Analise Estrutural II - Deformacoes em Estruturas

ANÁLISE ESTRUTURAL II Unidade 02 Deformações em Estruturas Prof Lucas Broseghini Totola Curso Engenharia Civil 20231 lucastotolaprofessormultivixedubr Quando um sistema estrutural é submetido a cargas surgem esforços e tensões internos As tensões internas causadas por forças axiais forças cortantes momentos fletores e momentos torsores provocam deformações internas O efeito acumulado das deformações internas em um elemento estrutural causa um estado geral de deformações resultando em deslocamentos da sua superfície Podese determinar as deformações e os deslocamentos de estruturas utilizandose as relações básicas entre tensões e deformações e deslocamentos ou quase sempre de um modo mais conveniente utilizandose princípios de energia Além disso os conceitos de energia podem ser empregados para desenvolver equações adicionais na resolução para forças e deslocamentos desconhecidos na análise de estruturas estaticamente indeterminadas INTRODUÇÃO 2 ENERGIA DE DEFORMAÇÃO E PRINCÍPIO DA CONSERVAÇÃO DE ENERGIA 3 INTRODUÇÃO A maioria dos métodos de energia é baseada no princípio de conservação de energia O trabalho realizado por todas as forças externas atuando sobre uma estrutura Ue é transformado em trabalho interno ou energia de deformação Ui que é desenvolvida quando a estrutura se deforma Se o limite elástico do material não for excedido a energia de deformação elástica retornará a estrutura para seu estado não deformado quando as cargas são removidas O princípio da conservação de energia pode ser enunciado matematicamente como 𝑼𝒆 𝑼𝒊 4 TRABALHO EXTERNO Trabalho de uma força externa uma força realiza trabalho quando sofre um deslocamento dx na mesma direção dela 𝑈𝑒 න 0 𝑥 𝐹𝑑𝑥 Trabalho de uma força P aplicada na extremidade da barra se o material se comporta de maneira linearelástica a força será diretamente proporcional ao deslocamento 𝐹 𝑃 𝑥 𝑈𝑒 න 0 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 𝑃𝑥² อ 2 0 1 2 𝑃 𝑈 1 2 𝑃 5 Trabalho de uma força momento definido pelo produto da magnitude do momento M e o ângulo d𝜃 através do qual ele gira Se o ângulo total da rotação é 𝜃 radianos o trabalho tornase 𝑈𝑒 න 0 𝜃 𝑀𝑑𝜃 Se o momento é aplicado gradualmente a uma estrutura tendo resposta elástica linear de zero a M o trabalho é então 𝑈𝑒 1 2 𝑀𝜃 TRABALHO EXTERNO 6 TRABALHO INTERNO OU ENERGIA DE DEFORMAÇÃO Ui Contanto que nenhuma energia seja perdida sob forma de calor o trabalho externo realizado pelas cargas será convertido em trabalho interno denominado energia de deformação 𝑼𝒆 𝑼𝒊 Essa energia se apresenta sempre positiva é armazenada no corpo e provocada pela ação da tensão normal ou da tensão de cisalhamento 7 TRABALHO INTERNO OU ENERGIA DE DEFORMAÇÃO Ui Força Axial Quando uma força axial N é aplicada gradualmente à barra ela vai tracionar o material de tal maneira que o trabalho externo realizado por N será convertido em energia de deformação que é armazenada na barra Contanto que o material seja linearmente elástico a lei de Hooke é valida e se a barra tem uma área de seção transversal constante A e comprimento L a tensão normal σ a deformação 𝜺 e o deslocamento Δ serão 𝜎 𝑁 𝐴 𝜀 Δ 𝐿 𝜎 𝐸𝜀 𝐿𝑒𝑖 𝑑𝑒 𝐻𝑜𝑜𝑘𝑒 𝑁 𝐴 𝐸 Δ 𝐿 𝜟 𝑵𝑳 𝑬𝑨 8 Força Axial Substituindo na equação de trabalho externo e considerando P N temse 𝑈𝑖 𝑈𝑒 1 2 𝑃 𝑒 𝛥 𝑁𝐿 𝐸𝐴 𝑈𝑖 1 2 𝑁 𝑁𝐿 𝐸𝐴 A energia de deformação da barra devido a um esforço axial é portanto 𝑼𝒊 න 𝟎 𝑳 𝑵𝟐𝒅𝒙 𝟐𝑬𝑨 ou 𝑈𝑖 𝑁²𝐿 2𝐸𝐴 TRABALHO INTERNO OU ENERGIA DE DEFORMAÇÃO Ui 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑢𝑚 𝑐𝑜𝑚 𝐴 𝐸 𝑒 𝑁 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 9 TRABALHO INTERNO OU ENERGIA DE DEFORMAÇÃO Ui Flexão As cargas P e w criam um momento interno M na viga em uma seção localizada a uma distância x do apoio esquerdo A rotação resultante do elemento diferencial dx pode ser calculada por 𝑑𝜃 𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 Consequentemente a energia de deformação ou trabalho interno armazenado é determinada 𝑈𝑖 𝑈𝑒 1 2 𝑀𝜃 𝑑𝑈𝑖 1 2 𝑀𝑑𝜃 𝑑𝑈𝑖 1 2 𝑀 𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 𝑀2𝑑𝑥 2𝐸𝐼 10 TRABALHO INTERNO OU ENERGIA DE DEFORMAÇÃO Ui Flexão A energia de deformação para a viga é determinada integrando este resultado atráves do comprimento inteiro da viga L 𝑈𝑖 න 0 𝐿 𝑀2𝑑𝑥 2𝐸𝐼 Portanto para calcular a energia de deformação devemos primeiro expressar o momento interno como função de sua posição x ao longo da viga e depois integrar em todo o comprimento da viga 11 EXEMPLO Determinar a energia de deformação elástica total Ui devida à flexão da viga em balanço abaixo Considerar EI constante 𝑥 𝑈𝑖 න 0 𝐿 𝑀2𝑑𝑥 2𝐸𝐼 12 Determinar a energia de deformação elástica devida à flexão da viga em balanço abaixo Considerar EI constante 𝑥 𝑈𝑖 න 0 𝐿 𝑀2𝑑𝑥 2𝐸𝐼 න 0 𝐿 𝑤𝑥² 2 2 𝑑𝑥 2𝐸𝐼 න 0 𝐿 𝑤2𝑥4 4 𝑑𝑥 2𝐸𝐼 อ 𝑤²𝑥5 40𝐸𝐼 0 𝐿 𝑤²𝐿5 40𝐸𝐼 𝑀 𝑥 𝑤 𝑥 𝑥 2 𝑤𝑥2 2 EXEMPLO 13 Determinar a energia de deformação por flexão na região AB da viga mostrada Considerar EI constante 𝑈𝑖 න 0 𝐿 𝑀2𝑑𝑥 2𝐸𝐼 EXERCÍCIO DE APLICAÇÃO 14 𝑥 Determinar a energia de deformação por flexão na região AB da viga mostrada Considerar EI constante 𝑀𝐴 0 𝑅𝐵 𝐿 𝑃 2𝐿 0 𝑅𝐵 2𝑃 𝐹𝑦 0 𝑅𝐴 𝑅𝐵 𝑃 0 𝑅𝐴 𝑃 𝑇𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜 𝐴𝐵 0 𝑥 𝐿 𝑀 𝑥 𝑃𝑥 𝑈𝑖 න 0 𝐿 𝑀2𝑑𝑥 2𝐸𝐼 න 0 𝐿 𝑃𝑥²𝑑𝑥 2𝐸𝐼 න 0 𝐿 𝑃²𝑥²𝑑𝑥 2𝐸𝐼 𝑃²𝐿3 6𝐸𝐼 𝑥 EXERCÍCIO DE APLICAÇÃO 15 CONSERVAÇÃO DE ENERGIA Por meio do princípio da conservação de energia conseguese determinar o deslocamento ou rotação de um ponto em estruturas deformáveis Entretanto essa aplicação é limitada porque apenas uma única força ou momento pode atuar sobre o elemento ou a estrutura e apenas o deslocamento sob a força pode ser obtido 16 Determinar o deslocamento vertical no ponto onde P está aplicada aplicando o princípio da conservação de energia 𝑈𝑖 න 0 𝐿 𝑀2𝑑𝑥 2𝐸𝐼 𝑥 𝑈𝑒 1 2 𝑃 EXEMPLO 17 Determinar o deslocamento vertical no ponto onde P está aplicada aplicando o princípio da conservação de energia 𝑈𝑖 න 0 𝐿 𝑀2𝑑𝑥 2𝐸𝐼 𝑥 𝑈𝑖 න 0 𝐿 𝑀2𝑑𝑥 2𝐸𝐼 න 0 𝐿 𝑃𝑥²𝑑𝑥 2𝐸𝐼 න 0 𝐿 𝑃²𝑥²𝑑𝑥 2𝐸𝐼 𝑃²𝑥3 6𝐸𝐼 𝑈𝑒 1 2 𝑃 𝑈𝑒 𝑈𝑖 1 2 𝑃 𝑃²𝑥3 6𝐸𝐼 𝑷𝑳𝟑 𝟑𝑬𝑰 EXEMPLO 18 Nos exemplos apenas uma única força externa ou momento pode atuar sobre o elemento ou a estrutura O deslocamento pode ser calculado apenas no ponto e na direção da força externa ou do momento Se mais de uma força externa forem aplicados o trabalho externo de cada carga envolverá seu deslocamento desconhecido como resultado nenhum desses deslocamentos desconhecidos poderá ser determinado visto que apenas uma única Equação estará disponível para a solução Embora limitado serve como introdução aos métodos de energia mais gerais método do trabalho virtual e o teorema de Castigliano por exemplo CONSERVAÇÃO DE ENERGIA 19 PREMISSAS GERAIS A aplicação desse princípio no contexto da análise estrutural requer a definição das seguintes premissas O carregamento é aplicado lentamente de tal forma que não provoca vibrações na estrutura não existe energia cinética O único tipo de energia armazenada pela estrutura é a energia de deformação elástica não existindo perda de energia na forma de calor ruído etc A estrutura tem um comportamento linearelástico isto é o material da estrutura trabalha em um regime elástico e linear não existe plastificação em nenhum ponto e os deslocamentos da estrutura são pequenos o suficiente para se escrever as equações de equilíbrio na configuração indeformada da estrutura CONSERVAÇÃO DE ENERGIA 20 PRINCÍPIO DO TRABALHO VIRTUAL PRINCÍPIO DO TRABALHO VIRTUAL Desenvolvido por John Bernoulli baseado na conservação de energia proporciona um meio geral de se obter o deslocamento e a inclinação de um ponto específico em uma estrutura seja ela uma viga pórtico ou treliça Quando um corpo é impedido de se mover é necessário que as cargas satisfaçam as condições de equilíbrio e que os deslocamentos satisfaçam as condições de compatibilidade Especificamente as condições de equilíbrio exigem que as cargas externas estejam relacionadas às cargas internas de maneira única e as condições de compatibilidade requerem que os deslocamentos externos estejam relacionados às deformações internas também de maneira única 22 Se tomarmos uma estrutura deformável e aplicarmos uma série de cargas externas P a ela isto vai provocar esforços internos u no interior da estrutura Como consequências destas cargas deslocamentos externos Δ ocorrerão nas cargas P e os esforços interenos u estarão associados a deslocamentos δ Em geral o material não tem de se comportar elasticamente e assim os deslocamentos podem não ter relação com a carga Entretanto os deslocamentos internos e externos têm de ser relacionados pela compatibilidade dos deslocamentos visto que o corpo é contínuo O príncipio do trabalho e energia enuncia σ 𝑃 𝑇𝑟𝑎𝑏𝑎𝑙ℎ𝑜 𝑑𝑎𝑠 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 𝐸𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑠 σ 𝑢 𝛿 𝑇𝑟𝑎𝑏𝑎𝑙ℎ𝑜 𝑑𝑎𝑠 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑠 PRINCÍPIO DO TRABALHO VIRTUAL 23 Suponha determinar o deslocamento Δ no ponto A causado pelas cargas reais P1 P2 e P3 preciso colocar uma carga em A na direção do deslocamento Δ conservação da energia Incluíremos então uma carga virtual P no ponto A com intensidade unitária isto é P 1 Essa carga cria esforços virtuais internos u no elemento Agora aplicamos as cargas reais P1 P2 P3 que gerarão o deslocamento real Δ no ponto A e a deformação dL internamente ao elemento PRINCÍPIO DO TRABALHO VIRTUAL 24 A força virtual externa P se deslocará Δ e a carga virtual interna u se deslocará dL Essas cargas realizam portanto trabalho virtual externo e interno sobre o elemento de forma que 𝑈𝑒 𝑃 1 𝑈𝑖 𝑢 𝑑𝐿 Considerando apenas a conservação de energia virtual o trabalho externo virtual é igual ao trabalho interno realizado em todos os elementos do corpo Portanto podemos escrever a equação do trabalho virtual como PRINCÍPIO DO TRABALHO VIRTUAL 𝑃 𝑢 𝛿 25 1 𝑢 𝑑𝐿 MÉTODO DO TRABALHO VIRTUAL TRELIÇAS 26 Treliça sujeita a cargas externas As cargas aplicadas deformam os elementos da treliça um montante 𝑑𝐿 𝑁𝐿 𝐴𝐸 onde N é a força axial interna no membro causado pelas cargas MÉTODO DO TRABALHO VIRTUAL 27 Treliça sujeita a cargas externas MÉTODO DO TRABALHO VIRTUAL 1 𝑢 𝑑𝐿 𝑒 𝑑𝐿 𝑁𝐿 𝐴𝐸 𝒏𝑵𝑳 𝑨𝑬 28 Procedimento para análise Forças virtuais n Coloque a carga unitária sobre a treliça no nó onde o deslocamento desejado deve ser determinado A carga deve estar na mesma direção que o deslocamento especificado isto é horizontal ou vertical Com apenas a carga unitária use o método dos nós ou das seções e calcule a força n interna em cada membro da treliça Presuma que as forças de tração sejam positivas e as de compressão negativas Forças reais N Use o método dos nós ou das seções para determinar a força N em cada membro Essas forças são causadas apenas pelas cargas reais atuando sobre a treliça Equação do Trabalho Virtual Aplique a equação do trabalho virtual para determinar o deslocamento desejado É importante reter o sinal algébrico para cada uma das forças n e N correspondentes ao substituir esses termos na equação Se a soma for positiva o deslocamento é na mesma direção que a carga unitária MÉTODO DO TRABALHO VIRTUAL 29 EXEMPLO Determine o deslocamento vertical do nó C da treliça de aço mostrada na Figura A área da seção transversal de cada membro é A 300 mm² e E 200 GPa 30 EXEMPLO Determine o deslocamento vertical do nó C da treliça de aço mostrada na Figura A área da seção transversal de cada membro é A 300 mm² e E 200 GPa Determinação das forças internas reais N Determinação das forças internas virtuais n 31 EXEMPLO Determine o deslocamento vertical do nó C da treliça de aço mostrada na Figura A área da seção transversal de cada membro é A 300 mm² e E 200 GPa 𝑀𝐴 0 20 3 20 6 9𝑅𝐷 0 𝑅𝐷 20 𝑘𝑁 𝐹𝑦 0 𝑅𝐴 𝑅𝐷 20 20 0 𝑅𝐴 20 𝑘𝑁 𝑅𝐷 𝑅𝐴 𝐻𝐴 20 𝑁𝐴𝐹 𝑁𝐴𝐵 EQUILÍBRIO NÓ A 𝐹𝑦 0 20 𝑁𝐴𝐹𝑠𝑒𝑛45 0 𝑁𝐴𝐹 2828 𝑘𝑁𝐶 𝐹𝑥 0 𝑁𝐴𝐵 𝑁𝐴𝐹𝑐𝑜𝑠45 0 𝑁𝐴𝐵 2828 𝑐𝑜𝑠45 𝑁𝐴𝐵 20 𝑘𝑁 𝑇 32 EXEMPLO Determine o deslocamento vertical do nó C da treliça de aço mostrada na Figura A área da seção transversal de cada membro é A 300 mm² e E 200 GPa 20 20 2828 𝑁𝐹𝐵 𝑁𝐹𝐸 EQUILÍBRIO NÓ F 𝐹𝑦 0 2828𝑐𝑜𝑠45 𝑁𝐹𝐵 0 𝑁𝐹𝐵 20 𝑘𝑁 𝐹𝑥 0 𝑁𝐹𝐸 2828𝑠𝑒𝑛45 0 𝑁𝐹𝐸 20 𝑘𝑁 𝟐𝟎 33 EXEMPLO Determine o deslocamento vertical do nó C da treliça de aço mostrada na Figura A área da seção transversal de cada membro é A 300 mm² e E 200 GPa 20 20 20 𝑁𝐵𝐶 𝑁𝐵𝐸 EQUILÍBRIO NÓ B 𝐹𝑦 0 20 20 𝑁𝐵𝐸𝑠𝑒𝑛45 0 𝑁𝐵𝐸 0 𝑘𝑁 𝐹𝑥 0 20 𝑁𝐵𝐸𝑐𝑜𝑠45 𝑁𝐵𝐶 0 𝑁𝐵𝐶 20 0 𝑁𝐵𝐶 20 𝑘𝑁 𝟐𝟎 𝟐𝟎 𝟐𝟎 20 20 𝟐𝟎 34 EXEMPLO Pela simetria de carregamento 20 20 𝟐𝟎 𝟐𝟎 𝟐𝟎 𝟐𝟎 𝟐𝟎 𝟐𝟎 Barra N kN L m n kN nNL kN²m AB 20 3 BC 20 3 CD 20 3 DE 2828 18 FE 20 3 EB 0 18 BF 20 3 AF 2828 18 CE 20 3 35 EXEMPLO Determine o deslocamento vertical do nó C da treliça de aço mostrada na Figura A área da seção transversal de cada membro é A 300 mm² e E 200 GPa 𝑀𝐴 0 6 1 9𝑅𝐷 0 𝑅𝐷 0667 𝑘𝑁 𝐹𝑦 0 𝑅𝐴 𝑅𝐷 1 0 𝑅𝐴 0333 𝑘𝑁 033 𝑁𝐴𝐹 𝑁𝐴𝐵 EQUILÍBRIO NÓ A 𝐹𝑦 0 0333 𝑁𝐴𝐹𝑠𝑒𝑛45 0 𝑁𝐴𝐹 0471 𝑘𝑁𝐶 𝐹𝑥 0 𝑁𝐴𝐵 𝑁𝐴𝐹𝑐𝑜𝑠45 0 𝑁𝐴𝐵 0471 𝑐𝑜𝑠45 𝑁𝐴𝐵 0333 𝑘𝑁𝑇 36 EXEMPLO Determine o deslocamento vertical do nó C da treliça de aço mostrada na Figura A área da seção transversal de cada membro é A 300 mm² e E 200 GPa 0666 0333 0471 𝑁𝐹𝐵 𝑁𝐹𝐸 EQUILÍBRIO NÓ F 𝐹𝑦 0 0471𝑐𝑜𝑠45 𝑁𝐹𝐵 0 𝑁𝐹𝐵 0333 𝑘𝑁 𝑇 𝐹𝑥 0 𝑁𝐹𝐸 0471𝑠𝑒𝑛45 0 𝑁𝐹𝐸 0333 𝑘𝑁 𝐶 𝟎 𝟑𝟑𝟑 37 EXEMPLO Determine o deslocamento vertical do nó C da treliça de aço mostrada na Figura A área da seção transversal de cada membro é A 300 mm² e E 200 GPa 0333 𝑁𝐵𝐶 𝑁𝐵𝐸 EQUILÍBRIO NÓ B 𝐹𝑦 0 0333 𝑁𝐵𝐸𝑠𝑒𝑛45 0 𝑁𝐵𝐸 0471 𝑘𝑁 𝐶 𝐹𝑥 0 0333 𝑁𝐵𝐸𝑐𝑜𝑠45 𝑁𝐵𝐶 0 𝑁𝐵𝐶 0333 0471𝑐𝑜𝑠45 𝑁𝐵𝐶 0666 𝑘𝑁 𝑇 0333 0666 0333 𝟎 𝟑𝟑3 𝟎 𝟑𝟑𝟑 0 𝟑𝟑𝟑 38 EXEMPLO Determine o deslocamento vertical do nó C da treliça de aço mostrada na Figura A área da seção transversal de cada membro é A 300 mm² e E 200 GPa 0666 𝑁𝐶𝐷 EQUILÍBRIO NÓ C 𝑁𝐶𝐸 10 𝑘𝑁 𝑇 𝑁𝐶𝐸 0666 0333 𝟎 𝟑𝟑3 𝟎 𝟑𝟑𝟑 0 𝟑𝟑𝟑 𝟎 𝟔𝟔𝟔 1 𝑁𝐶𝐷 0666 𝑘𝑁 𝑇 EQUILÍBRIO NÓ D 𝑁𝐷𝐸 0666 0666 𝐹𝑥 0 𝑁𝐷𝐸𝑐𝑜𝑠45 0666 0 𝑁𝐷𝐸 0943 𝑘𝑁 𝐶 39 EXEMPLO Pela simetria de carregamento 20 20 𝟐𝟎 𝟐𝟎 𝟐𝟎 𝟐𝟎 𝟐𝟎 𝟐𝟎 Barra N kN L m n kN nNL kN²m AB 20 3 0333 20 BC 20 3 0666 40 CD 20 3 0666 40 DE 2828 18 0943 11314 FE 20 3 0333 20 EB 0 18 0471 0 BF 20 3 0333 20 AF 2828 18 0471 5651 CE 20 3 10 60 𝑛𝑁𝐿 36965 0666 0333 𝟎 𝟑𝟑3 𝟎 𝟑𝟑𝟑 0 𝟑𝟑𝟑 𝟎 𝟔𝟔𝟔 𝟎 𝟔𝟔𝟔 𝟏 𝟎 40 EXEMPLO Desse modo considerando a área da seção transversal de cada membro de A 300 mm² e E 200 GPa 1𝑘𝑁 𝐶𝑣 𝑛𝑁𝐿 𝐴𝐸 3696 𝑘𝑁2𝑚 𝐴𝐸 𝐶𝑣 3696 𝑘𝑁2 𝑚 300 106 𝑚2 200 106𝑘𝑁𝑚2 000616 𝑚 616 𝑚𝑚 41 42 1 𝑢 𝑑𝐿 PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS As deformações internas são iguais ao esforço interno dividido pela rigidez da seção transversal Trabalho Virtual Externo Trabalho Virtual Interno 43 1 න 𝟎 𝑳 ഥ𝑵𝑵 𝑬𝑨 𝒅𝒙 න 𝟎 𝑳 ഥ𝑴𝑴 𝑬𝑰 𝒅𝒙 න 𝟎 𝑳 ഥ𝑸𝑸 𝑮𝑨𝑸 𝒅𝒙 න 𝟎 𝑳 ഥ𝑻𝑻 𝑮𝑱 𝒅𝒙 PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS Seja uma estrutura deformável em equilíbrio estático o trabalho virtual das forças externas que atuam sobre ela é igual ao trabalho virtual das forças internas nela atuantes para todas as forças virtuais arbitrárias que lhe imponhamos N M Q e T são os esforços internos gerados pelo carregamento REAL ഥ𝑁 ഥ 𝑀 ത𝑄 𝑒 ത𝑇 são os esforços internos gerados pelo carregamento VIRTUAL Δ se refere ao deslocamento ou rotação no ponto desejado E é o módulo de elasticidade A é a área da seção transversal e AQ é a área efetiva para cisalhamento G é o modulo de cisalhamento I é o momento de inércia da área da seção transversal J é o momento de inércia à torção da seção transversal PARA TRELIÇAS 1 න 𝟎 𝑳 ഥ𝑵𝑵 𝑬𝑨 𝒅𝒙 න 𝟎 𝑳 ഥ𝑴𝑴 𝑬𝑰 𝒅𝒙 න 𝟎 𝑳 ഥ𝑸𝑸 𝑮𝑨𝑸 𝒅𝒙 න 𝟎 𝑳 ഥ𝑻𝑻 𝑮𝑱 𝒅𝒙 PARA VIGAS e PÓRTICOS 1 න 𝟎 𝑳 ഥ𝑵𝑵 𝑬𝑨 𝒅𝒙 න 𝟎 𝑳 ഥ𝑴𝑴 𝑬𝑰 𝒅𝒙 න 𝟎 𝑳 ഥ𝑸𝑸 𝑮𝑨𝑸 𝒅𝒙 න 𝟎 𝑳 ഥ𝑻𝑻 𝑮𝑱 𝒅𝒙 1 𝜽 න 𝟎 𝑳 ഥ𝑵𝑵 𝑬𝑨 𝒅𝒙 න 𝟎 𝑳 𝑴𝜽𝑴 𝑬𝑰 𝒅𝒙 න 𝟎 𝑳 ഥ𝑸𝑸 𝑮𝑨𝑸 𝒅𝒙 න 𝟎 𝑳 ഥ𝑻𝑻 𝑮𝑱 𝒅𝒙 44 PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Deformação provocada por Energia de deformação Trabalho virtual interno Carga axial N ₀ᴸ N²2EA dx ₀ᴸ nNEA dx Cisalhamento V ₀ᴸᶜ V²2GA dx ₀ᴸᶜ vVGA dx Momento fletor M ₀ᴸ M²2EI dx ₀ᴸ mMEI dx Momento de torção T ₀ᴸ T²2GJ dx ₀ᴸ lTGJ dx de temperatura É importante na aplicação que se use um conjunto de unidades consistentes para todos os termos Por exemplo se as cargas reais forem expressas em kN e as dimensões do corpo em metros deve ser aplicada ao corpo uma força virtual de 1 kN ou um momento conjugado virtual de 1 kN m Desse modo o deslocamento calculado Δ será dado em metros e a inclinação calculada em radianos Procedimento para análise Momentos virtuais ഥ𝑴 Coloque a carga unitária sobre a a viga ou pórtico em um ponto e na direção do deslocamento desejado se a inclinação será determinada coloque um momento concentrado unitário no ponto Estabeleça coordenadas x apropriadas que sejam válidas dentro de regiões da viga ou pórtico onde não há descontinuidade de carga real ou virtual Com apenas a carga unitária calcule o momento interno m como uma função de cada coordenada x Forças reais M Usando as mesmas coordenadas x que aquela s estabelecidas para m determine os momentos internos M causados somente pelas cargas reais Equação do Trabalho Virtual Aplique a equação do trabalho virtual para determinar o deslocamento desejado É importante reter o sinal algébrico para cada uma das equações M e M correspondentes ao substituir esses termos na equação Se a soma for positiva o deslocamento é na mesma direção que a carga unitária ou momento unitário 46 PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS 47 EXEMPLO Calcular o deslocamento vertical no ponto A da viga abaixo devido a carga aplicada P aplicando o princípio dos trabalhos virtuais 1 න 𝟎 𝑳 ഥ𝑵𝑵 𝑬𝑨 𝒅𝒙 න 𝟎 𝑳 ഥ𝑴𝑴 𝑬𝑰 𝒅𝒙 න 𝟎 𝑳 ഥ𝑸𝑸 𝑮𝑨𝑸 𝒅𝒙 න 𝟎 𝑳 ഥ𝑻𝑻 𝑮𝑱 𝒅𝒙 48 EXEMPLO Calcular o deslocamento vertical no ponto A da viga abaixo devido a carga aplicada P aplicando o princípio dos trabalhos virtuais 𝑀𝐵 0 𝑃𝐿 𝑀𝐵 0 𝑀𝐵 𝑃𝐿 𝐹𝑦 0 𝑃 𝑅𝐵 0 𝑅𝐵 𝑃 𝑄 𝑥 𝑃 M 𝑥 𝑃𝑥 49 EXEMPLO Calcular o deslocamento vertical no ponto A da viga abaixo devido a carga aplicada P aplicando o princípio dos trabalhos virtuais 𝑀𝐵 0 1𝐿 𝑀𝐵 0 𝑀𝐵 𝐿 𝐹𝑦 0 1 𝑅𝐵 1 𝑅𝐵 𝑃 𝑄 𝑥 1 M 𝑥 𝑥 𝟏 𝟎 50 EXEMPLO Calcular o deslocamento vertical no ponto A da viga abaixo devido a carga aplicada P aplicando o princípio dos trabalhos virtuais 𝑄 𝑥 1 M 𝑥 𝑥 𝑄 𝑥 𝑃 M 𝑥 𝑃𝑥 1 න 0 𝐿 ഥ𝑁𝑁 𝐸𝐴 𝑑𝑥 න 0 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 න 0 𝐿 ത𝑄𝑄 𝐺𝐴𝑄 𝑑𝑥 න 0 𝐿 ത𝑇𝑇 𝐺𝐽 𝑑𝑥 1 න 0 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 න 0 𝐿 ത𝑄𝑄 𝐺𝐴𝑄 𝑑𝑥 න 0 𝐿 𝑥 𝑃𝑥 𝐸𝐼 𝑑𝑥 න 0 𝐿 1 𝑃 𝐺𝐴𝑄 𝑑𝑥 න 0 𝐿 𝑃𝑥2 𝐸𝐼 𝑑𝑥 න 0 𝐿 𝑃 𝐺𝐴𝑄 𝑑𝑥 𝑃𝐿3 3𝐸𝐼 𝑃𝐿 𝐺𝐴𝑄 51 EXEMPLO Suponha os seguintes valores supondo viga de aço E 200 GPa v 03 G 77 Gpa P 20 kN L 5 m 𝐴𝑄A 𝑃𝐿3 3𝐸𝐼 𝑃𝐿 𝐺𝐴𝑄 20 𝑘𝑁 5𝑚3 3 200 106 𝑘𝑁𝑚2 51715 108 𝑚4 20 5 77 106𝑘𝑁𝑚2 113 104𝑚² 8057 0115 Ag 113 cm² 𝐼𝑥 𝑏ℎ3 12 𝐴𝑑2 301253 12 30 125 243752 2 084753 12 0 51715 𝑐𝑚4 Parcela usualmente ignorada nos cálculos 52 EXERCÍCIOS Determine o deslocamento vertical do nó C da treliça de aço mostrada na Figura A área da seção transversal de cada membro é A 400 mm² e E 200 GPa 1 න 0 𝐿 ഥ𝑁𝑁 𝐸𝐴 𝑑𝑥 න 0 𝐿 ഥ𝑀𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 න 0 𝐿 ത𝑄𝑄 𝐺𝐴𝑄 𝑑𝑥 න 0 𝐿 ത𝑇𝑇 𝐺𝐽 𝑑𝑥 Determine o deslocamento vertical do ponto B da viga abaixo Considere E 200 GPA I 500 106 mm4 EXERCÍCIOS 1 kN HA1 kN HA221 kN HA HAHD0 HD1 kN FAD0 Fy0 RA10 RA1 kN Fy0 FCD1 Fx0 FCD1 kN 1 FAC senα 0 FAC128 1414 kN Fx0 1 kN FAB FAC cosα 0 FAB 11414 28 0 Senα 28 Cosα 28 54 Barra n kN N kN L m nNL kNm² AB 0 10000 40 0 BC 0 14142 8 0 CD 1 20000 20 400 AD 0 0 20 0 AC 1414 14142 8 56559 𝑛𝑁𝐿 96559 1𝑘𝑁 𝐶𝑣 𝑛𝑁𝐿 𝐴𝐸 96559 𝑘𝑁2𝑚 𝐴𝐸 𝐶𝑣 96559 200 106 400 106 001206 121 𝑚𝑚 EXERCÍCIOS 55 Determine o deslocamento vertical do ponto B da viga abaixo Considere E 200 GPA I 500 x 106 mm4 1 න 0 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 S x 12 kNm S x 1 kN EXERCÍCIOS 56 Determine o deslocamento vertical do ponto B da viga abaixo Considere E 200 GPA I 500 x 106 mm4 1 න 0 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 න 0 𝐿 𝑥 6𝑥2 𝐸𝐼 𝑑𝑥 න 0 𝐿 6𝑥3 𝐸𝐼 𝑑𝑥 อ 6𝑥4 4𝐸𝐼 0 𝐿 6𝐿4 4𝐸𝐼 6 104𝑚 4 200 106 𝑘𝑁 𝑚2 500 106𝑚 015𝑚 150𝑚𝑚 S x 𝑀 𝑥 12 𝑥 𝑥 2 6𝑥² 12 kNm ഥ𝑀 𝑥 1 𝑥 𝑥 S x 1 kN EXERCÍCIOS 57 EXERCÍCIOS Determine a inclinação 𝜃 e o deslocamento Δ no ponto B da viga abaixo Considere E 200 GPA I 60 106 mm4 1 𝜃 න 0 𝐿 ഥ𝑁𝑁 𝐸𝐴 𝑑𝑥 න 0 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 න 0 𝐿 ത𝑄𝑄 𝐺𝐴𝑄 𝑑𝑥 න 0 𝐿 ത𝑇𝑇 𝐺𝐽 𝑑𝑥 58 EXERCÍCIOS 1 𝜃 න 0 𝐿 ഥ𝑀𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 න 0 5 0 3𝑥 𝐸𝐼 𝑑𝑥 න 5 10 1 3𝑥 𝐸𝐼 𝑑𝑥 න 5 10 3𝑥 𝐸𝐼 𝑑𝑥 อ 3𝑥2 2𝐸𝐼 5 10 𝑃𝑎𝑟𝑎 0 𝑥 5𝑚 𝑀 𝑥 0 𝑃𝑎𝑟𝑎 5 𝑥 10𝑚 𝑀 𝑥 1 𝑃𝑎𝑟𝑎 0 𝑥 5𝑚 𝑀 𝑥 3𝑥 𝑃𝑎𝑟𝑎 5 𝑥 10𝑚 𝑀 𝑥 3𝑥 𝜃 3 102 2𝐸𝐼 3 52 2𝐸𝐼 225 2𝐸𝐼 225 2 200 106 60 106 000938 𝑟𝑎𝑑 59 EXERCÍCIOS 𝑃𝑎𝑟𝑎 0 𝑥 5𝑚 𝑀 𝑥 0 𝑃𝑎𝑟𝑎 5 𝑥 10𝑚 𝑀 𝑥 1 𝑥 5 𝑥 5 𝑃𝑎𝑟𝑎 0 𝑥 5𝑚 𝑀 𝑥 3𝑥 𝑃𝑎𝑟𝑎 5 𝑥 10𝑚 𝑀 𝑥 3𝑥 1 න 0 𝐿 ഥ𝑀𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 න 0 5 0 3𝑥 𝐸𝐼 𝑑𝑥 න 5 10 𝑥 5 3𝑥 𝐸𝐼 𝑑𝑥 න 5 10 3𝑥2 15𝑥 𝐸𝐼 𝑑𝑥 อ 𝑥³ 𝐸𝐼 15𝑥2 2𝐸𝐼 5 10 103 𝐸𝐼 15 102 2𝐸𝐼 53 𝐸𝐼 15 52 2𝐸𝐼 500 𝐸𝐼 3125 200 106 60 106 002604𝑚 2604 𝑚𝑚 Determinação do deslocamento em B Determine o deslocamento em D da viga de aço na Figura 919a Considere E 200 GPa I 300 106 mm4 Determine o deslocamento em D da viga de aço na Figura 919a Considere E 200 GPa I 300 106 mm4 Determine o deslocamento horizontal do ponto C no pórtico mostrado na Figura 920a Considere E 200 GPa e I 235 106 mm4 para ambos os membros RESOLUÇÃO 60kNm FACULDADE MULTIVIX 64 EXERCÍCIOS 𝑀𝐴 0 24 𝑅𝑐 60 3 15 0 𝑅𝐶 1125 𝑘𝑁 𝐹𝑦 0 𝑅𝐴 𝑅𝐶 0 𝑅𝐴 1125 𝑘𝑁 𝐹𝑥 0 𝐻𝐴 60 3 0 𝐻𝐴 180 𝑘𝑁 𝑅𝐶 𝑅𝐴 𝐻𝐴 𝑀 𝑥1 180x 60 x x 2 180x 30x² 1125 1125 180 𝑀 𝑥2 1125x 65 EXERCÍCIOS 1 𝑘𝑁 𝑅𝑎 𝑅𝑐 𝐻𝑎 𝑀𝐴 0 24 𝑅𝑐 1 3 0 𝑅𝐶 3 24 125 𝑘𝑁 𝐹𝑦 0 𝑅𝐴 𝑅𝐶 0 𝑅𝐴 125 𝑘𝑁 𝐹𝑥 0 𝐻𝐴 1 0 𝐻𝐴 1 𝑘𝑁 1 𝑘𝑁 125 125 1 ഥ 𝑀 𝑥1 1𝑥 𝑥 ഥ 𝑀 𝑥2 125𝑥 66 EXERCÍCIOS 1 න 0 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 න 0 3 𝑥 180𝑥 30𝑥2 𝐸𝐼 𝑑𝑥 න 0 24 125𝑥 1125𝑥 𝐸𝐼 𝑑𝑥 න 0 3 180𝑥2 30𝑥3 𝐸𝐼 𝑑𝑥 න 0 24 140625𝑥2 𝐸𝐼 𝑑𝑥 อ 180x3 3EI 30x4 4EI 0 3 อ 140625x3 3EI 0 24 1620 𝐸𝐼 6075 𝐸𝐼 648 𝐸𝐼 16605 𝐸𝐼 𝑀 𝑥1 180x 60 x x 2 180x 30x² 𝑀 𝑥2 1125x ഥ 𝑀 𝑥1 1𝑥 𝑥 ഥ 𝑀 𝑥2 125𝑥 TEOREMA DE CASTIGLIANO FACULDADE MULTIVIX 68 TEOREMA DE CASTIGLIANO Para qualquer estrutura elástica linear sujeita a um determinado conjunto de cargas temperatura constante e apoios indeslocáveis a primeira derivada parcial da energia de deformação em relação a uma força em particular será igual ao deslocamento daquela força na direção de sua aplicação 𝒊 𝑼 𝑷𝒊 O deslocamento Δi na direção da força Pi é igual à primeira derivada parcial da energia de deformação em relação a Pi Para treliças 𝒊 𝑼 𝑷𝒊 Δ 𝑃 𝑁2𝐿 2𝐸𝐴 Como a derivada parcial 𝑁² 𝑃 2𝑁 𝑁 𝑃 Δ deslocamento do nó externo da treliça P força externa aplicada ao nó da treliça na direção de Δ N força interna em um membro causada tanto pelo força P quanto pelas cargas sobre a treliça 69 TEOREMA DE CASTIGLIANO TRELIÇAS 𝑈𝑖 න 0 𝐿 𝑁2𝑑𝑥 2𝐸𝐴 𝑁²𝐿 2𝐸𝐴 𝚫 𝐍 𝑷 𝑵𝑳 𝑨𝑬 Essa equação é similar àquela usada para o método do trabalho virtual exceto que n é substituído por 𝑃 A fim de calcular esta derivada parcial será necessário tratar P como uma variável e não como uma quantidade numérica específica com cada força de membro N sendo expressa como uma função de P 70 Príncipio dos Trabalhos Virtuais 𝑛𝑁𝐿 𝐴𝐸 𝚫 𝐍 𝐍 𝑷 𝑳 𝑨𝑬 TEOREMA DE CASTIGLIANO TRELIÇAS Procedimento para análise Força externa P Coloque uma força P sobre a treliça no nó onde o deslocamento desejado será determinado Forças internas N Determine a força N em cada membro causada tanto pelas cargas reais quanto pela força variável P Calcule a derivada parcial respectiva N 𝑃 para cada membro Após determinar N e N 𝑃 estabeleça P igual a seu valor real P 0 ou igual ao valor da carga que ela substituiu Teorema de Castigliano Aplique a equação para determinar o deslocamento desejado Δ Se a soma resultante for positiva Δ está na mesma direção que P Se resultar um valor negativo Δ está na direção oposta a P 71 Δ N 𝑃 𝐿 𝐴𝐸 TEOREMA DE CASTIGLIANO TRELIÇAS Para vigas e pórticos 𝒊 𝑼 𝑷𝒊 Δ 𝑃 න 0 𝐿 𝑀² 2𝐸𝐼 𝑑𝑥 Como a derivada parcial 𝑀² 𝑃 2𝑀 𝑀 𝑃 Δ deslocamento do nó externo da treliça P força externa aplicada ao nó da treliça na direção de Δ N força interna em um membro causada tanto pelo força P quanto pelas cargas sobre a treliça 72 TEOREMA DE CASTIGLIANO TRELIÇAS 𝑈𝑖 න 0 𝐿 𝑀² 2𝐸𝐼 𝑑𝑥 𝚫 න 𝟎 𝑳 𝑴 𝑷 𝑴 𝑬𝑰 𝒅𝒙 𝛉 න 𝟎 𝑳 𝑴 𝑷 𝑴 𝑬𝑰 𝒅𝒙 73 Determine o deslocamento vertical do ponto B da viga abaixo Considere E 200 GPA I 500 x 106 mm4 S x 12 kNm P kN EXERCÍCIOS Δ න 0 𝐿 𝑀 𝑃 𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 න 0 10 𝑥 𝑃𝑥 6𝑥² 𝐸𝐼 𝑑𝑥 න 0 10 𝑃𝑥2 6𝑥³ 𝐸𝐼 𝑑𝑥 อ 6𝑥4 4𝐸𝐼 0 10 150 𝑚𝑚 𝑀 𝑥 𝑃𝑥 12𝑥 𝑥 2 𝑃𝑥 6𝑥2 𝑀 𝑃 𝑥 P 0 kN 74 Determine o deslocamento vertical do ponto B da viga abaixo Considere E 200 GPA I 500 x 106 mm4 EXERCÍCIOS Determine o deslocamento vertical do nó C da treliça mostrada A área da seção transversal de cada membro é A 400 mm² e E 200 GPa 75 EXEMPLO Δ N 𝑃 𝐿 𝐴𝐸 Determine o deslocamento vertical do nó C da treliça mostrada A área da seção transversal de cada membro é A 400 mm² e E 200 GPa 76 EXEMPLO 𝑀𝐴 0 4 𝑃 3 4 8𝑅𝐵 0 𝑅𝐵 4𝑃 12 8 05𝑃 15 𝐹𝑦 0 𝑅𝐴 𝑅𝐵 𝑃 0 𝑅𝐴 05𝑃 15 𝑘𝑁 𝐹𝑥 0 𝐻𝐴 4 0 𝐻𝐴 4 𝑘𝑁 05P15 𝑁𝐴𝐶 𝑁𝐴𝐵 EQUILÍBRIO NÓ A 𝐹𝑦 0 05𝑃 15 𝑁𝐴𝐶𝑠𝑒𝑛45 0 𝑵𝑨𝑭 𝟐 𝟓 𝟎 𝟖𝟑𝟑 𝑷 𝐹𝑥 0 𝑁𝐴𝐵 𝑁𝐴𝐶𝑐𝑜𝑠45 4 0 𝑁𝐴𝐵 25 0833𝑃 𝑐𝑜𝑠45 4 𝑵𝑨𝑩 𝟐 𝟎 𝟔𝟔𝟕 40 𝑠𝑒𝑛𝛼 3 5 cos𝛼 4 5 Determine o deslocamento vertical do nó C da treliça mostrada A área da seção transversal de cada membro é A 400 mm² e E 200 GPa 77 EXEMPLO 𝑀𝐴 0 4 𝑃 3 4 8𝑅𝐵 0 𝑅𝐵 4𝑃 12 8 05𝑃 15 𝐹𝑦 0 𝑅𝐴 𝑅𝐵 𝑃 0 𝑅𝐴 05𝑃 15 𝑘𝑁 𝐹𝑥 0 𝐻𝐴 4 0 𝐻𝐴 4 𝑘𝑁 05P15 𝑁𝐵𝐶 2 0667𝑃 EQUILÍBRIO NÓ B 𝐹𝑦 0 05𝑃 15 𝑁𝐵𝐶𝑠𝑒𝑛45 0 𝑵𝑩𝑪 𝟐 𝟓 𝟎 𝟖𝟑𝟑 𝑷 𝑠𝑒𝑛𝛼 3 5 cos𝛼 4 5 Determine o deslocamento vertical do nó C da treliça mostrada A área da seção transversal de cada membro é A 400 mm² e E 200 GPa 78 EXEMPLO 0667P2 Membro N 𝐍 𝑃 N P0 L m N 𝐍 𝑃L AB 0667P2 0667 2 8 1067 AC 250833P 0833 25 5 1042 BC 250833P 0833 25 5 1042 𝛴 1067 𝑘𝑁 𝑚 𝐶𝑣 σ N 𝑃 𝐿 AE 1067kN m 400 106𝑚2 200 106𝑘𝑁𝑚² 0133 mm Δ N 𝑃 𝐿 𝐴𝐸 Usando o Teorema de Castigliano determinar a flecha na extremidade do balanço 𝑥 EXEMPLO 79 Δ න 0 𝐿 𝑀 𝑃 𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 න 0 𝐿 𝑥 𝑃𝑥 𝐸𝐼 𝑑𝑥 න 0 𝐿 𝑃𝑥² 𝐸𝐼 𝑑𝑥 𝑷𝑳𝟑 𝟑𝑬𝑰 𝑀 𝑥 𝑃𝑥 𝑀 𝑃 𝑥 PP Usando o Teorema de Castigliano determinar a flecha na extremidade do balanço Desta vez existe uma carga de 20 kN aplicada EXEMPLO 80 Δ න 0 𝐿 𝑀 𝑃 𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 න 0 𝐿 𝑥 20𝑥 𝑃𝑥 𝐸𝐼 𝑑𝑥 න 0 𝐿 20𝑥² 𝐸𝐼 𝑑𝑥 𝟐𝟎𝑳𝟑 𝟑𝑬𝑰 𝑀 𝑥 20𝑥 𝑃𝑥 𝑀 𝑃 𝑥 P0 Usando o Teorema de Castigliano determinar a flecha na extremidade do balanço EXEMPLO 81 Δ න 0 𝐿 𝑀 𝑃 𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 න 0 𝐿 𝑥 𝑃𝑥 𝐸𝐼 𝑑𝑥 න 0 𝐿 𝑃𝑥² 𝐸𝐼 𝑑𝑥 𝑷𝑳𝟑 𝟑𝑬𝑰 𝟐𝟎𝑳3 𝟑𝑬𝑰 𝑀 𝑥 𝑃𝑥 𝑀 𝑃 𝑥 P 20 kN Substituo 20 kN por P