Analise Estrutural II - Metodo das Forcas em Engenharia Civil

ANÁLISE ESTRUTURAL II Unidade 3 Método das Forças Prof Lucas Broseghini Totola Curso Engenharia Civil 20231 lucastotolaprofessormultivixedubr INTRODUÇÃO Existe um caso especial de estruturas cujos esforços internos e externos reações de apoio podem ser determinados apenas por condições de equilíbrio estaticamente determinadas ou isostáticas As estruturas cujos esforços internos e externos não podem ser determinados apenas pelas condições de equilíbrio são definidas como estruturas estaticamente indeterminadas ou estruturas hiperestáticas Esta seção faz uma comparação entre o comportamento das estruturas isostáticas e hiperestáticas mostrando suas vantagens e desvantagens e justificando as razões pelas quais as últimas aparecerem mais frequentemente CÁLCULO DE REAÇÕES E ESFORÇOS SOLICITANTES EM ESTRUTURAS Estruturas Isostáticas resolvidas através das equações da Estática Plano 3 equações e 3 incógnitas Espaço 6 equações e 6 incógnitas Estruturas Hiperestáticas mais incógnitas que as equações da Estática Solução equações adicionais compatibilidade de deslocamentos ANÁLISE ESTRUTURAL I ANÁLISE ESTRUTURAL II Essa comparação é feita utilizando um pórtico plano Menores deformações Menores esforços internos O valor das reações horizontais H é indefinido considerando somente as condições de equilíbrio Infinitas soluções complexidade Maiores deformações Maiores esforços internos Reação horizontal nula INTRODUÇÃO VANTAGENS DAS ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Menores tensões e deslocamentos Os esforços internos em uma estrutura hiperestática têm em geral uma distribuição mais otimizada ao longo da estrutura Isso pode levar a menores valores para os esforços máximos economia de materiais VANTAGENS DAS ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Menores tensões e deslocamentos Os esforços internos em uma estrutura hiperestática têm em geral uma distribuição mais otimizada ao longo da estrutura Isso pode levar a menores valores para os esforços máximos economia de materiais Vigas biapoiadas Maiores esforços exigem maiores seções transversais para as vigas e maior peso da estrutura Viga contínua Melhor distribuição dos esforços momentos máximos menores VANTAGENS DAS ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Na estrutura hiperestática há um controle maior dos esforços internos por parte do analista estrutural Na Figura a as colunas são muito mais rígidas do que a viga fazendo com que as rotações das extremidades da viga sejam muito pequenas se aproximando do caso de uma viga com extremidades engastadas Na Figura c a viga é muito mais rígida que as colunas a ponto destas não oferecerem impedimento às rotações das extremidades das vigas que se aproxima do comportamento de uma viga simplesmente apoiada Na estrutura hiperestática há um controle maior dos esforços internos por parte do analista estrutural Podese concluir que os diagramas de momentos fletores da viga podem ser alterados de um comportamento quase biengastado para quase biapoiado com a variação da rigidez relativa entre os elementos estruturais O analista estrutural pode explorar essa característica da estrutura hiperestática minimizando ao máximo dentro do possível os esforços internos na estrutura Isso não pode ser feito em uma estrutura isostática as reações de apoio e o diagrama de momentos fletores independem dos parâmetros de rigidez relativos entre viga e colunas as reações e os esforços internos só dependem da geometria da estrutura e dos valores das cargas VANTAGENS DAS ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Hiperestáticos Maior Segurança As estruturas estaticamente indeterminadas caso projetadas apropriadamente possuem a capacidade de redistribuir as cargas quando algumas de suas regiões ficam sobrecarregadas ou entram em colapso no caso de sobrecargas devido a terremotos tornados impactos por exemplo explosões de gás ou impactos de veículos As estruturas indeterminadas possuem mais elementos eou reações de apoio do que o necessário para estabilidade estática de modo que se uma parte de tal estrutura romper a estrutura toda não necessariamente estará em colapso e as cargas serão redistribuídas nas regiões adjacentes da estrutura VANTAGENS DAS ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Complexidade Na estrutura isostática as reações de apoio e o diagrama de momentos fletores independe dos parâmetros de rigidez relativos entre viga e colunas O diagrama de momentos fletores só depende dos valores da carga e reações e da geometria da estrutura sendo considerado uma vantagem para este tipo de estrutura Essa situação representa uma dificuldade de projeto as forças não podem ser determinadas até que as dimensões dos elementos estruturais sejam conhecidos e as dimensões dos elementos estruturais não podem ser determinados até que suas forças sejam conhecidas processo iterativo de dimensionamento DESVANTAGENS DAS ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Tensoes devido a recalques do apoio Os recalques de apoio não causam tensões em estruturas determinadas eles podem entretanto induzir tensões significativas em estruturas indeterminadas as quais devem ser levadas em consideração DESVANTAGENS DAS ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Tensões devido a variações de temperatura e erros de montagem Igualmente aos recalques de apoio esses efeitos não causam tensões em determinadas estruturas mas podem induzir tensões significativas nas indeterminadas DESVANTAGENS DAS ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS OBJETIVO Calcular as estruturas hiperestáticas ou seja determinar as reações que ocorrem em seus apoios os esforços que ocorrem em suas barras e os deslocamentos que ocorrem em seus pontos ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Métodos de Análise As estruturas hiperestáticas retratam a realidade dos projetos de engenharia desde edificações mais simples até as mais complexas O método das forças é um dos mais simples pois adota os conceitos do Princípio dos Trabalhos Virtuais Forças Deslocamentos Cross Equação dos 3 Momentos Método dos Elementos Finitos FTOOL PASSO 1 Identificação do Grau de Hiperestaticidade g número de incógnitas reações número de equações disponíveis Número de equações disponíveis Externas equações de equilíbrio estático para a estrutura como um todo 3 no plano Fx 0 Fy 0 Mz 0 Internas equações de equilíbrio estático para parte da estrutura conhecido um ou mais esforços internos ex rótula Número de Incógnitas Externas reações de apoio ou vinculares MÉTODO DAS FORÇAS METODOLOGIA PASSO 2 Definição do Sistema Principal SP Para definir o SP devemos escolher qual informação iremos calcular aqui denominada HIPERESTÁTICO O hiperestático escolhido deve tornar o SP isostática e estável Exemplo Hiperestático como Reação Vertical MÉTODO DAS FORÇAS METODOLOGIA X1 RB X1 RC 𝑔 𝑟 𝑒 4 3 1 Sistema Principal Opção 1 Sistema Principal Opção 2 A B C PASSO 2 Definição do Sistema Principal SP O modelo deve ser escolhido de modo a garantir uma resolução mais rápida e com Diagramas de Momento Fletor mais simples Exemplo Hiperestático como Momento MÉTODO DAS FORÇAS METODOLOGIA X1 𝑔 𝑟 𝑒 4 3 1 Sistema Principal Opcão 3 A B C PASSO 3 Decomposição da Estrutura Estados de Carregamento e Deformação Os estados retratam a escolha do Sistema Principal MÉTODO DAS FORÇAS METODOLOGIA X1 RB ESTADO DE DEFORMAÇÃO E0 SP SUBSTITUIÇÃO DO APOIO EM B PELO HIPERESTÁTICO X1 ESTADO DE CARREGAMENTO VIRTUAL E1 APLICAÇÃO DE CARGA UNITÁRIA SUBSTITUINDO O HIPERESTÁTICO X1 X1 1 PASSO 3 Decomposição da Estrutura Estados de Carregamento e Deformação MÉTODO DAS FORÇAS METODOLOGIA Apenas o carregamento externo aplicado Apenas o hiperestático X1 aplicado PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO DE EFEITOS PASSO 4 Dando nome aos deslocamentos 𝛿𝑖𝑗 é o deslocamento causado pelo carregamento j no grau de liberdade i associado ao hiperestático i MÉTODO DAS FORÇAS METODOLOGIA 𝛿10 Onde 𝜹𝟏𝟎 deslocamento vertical no ponto B restringido pelo hiperestático X1 i1 causado pelo carregamento real sempre j0 𝜹𝟏𝟏 deslocamento vertical no ponto B restringido pelo hiperestático X1 i1 causado pelo carga unitária associada ao hiperestático X1 j1 𝛿11 PASSO 5 Equação Geral Condição de Compatibilidade A combinação dos deslocamentos da carga virtual com a estrutura isostática do estado de deformação E0 recompõe a estrutura real possibilitando sua análise MÉTODO DAS FORÇAS METODOLOGIA 𝛿𝐵 0 𝛿𝐵 𝛿10 𝛿11 𝑋1 0 𝑿𝟏 𝜹𝟏𝟎 𝜹𝟏𝟏 𝛿10 𝛿11 Para Grau 1 PASSO 5 Equação Geral Para Grau 2 MÉTODO DAS FORÇAS METODOLOGIA 𝛿10 𝛿11 𝑋1 𝛿12 𝑋2 0 𝛿20 𝛿21 𝑋1 𝛿22 𝑋2 0 Onde 𝜹𝟏𝟎 deslocamento ou rotação no ponto X restringido pelo hiperestático X1 i1 causado pelo carregamento real sempre j0 𝜹𝟏𝟏 deslocamento ou rotação no ponto X restringido pelo hiperestático X1 i1 causado pela carga unitária associada ao hiperestático X1 j1 𝜹𝟏𝟐 deslocamento ou rotação no ponto X restringido pelo hiperestático X1 i1 causado pela carga unitária associada ao hiperestático X2 j2 𝜹𝟐𝟎 deslocamento ou rotação no ponto Y restringido pelo hiperestático X2 i2 causado pelo carregamento real sempre j0 𝜹𝟐𝟏 deslocamento no rotação ponto Y restringido pelo hiperestático X2 i2 causado pela carga unitária associada ao hiperestático X1 j1 𝜹𝟐𝟐 deslocamento ou rotação no ponto Y restringido pelo hiperestático X2 i2 causado pela carga unitária associada ao hiperestático X2 j2 𝑋1 e 𝑋2 𝑖𝑛𝑐ó𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠 PASSO 6 Apresentação dos Resultados Após a determinação dos hiperestáticos utilizamos o Sistema Principal para calcular as demais reações de apoio e traçado dos diagramas de esforços MÉTODO DAS FORÇAS METODOLOGIA X1 RB 3𝑞𝑙 8 PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS MÉTODO DAS FORÇAS METODOLOGIA 1 𝛿 න 0 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 𝛿10 𝛿11 𝛿𝐵 𝛿10 𝛿11 𝑋1 0 𝑿𝟏 𝜹𝟏𝟎 𝜹𝟏𝟏 𝛿10 combinação do momento fletor causado pelo carregamento virtual ഥ 𝑀 com o momento fletor causado pelas cargas externas 𝑀 𝛿11 combinação do momento fletor causado pelo carregamento virtual ഥ 𝑀 com ele mesmo EXEMPLO NUMÉRICO Determinar as reações de apoio da viga abaixo Adotar EI 1 Determinação do Grau de Hiperestaticidade Definição do SP E0 e dos estados de carregamento virtual E1 E2 decomposição da estrutura MÉTODO DAS FORÇAS EXEMPLO X1 RB ESTADO E0 ESTADO E1 Aplicação do Princípio dos Trabalhos Virtuais ESTADO E0 ESTADO E1 𝑀 𝑥 50𝑥2 2 25𝑥² ഥ𝑀 𝑥 𝑥 X1 RB MÉTODO DAS FORÇAS EXEMPLO Aplicação do Princípio dos Trabalhos Virtuais ESTADO E0 ESTADO E1 𝑀 𝑥 50𝑥2 2 25𝑥² ഥ𝑀 𝑥 𝑥 𝛿10 1 𝛿 න 0 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 න 0 8 𝑥 25𝑥2 𝐸𝐼 𝑑𝑥 න 0 8 25𝑥3 𝐸𝐼 𝑑𝑥 25𝑥4 4𝐸𝐼 25600 𝐸𝐼 X1 RB MÉTODO DAS FORÇAS EXEMPLO Combinação E1 com E0 Aplicação do Princípio dos Trabalhos Virtuais ESTADO E0 ESTADO E1 𝑀 𝑥 50𝑥2 2 25𝑥² ഥ𝑀 𝑥 𝑥 𝛿10 1 𝛿 න 0 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 න 0 8 𝑥 25𝑥2 𝐸𝐼 𝑑𝑥 න 0 8 25𝑥3 𝐸𝐼 𝑑𝑥 25𝑥4 4𝐸𝐼 25600 𝐸𝐼 𝛿11 1 𝛿 න 0 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 න 0 8 𝑥 𝑥 𝐸𝐼 𝑑𝑥 න 0 8 𝑥2 𝐸𝐼 𝑑𝑥 𝑥3 3𝐸𝐼 512 3𝐸𝐼 X1 RB MÉTODO DAS FORÇAS EXEMPLO 𝑿𝟏 𝜹𝟏𝟎 𝜹𝟏𝟏 Combinação E1 com E1 Aplicação do Princípio dos Trabalhos Virtuais ESTADO E0 ESTADO E1 𝑀 𝑥 50𝑥2 2 25𝑥² ഥ𝑀 𝑥 𝑥 𝛿10 1 𝛿 න 0 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 න 0 8 𝑥 25𝑥2 𝐸𝐼 𝑑𝑥 න 0 8 25𝑥3 𝐸𝐼 𝑑𝑥 25𝑥4 4𝐸𝐼 25600 𝐸𝐼 𝛿11 1 𝛿 න 0 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 න 0 8 𝑥 𝑥 𝐸𝐼 𝑑𝑥 න 0 8 𝑥2 𝐸𝐼 𝑑𝑥 𝑥3 3𝐸𝐼 512 3𝐸𝐼 𝑿𝟏 25600 𝐸𝐼 512 3𝐸𝐼 150 𝑘𝑁 X1 RB MÉTODO DAS FORÇAS EXEMPLO 𝑿𝟏 𝜹𝟏𝟎 𝜹𝟏𝟏 Cálculo das reações de apoio e traçado dos diagramas X1 RB 150 𝑘𝑁 𝐹𝑥 0 𝑯𝑨 𝟎 𝐹𝑦 0 𝑅𝐴 150 50 8 0 𝑹𝑨 𝟐𝟓𝟎 𝐤𝐍 𝑀𝐴 0 𝑀𝐴 150 8 50 8 4 0 𝑴𝑨 𝟒𝟎𝟎 𝐤𝐍 𝐦 RA HA MA MÉTODO DAS FORÇAS EXEMPLO Cálculo das reações de apoio e traçado dos diagramas RB 150 kN RA 250 kN MA400 kNm MÉTODO DAS FORÇAS EXEMPLO 400 𝑞𝑙2 8 50 82 8 400 0 250 150 DMF kNm DEC kN TABELA DE KURTBEYER Quando a aplicação do PTV envolve muitas integrações podemos empregar um procedimento com o uso de uma tabela que apresenta o resultado da integral do produto de duas funções MÉTODO DAS FORÇAS TEORIA DAS ESTRUTURAS ANÁLISE ESTRUTURAL TABELA PARA CÁLCULO DA INTEGRAL DE MOMENTOS MÉTODO GRÁFICO Aplicação da Tabela da KurtBeyer no exemplo anterior ESTADO E0 ESTADO E1 X1 RB MÉTODO DAS FORÇAS EXEMPLO DMF ESTADO E0 kNm DMF ESTADO E1 kNm 𝑀𝐴 0 𝑀𝐴 50 8 4 0 𝑀𝐴 1600 𝑘𝑁 𝑚 𝑀𝐴 0 𝑀𝐴 8 1 0 𝑀𝐴 8 𝑘𝑁 𝑚 RA MA RA MA 𝑀𝐴 0 𝑀𝐴 50 8 4 0 𝑀𝐴 1600 𝑘𝑁 𝑚 Momento nos pontos nodais 𝑀𝐴 1600 𝑀𝐵 0 Aplicação da Tabela da KurtBeyer no exemplo anterior ESTADO E0 ESTADO E1 X1 RB MÉTODO DAS FORÇAS EXEMPLO DMF ESTADO E0 kNm DMF ESTADO E1 kNm 𝑀𝐴 0 𝑀𝐴 8 1 0 𝑀𝐴 8 𝑘𝑁 𝑚 Momento nos pontos nodais 𝑀𝐴 8 𝑀𝐵 0 RA MA RA MA Aplicação da Tabela da KurtBeyer no exemplo anterior ESTADO E0 ESTADO E1 X1 RB MÉTODO DAS FORÇAS EXEMPLO 1600 𝑞𝑙2 8 50 82 8 400 0 8 DMF kNm DMF kNm 𝑀𝐴 0 𝑀𝐴 50 8 4 0 𝑀𝐴 1600 𝑘𝑁 𝑚 𝑀𝐴 0 𝑀𝐴 8 1 0 𝑀𝐴 8 𝑘𝑁 𝑚 RA MA RA MA Aplicação do Princípio dos Trabalhos Virtuais ESTADO E0 ESTADO E1 MÉTODO DAS FORÇAS EXEMPLO 1600 𝑞𝑙2 8 50 82 8 400 0 8 DMF kNm DMF kNm 𝛿10 1 𝐸𝐼 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 ESTADO E0 ESTADO E1 1600 8 400 Combinação das figuras do estado E1 com o Estado E0 Aplicação do Princípio dos Trabalhos Virtuais ESTADO E0 ESTADO E1 MÉTODO DAS FORÇAS EXEMPLO 1600 𝑞𝑙2 8 50 82 8 400 0 8 DMF kNm DMF kNm 𝛿10 1 𝐸𝐼 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 ESTADO E0 ESTADO E1 1600 8 400 1 𝐸𝐼 1 3 𝐿𝑀 ഥ 𝑀 1 3 𝐿𝑀 ഥ 𝑀 Combinação das figuras do estado E1 com o Estado E0 Aplicação do Princípio dos Trabalhos Virtuais ESTADO E0 ESTADO E1 MÉTODO DAS FORÇAS EXEMPLO 1600 𝑞𝑙2 8 50 82 8 400 0 8 DMF kNm DMF kNm 𝛿10 1 𝐸𝐼 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 ESTADO E0 ESTADO E1 1600 8 400 1 𝐸𝐼 1 3 𝐿𝑀 ഥ 𝑀 1 3 𝐿𝑀 ഥ 𝑀 1 𝐸𝐼 1 3 8 1600 8 1 3 8 400 8 25600 𝐸𝐼 Combinação das figuras do estado E1 com o Estado E0 TEORIA DAS ESTRUTURAS ANÁLISE ESTRUTURAL TABELA PARA CÁLCULO DA INTEGRAL DE MOMENTOS MÉTODO GRÁFICO Aplicação do Princípio dos Trabalhos Virtuais ESTADO E0 ESTADO E1 MÉTODO DAS FORÇAS EXEMPLO 1600 𝑞𝑙2 8 50 82 8 400 0 8 DMF kNm DMF kNm 𝛿11 1 𝐸𝐼 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 ESTADO E1 ESTADO E1 8 8 Combinação das figuras do estado E1 com o Estado E1 𝛿11 1 𝐸𝐼 1 3 𝐿𝑀 ഥ 𝑀 Aplicação do Princípio dos Trabalhos Virtuais ESTADO E0 ESTADO E1 MÉTODO DAS FORÇAS EXEMPLO 1600 𝑞𝑙2 8 50 82 8 400 0 8 DMF kNm DMF kNm 𝛿11 1 𝐸𝐼 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 ESTADO E1 ESTADO E1 8 8 1 𝐸𝐼 1 3 𝐿𝑀 ഥ 𝑀 1 𝐸𝐼 1 3 8 8 8 512 3𝐸𝐼 Combinação das figuras do estado E1 com o Estado E1 Aplicação do Princípio dos Trabalhos Virtuais ESTADO E0 ESTADO E1 MÉTODO DAS FORÇAS EXEMPLO 1600 𝑞𝑙2 8 50 82 8 400 0 8 DMF kNm DMF kNm 𝛿11 1 𝐸𝐼 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 ESTADO E1 ESTADO E1 8 8 1 𝐸𝐼 1 3 𝐿𝑀 ഥ 𝑀 1 𝐸𝐼 1 3 8 8 8 512 3𝐸𝐼 𝑿𝟏 25600 𝐸𝐼 512 3𝐸𝐼 150 𝑘𝑁 Combinação das figuras do estado E1 com o Estado E1 Para a viga hiperestática abaixo pelo método das forças calcular as reações de apoio e traçar os diagramas de esforços Considere EI constante e utilize os seguintes sistemas principais a Hiperestático X1 RD MÉTODO DAS FORÇAS EXERCÍCIO A D B C a Hiperestático X1 RD ESTADO E0 Sistema Principal isostático com a liberação do vínculo X1 MÉTODO DAS FORÇAS EXERCÍCIO DETERMINAR REAÇÕES DE APOIO PARA TRAÇADO DO DMF RC RB A D B C a Hiperestático X1 RD ESTADO E0 Sistema Principal isostático com a liberação do vínculo X1 MÉTODO DAS FORÇAS EXERCÍCIO 𝐹𝑥 0 𝑯𝑨 𝟎 𝑀𝐵 0 40 3 20 5 25 5𝑅𝐶 50 0 𝑹𝑪 𝟑𝟔 𝐤𝐍 𝐹𝑦 0 𝑅𝐵 𝑅𝐶 40 20 5 0 𝑅𝐵 40 100 36 𝑹𝑩 𝟏𝟎𝟒 𝒌𝑵 A D B C RC RB a Hiperestático X1 RD ESTADO E0 Sistema Principal isostático com a liberação do vínculo X1 MÉTODO DAS FORÇAS EXERCÍCIO TRAÇADO DO DMF 36 kN 104 kN A D B C a Hiperestático X1 RD ESTADO E0 Sistema Principal isostático com a liberação do vínculo X1 MÉTODO DAS FORÇAS EXERCÍCIO TRAÇADO DO DMF 36 kN 104 kN A D B C a Hiperestático X1 RD ESTADO E1 aplicação apenas do carregamento virtual MÉTODO DAS FORÇAS EXERCÍCIO A D B C a Hiperestático X1 RD ESTADO E1 aplicação apenas do carregamento virtual MÉTODO DAS FORÇAS EXERCÍCIO A D B C MÉTODO DAS FORÇAS EXERCÍCIO 𝛿𝐷 𝛿10 𝛿11 𝑋1 0 𝛿𝐷 𝛿10 𝛿11 𝑋1 0 𝑿𝟏 𝜹𝟏𝟎 𝜹𝟏𝟏 120 50 50 0 4 𝛿10 න 0 𝐿 ഥ𝑀𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 1 𝐸𝐼 𝐿 ഥ𝑀𝑀 ESTADO E1 ESTADO E0 A D B C MÉTODO DAS FORÇAS EXERCÍCIO 𝛿𝐷 𝛿10 𝛿11 𝑋1 0 𝑿𝟏 𝜹𝟏𝟎 𝜹𝟏𝟏 120 50 50 0 4 ESTADO E1 ESTADO E0 4 4 50 50 120 120 625 ESTADO E0 ESTADO E1 A D B C TEORIA DAS ESTRUTURAS ANÁLISE ESTRUTURAL TABELA PARA CÁLCULO DA INTEGRAL DE MOMENTOS METÓDO GRÁFICO 4 4 50 50 120 120 625 ESTADO E0 ESTADO E1 𝛿10 න 0 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 1 𝐸𝐼 𝐿 ഥ𝑀𝑀 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 0 𝐿 ഥ𝑀𝑀 1 2 𝐿 ഥ𝑀𝑀 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 1 6 𝐿 𝑀𝐴 2𝑀𝐵 ഥ 𝑀 1 3 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 MÉTODO DAS FORÇAS EXERCÍCIO 4 4 50 50 120 120 625 ESTADO E0 ESTADO E1 𝛿10 න 0 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 1 𝐸𝐼 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 0 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 1 2 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 1 6 𝐿 𝑀𝐴 2𝑀𝐵 ഥ 𝑀 1 3 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 𝐿 ഥ𝑀𝑀 0 1 2 4 50 4 400 1 6 5 120 2 50 4 1 3 5 4 625 73333 41666 31666 𝛿10 31666 400 𝐸𝐼 71666 𝐸𝐼 MÉTODO DAS FORÇAS EXERCÍCIO 4 4 ESTADO E1 ESTADO E1 𝛿11 න 0 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 1 𝐸𝐼 𝐿 ഥ𝑀𝑀 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 0 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 1 3 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 1 3 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 4 4 MÉTODO DAS FORÇAS EXERCÍCIO 4 4 ESTADO E1 ESTADO E1 𝛿11 න 0 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 1 𝐸𝐼 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 0 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 1 3 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 1 3 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 4 4 0 1 3 4 4 4 2133 1 3 5 4 4 2667 𝛿11 2667 2133 𝐸𝐼 48 𝐸𝐼 MÉTODO DAS FORÇAS EXERCÍCIO 𝛿𝐷 𝛿10 𝛿11 𝑋1 0 𝑿𝟏 𝜹𝟏𝟎 𝜹𝟏𝟏 71666 𝐸𝐼 𝟒𝟖 𝑬𝑰 𝟏𝟒 𝟗𝟑 𝒌𝑵 A D B C RD1493 kN RC RB Com a determinação do hiperestático eu torno a minha viga num problema isostático em que eu consigo determinar as demais reações e realizar o traçado dos diagramas MÉTODO DAS FORÇAS EXERCÍCIO a Hiperestático X1 RD MÉTODO DAS FORÇAS EXERCÍCIO RD1493 kN RC RB a Hiperestático X1 RD MÉTODO DAS FORÇAS EXERCÍCIO RD1493 kN RC912 kN RB11594 kN a Hiperestático X1 RD MÉTODO DAS FORÇAS EXERCÍCIO RD1493 kN RC912 kN RB11594 kN DMF kNm DEC kNm Traçar os diagramas de momento fletor e esforço Cortante da viga abaixo MÉTODO DAS FORÇAS EXERCÍCIO 2 3 opções de sistema principal Sistema Principal Escolhido PÓRTICOS Exemplo Calcular as reações de apoio e montar o DMF DEC e DEN do pórtico hiperestático abaixo Considerar EI constante para as barras AC CD e DB MÉTODO DAS FORÇAS PÓRTICO Exemplo Calcular as reações de apoio e montar o DMF DEC e DEN do pórtico hiperestático abaixo Considerar EI constante para as barras AC CD e DB MÉTODO DAS FORÇAS PÓRTICO ESTADO 0 SISTEMA PRINCIPAL ESCOLHIDO ESTRUTURA ISOSTÁTICA COM A LIBERAÇÃO DE DOIS VÍNCULOS DA ESTRUTURA ESTRUTURA ORIGINAL ESTADO 0 MÉTODO DAS FORÇAS PÓRTICO Liberação da rotação no ponto A e do deslocamento horizontal no ponto B ESTRUTURA HIPERESTÁTICA ESTADO E0 SISTEMA PRINCIPAL carregamento real ESTADO E1 8m 6m Xa M1 kNm ESTADO E2 hiperestático X2HB1kN PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS MÉTODO DAS FORÇAS METODOLOGIA 1 𝛿 න 0 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 𝛿10 𝛿11 𝛿𝐵 𝛿10 𝛿11 𝑋1 0 𝑿𝟏 𝜹𝟏𝟎 𝜹𝟏𝟏 𝛿10 combinação do momento fletor causado pelo carregamento virtual ഥ 𝑀 com o momento fletor causado pelas cargas externas 𝑀 𝛿11 combinação do momento fletor causado pelo carregamento virtual ഥ 𝑀 com ele mesmo PASSO 5 Equação Geral Para Grau 2 MÉTODO DAS FORÇAS METODOLOGIA 𝛿10 𝛿11 𝑋1 𝛿12 𝑋2 0 𝛿20 𝛿21 𝑋1 𝛿22 𝑋2 0 Onde 𝜹𝟏𝟎 deslocamento ou rotação no ponto X restringido pelo hiperestático X1 i1 causado pelo carregamento real sempre j0 𝜹𝟏𝟏 deslocamento ou rotação no ponto X restringido pelo hiperestático X1 i1 causado pela carga unitária associada ao hiperestático X1 j1 𝜹𝟏𝟐 deslocamento ou rotação no ponto X restringido pelo hiperestático X1 i1 causado pela carga unitária associada ao hiperestático X2 j2 𝜹𝟐𝟎 deslocamento ou rotação no ponto Y restringido pelo hiperestático X2 i2 causado pelo carregamento real sempre j0 𝜹𝟐𝟏 deslocamento no rotação ponto Y restringido pelo hiperestático X2 i2 causado pela carga unitária associada ao hiperestático X1 j1 𝜹𝟐𝟐 deslocamento ou rotação no ponto Y restringido pelo hiperestático X2 i2 causado pela carga unitária associada ao hiperestático X2 j2 𝑋1 e 𝑋2 𝑖𝑛𝑐ó𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠 ESTADO 0 Cálculo das reações de apoio e DMF MÉTODO DAS FORÇAS PÓRTICO RB RA HA ESTADO 0 Cálculo das reações de apoio e DMF MÉTODO DAS FORÇAS PÓRTICO ESTADO 0 Cálculo das reações de apoio e DMF MÉTODO DAS FORÇAS PÓRTICO RB275 kN RA125 kN HA10 kN ESTADO 0 Cálculo das reações de apoio e DMF MÉTODO DAS FORÇAS PÓRTICO RB275 kN RA125 kN HA10 kN ESTADO 1 Cálculo das reações de apoio e DMF MÉTODO DAS FORÇAS PÓRTICO RB RA HA ESTADO 1 Cálculo das reações de apoio e DMF MÉTODO DAS FORÇAS PÓRTICO ESTADO 1 Cálculo das reações de apoio e DMF MÉTODO DAS FORÇAS PÓRTICO RB18 kN RA18 kN ESTADO 1 Cálculo das reações de apoio e DMF MÉTODO DAS FORÇAS PÓRTICO RB18 kN RA18 kN ESTADO 2 Cálculo das reações de apoio e DMF MÉTODO DAS FORÇAS PÓRTICO RB RA HA ESTADO 2 Cálculo das reações de apoio e DMF MÉTODO DAS FORÇAS PÓRTICO ESTADO 2 Cálculo das reações de apoio e DMF MÉTODO DAS FORÇAS PÓRTICO RB14 kN RA14 kN HA1 kN ESTADO 2 Cálculo das reações de apoio e DMF MÉTODO DAS FORÇAS PÓRTICO RB14 kN RA14 kN HA1 kN Matriz de deslocabilidade MÉTODO DAS FORÇAS PÓRTICO MÉTODO DAS FORÇAS PÓRTICO 𝜹𝟏𝟎 න 0 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 1 𝐸𝐼 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 BARRA AC L 6m BARRA CD L 8m BARRA BD L 4m 1 60 1 60 40 MÉTODO DAS FORÇAS TEORIA DAS ESTRUTURAS ANÁLISE ESTRUTURAL TABELA PARA CÁLCULO DA INTEGRAL DE MOMENTOS MÉTODO GRÁFICO FACULDADE MULTIVIX MÉTODO DAS FORÇAS PÓRTICO 𝛿10 න 0 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 1 𝐸𝐼 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 BARRA AC L 6m BARRA CD L 8m BARRA BD L 4m 1 60 1 60 40 1 𝐸𝐼 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 1 𝐸𝐼 1 2 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 1 2 6 1 60 180 𝐸𝐼 1 𝐸𝐼 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 0 1 𝐸𝐼 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 1 𝐸𝐼 1 3 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 1 3 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 1 3 8 1 60 1 3 8 1 40 800 3𝐸𝐼 𝛿10 180 800 3 𝐸𝐼 1340 3𝐸𝐼 MÉTODO DAS FORÇAS PÓRTICO 𝜹𝟏𝟏 න 0 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 1 𝐸𝐼 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 BARRA AC L 6m BARRA CD L 8m BARRA BD L 4m 1 1 1 1 MÉTODO DAS FORÇAS TEORIA DAS ESTRUTURAS ANÁLISE ESTRUTURAL TABELA PARA CÁLCULO DA INTEGRAL DE MOMENTOS MÉTODO GRÁFICO FACULDADE MULTIVIX MÉTODO DAS FORÇAS PÓRTICO 𝜹𝟏𝟏 න 0 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 1 𝐸𝐼 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 BARRA AC L 6m BARRA CD L 8m BARRA BD L 4m 1 𝐸𝐼 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 1 𝐸𝐼 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 6 1 1 6 𝐸𝐼 1 𝐸𝐼 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 0 1 𝐸𝐼 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 1 𝐸𝐼 1 3 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 1 𝐸𝐼 1 3 811 8 3𝐸𝐼 𝛿11 6 8 3 𝐸𝐼 26 3𝐸𝐼 1 1 1 1 MÉTODO DAS FORÇAS PÓRTICO 𝜹𝟏𝟐 න 0 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 1 𝐸𝐼 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 BARRA AC L 6m BARRA CD L 8m BARRA BD L 4m 1 1 6 6 4 MÉTODO DAS FORÇAS TEORIA DAS ESTRUTURAS ANÁLISE ESTRUTURAL TABELA PARA CÁLCULO DA INTEGRAL DE MOMENTOS MÉTODO GRÁFICO MÉTODO DAS FORÇAS PÓRTICO 𝜹𝟏𝟐 න 0 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 1 𝐸𝐼 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 BARRA AC L 6m BARRA CD L 8m BARRA BD L 4m 1 1 6 6 1 𝐸𝐼 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 1 𝐸𝐼 1 2 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 1 2 6 1 6 18 𝐸𝐼 1 𝐸𝐼 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 0 1 𝐸𝐼 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 1 𝐸𝐼 1 6 𝐿 2𝑀𝐴 𝑀𝐵 ഥ 𝑀 1 𝐸𝐼 1 6 8 2 6 4 1 128 6𝐸𝐼 𝛿12 18 128 6 𝐸𝐼 118 3𝐸𝐼 4 MÉTODO DAS FORÇAS PÓRTICO 𝜹𝟐𝟎 න 0 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 1 𝐸𝐼 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 BARRA AC L 6m BARRA CD L 8m BARRA BD L 4m 6 6 4 60 60 40 MÉTODO DAS FORÇAS TEORIA DAS ESTRUTURAS ANÁLISE ESTRUTURAL TABELA PARA CÁLCULO DA INTEGRAL DE MOMENTOS MÉTODO GRÁFICO MÉTODO DAS FORÇAS PÓRTICO 𝜹𝟐𝟎 න 0 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 1 𝐸𝐼 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 BARRA AC L 6m BARRA CD L 8m BARRA BD L 4m 6 6 4 60 60 40 1 𝐸𝐼 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 1 𝐸𝐼 1 3 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 1 3 6 6 60 720 𝐸𝐼 1 𝐸𝐼 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 0 1 𝐸𝐼 𝐿 ഥ𝑀𝑀 1 𝐸𝐼 1 6 𝐿 2𝑀𝐴 𝑀𝐵 ഥ𝑀 1 3 𝐿 𝑀𝐴 𝑀𝐵 ഥ𝑀 1 𝐸𝐼 1 6 8 2 6 4 60 1 3 8 6 4 40 1280 𝐸𝐼 3200 3𝐸𝐼 7040 3𝐸𝐼 𝛿20 720 7040 3 𝐸𝐼 9200 3𝐸𝐼 MÉTODO DAS FORÇAS PÓRTICO 𝜹𝟐𝟏 න 0 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 1 𝐸𝐼 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 BARRA AC L 6m BARRA CD L 8m BARRA BD L 4m 1 1 6 6 4 𝜹𝟐𝟏 𝜹𝟏𝟐 𝟏𝟏𝟖 𝟑𝑬𝑰 MÉTODO DAS FORÇAS PÓRTICO 𝜹𝟐𝟐 න 0 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 1 𝐸𝐼 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 BARRA AC L 6m BARRA CD L 8m BARRA BD L 4m 6 6 4 6 6 4 4 4 MÉTODO DAS FORÇAS TEORIA DAS ESTRUTURAS ANÁLISE ESTRUTURAL TABELA PARA CÁLCULO DA INTEGRAL DE MOMENTOS MÉTODO GRÁFICO MÉTODO DAS FORÇAS PÓRTICO 𝜹𝟐𝟐 න 0 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 1 𝐸𝐼 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 BARRA AC L 6m BARRA CD L 8m BARRA BD L 4m 6 6 4 6 6 4 4 4 1 𝐸𝐼 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 1 𝐸𝐼 1 3 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 1 3 6 6 6 72 𝐸𝐼 1 𝐸𝐼 𝐿 ഥ𝑀𝑀 1 𝐸𝐼 1 6 8 6 2 6 4 4 6 2 4 1216 6𝐸𝐼 1 𝐸𝐼 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 1 𝐸𝐼 1 3 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 1 3 4 4 4 64 3𝐸𝐼 MÉTODO DAS FORÇAS PÓRTICO 𝜹𝟐𝟐 න 0 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 1 𝐸𝐼 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 1 𝐸𝐼 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 72 𝐸𝐼 1 𝐸𝐼 𝐿 ഥ𝑀𝑀 1216 6𝐸𝐼 1 𝐸𝐼 𝐿 ഥ 𝑀𝑀 64 3𝐸𝐼 𝛿22 72 1216 6 64 3 𝐸𝐼 432 6 1216 6 128 6 𝐸𝐼 296 𝐸𝐼 MÉTODO DAS FORÇAS PÓRTICO 𝛿10 𝛿11𝑋1 𝛿12𝑋2 0 𝛿20 𝛿21𝑋1 𝛿22𝑋2 0 1340 3𝐸𝐼 26 3𝐸𝐼 𝑋1 236 6EI 𝑋2 0 9200 3𝐸𝐼 236 6𝐸𝐼 𝑋1 296 EI 𝑋2 0 MÉTODO DAS FORÇAS PÓRTICO 𝛿10 𝛿11𝑋1 𝛿12𝑋2 0 𝛿20 𝛿21𝑋1 𝛿22𝑋2 0 1340 3𝐸𝐼 26 3𝐸𝐼 𝑋1 236 6EI 𝑋2 0 9200 3𝐸𝐼 236 6𝐸𝐼 𝑋1 296 EI 𝑋2 0 𝑋1 1142 𝑘𝑁 𝑚 𝑋2 884 𝑘𝑁 Exemplo Calcular as reações de apoio e montar o DMF DEC e DEN do pórtico hiperestático abaixo Considerar EI constante para as barras AC CD e DB MÉTODO DAS FORÇAS PÓRTICO MÉTODO DAS FORÇAS PÓRTICO Exemplo Reações de Apoio obtidas no Ftool 𝑞𝑙2 8 5 82 8 40 DMF kNm DEC kN DEN kN