Otimização de Custo de Fabricação - Cálculo de Mínimo com Derivadas

Em matemática um ponto crítico também chamado de ponto estacionário é um ponto no domínio de uma função onde a primeira derivada é nula Os pontos críticos serão sempre pontos de máximos ou mínimos relativos ou pontos de inflexão podendose descobrir em que categoria o ponto cai analisando a sua segunda derivada a curvatura da função Em matemática a análise de máximos e mínimos pontos críticos possui diversas aplicações Uma delas é na área fabril Sendo assim imagine que o custo de fabricação de x unidades de um produto é dado por Cx 3x³ 441x 192 Quantas unidades deverão ser fabricadas para que o custo médio seja mínimo lembre de mostrar e provar que a quantidade encontrada é mínimo Problema de máximos e mínimos Sendo assim imagine que o custo de fabricação de x unidades de um produto é dado por Cx 3x3 441x 192 Quantas unidades deverão ser fabricadas para que o custo médio seja mínimo lembre de mostrar e provar que a quantidade encontrada é mínimo O ponto que determina que o custo médio seja mínimo é correspondente ao ponto de mínimo da função Cx Nesse sentido vamos primeiro de tudo determinar os pontos críticos da função Com efeito os pontos críticos de uma função fx são os pontos x q tais que a derivada da função avaliada nesse ponto é zero Ou seja os pontos x q satisfazem a seguinte igualdade dfdx xq 0 Então usando essa definição aplicada a função dada teremos que dCdx xq 0 ddx 3x3 441x 192 xq 0 9x2 441 xq 0 9q2 441 0 9q2 441 q2 4419 49 q 49 7 como q 0 pois simboliza a quantidade de unidades vendidas segue que o ponto crítico da função é x q 7 Ademais esse é o ponto de mínimo da função ou seja ele minimiza o custo de produção Com efeito podemos provar esse resultado com o teste da derivada segunda o qual nos diz que um ponto crítico x q de uma função fx é ponto de mínimo se a derivada segunda da função aplicada nesse ponto é estritamente positiva Ou seja a seguinte igualdade deve ser satisfeita d2fdx2 xq 0 Então para nosso problema temos o seguinte desenvolvimento d2Cdx2 xq7 ddx dCdx xq7 ddx 9x2 441 xq7 18x xq7 126 0 Logo segue então que a condição é cumprida Assim do teste da derivada segunda concluise que x q 7 é um ponto de mínimo da função Cx e logo quando x 7 unidades são produzidas temos o menor custo em média por produção