Cálculo Diferencial Integral 1

A derivada de uma função em seu conceito mais teórico é dada pela razão entre a variação da função ao longo do variável dependente quando a variável independente sofre uma pequena variação Desta forma a importância da derivada de uma função reside na capacidade de fornecer informações cruciais sobre o seu comportamento local e global Assim sendo seja a função ft t³ 3t² t assinale a alternativa CORRETA que apresenta a sua derivada A ft 3t² 6t 1 B ft 3t² 6 C ft 6t 6 D ft 3t² 6t t No cálculo a derivada em um ponto de uma função yfx representa a taxa de variação instantânea de y em relação a x neste ponto Um exemplo típico é a função velocidade que representa a taxa de variação derivada da função espaço Seja a derivada do produto entre fx x² 2 e gx 4 x analise as possibilidades I 3x² 8x 2 II 3x² 8x 2 III 3x² 8x 2 IV 3x² 8x 2 Assinale a alternativa CORRETA A Somente a opção I está correta B Somente a opção III está correta C Somente a opção II está correta D Somente a opção IV está correta A derivada é a medida da declividade de uma reta tangente a cada ponto da função de onde surgiu ela também é uma função que fornece valores relativos de muita utilidade O ângulo da reta tangente ao ponto da curva inicial pode ser encontrado através da derivada pois a derivada fornece o valor da tangente deste ângulo Em outros momentos é fundamental realizar a derivada de uma função mais vezes Desta forma sendo a função gx 2x³ x² 2x assinale a alternativa que apresenta a derivada segunda desta função A gx 6x² 2x³ 2 B gx 12x 6x³ 2 C gx 12x 6x⁴ D gx 6x 6x⁴ Na matemática a derivada de uma função é o conceito central do cálculo diferencial A derivada pode ser usada para determinar a taxa de variação de alguma coisa devido a mudanças sofridas em uma outra ou se uma função entre os dois objetos existe e toma valores contínuos em um dado intervalo Por exemplo a taxa de variação da posição de um objeto com relação ao tempo isto é sua velocidade é uma derivada Com relação à função fx 5x³ 3x² 1 acompanhe as possibilidade para a derivada no ponto x 1 I 2 II 9 III 15 IV 21 Assinale a alternativa CORRETA A Somente a opção III está correta B Somente a opção IV está correta C Somente a opção I está correta D Somente a opção II está correta Anterior Próxima Questão 2 Para ser contínua em x 1 é preciso que f1 lim x1 fx f1 3 1² 3 1 2 lim x1 fx lim x1 1 x² 1 1² 2 e lim x1 fx lim x1 3 x² 3 1² 2 Logo lim x1 fx 2 Portanto como f1 2 lim x1 fx f é contínua em x 1 Uma das fórmulas fundamentais para derivadas é a regra da cadeia Desenvolvida por Gottfried Leibniz a regra da cadeia é aplicável quando temos uma situação em que a função aparece como uma função composta de duas funções Sendo assim considerando o uso adequado da regra da cadeia classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas y cos3x implica em y 3sen3x y ln2x² implica em y 2x y tan x² implica em y sec²x² y 2 x³ implica em y 32 x² Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA A V F V V B F V F F C F F V V D V V F F Anterior Próxima Para finalizar a avaliação é necessário responder todas as questões As operações inversas adição e subtração multiplicação e divisão potenciação e radiciação exponenciação e logaritmação já são bastante conhecidas A integração indefinida é basicamente a operação inversa da diferenciação Assim dada a derivada de uma função o processo que consiste em achar a função que a originou ou seja achar a sua primitiva denominase de antidiferenciação Baseado nisso analise as opções que apresentam fx sendo que fx x² 4x 3 para todo x e f3 5 e assinale a alternativa CORRETA I fx x³3 4x² 3x 5 II fx x³3 2x² 3x 5 III fx x³3 5 IV fx x² 4x 3 A Apenas I B Apenas II C Apenas IV D Apenas III O estudo de equações diferenciais é um assunto que fecha o ciclo de estudos de derivadas e integral O resultado de uma equação diferencial é uma família de funções que não contém derivadas diferenciais e que satisfaz a equação dada Então para a equação diferencial y 2y 4 ou seja a derivada primeira somada com o dobro da própria função é igual a 4 classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas y 2e3x 2 y ex 2 y e3x 2 y 2ex 2 Marque a opção que apresenta a sequência correta de preenchimento dos parênteses de cima para baixo A VFVF B VVFF C FFVV D FVFV A primeira condição para termos a derivada da função inversa é que ela seja bijetora Para determinar ela podemos simplesmente encontrar a função inversa e derivar ou aplicar o Teorema da Derivada da Função Inversa que em uma de suas partes diz que gy 1fx a derivada da função inversa aplicada em um ponto y equivale ao inverso da derivada da função aplicado no x correspondente ao y Este teorema pode ser aplicado de uma maneira muito interessante quando temos um ponto específico e a inversa da função é complicada de deduzir O procedimento é simples basta encontrar para um ponto y a sua correspondência na função caso não seja dada determinar a derivada da função aplicar o teorema da função inversa e obter o resultado com base no ponto dado Senso assim determine a derivada da função inversa fx 2x³ 4x² 2x 1 no ponto 2 3 e assinale a alternativa CORRETA A g4 111 B g4 18 C g4 110 D g4 19 Na matemática a derivada de uma função é o conceito central do cálculo diferencial A derivada pode ser usada para determinar a taxa de variação de alguma coisa devido a mudanças sofridas em uma outra ou se uma função entre os dois objetos existe e toma valores contínuos em um dado intervalo Por exemplo a taxa de variação da posição de um objeto com relação ao tempo isto é sua velocidade é uma derivada Com relação à função fx 5x³ 3x² 1 acompanhe as possibilidade para a derivada no ponto x 1 I 2 II 9 III 15 IV 21 Assinale a alternativa CORRETA A Somente a opção III está correta B Somente a opção IV está correta C Somente a opção I está correta D Somente a opção II está correta Anterior Próxima Ao estudar o Cálculo Diferencial descobrimos que existem algumas funções que são infinitamente deriváveis em todos os pontos de seu domínio Um exemplo disso é a função exponencial que possui diferenciação de ordem superior infinita Acerca das derivadas da função exponencial fx e²ˣ analise as sentenças a seguir I A derivada primeira é 2e²ˣ II A derivada primeira é 2e²ˣ III A derivada segunda é 4e²ˣ IV A derivada segunda é 6e²ˣ V A derivada terceira é 8e²ˣ Assinale a alternativa CORRETA A As sentenças II e IV estão corretas B As sentenças I e IV estão corretas C As sentenças I III e V estão corretas D As sentenças IV e V estão corretas Anterior Próxima A derivada é a medida da declividade de uma reta tangente a cada ponto da função de onde surgiu ela também é uma função que fornece valores relativos de muita utilidade O ângulo da reta tangente ao ponto da curva inicial pode ser encontrado através da derivada pois a derivada fornece o valor da tangente deste ângulo Em outros momentos é fundamental realizar a derivada de uma função mais vezes Desta forma sendo a função gx 2x³ x² 2x assinale a alternativa que apresenta a derivada segunda desta função A gx 6x² 2x³ 2 B gx 12x 6x³ 2 C gx 12x 6x⁴ D gx 6x 6x⁴ Anterior Próxima Uma das fórmulas fundamentais para derivadas é a regra da cadeia Desenvolvida por Gottfried Leibniz a regra da cadeia é aplicável quando temos uma situação em que a função aparece como uma função composta de duas funções Sendo assim considerando o uso adequado da regra da cadeia classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas y cos3x implica em y 3sin3x y ln2x² implica em y 2x y tan x² implica em y sec² x² y 2 x³ implica em y 32 x² Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA A V F V V B F V F F C F F V V D V V F F Anterior Próxima Para finalizar a avaliação é necessário responder todas as questões Além de todos os conceitos que podem ser estudados a respeito do cálculo diferencial podemos resumir o conceito de derivada como sendo a taxa de variação instantânea de uma grandeza com relação a outra como por exemplo a variação da posição com relação ao tempo Baseado nisto assinale a alternativa CORRETA que apresenta o valor da derivada da função fx 2x³ no ponto x 1 A 6 B 6 C 3 D 3 Anterior Questão 1 A velocidade é a derivada da posição logo v s 6t² 8 A aceleração é a derivada da velocidade logo a v 12t Assim quando t 3 a 123 36 ms² No cálculo a derivada em um ponto de uma função yfx representa a taxa de variação instantânea de y em relação a x neste ponto Um exemplo típico é a função velocidade que representa a taxa de variação derivada da função espaço Seja a derivada do produto entre fx x2 2 e gx 4 x analise as possibilidades I 3x2 8x 2 II 3x2 8x 2 III 3x2 8x 2 IV 3x2 8x 2 Assinale a alternativa CORRETA A Somente a opção I está correta B Somente a opção III está correta C Somente a opção II está correta D Somente a opção IV está correta Anterior Próxima Para finalizar a avaliação é necessário responder todas as questões A derivada de uma função em seu conceito mais teórico é dada pela razão entre a variação da função ao longo do variável dependente quando a variável independente sofre uma pequena variação Desta forma a importância da derivada de uma função reside na capacidade de fornecer informações cruciais sobre o seu comportamento local e global Assim sendo seja a função ft t3 3t2 t assinale a alternativa CORRETA que apresenta a sua derivada Função Derivada Função Derivada Função Derivada fx senx fx cosx fx xn n N fx nxn1 fx ax a a0 a1 fx a x ln a fx cosx fx senx fx ax fx a xn a fx ex fx ex fx sec2 x fx loga x f x 1x lna fx ax fx a x ln a fx ln x fx 1x A ft 3t2 6t 1 B ft 3t2 6 C ft 6t 6 D ft 3t2 6t t Próxima As operações inversas adição e subtração multiplicação e divisão potenciação e radiciação exponenciação e logaritmação já são bastante conhecidas A integração indefinida é basicamente a operação inversa da diferenciação Assim dada a derivada de uma função o processo que consiste em achar a função que a originou ou seja achar a sua primitiva denominase de antiderivação Baseado nisso analise as opções que apresentam fx sendo que fx x2 4x 3 para todo x e f3 5 e assinale a alternativa CORRETA I fx x33 4x2 3x 5 II fx x33 2x2 3x 5 III fx x33 5 IV fx x2 4x 3 A Apenas I B Apenas II C Apenas IV D Apenas III Questão 2 Informalmente dizemos que uma função é contínua quando seu gráfico não apresenta interrupções ou seja seu gráfico pode ser traçado sem que o lápis se afaste do papel Na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral o conceito de continuidade está ligado ao de limite de uma função em um ponto específico Desta forma verifique se a função a seguir é contínua no ponto x 1 fx 3 x² se x 1 1 x² se x 1 Informe a resposta aqui Questão 1 Uma das principais aplicações das derivadas é o cálculo da velocidade instantânea de um corpo em movimento Para tanto partimos por exemplo de uma equação horária das posições de um móvel e realizamos a análise de sua derivada Partindo disto seja um móvel que descreve suas posições pela equação s 2t³ 8t 1 onde t é o tempo decorrido em segundos calcule a aceleração deste móvel no instante t 3s Informe a resposta aqui O estudo de equações diferenciais é um assunto que fecha o ciclo de estudos de derivadas e integral O resultado de uma equação diferencial é uma família de funções que não contém derivadas diferenciais e que satisfaz a equação dada Então para a equação diferencial y 2y 4 ou seja a derivada primeira somada com o dobro da própria função é igual a 4 classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas y 2e2x 2 y ex 2 y e2x 2 y 2e2x 2 Marque a opção que apresenta a sequência correta de preenchimento dos parênteses de cima para baixo A V F V F B V V F F C F F V V D F V F V Anterior Próxima A primeira condição para termos a derivada da função inversa é que ela seja bijetora Para determinar ela podemos simplesmente encontrar a função inversa e derivar ou aplicar o Teorema da Derivada da Função Inversa que em uma de suas partes diz que gy 1fx a derivada da função inversa aplicada em um ponto y equivale ao inverso da derivada da função aplicada no x correspondente ao y Este teorema pode ser aplicado de uma maneira muito interessante quando temos um ponto específico e a inversa da função é complicada de deduzir O procedimento é simples basta encontrar para um ponto y a sua correspondência na função caso não seja dada determinar a derivada da função aplicar o teorema da função inversa e obter o resultado com base no ponto dado Sendo assim determine a derivada da função inversa fx 2x³ 4x² 2x 1 no ponto 2 3 e assinale a alternativa CORRETA A g4 111 B g4 18 C g4 110 D g4 19 Ao estudar o Cálculo Diferencial descobrimos que existem algumas funções que são infinitamente deriváveis em todos os pontos de seu domínio Um exemplo disso é a função exponencial que possui diferenciação de ordem superior infinita Acerca das derivadas da função exponencial fx e²ˣ analise as sentenças a seguir I A derivada primeira é 2e²ˣ II A derivada primeira é 2e²ˣ III A derivada segunda é 4e²ˣ IV A derivada segunda é 6e²ˣ V A derivada terceira é 8e²ˣ Assinale a alternativa CORRETA A As sentenças II e IV estão corretas B As sentenças I e IV estão corretas C As sentenças I III e V estão corretas D As sentenças IV e V estão corretas Além de todos os conceitos que podem ser estudados a respeito do cálculo diferencial podemos resumir o conceito de derivada como sendo a taxa de variação instantânea de uma grandeza com relação a outra como por exemplo a variação da posição com relação ao tempo Baseado nisto assinale a alternativa CORRETA que apresenta o valor da derivada da função fx 2x³ no ponto x 1 A 6 B 6 C 3 D 3