Exercícios Resolvidos de Cálculo - Equações Diferenciais e Derivadas

O estudo de equações diferenciais é um assunto que fecha o ciclo de estudos de derivadas e integral O resultado de uma equação diferencial é uma família de funções que não contém derivadas diferenciais e que satisfaz a equação dada Então para a equação diferencial 2y y 1 ou seja o dobro da derivada primeira somada com a própria função é igual a 1 classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas y 2x 1 y 2x 1 y e 1 y e 1 Marque a opção que apresenta a sequência correta de pertencimento dos parênteses a cima para baixo A FFVF B VFVF C VVFV D FVFV Uma maneira eficiente de encontrar a reta tangente a uma função em um determinado ponto é utilizando a derivada Como proposto por Leibniz ao realizar a derivada de uma função em um determinado ponto encontramos o coeficiente angular da reta tangente naquele ponto Sendo assim assinale a alternativa CORRETA que apresenta a reta tangente da função fx x³ 2x 1 no ponto 10 A y x1 B y x1 C y x 1 D y x 1 8 A derivada de uma função em seu conceito mais teórico é dada pela razão entre a variação da função ao longo da variável dependente quando a variável independente sofre uma pequena variação Desta forma a importância da derivada de uma função reside na capacidade de 9 ysin3x² y cos3x² 3x² y 6x cos 3x² ylnx² y 1x² x² y 2xx² y 2x ytanx² y sec²x² x² y 2x sec²x² y12x³³ y 3 12x² 12x y 3 2 12x² y 6 12x² 1 D gx12x44sin2x 2 A g415 3 B VFVF 4 A Somente a opção III está correta 5 C Somente a opção I está correta 6 A I apenas 7 B yx1 8 A ft3t26t1 9 DFVFV CORRETO SERIA FFFV 10 A Somente a opção I está correta 1 A derivada é a medida da decitividade de uma reta tangente a cada ponto da função de onde surgiu ela também é uma função que fornece valores relativos de muita utilidade O ângulo da reta tangente ao ponto da curva inicial pode ser encontrado através da derivada pois a derivada fornece o valor da tangente deste ângulo Em outros momentos é fundamental realizar a derivada de uma função mais vezes Desta forma sendo a função gx sen2x 2x2 assinale a alternativa que apresenta a derivada segunda desta função A gx 12x4 sen2x B gx 12x4 2sen2x C gx 12x4 2sen2x D gx 12x4 4sen2x Formulário Cálculo Diferencial e Integral MAD Paulo Clique para baixar o anexo da questão Ativar o Windows Acesse Configurações para ativar o Windows 18C Nublado POR 19102023 1925 PIR2 10 No cálculo a derivada em um ponto de uma função yfx representa a taxa de variação instantânea de y em relação a x neste ponto Um exemplo típico é a função velocidade que representa a taxa de variação derivada da função espaço Seja a derivada do produto entre fx 2x21 e gx 2x analise as possibilidades I 6x28x1 II 6x28x1 III 6x28x1 IV 6x28x1 V 6x28x1 Assinale a alternativa CORRETA A Somente a opção I está correta B Somente a opção II está correta C Somente a opção III está correta D Somente a opção IV está correta Para finalizar a avaliação é necessário responder todas as questões Ativar o Windows Acesse Configurações para ativar o Windows 18C Nublado POR 19102023 1928 PIR2 A derivada de uma função em seu conceito mais teórico é dada pela razão entre a variação da função ao longo da variável dependente quando a variável independente sofre uma pequena variação Desta forma a importância da derivada de uma função reside na capacidade de fornecer informações cruciais sobre o seu comportamento local e global Assim sendo seja a função ft t³ 3t² t assinale a alternativa CORRETA que apresenta a sua derivada A ft 3t² 6t 1 B ft 6t 6 C ft 3t² 6 D ft 3t² 6t t A primeira condição para termos a derivada da função inversa é que ela seja bijetora Para determinar ela podemos simplesmente encontrar a função inversa de derivar ou aplicar o Teorema da Derivada da Função Inversa que em uma de suas partes diz que gy 1fx a derivada da função inversa aplicada em um ponto y equivale ao inverso da derivada da função aplicada no x correspondente ao y Este teorema pode ser aplicado de uma maneira muito interessante quando temos um ponto específico e a inversa da função é complicada de deduzir O procedimento é simples basta encontrar para um ponto y a sua correspondência na função caso não seja dada determinar a derivada da função aplicar o teorema da função inversa e obter o resultado com base no ponto dado Sendo assim determine a derivada da função inversa fx x³ 2x 1 no ponto 1 4 e assinale a alternativa CORRETA A g4 15 B g4 12 C g4 14 D g4 13 Uma das fórmulas fundamentais para derivadas é a regra da cadeia Desenvolvida por Gottfried Leibniz a regra da cadeia é aplicável quando temos uma situação em que a função aparece como uma função composta de duas funções Sendo assim considerando o uso adequado da regra da cadeia classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas y sin3x² implica em y 6x sin3x y ln1x² implica em y 2x y tanx² implica em y sec²x² y 612xx Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA A F F V F B V F F V C V V V F D F V F V As operações inversas adição e subtração multiplicação e divisão potenciação e radiciação exponenciação e logaritmação já são bastante conhecidas A integração indefinida é basicamente a operação inversa da diferenciação Assim dada a derivada de uma função o processo que consiste em achar a função que a originou ou seja achar a sua primitiva denominase de antiderivação Baseado nisto analise as opções que apresentam fx sendo que fx x³ x 2 para todo x e f1 ₂ e assinale a alternativa CORRETA A I apenas B IV apenas C II apenas D III apenas No cálculo a derivada em um ponto de uma função y fx representa a taxa de variação instantânea de y em relação a x neste ponto Um exemplo típico é a função velocidade que representa a taxa de variação derivada da função espaço Seja a derivada do produto entre fx 2x² 3 e gx 2x 1 analise as possibilidades I 12x² 4x 6 II 12x² 4x 6 III 12x² 4x 6 Assinale a alternativa CORRETA A Somente a opção III está correta B Somente a opção IV está correta C Somente a opção está correta D somente a opção I está correta No cálculo a derivada em um ponto de uma função y fx representa a taxa de variação instantânea de y em relação a x neste ponto Um exemplo típico é a função velocidade que representa a taxa de variação derivada da função espaço Seja a derivada do produto entre fx 4 x analise as possibilidades I 3x² 8x 2 II 3x² 8x 2 III 3x² 8x 2 Assinale a alternativa CORRETA A Somente a opção II está correta B Somente a opção II está correta C Somente a opção está correta D Somente a opção V está correta