Gráfico e Função

AUTOATIVIDADE Acadêmico o processo de entendimento total do conteúdo finaliza aqui Utilize estas questões para realmente absorver os conteúdos explorados neste tópico Bom estudo a fx 2x24 b fx x24x1 c fx x4 2x2 d fx 2xx4 e fx x24x3 f fx x3 2x 5 g fx x 5 a Precisamos plotar o gráfico da seguinte função 𝑓𝑥 2 𝑥2 4 Primeiro vamos escrever o domínio da função 𝑥 Isto acontece pois a função não tem pontos indefinidos nem restrições Agora vamos calcular o ponto de intersecção com o eixo y 𝑦 2 0 4 𝑦 2 4 𝑦 1 2 Não existe pontos de intersecção com o eixo x Agora vamos determinar os pontos críticos 𝑑𝑓𝑥 𝑑𝑥 0 0 𝑥2 4 2 2𝑥 𝑥2 42 0 4𝑥 𝑥2 42 0 4𝑥 0 𝑥 0 Aplicando na função 𝑓0 2 0 4 1 2 Encontramos o ponto de máximo da função Por fim vamos determinar se a função possui assíntotas lim 𝑥 2 𝑥2 4 lim 𝑥 2 𝑥2 𝑥2 𝑥2 4 𝑥2 lim 𝑥 2 𝑥2 1 4 𝑥2 lim 𝑥 0 1 0 0 Portanto temos uma assíntota horizontal em 𝑦 0 portanto já podemos plotar o gráfico b O domínio da função 𝑥 1 𝑜𝑢 𝑥 1 Os pontos de intersecção com o eixo y 𝑦 02 4 0 1 𝑦 4 1 𝑦 4 A intersecção com o eixo x 0 𝑥2 4 𝑥 1 𝑥2 4 0 𝑥 2 Determinando os pontos críticos da função 2𝑥 𝑥 1 𝑥2 4 1 𝑥 12 0 2𝑥2 2𝑥 𝑥2 4 𝑥 12 0 𝑥2 2𝑥 4 0 Na função do segundo grau obtida acima o descriminante da negativo portanto a função não possui pontos críticos Vamos determinar as assíntotas da função primeiro determinando a horizontal lim 𝑥 𝑥2 4 𝑥 1 lim 𝑥 𝑥2 𝑥2 4 𝑥2 𝑥 𝑥2 1 𝑥2 lim 𝑥 1 4 𝑥2 1 𝑥 1 𝑥2 lim 𝑥 1 0 0 0 0 Temos uma assíntota vertical em 𝑥 1 e uma assíntota no formato de uma reta em 𝑦 𝑥 1 Desta forma temos o seguinte gráfico c O domínio da função será 𝑥 Geralmente em funções polinomiais o domínio será todo o conjunto dos números reais A intersecção com o eixo y 𝑦 04 2 02 0 Com o eixo x 𝑥4 2𝑥2 0 Tomando 𝑡 𝑥2 teremos 𝑡2 2𝑡 0 𝑡2 2𝑡 𝑡 2 E portanto 𝑥 2 Calculando os pontos críticos da função 4𝑥3 4𝑥 0 4𝑥3 4𝑥 𝑥2 1 𝑥 1 𝑒 𝑥 0 Aplicando a regra da segunda derivada para saber se os pontos são de mínimo ou de máximo 12𝑥2 4 0 12 12 4 8 𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜 12 12 4 8 𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜 12 0 4 4 𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 Como temos uma função polinomial ela não possuirá assíntotas desta forma já conseguimos plotar o gráfico da função d O domínio da função será 𝑥 4 𝑜𝑢 𝑥 4 O ponto de intersecção com o eixo y 𝑦 2 0 0 4 0 Com o eixo x 0 2𝑥 𝑥 4 2𝑥 0 𝑥 0 Temos a informação que o gráfico passa pela origem Calculando os pontos críticos da função 2 𝑥 4 2𝑥 1 𝑥 42 0 2𝑥 8 2𝑥 𝑥 42 0 8 𝑥 42 0 Portanto a função não possui nenhum ponto crítico Portanto vamos determinar as assíntotas lim 𝑥 2𝑥 𝑥 4 lim 𝑥 2𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 4 𝑥 lim 𝑥 2 1 4 𝑥 lim 𝑥 2 1 0 2 Temos uma assíntota horizontal em 𝑦 2 e uma assíntota vertical em 𝑥 4 Portanto o gráfico da função será e Temos o seguinte domínio para a função 𝑥 0 𝑜𝑢 𝑥 0 A intersecção com o eixo y 𝑦 02 4 03 0 A intersecção com o eixo x 0 𝑥2 4 𝑥3 𝑥2 4 0 𝑥2 4 𝑥 2 Os pontos críticos 2𝑥 𝑥3 𝑥2 4 3𝑥2 𝑥6 0 2𝑥4 3𝑥4 12𝑥2 0 𝑥4 12𝑥2 0 Tomando 𝑡 𝑥2 𝑡2 12𝑡 0 𝑡2 12𝑡 𝑡 12 E portanto x 𝑥 12 𝑥 23 Temos o seguinte 23 𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜 23 𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 Vamos determinar as assíntotas lim 𝑥 𝑥2 4 𝑥3 lim 𝑥 𝑥2 𝑥3 4 𝑥3 𝑥3 𝑥3 lim 𝑥 1 𝑥 4 𝑥3 lim 𝑥 0 0 0 Temos que a função possui uma assíntota horizontal em 𝑦 0 e uma assíntota vertical em 𝑥 0 Desta forma o gráfico da função será f O domínio da função será 𝑥 O ponto de intersecção com o eixo y 𝑦 03 2 0 5 𝑦 5 A intersecção com o eixo x 0 𝑥3 2𝑥 5 A equação acima não possui método de resolução direto então precisamos tentar achar um valor para x o qual a imagem é 0 o valor será aproximadamente 2 23 2 2 5 0 8 4 5 0 1 0 Os pontos críticos 3𝑥2 2 0 3𝑥2 2 𝑥2 2 3 𝑥 2 3 Temos que 2 3 𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜 2 3 𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 Como temos uma função polinomial não teremos nenhuma assíntota portanto o gráfico da função será g O domínio da função será 𝑥 5 O ponto de intersecção com o eixo y 𝑦 0 5 5 Com o eixo x 0 𝑥 5 𝑥 5 0 𝑥 5 O ponto crítico da função 1 2𝑥 5 0 𝑥 5 A função no possui assíntotas verticais ou horizontais e portanto o gráfico da função será