos definir a diferença de fase entre as ondas em termos da diferença de caminho percorrido por elas ou diferença de caminho óptico 𝛿 𝑘𝑟1 𝑘𝑟2 𝛿 2𝜋 𝜆 𝑟1 𝑟2 Para determinarmos a amplitude resultante da superposição das duas ondas usamos a lei dos cossenos 𝜉0 𝜉01 2 𝜉02 2 2𝜉01𝜉02𝑐𝑜𝑠𝛿 Observe que ξ₀ está compreendida entre 𝜉01 𝜉02 e 𝜉01 𝜉02 dependendo do valor do cosδ cosδ1δ2mπpar cosδ1δ2m1πimpar Por sua vez δ2nπ implica em interferência construtiva e δ2n1π implica em interferência destrutiva logo como 𝛿 2𝜋 𝜆 𝑟1 𝑟2 2𝑚𝜋 2𝜋 𝜆 𝑟1 𝑟2 2m 1π 2𝜋 𝜆 𝑟1 𝑟2 𝑟1 𝑟2 𝑚𝜆 Interferência construtiva 𝑟1 𝑟2 𝑚 1 2 𝜆 Interferência destrutiva Os conceitos de interferência construtiva e interferência destrutiva se aplicam para estas ondas de água de modo semelhante ao das ondas luminosas e sonoras Vamos agora considerar um arranjo mais simples Considere o arranjo da Experiência de Young mostrada na figura 𝑟2 𝑟1 𝛿 𝑟1 𝑟2 𝜃 𝜃 D y d 𝑆1 𝑆2 B P Se a separação entre 𝑆1 𝑒 𝑆2 for pequena comparada com D podemos desprezar a diferença entre 𝑟1𝑒 𝑟2 e fazer𝜉01 𝜉02 𝜉0 𝜉01 2 𝜉02 2 2𝜉01𝜉02𝑐𝑜𝑠𝛿 𝜉0 𝜉01 2 𝜉01 2 2𝜉01𝜉01𝑐𝑜𝑠𝛿 𝜉0 2𝜉01 2 2𝜉01 2 𝑐𝑜𝑠𝛿 𝜉0 2𝜉01 2 1 𝑐𝑜𝑠𝛿 𝜉0 𝜉01 2 1 𝑐𝑜𝑠𝛿 Usando agora a seguinte identidade trigonométrica 1 𝑐𝑜𝑠𝛿 1 𝑐𝑜𝑠2 𝛿 2 1 𝑐𝑜𝑠2 𝛿 2 𝑠𝑒𝑛2 𝛿 2 1 𝑐𝑜𝑠𝛿 1 𝑠𝑒𝑛2 𝛿 2 𝑐𝑜𝑠2 𝛿 2 1 𝑐𝑜𝑠𝛿 𝑐𝑜𝑠2 𝛿 2 𝑐𝑜𝑠2 𝛿 2 1 𝑐𝑜𝑠𝛿 2𝑐𝑜𝑠2 𝛿 2 𝜉0 𝜉01 4𝑐𝑜𝑠2 𝛿 2 𝜉0 2𝜉01𝑐𝑜𝑠 𝛿 2 𝑟2 𝑟1 𝛿 𝑟1 𝑟2 𝜃 𝜃 D y d 𝑆1 𝑆2 B P Voltando a figura podemos chegar as relações de intensidade 𝜃 0 𝜃 𝑡𝑔𝜃 𝑦 𝐷 𝑆1𝐵 𝑟1 𝑟2 𝑑𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝑦 𝐷 𝛿 2𝜋 𝜆 𝑟1 𝑟2 2𝜋 𝜆 𝑑𝑠𝑒𝑛𝜃 Como temos uma relação para ângulos pequenos 𝛿 2𝜋 𝜆 𝑦 𝐷 𝑑 Como a intensidade é proporcional a amplitude do movimento ondulatório 𝐼 𝜉0 2 𝐼 2𝜉01𝑐𝑜𝑠 𝛿 2 2 4𝜉01 2 𝑐𝑜𝑠2 𝛿 2 𝐼0 4𝜉01 2 𝐼 𝐼0𝑐𝑜𝑠2 𝛿 2 𝐼0𝑐𝑜𝑠2 2𝜋 𝜆 𝑑𝑠𝑒𝑛𝜃 𝐼0𝑐𝑜𝑠2 𝜋 𝜆 𝑦 𝐷 𝑑 FIGURA 378 Distribuição das intensidades na figura de interferência de duas fendas idênticas As três escalas indicam a distância y entre o centro da figura y 0 e um ponto sobre a tela a diferença de fase φ entre as duas ondas que atingem o mesmo ponto da tela e a diferença de caminho d sen φ expressa em termos do comprimento de onda λ Os máximos ocorrem nos pontos para os quais a diferença de fase φ é igual a um múltiplo inteiro de 2π e d sen θ é um múltiplo inteiro de λ Pontos de máxima intensidade 𝜋 𝜆 𝑑𝑠𝑒𝑛𝜃 𝛿 𝑚𝜋 𝑑𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑚𝜆 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑚𝜆 𝑑 m 012 Pontos de mínima intensidade Franjas claras 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑚 1 2 𝜆 𝑑 m 012 Franjas escuras De uma outra maneira sejam as fontes 𝑆1 e 𝑆2 geradas com a mesma amplitude 𝑆1 𝜉1 𝜉01𝑠𝑒𝑛𝑘𝑟1 𝜔𝑡 𝑆2 𝜉2 𝜉01𝑠𝑒𝑛𝑘𝑟2 𝜔𝑡 A onda resultante será uma combinação linear das duas ondas que se superpõem 𝜉 𝜉1 𝜉2 𝜉 𝜉01𝑠𝑒𝑛𝑘𝑟1 𝜔𝑡 𝜉01𝑠𝑒𝑛𝑘𝑟2 𝜔𝑡 𝜉 𝜉01 𝑠𝑒𝑛𝑘𝑟1 𝜔𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑘𝑟2 𝜔𝑡 Usando a seguinte relação trigonométrica 𝑠𝑒𝑛 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝑏 2𝑠𝑒𝑛 1 2 𝑎 𝑏 𝑐𝑜𝑠 1 2 𝑎 𝑏 𝑠𝑒𝑛𝑘𝑟1 𝜔𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑘𝑟2 𝜔𝑡 2𝑠𝑒𝑛 1 2 𝑘𝑟1 𝜔𝑡 𝑘𝑟2 𝜔𝑡 𝑐𝑜𝑠 1 2 𝑘𝑟1 𝜔𝑡 𝑘𝑟2 𝜔𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑘𝑟1 𝜔𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑘𝑟2 𝜔𝑡 2𝑠𝑒𝑛 1 2 𝑘𝑟1 𝑘𝑟2 2𝜔𝑡 𝑐𝑜𝑠 1 2 𝑘𝑟1 𝑘𝑟2 Rearranjando a ordem dos fatores na equação anterior 𝑠𝑒𝑛𝑘𝑟1 𝜔𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑘𝑟2 𝜔𝑡 2𝑐𝑜𝑠 1 2 𝑘𝑟1 𝑟2𝑠𝑒𝑛 1 2 𝑘𝑟1 𝑘𝑟2 2𝜔𝑡 O que nos dá finalmente a onda resultante 𝜉 2𝜉01𝑐𝑜𝑠 𝛿 2 𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑅 𝜔𝑡 Na qual 𝛿 𝑘𝑟1 𝑟2 𝑅 𝑟1 𝑟2 2 Seja ainda 𝜉0 2𝜉01𝑐𝑜𝑠 𝛿 2 Recuperamos equação 𝜉 𝜉0𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑅 𝜔𝑡 Obtemos finalmente