Transformada de Fourier no SciLab - Guia Prático com Exercícios Resolvidos

Transformada de Fourier com o SciLab 2018 Transformada de Fourier com o SciLab CHARLES WAY HUN FUNG Transformada de Fourier com o SciLab 1 Eng Charles Way Hun Fung MSc Sumário A Transformada Rápida de Fourier Fast Fourier Transform FFT 2 Exercícios 4 Resolução para o sinal a 4 Resolução para o sinal b 6 Convolução com fft 8 Referências 10 Transformada de Fourier com o SciLab 2 Eng Charles Way Hun Fung MSc A Transformada Rápida de Fourier Fast Fourier Transform FFT A FFT é um algoritmo mais rápido para o cálculo da transformada discreta de Fourier DFT e sua inversa estes algoritmos são muito usados por ferramentas matemáticas como o Scilab por serem mais eficientes e demandarem um menor custo computacional Para utilizar esta função no Scilab devese seguir a seguinte sintaxe do comando fftvetor Onde vetor é um vetor real ou complexo Para exemplificar o uso deste comando faremos a fft do sinal Aplicando a fft teremos Plotando os gráficos no domínio espacial e no domínio da frequência Figura 1 Sinal e seu espectro de Fourier Para recuperar o sinal original devese aplicar a transformada inversa Transformada de Fourier com o SciLab 3 Eng Charles Way Hun Fung MSc Figura 2 Resultado da transformada inversa Perceba que o sinal recuperado é igual a representação do sinal em domínio espacial O resultado da transformada de Fourier é complexo no qual a magnitude representa o espectro de Fourier e a fase é a parte complexa do resultado Para separar estas duas partes deve se utilizar os comandos Ou podese usar Lembrando que o ângulo de fase é como demonstrado no comando o arco tangente entre a parte real e a imaginária do sinal Estes dois valores podem ser plotados resultando em Figura 3 Fase e magnitude do sinal Transformada de Fourier com o SciLab 4 Eng Charles Way Hun Fung MSc Exercícios a 𝑦𝑡 cos2𝜋𝑛 3 cos 𝜋𝑛 3 2𝑠𝑒𝑛 3𝑛 𝜋 4 b 𝑦𝑡 𝑢𝑛 𝑢𝑛 5 Resolução para o sinal a Para fazer a transformada de Fourier do primeiro exemplo devese definir n Aplicar na equação em a Plotar a equação Figura 4 Gráfico do sinal proposto em a Aplicando a transformada de Fourier Transformada de Fourier com o SciLab 5 Eng Charles Way Hun Fung MSc Figura 5 Transformada de Fourier do sinal a Para melhorar a visualização do espectro será colocado a componente zero no meio do gráfico usando o comando fftshift fftshift Reorganiza um vetor movendo a frequência zero para o meio do espectro yfftshiftx Onde x é o sinal a ser reorganizado Exemplo Transformada de Fourier com o SciLab 6 Eng Charles Way Hun Fung MSc Figura 6 Transformada de Fourier do sinal a com o vetor reorganizado Importante Lembrar que o uso do fftshift é apenas para mostrar o sinal reorganizado porém a forma correta do sinal é o sinal sem o uso do shift Em seguida será calculada a fase e magnitude do sinal Figura 7 Fase e magnitude do sinal a Resolução para o sinal b Sinal b 𝑦𝑡 𝑢𝑛 𝑢𝑛 5 Transformada de Fourier com o SciLab 7 Eng Charles Way Hun Fung MSc Implementando o sinal no Scilab iremos tratar este sinal como discreto Figura 8 Sinal b Aplicando a fft para o sinal b Plotando a fft do sinal Figura 9 fft do sinal b Para melhorar a visualização do espectro do sinal será aplicada a função fftshift Transformada de Fourier com o SciLab 8 Eng Charles Way Hun Fung MSc Figura 10 fft do sinal b com o vetor reorganizado e limites reconfigurados A seguir o cálculo do ângulo e fase do sinal Figura 11 Fase e magnitude do sinal b Convolução com fft A resposta de um sinal a um sistema é calculada através da convolução do sinal xt de entrada pela resposta ao impulso ht 𝑦𝑡 𝑥𝑡 ℎ𝑡 Porém quando fazemos este mesmo sinal no domínio da frequência resulta no seguinte sinal 𝑌𝑗𝜔 𝑋𝑗𝜔 𝐻𝑗𝜔 Transformada de Fourier com o SciLab 9 Eng Charles Way Hun Fung MSc A convolução no tempo corresponde a multiplicação no domínio da frequência Para comprovar este problema vamos usar um exemplo numérico no Scilab Suponha um pulso unitário descrito por Considerando xt e ht como o sinal em ret realizaremos a convolução Em seguida aplicaremos a transformada de Fourier em ret Como a convolução no tempo é uma multiplicação no domínio da frequência teremos Fazendo a inversa da transformada em RES teremos Transformada de Fourier com o SciLab 10 Eng Charles Way Hun Fung MSc Referências 1 F Frederico F Campos Fundamentos de SCILAB Belo Horizonte UFMG 2010 2 A S W Alan V Oppenheim Sinais e sistemas São Paulo Pearson 2010