Matemática

Uma das aplicações clássicas dentro da análise de integração é o cálculo de área Neste sentido leia a questão a seguir Abaixo temos o gráfico de uma região limitada pelas funções fx x² x 6 e fx x 3 de x 0 até x 3 Assinale a alternativa CORRETA A área da região pintada é I 20 II 18 III 203 IV 154 A construção da Usina Hidrelétrica de Itaipu no rio Paraná na fronteira entre o Brasil e o Paraguai iniciouse na década de 1970 mais precisamente em janeiro de 1975 Nesta época não existiam ferramentas computacionais para representar os desenhos referentes à planta de construção da usina e nem para realizar cálculos com tamanha exatidão e rapidez Na época a importância dos matemáticos era grande e foi necessária a atuação de um deles para a determinação do comprimento correto da barragem da usina Sabese geometricamente através do desenho da planta da usina constatou que a função matemática que mais se aproximava da curva representativa da barragem da Usina era fx ln cos x em que fx é dado em km Com base nessas informações qual das alternativas representa o valor provável do comprimento da barragem da usina sabendose que o valor de x da função fx varia de pi6 a pi4 A 06640 km B 03320 km C 08813 km D 05493 km Próxima Uma das aplicações do conceito de integração é o cálculo da área entre curvas Este procedimento permite que sejam calculadas áreas que antes com a utilização da geometria clássica eram inacessíveis Sendo assim determine a área entre as curvas y x² e y x I A área entre as curvas é 13 II A área entre as curvas é 12 III A área entre as curvas é 16 IV A área entre as curvas é 14 Assinale a alternativa CORRETA A Somente a opção IV está correta B Somente a opção III está correta C Somente a opção II está correta D Somente a opção I está correta Anterior Próxima No cálculo a integral de uma função foi criada originalmente para determinar a área sob uma curva no plano cartesiano e também surge naturalmente em dezenas de problemas de Física Resolva a questão a seguir Calcule a área da região limitada pela curva y cos x pelo eixo x e pelas retas x0 e xπ2 I 1 II 12 III 2I IV 14 Assinale a alternativa CORRETA A Somente a opção I está correta B Somente a opção III está correta C Somente a opção IV está correta D Somente a opção II está correta Anterior Com relação ao conceito de integral existem várias aplicações que podemos destacar principalmente na área das engenharias A relação entre as derivadas e integrais tornouse uma das ferramentas mais poderosas para analisar diversos fenômenos O primeiro passo para se construir o conceito de integral é estudar alguns critérios de cálculo Resolva a integral indefinida a seguir x³ 5x² 4x 1 dx Informe a resposta aqui 0 de 4000 caracteres Atenção o campo abaixo é reservado para o anexo de sua resposta Solte arquivos aqui cole ou navegue O domínio é um termo utilizado na matemática no estudo de funções O domínio de uma função F de um conjunto A até um elemento de um conjunto B é definido como o subconjunto de todos os elementos de A que a função leva até um elemento de B Sendo assim descreva o domínio da função de duas variáveis a seguir fxy 3x 3y 2x 4y Atenção o campo abaixo é reservado para o anexo de sua resposta Solte arquivos aqui cole ou navegue Formulário Equações Diferenciais Saulo Clique para baixar o anexo da questão Anterior Lista de Exercícios Cálculo Questão 1 Se f é uma função contínua em a b então o comprimento da curva y fx a x b é dado por L from a to b 1 fx² dx Dada fx ln cosx temos fx ddx ln cosx ddcosx ln cosx ddx cosx 1cosx senx tgx Para o intervalo π6 π4 temos from π6 to π4 1 tgx² dx from π6 to π4 1 tg²x dx from π6 to π4 sec²x dx from π6 to π4 secx dx lnsecx tgx from π6 to π4 lnsecπ4 tgπ4 lnsecπ6 tgπ6 ln2 1 ln233 33 ln2 1 ln233 33 ln2 1 ln333 ln2 1 ln3 0332 Logo o comprimento da curva é aproximadamente 0332 km Portanto a alternativa correta é b 0332 km Questão 2 Queremos calcular a área entre as curvas y 9 x² e y 0 Determinando os pontos de interseção entre as curvas temos 9 x² 0 x² 9 x 3 Logo as curvas se intersectam em x 3 e x 3 Analisando as curvas temos 9 x² 0 x² 9 3 x 3 Logo no intervalo 3 3 temos que 9 x² 0 Desse modo a área da região é dada por A from 3 to 3 9 x² dx 9x x³3 from 3 to 3 9 3 3³3 9 3 3³3 27 9 27 9 18 18 36 Portanto a área da região é 36 Graficamente temos gráfico com sombras entre as curvas y 9 x² e y 0 Logo a alternativa correta é c Área igual a 36 ua Questão 3 Queremos calcular a área entre as curvas y x² 4 e y x 2 no intervalo 0 1 Determinando os pontos de interseção entre as curvas temos x² 4 x 2 x² x 2 0 x 1x 2 0 x 1 V x 2 Logo as curvas se intersectam em x 1 e x 2 Analisando as curvas temos x² 4 x 2 x² x 2 0 x 1x 2 0 2 x 1 Logo no intervalo 0 1 temos que x² 4 x 2 Desse modo a área da região é dada por A from 0 to 1 x² 4 x 2 dx from 0 to 1 x² x 2 dx x³3 x²2 2x from 0 to 1 13 12 2 0 0 0 13 12 2 26 36 126 76 Portanto a área da região é 76 117 Graficamente temos gráfico com sombras entre as curvas y x² 4 e y x 2 Logo a alternativa correta é b Somente a opção I está correta Questão 4 Dada a função Custo CX 002x3 06x2 04x 20 temos que Cx dx 002x3 06x2 04x 20 dx 002 x44 06 x33 04 x22 20x C 0005x4 02x3 02x2 20x C Logo para o intervalo 20 40 temos VmC 140 20 2040 Cx dx 120 0005x4 02x3 02x2 20x2040 0005 404 02 403 02 402 20 40 0005 204 02 203 02 202 20 2020 12800 12800 320 800 800 1600 80 40020 26080 272020 2336020 1168 Logo o valor médio do custo é de 1168 Portanto a alternativa correta é d 1168 Questão 5 Dado um corpo de 60 kg e uma distância vertical de 10 m temos 𝐹 𝑚𝑔 60 10 600 N 𝑊 𝐹𝑑 600 10 6000 J Portanto a alternativa correta é b 6000 J Questão 6 Queremos calcular a área entre as curvas y x2 x 6 e y x 3 no intervalo 0 3 Determinando os pontos de interseção entre as curvas temos x2 x 6 x 3 x2 9 0 x2 9 x 3 Logo as curvas se intersectam em x 3 e x 3 Analisando as curvas temos x2 x 6 x 3 x2 9 0 x2 9 3 x 3 Logo no intervalo 3 3 temos que x2 x 6 x 3 Desse modo a área da região é dada por A 03 x2 x 6 x 3 dx 03 x2 9 dx x33 9x03 333 9 3 033 9 0 9 27 18 Portanto a área da região é 18 Graficamente temos Logo a alternativa correta é c A opção II está correta Questão 7 Dado dfdt 5 001t temos que ft 0t 5 001t dt 5t 0005t20t 5t 0005t2 5 0 0005 02 5t 0005t2 Logo a quantidade de gás consumida em t anos é dada por ft 5t 0005t2 Determinando o tempo para que toda a quantidade de gás seja consumida temos ft 1200 5t 0005t2 1200 0005t2 5t 1200 0 5t2 5000t 1200000 0 Resolvendo a equação do segundo grau temos 50002 4 5 1200000 25000000 24000000 49000000 t 5000 4900000010 5000 700010 500 700 t1 500 700 200 t2 500 700 1200 Como t 0 então t 200 Logo o tempo necessário para que toda a quantidade de gás seja consumida é de 200 anos Para t 80 temos f80 5 80 0005 802 400 0005 6400 400 32 432 Logo daqui a 80 anos ainda restarão 1200 432 768 bilhões de metros cúbicos de gás Portanto a alternativa correta é d Daqui a 80 anos ainda restarão mais de 750 bilhões de metros cúbicos de gás Questão 8 Dada a função Txy 16x2 32x 40y2 Calculando as derivadas parciais de primeira ordem temos Tx x 16x2 32x 40y2 32x 32 Ty y 16x2 32x 40y2 80y Para determinar os pontos críticos devemos verificar onde as derivadas parciais são nulas ou seja 32x 32 0 80y 0 32x 32 80y 0 x 1 y 0 Logo o ponto crítico é 10 Calculando as derivadas parciais de segunda ordem temos ²Tx² x 32x 32 32 ²Ty² y 80y 80 ²Txy y 32x 32 0 Para determinar a natureza do ponto crítico devemos calcular o determinante da matriz Hessiana de Txy no ponto crítico 10 ou seja D Txx Txy Tyx Tyy 32 0 0 80 32 80 0 0 2560 D10 2560 0 Txx 10 32 0 Como D10 0 e Txx 10 0 então o ponto crítico 10 é um ponto de mínimo Portanto a alternativa correta é d A função temperatura T tem um ponto de mínimo Questão 9 Queremos calcular a área entre as curvas y x2 e y x Determinando os pontos de interseção entre as curvas temos x2 x x2 x 0 xx1 0 x0 V x1 Logo as curvas se intersectam em x0 e x1 Analisando as curvas temos x2 x x2 x 0 xx1 0 x 0 V x 1 Logo no intervalo 01 temos que x x2 Desse modo a área da região é dada por A 01 x x2 dx x22 x33 01 122 133 022 033 12 13 36 26 16 Portanto a área da região é 16 Graficamente temos gráfico das funções yx e yx² Logo a alternativa correta é b Somente a opção III está correta Questão 10 Queremos calcular a área entre as curvas y cosx e y 0 no intervalo 0 π2 Analisando as curvas temos cosx 0 0 x π2 Logo no intervalo 0 π2 temos que cosx 0 Desse modo a área da região é dada por A 0π2 cosx dx senx0π2 senπ2 sen0 1 0 1 Portanto a área da região é 1 Graficamente temos gráfico das funções y cosx e y 0 Logo a alternativa correta é a Somente a opção I está correta Questão 11 Calculando a integral indefinida temos x³5x²4x1 dx x³ dx 5 x² dx 4 x dx 1 dx x⁴4 5x³3 4x²2 x C x⁴4 5x³3 2x² x C Questão 12 Dada a função fxy 3x3y2x4y Para que a expressão de f esteja definida devemos ter 2x4y 0 2x2y 0 x2y 0 Logo o domínio de f é dado por Df xy ℝ² x2y 0 que é o conjunto dos pontos xy que não estão na reta x2y 0 Gabarito Questão 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Resposta b c b d b c d d b a Calcule a área da região limitada pelas curvas y 9 x² e y 0 Assinale a alternativa CORRETA que apresenta esse resultado O A Área igual a 24 ua O B Área igual a 27 ua O C Área igual a 36 ua O D Área igual a 32 ua Anterior Próxima Para finalizar a avaliação é necessário responder todas as questões Finalizar DE LL POR 011 PTB2 0604 20C Parc nublado O cálculo de área de figuras irregulares também pode ser analisado pelo conceito de integral Abaixo temos o gráfico de uma região limitada pelas funções fx x² 3 e fx x 2 de x 0 até x 1 Desse modo assinale a alternativa CORRETA A área da região pintada é I 117 III 65 II 614 IV 125 A Somente a opção IV está correta B Somente a opção I está correta C Somente a opção II está correta D Somente a opção III está correta Um estudo indicou que o custo Cx em milhares de reais para a produção de x unidades de certo equipamento industrial é dado por Cx 002x³ 06x² 04x 20 Considere que o valor médio de uma função denominado Vmf em um dado intervalo a b a qual seja diferenciável neste intervalo é dado por Assinale a alternativa CORRETA Assim o valor médio do custo de produção em milhares de reais para um intervalo de 20 a 40 equipamentos é igual a A 1790 B 2290 C 3000 D 1168 Para levantar um corpo estamos realizando uma ação contrária à força peso P do corpo contrária da gravidade Sabemos pela segunda lei de Newton que o peso é calculado por P mg O trabalho realizado para o caso em questão é W Fd Determine o trabalho realizado sobre um corpo de 60kg por uma distância vertical de 10m Utilizar g10ms² e assinale a alternativa CORRETA A 6640J B 6000J C 6400J D 6220J A área da região pintada é I 20 II 18 III 203 IV 154 A A opção III está correta B A opção I está correta C A opção II está correta D A opção IV está correta Para finalizar a avaliação é necessário responder todas as questões Considerando que a função ft calcula a quantidade de gás consumida em uma quantidade t de anos calculados em bilhões de m³ Sabese também que em termos de variação da utilização consumo podemos utilizar o modelo dado por dfdt 5 001 t Suponhamos também que a quantidade inicial de gás presente reserva de gás é de 1200 bilhões de metros cúbicos e que o gás consumido não é reposto Lembrando que temos que ft ₀ʳ dfdt dt Assinale a opção correta A A reserva de gás durará mais de 2000 anos A A reserva de gás durará mais de 2000 anos B O gás nestas situações não terá fim C Com 100 anos de utilização a reserva de gás se extinguirá D Daqui a 80 anos ainda restarão mais de 750 bilhões de metros cúbicos de gás A função Txy 16x² 32x 40y² representa a temperatura em graus Celsius de uma placa de metal no plano cartesiano xy Usando o teste da segunda derivada para funções de várias variáveis assinale a alternativa CORRETA A A função temperatura T tem um ponto sela B A função temperatura T tem um ponto de mínimo e um ponto de máximo C A função temperatura T tem um ponto de máximo D A função temperatura T tem um ponto de mínimo Anterior Próxima