Lista de Exercícios Resolvidos DFS e DFT - PDS - Viviana Zurro

DFS e DFT PDS Lista de Exercícios Aula 4 PROF VIVIANA RAQUEL ZURRO Caderno Aula 4 1 Eng Viviana Zurro MSc Sumário DFS e DFT 2 DFS 2 Equação de análise 2 Equação de síntese 2 DFT 2 Equação de análise 2 Equação de síntese 2 Referências 7 Caderno Aula 4 2 Eng Viviana Zurro MSc DFS e DFT DFS Equação de análise 𝑋𝑘 𝑥𝑛 𝑁1 𝑛0 𝑊𝑁 𝑘𝑛 1 Equação de síntese 𝑥𝑛 1 𝑁 𝑋𝑘 𝑁1 𝑘0 𝑊𝑁 𝑘𝑛 2 Sendo 𝑊𝑁 ⅇ𝑗2𝜋𝑁 DFT Equação de análise 𝑋𝑘 𝑥𝑛 𝑁1 𝑛0 𝑊𝑁 𝑘𝑛 0 𝑘 𝑁 1 3 Equação de síntese 𝑥𝑛 1 𝑁 𝑋𝑘 𝑁1 𝑘0 𝑊𝑁 𝑘𝑛 0 𝑛 𝑁 1 4 Sendo 𝑊𝑁 ⅇ𝑗2𝜋𝑁 Caderno Aula 4 3 Eng Viviana Zurro MSc 1 Baseado no problema 821 do livro texto Sendo 𝑥1𝑛 e 𝑥2𝑛 as duas com um período 𝑁 4 determine a sequência 𝑦𝑛 cuja DFS seja igual ao produto das DFS de 𝑥1𝑛 e 𝑥2𝑛 Figura 1 Sinais periódicos 𝑥1𝑛 e 𝑥2𝑛 DASSAULT SYSTÈMES 2023 Resolução A sequência 𝑦𝑛 resulta da convolução periódica entre as sequências 𝑥1𝑛 e 𝑥2𝑛 portanto 𝑦𝑛 𝑥1𝑚𝑥2𝑛 𝑚 𝑁1 𝑚0 Como 𝑥2𝑛 é uma sequência de impulsos periódicos atrasados em duas amostras em relação a 𝑛 0 a sequência resultante 𝑦𝑛 será equivalente à 𝑥1𝑛 atrasada em duas amostras Para resolver o problema como solicitado 𝑌1𝑘 𝑋1𝑘𝑋2𝑘 Usando a equação de análise 1 𝑋1𝑘 𝑥1𝑛 3 𝑛0 𝑊4 𝑛𝑘 𝑋1𝑘 2𝑊4 0𝑘 2𝑊4 1𝑘 𝑊4 2𝑘 𝑊4 3𝑘 2 2𝑊4 𝑘 𝑊4 2𝑘 𝑊4 3𝑘 𝑋2𝑘 𝑥2𝑛 3 𝑛0 𝑊4 𝑛𝑘 Caderno Aula 4 4 Eng Viviana Zurro MSc 𝑋2𝑘 0𝑊4 0𝑘 0𝑊4 1𝑘 1𝑊4 2𝑘 0𝑊4 3𝑘 𝑊4 2𝑘 𝑌𝑘 𝑋1𝑘𝑋2𝑘 2 2𝑊4 𝑘 𝑊4 2𝑘 𝑊4 3𝑘𝑊4 2𝑘 𝑌𝑘 2𝑊4 2𝑘 2𝑊4 𝑘𝑊4 2𝑘 𝑊4 2𝑘𝑊4 2𝑘 𝑊4 3𝑘𝑊4 2𝑘 𝒀𝒌 𝟐𝑾𝟒 𝟐𝒌 𝟐𝑾𝟒 𝟑𝒌 𝑾𝟒 𝟒𝒌 𝑾𝟒 𝟓𝒌 Usando a equação de síntese 𝒚𝒏 𝒙𝟏𝒏 𝟐 Figura 2 Sinais de entrada 𝑥1𝑛 sinal 𝑥2𝑛 e sinal de saída 𝑦𝑛 após a convolução entre os dois sinais 2 Baseado no problema 828 do livro texto Sendo 𝑥𝑛 uma sequência de 6 pontos Figura 3 𝑥𝑛 6𝛿𝑛 5𝛿𝑛 1 4𝛿𝑛 2 3𝛿𝑛 3 2𝛿𝑛 4 𝛿𝑛 5 Figura 3 Sinal 𝑥𝑛 a Determine a DFT de 6 pontos de 𝑥𝑛 b Faça o gráfico da função 𝑤𝑛 obtida pela DFT inversa de seis pontos de 𝑊𝑘 𝑊6 2𝑘 𝑋𝑘 Caderno Aula 4 5 Eng Viviana Zurro MSc c Calcule a convolução circular de 6 pontos de 𝑥𝑛 com ℎ𝑛 𝛿𝑛 𝛿𝑛 1 𝛿𝑛 2 Resolução a Aplicando a equação número 3 𝑋𝑘 𝑥𝑛 𝑁1 𝑛0 𝑊𝑁 𝑘𝑛 𝑋𝑘 6 5𝑊6 𝑘 4𝑊6 2𝑘 3𝑊6 3𝑘 2𝑊6 4𝑘 𝑊6 5𝑘 b Considerando a DFT do ponto a 𝑊𝑘 𝑊6 2𝑘 𝑋𝑘 𝑊6 2𝑘6 5𝑊6 𝑘 4𝑊6 2𝑘 3𝑊6 3𝑘 2𝑊6 4𝑘 𝑊6 5𝑘 𝑊𝑘 6𝑊6 2𝑘 5𝑊6 𝑘𝑊6 2𝑘 4𝑊6 2𝑘𝑊6 2𝑘 3𝑊6 3𝑘𝑊6 2𝑘 2𝑊6 4𝑘𝑊6 2𝑘 𝑊6 5𝑘𝑊6 2𝑘 𝑊𝑘 6𝑊6 2𝑘 5𝑊6 𝑘 4 3𝑊6 𝑘 2𝑊6 2𝑘 𝑊6 3𝑘 Como 𝑊6 𝑘 ⅇ𝑗2𝑘𝜋 6 𝑊6 2𝑘 ⅇ 𝑗4𝑘𝜋 6 ⅇ 𝑗4𝑘𝜋 6 ⅇ𝑗2𝑘𝜋 ⅇ𝑗2𝑘𝜋 1 𝑊6 2𝑘 ⅇ 𝑗4𝑘𝜋 6 ⅇ𝑗8𝑘𝜋 6 𝑊6 4𝑘 Similarmente 𝑊6 𝑘 𝑊6 5𝑘 Portanto 𝑊𝑘 4 3𝑊6 𝑘 2𝑊6 2𝑘 𝑊6 3𝑘 6𝑊6 4𝑘 5𝑊6 5𝑘 Usando a equação de síntese 𝑤𝑛 1 6 𝑊𝑘 5 𝑘0 𝑊6 𝑘𝑛 𝒘𝒏 𝟒𝜹𝒏 𝟑𝜹𝒏 𝟏 𝟐𝜹𝒏 𝟐 𝜹𝒏 𝟑 𝟔𝜹𝒏 𝟒 𝟓𝜹𝒏 𝟓 Caderno Aula 4 6 Eng Viviana Zurro MSc Figura 4 Sinais 𝑥𝑛 e 𝑤𝑛 c Realizaremos o cálculo usando a DFT 𝑋𝑘 6 5𝑊6 𝑘 4𝑊6 2𝑘 3𝑊6 3𝑘 2𝑊6 4𝑘 𝑊6 5𝑘 𝐻𝑘 1 𝑊6 𝑘 𝑊6 2𝑘 𝑌𝑝𝑘 𝑋𝑘𝐻𝑘 𝑌𝑝𝑘 6 5𝑊6 𝑘 4𝑊6 2𝑘 3𝑊6 3𝑘 2𝑊6 4𝑘 𝑊6 5𝑘1 𝑊6 𝑘 𝑊6 2𝑘 𝑌𝑝𝑘 6 5𝑊6 𝑘 4𝑊6 2𝑘 3𝑊6 3𝑘 2𝑊6 4𝑘 𝑊6 5𝑘 6𝑊6 𝑘 5𝑊6 2𝑘 4𝑊6 3𝑘 3𝑊6 4𝑘 2𝑊6 5𝑘 𝑊6 6𝑘 6𝑊6 2𝑘 5𝑊6 3𝑘 4𝑊6 4𝑘 3𝑊6 5𝑘 2𝑊6 6𝑘 𝑊6 7𝑘 𝑌𝑝𝑘 6 11𝑊6 𝑘 15𝑊6 2𝑘 12𝑊6 3𝑘 9𝑊6 4𝑘 6𝑊6 5𝑘 3𝑊6 6𝑘 𝑊6 7𝑘 5 Como 𝑊6 6𝑘 𝑊6 0 1 então 𝑊6 7𝑘 𝑊6 𝑘 Substituindo na equação 5 𝑌𝑝𝑘 6 11𝑊6 𝑘 15𝑊6 2𝑘 12𝑊6 3𝑘 9𝑊6 4𝑘 6𝑊6 5𝑘 3 𝑊6 𝑘 𝑌𝑝𝑘 9 12𝑊6 𝑘 15𝑊6 2𝑘 12𝑊6 3𝑘 9𝑊6 4𝑘 6𝑊6 5𝑘 Aplicando a transformada inversa 𝑦𝑝𝑛 9𝛿𝑛 12𝛿𝑛 1 15𝛿𝑛 2 12𝛿𝑛 3 9𝛿𝑛 4 6𝛿𝑛 5 Caderno Aula 4 7 Eng Viviana Zurro MSc Figura 5 Sinais 𝑥𝑛 ℎ𝑛 e 𝑦𝑛 com aliasing no domínio do tempo Referências DASSAULT SYSTÈMES Scilab Scilab 2023 Disponivel em httpswwwscilaborg OPPENHEIM A V SCHAFER R W Digital Signal Processing New Jersey PrenticeHall 1975 OPPENHEIM A V SCHAFER R W Processamento em Tempo Discreto de Sinais 3 ed São Paulo Pearson Education do Brasil 2012 OPPENHEIM A V WILLSKY A S Sinais e Sistemas 2a ed São Paulo Pearson Prentice Hall 2010