Lista de Exercícios: Série e Transformada de Fourier

Sinais e Sistemas Prof Eng Viviana R Zurro MSc Série e transformada de Fourier 1 SS Lista de exercícios Série e transformada de Fourier Série de Fourier 1 Para o sinal 𝑥𝑡 mostrado na figura a Calcular as componentes da série de Fourier de 𝑥𝑡 e escrever a mesma como uma soma infinita de sinais senoidais b Sendo 𝑦𝑡 𝑥𝑡 𝑡0 𝑥𝑡 𝑡0 com 𝑡0 2 calcular as componentes da série de Fourier de 𝑦𝑡 e escrever a mesma como uma soma infinita de sinais senoidais c Sendo 𝑦𝑡 𝑥𝑡 1 𝑥𝑡 2 calcular as componentes da série de Fourier de 𝑦𝑡 e escrever a mesma como uma soma infinita de sinais senoidais Resolução a Na figura que representa o sinal 𝑥𝑡 é possível ver que o período do sinal 𝑇 4 Por simetria em relação ao eixo vertical consideraremos o período completo entre 𝑇 2 𝑡 𝑇 2 então a equação desta função pode ser escrita como 𝑥𝑡 1 𝑡 𝑇1 0 𝑇1 𝑡 𝑇2 Para calcular os coeficientes da série de Fourier usaremos a equação de análise 𝑎𝑘 1 𝑇 𝑥𝑡ⅇ𝑗𝑘𝜔0𝑡 ⅆ𝑡 𝑇 𝜔0 2𝜋 𝑇 2𝜋 4 𝜋 2 𝑟𝑎ⅆ 𝑠 𝑎0 1 𝑇 𝑥𝑡 ⅆ𝑡 𝑇 1 A componente de contínua 𝜔 0 𝑎0 será a função é zero no intervalo entre 𝑇 2e 𝑇1 Sinais e Sistemas Prof Eng Viviana R Zurro MSc Série e transformada de Fourier 2 SS Lista de exercícios 𝑎0 1 𝑇 𝑥𝑡 ⅆ𝑡 𝑇2 𝑇2 1 𝑇 𝑥𝑡 ⅆ𝑡 𝑇1 𝑇1 1 4 1 ⅆ𝑡 1 𝐼 1 4 𝑡 1 1 1 4 1 1 1 2 𝒂𝟎 𝟎 𝟓 𝑎𝑘 1 𝑇 𝑥𝑡ⅇ𝑗𝑘𝜔0𝑡 ⅆ𝑡 𝑇 1 𝑇 𝑥𝑡ⅇ𝑗𝑘𝜋 2𝑡 ⅆ𝑡 𝑇1 𝑇1 𝑎𝑘 1 4 1 ⅇ𝑗𝑘𝜋 2𝑡 ⅆ𝑡 1 1 1 4 1 𝑗𝑘 𝜋 2 ⅇ𝑗𝑘𝜋 2𝑡 1 1 1 𝑗2𝑘𝜋 ⅇ𝑗𝑘𝜋 2𝑡 1 1 𝑎𝑘 1 𝑗2𝑘𝜋 ⅇ𝑗𝑘𝜋 2 ⅇ𝑗𝑘𝜋 2 1 𝑘𝜋 ⅇ𝑗𝑘𝜋 2 ⅇ𝑗𝑘𝜋 2 𝑗2 Usando a equação de Euler para o seno 𝑠ⅇ𝑛𝛼 ⅇ𝑗𝛼 ⅇ𝑗𝛼 2𝑗 2 Sendo 𝛼 𝑘 𝜋 2 𝒂𝒌 𝒔ⅇ𝒏 𝒌 𝝅 𝟐 𝒌𝝅 Nota para calcular usando calculadora não se esqueçam de colocar o ângulo em radianos 𝒌 𝒂𝒌 coeficiente 0 𝑎0 05 1 𝑎1 𝑠ⅇ𝑛 𝜋 2 𝜋 1 𝜋 1 𝑎1 𝑠ⅇ𝑛 𝜋 2 𝜋 1 𝜋 2 𝑎2 𝑠ⅇ𝑛 2𝜋 2 2𝜋 0 2 𝑎2 𝑠ⅇ𝑛 2𝜋 2 2𝜋 0 3 𝑎3 𝑠ⅇ𝑛 3𝜋 2 3𝜋 1 3𝜋 3 𝑎3 𝑠ⅇ𝑛 3𝜋 2 3𝜋 1 3𝜋 4 𝑎4 𝑠ⅇ𝑛 4𝜋 2 4𝜋 0 4 𝑎4 𝑠ⅇ𝑛 4𝜋 2 4𝜋 0 5 𝑎5 𝑠ⅇ𝑛 5𝜋 2 5𝜋 1 5𝜋 Sinais e Sistemas Prof Eng Viviana R Zurro MSc Série e transformada de Fourier 3 SS Lista de exercícios 5 𝑎5 𝑠ⅇ𝑛 5𝜋 2 5𝜋 1 5𝜋 Como podemos observar na tabela a função tem somente coeficientes impares Desta forma aplicando a equação de síntese a função ficaria assim 𝑥𝑡 𝑎𝑘ⅇ𝑗𝑘𝜔0𝑡 𝑘 3 𝑥𝑡 𝑎0 𝑎1ⅇ𝑗𝜋 2𝑡 𝑎1ⅇ𝑗𝜋 2𝑡 𝑎3ⅇ𝑗3𝜋 2 𝑡 𝑎3ⅇ𝑗3𝜋 2 𝑡 𝑎5ⅇ𝑗5𝜋 2 𝑡 𝑎5ⅇ𝑗5𝜋 2 𝑡 𝑎1215ⅇ𝑗1215𝜋 2 𝑡 𝑎1215ⅇ𝑗1215𝜋 2 𝑡 Considerando até a quinta harmônica 𝑥𝑡 05 1 𝜋 ⅇ𝑗𝜋 2𝑡 1 𝜋 ⅇ𝑗𝜋 2𝑡 1 3𝜋 ⅇ𝑗3𝜋 2 𝑡 1 3𝜋 ⅇ𝑗3𝜋 2 𝑡 1 5𝜋 ⅇ𝑗5𝜋 2 𝑡 1 5𝜋 ⅇ𝑗5𝜋 2 𝑡 𝑥𝑡 05 1 𝜋 ⅇ𝑗𝜋 2𝑡 ⅇ𝑗𝜋 2𝑡 1 3𝜋 ⅇ𝑗3𝜋 2 𝑡 ⅇ𝑗3𝜋 2 𝑡 1 5𝜋 ⅇ𝑗5𝜋 2 𝑡 ⅇ𝑗5𝜋 2 𝑡 Usando a equação de Euler para o cosseno 𝑐𝑜𝑠𝛼 ⅇ𝑗𝛼 ⅇ𝑗𝛼 2 4 E multiplicando e dividindo por 2 todos os termos com frequência maior do que zero 𝑥𝑡 05 2 𝜋 ⅇ𝑗𝜋 2𝑡 ⅇ𝑗𝜋 2𝑡 2 2 3𝜋 ⅇ𝑗3𝜋 2 𝑡 ⅇ𝑗3𝜋 2 𝑡 2 2 5𝜋 ⅇ𝑗5𝜋 2 𝑡 ⅇ𝑗5𝜋 2 𝑡 2 𝒙𝒕 𝟎 𝟓 𝟐 𝝅 𝒄𝒐𝒔 𝝅 𝟐 𝒕 𝟐 𝟑𝝅 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝝅 𝟐 𝒕 𝟐 𝟓𝝅 𝒄𝒐𝒔 𝟓𝝅 𝟐 𝒕 O resultado de 𝑥𝑡 é uma soma infinita de cossenos a qual pode ser facilmente verificada na figura que representa a mesma Nesta figura podemos ver que ela é simétrica em relação ao eixo vertical função par função cosseno e está deslocada um valor de 05 para cima do eixo horizontal valor de contínua 𝑎0 05 Sinais e Sistemas Prof Eng Viviana R Zurro MSc Série e transformada de Fourier 4 SS Lista de exercícios b Para calcular 𝑦𝑡 𝑥𝑡 2 𝑥𝑡 2 usaremos duas propriedades da série de Fourier deslocamento no tempo e linearidade Deslocamento no tempo 𝑔𝑡 𝑥𝑡 𝑡0 𝑆𝐹 ⅇ𝑗𝑘𝜔0𝑡0𝑎𝑘 ℎ𝑡 𝑥𝑡 𝑡0 𝑆𝐹 ⅇ𝑗𝑘𝜔0𝑡0𝑎𝑘 Considerando a equação de síntese para 𝑔𝑡 𝑔𝑡 𝑏𝑘ⅇ𝑗𝑘𝜔0𝑡 𝑘 𝑏𝑘 ⅇ𝑗𝑘𝜔0𝑡0𝑎𝑘 ⅇ𝑗𝑘𝜋 22𝑎𝑘 ⅇ𝑗𝑘𝜋𝑎𝑘 𝑏0 𝑎0 05 Considerando a equação de síntese para ℎ𝑡 ℎ𝑡 𝑐𝑘ⅇ𝑗𝑘𝜔0𝑡 𝑘 𝑐𝑘 ⅇ𝑗𝑘𝜔0𝑡0𝑎𝑘 ⅇ𝑗𝑘𝜋 22𝑎𝑘 ⅇ𝑗𝑘𝜋𝑎𝑘 𝑐0 𝑎0 05 Os coeficientes 𝑎𝑘 já foram calculados no item a Linearidade 𝑔𝑡 𝑆𝐹 𝑏𝑘 ℎ𝑡 𝑆𝐹 𝑐𝑘 𝑦𝑡 𝐴𝑔𝑡 𝐵ℎ𝑡 𝑆𝐹 ⅆ𝑘 𝐴𝑏𝑘 𝐵𝑐𝑘 Como 𝐴 𝐵 1 ⅆ𝑘 𝑏𝑘 𝑐𝑘 ⅆ𝑘 𝑏𝑘 𝑐𝑘 ⅇ𝑗𝑘𝜋𝑎𝑘 ⅇ𝑗𝑘𝜋𝑎𝑘 ⅆ𝑘 𝑎𝑘ⅇ𝑗𝑘𝜋 ⅇ𝑗𝑘𝜋 2𝑎𝑘 ⅇ𝑗𝑘𝜋 ⅇ𝑗𝑘𝜋 2 2𝑎𝑘𝑐𝑜𝑠𝑘𝜋 𝒅𝒌 𝟐𝒄𝒐𝒔𝒌𝝅𝒂𝒌 𝒅𝟎 𝒃𝟎 𝒄𝟎 𝟏 Sinais e Sistemas Prof Eng Viviana R Zurro MSc Série e transformada de Fourier 5 SS Lista de exercícios 𝒌 𝒅𝒌 coeficiente 0 ⅆ0 1 1 ⅆ1 2𝑐𝑜𝑠𝜋𝑎1 2 𝜋 1 ⅆ1 2𝑐𝑜𝑠𝜋𝑎1 2 𝜋 2 ⅆ2 2𝑐𝑜𝑠2𝜋𝑎2 0 2 ⅆ2 2𝑐𝑜𝑠2𝜋𝑎2 0 3 ⅆ3 2𝑐𝑜𝑠3𝜋𝑎3 2 3𝜋 3 ⅆ3 2𝑐𝑜𝑠3𝜋𝑎3 2 3𝜋 4 ⅆ4 2𝑐𝑜𝑠4𝜋𝑎4 0 4 ⅆ4 2𝑐𝑜𝑠4𝜋𝑎4 0 5 ⅆ5 2𝑐𝑜𝑠5𝜋ⅆ5 2 5𝜋 5 ⅆ5 2𝑐𝑜𝑠5𝜋ⅆ5 2 5𝜋 Como podemos observar na tabela a função tem somente coeficientes impares Desta forma aplicando a equação de síntese a função ficaria assim 𝑦𝑡 ⅆ𝑘ⅇ𝑗𝑘𝜔0𝑡 𝑘 𝑦𝑡 ⅆ0 ⅆ1ⅇ𝑗𝜋 2𝑡 ⅆ1ⅇ𝑗𝜋 2𝑡 ⅆ3ⅇ𝑗3𝜋 2 𝑡 ⅆ3ⅇ𝑗3𝜋 2 𝑡 ⅆ5ⅇ𝑗5𝜋 2 𝑡 ⅆ5ⅇ𝑗5𝜋 2 𝑡 ⅆ1215ⅇ𝑗1215𝜋 2 𝑡 ⅆ1215ⅇ𝑗1215𝜋 2 𝑡 Considerando até a quinta harmônica 𝑦𝑡 1 2 𝜋 ⅇ𝑗𝜋 2𝑡 2 𝜋 ⅇ𝑗𝜋 2𝑡 2 3𝜋 ⅇ𝑗3𝜋 2 𝑡 2 3𝜋 ⅇ𝑗3𝜋 2 𝑡 2 5𝜋 ⅇ𝑗5𝜋 2 𝑡 2 5𝜋 ⅇ𝑗5𝜋 2 𝑡 𝑦𝑡 1 2 𝜋 ⅇ𝑗𝜋 2𝑡 ⅇ𝑗𝜋 2𝑡 2 3𝜋 ⅇ𝑗3𝜋 2 𝑡 ⅇ𝑗3𝜋 2 𝑡 2 5𝜋 ⅇ𝑗5𝜋 2 𝑡 ⅇ𝑗5𝜋 2 𝑡 Usando a equação de Euler para o cosseno e multiplicando e dividindo por 2 todos os termos com frequência maior do que zero 𝑦𝑡 1 22 𝜋 ⅇ𝑗𝜋 2𝑡 ⅇ𝑗𝜋 2𝑡 2 22 3𝜋 ⅇ𝑗3𝜋 2 𝑡 ⅇ𝑗3𝜋 2 𝑡 2 22 5𝜋 ⅇ𝑗5𝜋 2 𝑡 ⅇ𝑗5𝜋 2 𝑡 2 Sinais e Sistemas Prof Eng Viviana R Zurro MSc Série e transformada de Fourier 6 SS Lista de exercícios 𝒚𝒕 𝟏 𝟒 𝝅 𝒄𝒐𝒔 𝝅 𝟐 𝒕 𝟒 𝟑𝝅 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝝅 𝟐 𝒕 𝟒 𝟓𝝅 𝒄𝒐𝒔 𝟓𝝅 𝟐 𝒕 c Para calcular 𝑦𝑡 𝑥𝑡 1 𝑥𝑡 3 usaremos duas propriedades da série de Fourier deslocamento no tempo e linearidade 𝜔0 𝜋 2 𝑟𝑎ⅆ 𝑠 Deslocamento no tempo 𝑔𝑡 𝑥𝑡 𝑡01 𝑆𝐹 ⅇ𝑗𝑘𝜔0𝑡01𝑎𝑘 ℎ𝑡 𝑥𝑡 𝑡02 𝑆𝐹 ⅇ𝑗𝑘𝜔0𝑡02𝑎𝑘 Considerando a equação de síntese para 𝑔𝑡 𝑔𝑡 𝑏𝑘ⅇ𝑗𝑘𝜔0𝑡 𝑘 𝑏𝑘 ⅇ𝑗𝑘𝜔0𝑡01𝑎𝑘 ⅇ𝑗𝑘𝜋 2𝑎𝑘 𝑏0 𝑎0 05 Considerando a equação de síntese para ℎ𝑡 ℎ𝑡 𝑐𝑘ⅇ𝑗𝑘𝜔0𝑡 𝑘 𝑐𝑘 ⅇ𝑗𝑘𝜔0𝑡02𝑎𝑘 ⅇ𝑗𝑘𝜋 22𝑎𝑘 ⅇ𝑗𝑘𝜋𝑎𝑘 𝑐0 𝑎0 05 Linearidade 𝑦𝑡 𝑏0 𝑐0 𝑏𝑘ⅇ𝑗𝑘𝜔0𝑡 𝑘 𝑐𝑘ⅇ𝑗𝑘𝜔0𝑡 𝑘 Como podemos este é um caso complexo calcularemos cada harmônica por separado 𝐴0 𝑏0 𝑐0 1 𝐴1 𝑏1ⅇ𝑗𝜋 2𝑡 𝑏1ⅇ𝑗𝜋 2𝑡 𝑐1ⅇ𝑗𝜋 2𝑡 𝑐1ⅇ𝑗𝜋 2𝑡 Sinais e Sistemas Prof Eng Viviana R Zurro MSc Série e transformada de Fourier 7 SS Lista de exercícios 𝑏1 ⅇ𝑗𝜋 2𝑎1 ⅇ𝑗𝜋 2 𝜋 𝑏1 ⅇ𝑗𝜋 2𝑎1 ⅇ𝑗𝜋 2 𝜋 𝑐1 ⅇ𝑗𝜋𝑎1 ⅇ𝑗𝜋 𝜋 𝑐1 ⅇ𝑗𝜋𝑎1 ⅇ𝑗𝜋 𝜋 𝐴1 ⅇ𝑗𝜋 2 𝜋 ⅇ𝑗𝜋 2𝑡 ⅇ𝑗𝜋 2 𝜋 ⅇ𝑗𝜋 2𝑡 ⅇ𝑗𝜋 𝜋 ⅇ𝑗𝜋 2𝑡 ⅇ𝑗𝜋 𝜋 ⅇ𝑗𝜋 2𝑡 𝐴1 1 𝜋 ⅇ𝑗𝜋 2ⅇ𝑗𝜋 2𝑡 ⅇ𝑗𝜋 2ⅇ𝑗𝜋 2𝑡 ⅇ𝑗𝜋ⅇ𝑗𝜋 2𝑡 ⅇ𝑗𝜋ⅇ𝑗𝜋 2𝑡 𝐴1 1 𝜋 ⅇ𝑗𝜋 2𝑡𝜋 2 ⅇ𝑗𝜋 2𝑡𝜋 2 ⅇ𝑗𝜋 2𝑡𝜋 ⅇ𝑗𝜋 2𝑡𝜋 Multiplicando e dividindo por 2 para aplicar a equação de Euler dos cossenos 𝐴1 2 𝜋 ⅇ𝑗𝜋 2𝑡𝜋 2 ⅇ𝑗𝜋 2𝑡𝜋 2 2 ⅇ𝑗𝜋 2𝑡𝜋 ⅇ𝑗𝜋 2𝑡𝜋 2 𝐴1 2 𝜋 cos 𝜋 2 𝑡 𝜋 2 𝑐𝑜𝑠 𝜋 2 𝑡 𝜋 Para calcular as outras harmônicas se procede da mesma forma 𝐴3 𝑏3ⅇ𝑗3𝜋 2 𝑡 𝑏3ⅇ𝑗3𝜋 2 𝑡 𝑐3ⅇ𝑗3𝜋 2 𝑡 𝑐3ⅇ𝑗3𝜋 2 𝑡 𝑏3 ⅇ𝑗3𝜋 2 𝑎3 ⅇ𝑗3𝜋 2 3𝜋 𝑏3 ⅇ𝑗3𝜋 2 𝑎3 ⅇ𝑗3𝜋 2 3𝜋 𝑐3 ⅇ𝑗3𝜋𝑎3 ⅇ𝑗3𝜋 3𝜋 𝑐3 ⅇ𝑗3𝜋𝑎3 ⅇ𝑗3𝜋 3𝜋 𝐴3 ⅇ𝑗3𝜋 2 3𝜋 ⅇ𝑗3𝜋 2 𝑡 ⅇ𝑗3𝜋 2 3𝜋 ⅇ𝑗3𝜋 2 𝑡 ⅇ𝑗3𝜋 3𝜋 ⅇ𝑗3𝜋 2 𝑡 ⅇ𝑗3𝜋 3𝜋 ⅇ𝑗3𝜋 2 𝑡 𝐴3 1 3𝜋 ⅇ𝑗3𝜋 2 ⅇ𝑗3𝜋 2 𝑡 ⅇ𝑗3𝜋 2 ⅇ𝑗3𝜋 2 𝑡 ⅇ𝑗3𝜋ⅇ𝑗3𝜋 2 𝑡 ⅇ𝑗3𝜋ⅇ𝑗3𝜋 2 𝑡 𝐴3 1 3𝜋 ⅇ𝑗3𝜋 2 𝑡3𝜋 2 ⅇ𝑗3𝜋 2 𝑡3𝜋 2 ⅇ𝑗3𝜋 2 𝑡3𝜋 ⅇ𝑗3𝜋 2 𝑡3𝜋 Multiplicando e dividindo por 2 para aplicar a equação de Euler dos cossenos 𝐴3 2 3𝜋 ⅇ𝑗3𝜋 2 𝑡3𝜋 2 ⅇ𝑗3𝜋 2 𝑡3𝜋 2 2 ⅇ𝑗3𝜋 2 𝑡3𝜋 ⅇ𝑗3𝜋 2 𝑡3𝜋 2 Sinais e Sistemas Prof Eng Viviana R Zurro MSc Série e transformada de Fourier 8 SS Lista de exercícios 𝐴3 2 3𝜋 cos 3𝜋 2 𝑡 3𝜋 2 𝑐𝑜𝑠 3𝜋 2 𝑡 3𝜋 Similarmente 𝐴5 2 5𝜋 cos 5𝜋 2 𝑡 5𝜋 2 𝑐𝑜𝑠 5𝜋 2 𝑡 5𝜋 𝐴7 2 7𝜋 cos 7𝜋 2 𝑡 7𝜋 2 𝑐𝑜𝑠 7𝜋 2 𝑡 7𝜋 𝐴9 2 9𝜋 cos 9𝜋 2 𝑡 9𝜋 2 𝑐𝑜𝑠 9𝜋 2 𝑡 9𝜋 𝐴11 2 11𝜋 cos 11𝜋 2 𝑡 11𝜋 2 𝑐𝑜𝑠 11𝜋 2 𝑡 11𝜋 E assim por diante Então 𝒚𝒕 𝑨𝟎 𝑨𝟏 𝑨𝟐 𝑨𝟑 𝑨𝒏 𝒏𝟎 2 Para o seguinte sinal obtenha os coeficientes de Fourier 𝑥𝑡 𝑡0 𝑥𝑡 𝑡0 Resolução Como 𝑥𝑡 𝑡0 é periódica com período 𝑇 os coeficientes da série de Fourier 𝑏𝑘 são 𝑏𝑘 1 𝑇 𝑥𝑡 𝑡0ⅇ𝑗𝑘2𝜋𝑇𝑡 ⅆ𝑡 𝑇 ⅇ𝑗𝑘2𝜋𝑇𝑡0 𝑇 𝑥𝜏ⅇ𝑗𝑘2𝜋𝑇𝜏 ⅆ𝜏 𝑇 Como 𝑎𝑘 1 𝑇 𝑥𝑡ⅇ𝑗𝑘2𝜋𝑇𝑡 ⅆ𝑡 𝑇 𝑏𝑘 ⅇ𝑗𝑘2𝜋𝑇𝑡0𝑎𝑘 Como 𝑥𝑡 𝑡0 é periódica com período 𝑇 os coeficientes da série de Fourier 𝑐𝑘 são 𝑐𝑘 1 𝑇 𝑥𝑡 𝑡0ⅇ𝑗𝑘2𝜋𝑇𝑡 ⅆ𝑡 𝑇 ⅇ𝑗𝑘2𝜋𝑇𝑡0 𝑇 𝑥𝜏ⅇ𝑗𝑘2𝜋𝑇𝜏 ⅆ𝜏 𝑇 Como 𝑎𝑘 1 𝑇 𝑥𝑡ⅇ𝑗𝑘2𝜋𝑇𝑡 ⅆ𝑡 𝑇 𝑐𝑘 ⅇ𝑗𝑘2𝜋𝑇𝑡0𝑎𝑘 Sinais e Sistemas Prof Eng Viviana R Zurro MSc Série e transformada de Fourier 9 SS Lista de exercícios Finalmente os coeficientes de Fourier da função serão 𝒅𝒌 𝒃𝒌 𝒄𝒌 ⅇ𝒋𝒌𝟐𝝅𝑻𝒕𝟎𝒂𝒌 ⅇ𝒋𝒌𝟐𝝅𝑻𝒕𝟎𝒂𝒌 𝒅𝒌 𝟐𝐜𝐨𝐬 𝒌𝟐𝝅𝒕𝟎 𝑻𝒂𝒌 3 Os coeficientes diferentes de Fourier diferentes de zero de uma determinada função são 𝑎1 𝑎𝑙 𝑗 𝑎5 𝑎5 2 e o período da mesma é 𝑇 8 Encontre 𝑥𝑡 Resolução 𝑥𝑡 𝑎1ⅇ𝑗2𝜋𝑇𝑡 𝑎1ⅇ𝑗2𝜋𝑇𝑡 𝑎5ⅇ𝑗52𝜋𝑇𝑡 𝑎5ⅇ𝑗52𝜋𝑇𝑡 𝑗ⅇ𝑗2𝜋8𝑡 𝑗ⅇ𝑗2𝜋8𝑡 2ⅇ𝑗52𝜋8𝑡 2ⅇ𝑗52𝜋8𝑡 𝑗ⅇ𝑗𝜋4𝑡 ⅇ𝑗𝜋4𝑡 2ⅇ𝑗5𝜋4𝑡 ⅇ𝑗5𝜋4𝑡 Trabalhando com a equação de Euler 𝒙𝒕 𝟐𝒔𝒆𝒏 𝝅 𝟒 𝒕 𝟒𝒄𝒐𝒔 𝟓𝝅 𝟒 𝒕 Transformada de Fourier Par de transformadas Tempo contínuo Tempo discreto Equação de Análise 𝑋𝑗𝜔 𝑥𝑡ⅇ𝑗𝜔𝑡 ⅆ𝑡 𝑋ⅇ𝑗𝜔 𝑥𝑛ⅇ𝑗𝜔𝑛 𝑛 Equação de Síntese 𝑥𝑡 1 2𝜋 𝑋𝑗𝜔ⅇ𝑗𝜔𝑡 ⅆ𝑡 𝑥𝑛 1 2𝜋 𝑋ⅇ𝑗𝜔ⅇ𝑗𝜔𝑛 ⅆ𝜔 2𝜋 4 Livro texto problema 421 g Para o sinal 𝑥𝑡 mostrado na figura calcular a transformada de Fourier Sinais e Sistemas Prof Eng Viviana R Zurro MSc Série e transformada de Fourier 10 SS Lista de exercícios Resolução Como podemos ver na figura este sinal não é periódico e existe somente entre 2 𝑡 2 𝑥𝑡 0 𝑡 2 1 2 𝑡 1 𝑡 1 𝑡 1 1 1 𝑡 2 0 𝑡 2 Para calcular a transformada de Fourier deste sinal usaremos a equação de análise para tempo contínuo 𝑋𝑗𝜔 𝑥𝑡ⅇ𝑗𝜔𝑡 ⅆ𝑡 5 Como o sinal está bem definido no intervalo 2 𝑡 2 e fora do intervalo é igual a zero para calcular a transformada iremos integrar por partes 𝑋𝑗𝜔 1 ⅇ𝑗𝜔𝑡 ⅆ𝑡 1 2 𝑡 ⅇ𝑗𝜔𝑡 ⅆ𝑡 1 1 1 ⅇ𝑗𝜔𝑡 ⅆ𝑡 2 1 6 𝑋𝑗𝜔 𝑋1𝑗𝜔 𝑋2𝑗𝜔 𝑋3𝑗𝜔 7 𝑋1𝑗𝜔 ⅇ𝑗𝜔𝑡 ⅆ𝑡 1 2 𝑋2𝑗𝜔 𝑡ⅇ𝑗𝜔𝑡 ⅆ𝑡 1 1 𝑋3𝑗𝜔 ⅇ𝑗𝜔𝑡 ⅆ𝑡 2 1 Resolvendo as integrais parciais 𝑋1𝑗𝜔 ⅇ𝑗𝜔𝑡 ⅆ𝑡 1 2 1 𝑗𝜔 ⅇ𝑗𝜔𝑡 2 1 1 𝑗𝜔 ⅇ𝑗𝜔 ⅇ𝑗2𝜔 Sinais e Sistemas Prof Eng Viviana R Zurro MSc Série e transformada de Fourier 11 SS Lista de exercícios 𝑋3𝑗𝜔 ⅇ𝑗𝜔𝑡 ⅆ𝑡 2 1 1 𝑗𝜔 ⅇ𝑗𝜔𝑡 1 2 1 𝑗𝜔 ⅇ𝑗2𝜔 ⅇ𝑗𝜔 1 𝑗𝜔 ⅇ𝑗𝜔 ⅇ𝑗2𝜔 𝑋1𝑗𝜔 𝑋3𝑗𝜔 1 𝑗𝜔 ⅇ𝑗𝜔 ⅇ𝑗2𝜔 1 𝑗𝜔 ⅇ𝑗𝜔 ⅇ𝑗2𝜔 𝑋1𝑗𝜔 𝑋3𝑗𝜔 1 𝑗𝜔 ⅇ𝑗𝜔 ⅇ𝑗𝜔 ⅇ𝑗2𝜔 ⅇ𝑗2𝜔 Usando a equação e Euler para o cosseno 𝑋1𝑗𝜔 𝑋3𝑗𝜔 2 𝑗𝜔 ⅇ𝑗𝜔 ⅇ𝑗𝜔 2 ⅇ𝑗2𝜔 ⅇ𝑗2𝜔 2 𝑋1𝑗𝜔 𝑋3𝑗𝜔 2 𝑗𝜔 𝑐𝑜𝑠 𝜔 𝑐𝑜𝑠 2𝜔 Por propriedades dos números complexos 1 𝑗 𝑗 𝑋1𝑗𝜔 𝑋3𝑗𝜔 2 𝑗𝜔 𝑐𝑜𝑠 𝜔 𝑐𝑜𝑠 2𝜔 2𝑗 𝜔 𝑐𝑜𝑠 𝜔 𝑐𝑜𝑠 2𝜔 Portanto 𝑋1𝑗𝜔 𝑋3𝑗𝜔 2𝑗 𝜔 𝑐𝑜𝑠 2𝜔 𝑐𝑜𝑠 𝜔 8 Para resolver 𝑋2𝑗𝜔 usaremos a tabela para cálculo de integrais com exponenciais 𝑋2𝑗𝜔 𝑡ⅇ𝑗𝜔𝑡 ⅆ𝑡 1 1 ⅇ𝑗𝜔𝑡 𝑗𝜔2 𝑗𝜔𝑡 1 1 1 ⅇ𝑗𝜔𝑡 𝜔2 𝑗𝜔𝑡 1 1 1 𝑋2𝑗𝜔 ⅇ𝑗𝜔𝑡 𝜔2 𝑗𝜔𝑡 1 1 1 1 𝜔2 ⅇ𝑗𝜔𝑗𝜔 1 ⅇ𝑗𝜔𝑗𝜔 1 𝑋2𝑗𝜔 1 𝜔2 𝑗𝜔ⅇ𝑗𝜔 ⅇ𝑗𝜔 𝑗𝜔ⅇ𝑗𝜔 ⅇ𝑗𝜔 𝑋2𝑗𝜔 𝑗𝜔 𝜔2 ⅇ𝑗𝜔 ⅇ𝑗𝜔 1 𝜔2 ⅇ𝑗𝜔 ⅇ𝑗𝜔 Usando a equação e Euler para seno e cosseno 𝑋2𝑗𝜔 2 𝑗𝜔 𝜔2 ⅇ𝑗𝜔 ⅇ𝑗𝜔 2 2𝑗 𝜔2 ⅇ𝑗𝜔 ⅇ𝑗𝜔 2𝑗 Sinais e Sistemas Prof Eng Viviana R Zurro MSc Série e transformada de Fourier 12 SS Lista de exercícios 𝑋2𝑗𝜔 2𝑗 𝜔 𝑐𝑜𝑠 𝜔 2𝑗 𝜔 𝑠ⅇ𝑛 𝜔 𝜔 9 Somando as equações 4 e 5 𝑋𝑗𝜔 𝑋1𝑗𝜔 𝑋2𝑗𝜔 𝑋3𝑗𝜔 2𝑗 𝜔 𝑐𝑜𝑠 2𝜔 𝑐𝑜𝑠 𝜔 2𝑗 𝜔 𝑐𝑜𝑠 𝜔 2𝑗 𝜔 𝑠ⅇ𝑛 𝜔 𝜔 𝑋𝑗𝜔 2𝑗 𝜔 𝑐𝑜𝑠 2𝜔 2𝑗 𝜔 𝑐𝑜𝑠 𝜔 2𝑗 𝜔 𝑐𝑜𝑠 𝜔 2𝑗 𝜔 𝑠ⅇ𝑛 𝜔 𝜔 𝑿𝒋𝝎 𝟐𝒋 𝝎 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝝎 𝒔𝒆𝒏 𝝎 𝝎 5 Livro texto problema 529 a Um determinado sistema tem uma resposta ao impulso ℎ𝑛 Ao colocarmos um sinal de entrada 𝑥𝑛 a saída do mesmo será 𝑦𝑛 Calcular 𝑦𝑛 aplicando transformada de Fourier 𝑥𝑛 3 4 𝑛 𝑢𝑛 ℎ𝑛 1 2 𝑛 𝑢𝑛 Resolução Para calcular a transformada de Fourier dos sinais usaremos a equação de análise 𝑋ⅇ𝑗𝜔 𝑥𝑛ⅇ𝑗𝜔𝑛 𝑛 10 𝑌ⅇ𝑗𝜔 𝑋ⅇ𝑗𝜔𝐻ⅇ𝑗𝜔 11 Como a função 𝑢𝑛 degrau unitário indica que ℎ𝑛 e 𝑥𝑛 são iguais a zero para 𝑛 0a equação 10 será calculada a partir de 𝑛 0 𝑋ⅇ𝑗𝜔 3 4 𝑛 𝑢𝑛ⅇ𝑗𝜔𝑛 𝑛 3 4 𝑛 ⅇ𝑗𝜔𝑛 𝑛0 Aplicando propriedades da progressão geométrica 𝑆 𝛼𝑞𝑛 𝑛0 𝛼 1 𝑞 𝑋ⅇ𝑗𝜔 3 4 ⅇ𝑗𝜔 𝑛 𝑛0 Sinais e Sistemas Prof Eng Viviana R Zurro MSc Série e transformada de Fourier 13 SS Lista de exercícios Neste caso 𝛼 1 e 𝑞 3 4 ⅇ𝑗𝜔 𝑋ⅇ𝑗𝜔 1 1 3 4 ⅇ𝑗𝜔 Procedese da mesma forma para calcular 𝐻ⅇ𝑗𝜔 𝐻ⅇ𝑗𝜔 1 2 𝑛 𝑢𝑛ⅇ𝑗𝜔𝑛 𝑛 1 2 𝑛 ⅇ𝑗𝜔𝑛 𝑛0 𝐻ⅇ𝑗𝜔 1 2 ⅇ𝑗𝜔 𝑛 𝑛0 𝐻ⅇ𝑗𝜔 1 1 1 2 ⅇ𝑗𝜔 Então 𝑌ⅇ𝑗𝜔 1 1 3 4 ⅇ𝑗𝜔 1 1 1 2 ⅇ𝑗𝜔 Usando o método das frações parciais 𝑌ⅇ𝑗𝜔 1 1 3 4 ⅇ𝑗𝜔1 1 2 ⅇ𝑗𝜔 𝐴 1 3 4 ⅇ𝑗𝜔 𝐵 1 1 2 ⅇ𝑗𝜔 𝑌ⅇ𝑗𝜔 1 1 3 4 ⅇ𝑗𝜔1 1 2 ⅇ𝑗𝜔 𝐴 1 1 2 ⅇ𝑗𝜔 𝐵 1 3 4 ⅇ𝑗𝜔 1 3 4 ⅇ𝑗𝜔 1 1 2 ⅇ𝑗𝜔 Portanto 𝐴 1 1 2 ⅇ𝑗𝜔 𝐵 1 3 4 ⅇ𝑗𝜔 1 𝐴 𝐴 1 2 ⅇ𝑗𝜔 𝐵 𝐵 3 4 ⅇ𝑗𝜔 1 Como do lado esquerdo da equação ⅇ𝑗𝜔 não existe 𝐴 𝐵 1 12 𝐴 1 2 ⅇ𝑗𝜔 𝐵 3 4 ⅇ𝑗𝜔 0 13 Sinais e Sistemas Prof Eng Viviana R Zurro MSc Série e transformada de Fourier 14 SS Lista de exercícios Trabalhando com a equação 13 𝐴 1 2 𝐵 3 4 Resolvendo o sistema de equações 8 e 9 𝐴 3 𝐵 2 𝑌ⅇ𝑗𝜔 3 1 3 4 ⅇ𝑗𝜔 2 1 1 2 ⅇ𝑗𝜔 Aplicando transformada inversa 𝒚𝒏 𝟑 𝟑 𝟒 𝒏 𝒖𝒏 𝟐 𝟏 𝟐 𝒏 𝒖𝒏 6 Calcule a transformada de Fourier do seguinte sinal 𝑥𝑡 ⅇ𝛼𝑡 cos𝜔0𝑡𝑢𝑡 𝛼 0 Resolução cos𝜔0𝑡 ⅇ𝑗𝜔0𝑡 ⅇ𝑗𝜔0𝑡 2 ⅇ𝑗𝜔0𝑡 2 ⅇ𝑗𝜔0𝑡 2 𝑥𝑡 ⅇ𝛼𝑡 ⅇ𝑗𝜔0𝑡 2 𝑢𝑡 ⅇ𝛼𝑡 ⅇ𝑗𝜔0𝑡 2 𝑢𝑡 ⅇ𝑗𝜔0𝛼𝑡 2 𝑢𝑡 ⅇ𝑗𝜔0𝛼𝑡 2 𝑢𝑡 𝑥𝑡 ⅇ𝑗𝜔0𝛼𝑡 2 𝑢𝑡 ⅇ𝑗𝜔0𝛼𝑡 2 𝑢𝑡 𝑋𝑗𝜔 𝑥𝑡ⅇ𝑗𝜔𝑡 ⅆ𝑡 ⅇ𝑗𝜔0𝛼𝑡 2 ⅇ𝑗𝜔𝑡 ⅆ𝑡 0 ⅇ𝑗𝜔0𝛼𝑡 2 ⅇ𝑗𝜔𝑡 ⅆ𝑡 0 𝑋𝑗𝜔 ⅇ𝑗𝜔0𝛼𝑗𝜔𝑡 2 ⅆ𝑡 0 ⅇ𝑗𝜔0𝛼𝑗𝜔𝑡 2 ⅆ𝑡 0 𝑋𝑗𝜔 ⅇ𝑗𝜔0𝛼𝑗𝜔𝑡 2 ⅆ𝑡 0 ⅇ𝑗𝜔0𝛼𝑗𝜔𝑡 2 ⅆ𝑡 0 𝑋𝑗𝜔 1 2 1 𝑗𝜔0 𝛼 𝑗𝜔 ⅇ𝑗𝜔0𝛼𝑗𝜔𝑡0 1 𝑗𝜔0 𝛼 𝑗𝜔 ⅇ𝑗𝜔0𝛼𝑗𝜔𝑡0 Sinais e Sistemas Prof Eng Viviana R Zurro MSc Série e transformada de Fourier 15 SS Lista de exercícios 𝑋𝑗𝜔 1 2 ⅇ ⅇ0 𝑗𝜔0 𝛼 𝑗𝜔 ⅇ ⅇ0 𝑗𝜔0 𝛼 𝑗𝜔 𝑋𝑗𝜔 1 2 0 1 𝑗𝜔0 𝛼 𝑗𝜔 0 1 𝑗𝜔0 𝛼 𝑗𝜔 𝑋𝑗𝜔 1 2 1 𝑗𝜔0 𝛼 𝑗𝜔 1 𝑗𝜔0 𝛼 𝑗𝜔 𝑋𝑗𝜔 1 2𝑗𝜔0 𝛼 𝑗𝜔 1 2𝑗𝜔0 𝛼 𝑗𝜔 𝑿𝒋𝝎 𝟏 𝟐𝜶 𝒋𝝎 𝝎𝟎 𝟏 𝟐𝜶 𝒋𝝎 𝝎𝟎 7 Calcule a transformada de Fourier dos seguintes sinais a 𝑥𝑛 𝑢𝑛 2 𝑢𝑛 6 b 𝑥𝑛 2𝑛𝑠ⅇ𝑛 𝜋 4 𝑛 𝑢𝑛 Resolução a O sinal pode ser definido da seguinte maneira 𝑥𝑛 𝑢𝑛 2 𝑢𝑛 6 𝛿𝑛 2 𝛿𝑛 3 𝛿𝑛 4 𝛿𝑛 5 𝛿𝑛 6 Como 𝑋ⅇ𝑗𝜔 𝑥𝑛ⅇ𝑗𝜔𝑛 𝑛 𝑿ⅇ𝒋𝝎 𝜹𝒏ⅇ𝒋𝝎𝒏 𝟔 𝒏𝟐 ⅇ𝟐𝒋𝝎 ⅇ𝟑𝒋𝝎 ⅇ𝟒𝒋𝝎 ⅇ𝟓𝒋𝝎 ⅇ𝟔𝒋𝝎 b 𝑥𝑛 2𝑛𝑠ⅇ𝑛 𝜋 4 𝑛 𝑢𝑛 Usando a equação de análise 𝑋ⅇ𝑗𝜔 𝑥𝑛ⅇ𝑗𝜔𝑛 𝑛 2𝑛𝑠ⅇ𝑛 𝜋 4 𝑛 ⅇ𝑗𝜔𝑛 𝑛 𝑛 2𝑛𝑠ⅇ𝑛 𝜋 4 𝑛 ⅇ𝑗𝜔𝑛 𝑛0 Sinais e Sistemas Prof Eng Viviana R Zurro MSc Série e transformada de Fourier 16 SS Lista de exercícios Trabalhando com a equação de Euler 𝑠ⅇ𝑛𝛼 ⅇ𝑗𝛼 ⅇ𝑗𝛼 2𝑗 𝑠ⅇ𝑛 𝜋 4 𝑛 ⅇ𝑗𝑛𝜋4 ⅇ𝑗𝑛𝜋4 2𝑗 𝑋ⅇ𝑗𝜔 1 2𝑗 2𝑛ⅇ𝑗𝑛𝜋4 2𝑛ⅇ𝑗𝑛𝜋4ⅇ𝑗𝜔𝑛 𝑛0 𝑋ⅇ𝑗𝜔 1 2𝑗 2𝑛ⅇ𝑗𝑛𝜋4ⅇ𝑗𝜔𝑛 2𝑛ⅇ𝑗𝑛𝜋4ⅇ𝑗𝜔𝑛 𝑛0 𝑿ⅇ𝒋𝝎 𝟏 𝟐𝒋 𝟏 𝟏 𝟏 𝟐 ⅇ 𝒋𝝅 𝟒 ⅇ𝒋𝝎 𝟏 𝟏 𝟏 𝟐 ⅇ𝒋𝝅 𝟒 ⅇ𝒋𝝎 Referências OPPENHEIM A V WILLSKY A S Sinais e Sistemas 2a ed São Paulo Pearson Education do Brasil 2010