Dimensionamento e Análise Estrutural de Vigas em Concreto Armado

VIGA Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 1 2 VIGA VIGA Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 2 VIGA DIMENSÕES LIMITES NBR 61182014 VIGA Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 3 VIGA ANÁLISE DIMENSIONAMENTO E DETALHAMENTO DAS ARMADURAS UM EDIFÍCIO COMERCIAL DE 6 PISOS FOI PLANEJADO USANDO LAJE MACIÇA EM CONCRETO ARMADO COM DISTRIBUIÇÃO DE PILARES ESPAÇADOS DE 6 m CONFORME PLANTA A SEGUIR O SISTEMA TEM VIGAS E APRESENTA ALTURA DO PAVIMENTO IGUAL A 3 m AS CARGAS PERMANENTES CONSIDERADAS FORAM PESO PRÓPRIO DA LAJE PP DE 325 kNm2 ALTURA DA LAJE IGUAL A 13 cm REVESTIMENTO DA LAJE RV DE 100 kNm2 E ALVENARIA NA LAJE AL DE 200 kNm2 FOI UTILIZADA CARGA ACIDENTAL DE USO DE 3 kNm2 OS PILARES TEM SEÇÃO TRANSVERSAL DE 40x40 cm A ESPESSURA DA LAJE FOI DIMENSIONADA COMO 145 DO VÃO ENTRE PILARES 60045 13 cm AS VIGAS TEM SEÇÃO TRANSVERSAL DE 20x60 cm FOI CONSIDERADA CLASSE DE AGRESSIVIDADE AMBIENTAL II DA NBR 61182014 COM COBRIMENTO DA ARMADURA DA LAJE IGUAL A 25 cm E COBRIMENTO DE VIGAS E PILARES IGUAL A 30 cm O CONCRETO UTILIZADO TEM RESISTÊNCIA CARACTERÍSTICA fck 25 MPa E MÓDULO DE ELASTICIDADE SECANTE Ecs 24 GPa O AÇO TEM RESISTÊNCIA CARACTERÍSTICA fyk 500 MPa E MÓDULO DE ELASTICIDADE Es 210 GPa A ANÁLISE DA LAJE FOI FEITA ATRAVÉS DA UTILIZAÇÃO DE TABELAS GERADAS PELO AUTOR COM AUXÍLIO DO PROGRAMA DE ELEMENTOS FINITOS SAP2000 O DIMENSIONAMENTO DAS ARMADURAS LONGITUDINAIS SEGUIU CRITÉRIO DA NBR 61182014 COM DIAGRAMA RETANGULAR DE TENSÕES DO CONCRETO COMPRIMIDO NO ESTADO LIMITE ÚLTIMO A VERIFICAÇÃO À FORÇA CORTANTE SEGUIU CRITÉRIO DA NBR 61182014 A VERIFICAÇÃO DO ESTADO LIMITE DE SERVIÇO RELATIVO À DEFORMAÇÕES E ABERTURA DE FISSURAS SEGUIU CRITÉRIO DA NBR 61182014 PAVIMENTO TIPO FORMA PLANTA MUSSO 6 m típ 6 m típ fck 25 MPa Ecs 24 GPa fyk 500 MPa h 13 cm d 95 cm PP 325 kNm2 RV 100 kNm2 AL 200 kNm2 G 625 kNm2 Q 300 kNm2 1 2 3 4 A B C D PILAR DE BORDA PILAR DE CANTO PILAR INTERNO LAJE DE CANTO LAJE DE BORDA LAJE INTERNA VIGA EXTERNA VIGA INTERNA P2 P3 P4 P10 V1a 20x60 cm b P5 P6 P7 P8 P9 P11 P12 P13 P14 P15 P16 c V2a 20x60 cm c b L1 h13 cm L2 L3 L4 L5 L6 L8 L7 L9 V3a b c P1 40x40 cm V4a b c V5a b c V6a b c V7a b c V8a b c VIGA Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 4 VIGA MOMENTO FLETOR FORÇA CORTANTE MOMENTO TORÇOR E FLECHA Momento Fletor aL bL Sistema Carga Mmáx xoL Mmáx xoL Mdir Mmáx xoL Mesq Mdir Mesq 50 8 pL2 128 0 375 9pL 2 8 pL2 50 24 pL2 12 pL2 12 pL2 2 pL2 0 577 3 9 pL2 0 447 5 15 pL2 15 pL2 4664 0 548 pL2 30 pL2 20 pL2 3 pL2 0 423 3 9 pL2 2365 0 329 pL2 120 7pL 2 4664 0 452 pL2 20 pL2 30 pL2 6 pL2 50 4 PL 50 32 5PL 16 3PL 50 8 PL 8 PL 8 PL 2 PL PL PL 2 3 2 PL 2 1 2 PL 2 2 2 2PL 2PL PL Força Cortante aL bL Sistema Carga Vesq Vdir Vesq Vdir Vesq Vdir Vesq 2 pL 2 pL 8 3pL 8 5pL 2 pL 2 pL pL 6 pL 3 pL 10 pL 5 2pL 015pL 0 35pL 2 pL 3 pL 6 pL 40 pL 11 40 9pL 0 35pL 015pL 2 pL 2 P 2 P 16 5P 16 P 11 2 P 2 P P P P P 2 3 2 P 2 3 2 P 2 3 2 P 2 3 2 P Momento Torçor aL bL Carga Sistema Tesq Tdir Tesq Tdir Tesq Tdir Tesq Tdir Tesq Tdir 2 tL 2 tL 6 tL 3 tL 3 tL 6 tL 2 T 2 T T T Tesq Tesq Tesq Tesq Tesq tL 2 tL 2 tL T T Flechas aL bL Sistema Carga máx xoL máx xoL máx xoL dir 384EI 50 5pL 4 184 6 EI 0 422 pL4 50 384EI pL4 8EI pL4 EI 0 519 00652 pL 0 4 419 3 EI 0 447 pL4 764 2 EI 0 525 pL4 120EI pL 11 4 EI 0 481 00652 pL 0 4 3281 EI 0 402 pL4 764 2 EI 0 475 pL4 30EI pL4 48EI 50 PL3 0 447 5EI 48 PL3 50 192EI PL3 48EI 5PL 3 50 48EI PL 4 3 3 2 6EI PL 3 3 2 MUSSO a b L2 a b L2 a b L2 L2 a b VIGA Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 5 VIGA FLECHA NO CENTRO DO VÃO ELSDEF Sistema Momento Fletor no Centro do Vão Mm Flecha no Centro do Vão fm 8 pL M 2 o EI M L 48 5 o 2 EI M L 96 10 o 2 2 M1 EI L M 16 1 1 2 EI M L 96 6 1 2 2 M2 EI M L 16 1 2 2 EI M L 96 6 2 2 2 M 2 M M M 2 1 o m ou 2 M 2 M M M 2 1 m o 1 6M 6M 96EI 10M L 2 1 o 2 2 1 em 2 M 10M 96EIM L 2 m 1 2 3 EX1 Obter com a equação 3 a flecha no centro do vão L de uma viga biapoiada com carga uniforme p Momentos Fletores na Viga Biapoiada M1 0 8 pL M 2 m M2 0 Flecha no Centro do Vão da Viga Biapoiada EI pL 384 5 4 5pL 96EI L 0 8 10 pL 96EI 0 L f 4 2 2 2 2 m EX2 Obter com a equação 3 a flecha no centro do vão L de uma viga biengastada com carga uniforme p Momentos Fletores na Viga Biengastada 12 pL M 2 1 24 pL M 2 m 12 pL M 2 2 Flecha no Centro do Vão da Viga Biengastada EI pL 384 1 4 pL 96EI L 12 pL 24 10 pL 12 pL 96EI L f 4 2 2 2 2 2 2 m EX3 Obter com a equação 3 a flecha no centro do vão L de uma viga monoengastada com carga uniforme p Momentos Fletores na Viga Monoengastada 8 pL M 2 1 16 pL M 2 m M2 0 Flecha no Centro do Vão da Viga Monoengastada EI pL 192 1 2 pL 96EI L 0 16 10 pL 8 pL 96EI L f 4 2 2 2 2 2 m MUSSO p L L M1 L M2 p L M1 M2 VIGA Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 6 VIGA DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À MOMENTO FLETOR ELUM fck 50 MPa As área da seção da armadura longitudinal fctm 03fck 23 MPa resist média do concreto à tração tracionada fyk resistência característica de escoamento do aço s A área da seção da armadura longitudinal h altura da seção transversal comprimida Md 14MG MQ momento fletor de cálculo Asmín área mínima da seção da armadura longitudinal Mdlim momento fletor de cálculo máximo com tracionada armadura simples Aslim área da seção da armadura tracionada MG momento fletor da ação permanente G correspondente a Mdlim MQ momento fletor da ação variável Q b largura da seção transversal T força de tração na armadura longitudinal C força de compressão no concreto x profundidade da linha neutra no estádio 3 ELU d altura útil da seção transversal xlim profundidade máxima da linha neutra para distância do centróide da armadura tracionada à ruptura dúctil da seção ruptura com aviso borda comprimida da seção transversal z braço de alavanca braço do binário d distância do centróide da armadura comprimida c encurtamento da fibra extrema de concreto à borda comprimida da seção transversal yd fydEs deformação de escoamento do aço d h d s alongamento da armadura tracionada dlim altura útil mínima com armadura simples s encurtamento da armadura comprimida Es 210000 MPa módulo de elasticidade do aço xd profundidade da linha neutra adimensional fcd fck14 resistência de cálculo do concreto à 08 coeficiente de redução da altura comprimida compressão da seção diagrama retangular x parabólico fck resistência característica do concreto à 085 coeficiente de redução da resistência de compressão aos 28 dias cálculo do concreto à compressão fyd fyk115 resistência de cálculo de escoamento Mdbd2fcd momento fletor adimensional do aço sd tensão de compressão na armadura longitudinal A Momento fletor de cálculo máximo com armadura simples dados b d e fck obter Mdlim Modelo resistente à momento fletor no estado limite último Armadura simples seção com As Md Mdlim x xlim xlim xduc 045d x34 062832d fyk 500 MPa A1 Mdlim 0 25092bd2fcd 0 31988bd2fcd A2 Aslim yd cd f 0 306bdf 0 42726bdfcd f yd A3 B Altura útil mínima da seção com armadura simples dados Md e b obter dlim xlim xduc 045d x34 062832d dlim cd d 0 25092bf M cd d 31988bf 0 M B1 C Dimensionamento da armadura longitudinal dados Md b d fck e fyk obter As e As Armadura simples seção com As Md Mdlim x xlim cd 2 d f bd M 2 1 d 1 x C1 yd cd s f b x f A C2 bh f máximo 015 0 25f A yk ctm s mín C3 fck MPa 20 25 30 35 a x 2 b x f d f x Cz M cd d b yd cd s cd s yd f b x f ou A b x f C A f T f bd a 2 cd 2d x 1 d x f bd M cd 2 d ou cd 2 d d 2 2 f bd M 1 2 d 1 f M ou x 1 2 1 c 0 2 2 2 1 Asmínbh 015 015 015 016 Armadura dupla seção com As e s A Md Mdlim x xlim Armadura dupla seção com As e s A Md Mdlim x xlim d d f M M A A yd d lim d s lim s C4 d d M M A sd d lim d s C5 yd s yd sd se f yd s s s sd se E C6 xlim xduc 045d x34 062832d s d d 7 78 0 45 d d 557 0 63 C7 fyk 250 MPa 500 MPa 600 MPa yd 1035 2070 2484 C8 d d lim d d lim d M M M M ou M M e d d M d ou A d A M sd s s sd f yd sd s s lim s sd s s lim yd s yd f A A ou A A f A A f MUSSO xlim Md Asfyd s sd A s sd A s sd A M dd Aslimfyd Mdlim xlim fcd fcd d b As LN s A d d xlim c 35 s d s d lim lim s x 53 d x x Md x T Asfyd C bxfcd x 2 d z fcd h d b As LN fcd d VIGA Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 7 EXEMPLO 1 SEÇÃO RETANGULAR 20x60 cm DIMENSIONAMENTO À MOMENTO FLETOR ELUM Concreto C25 Aço CA50 Seção Transversal cm fck MPa 25 fyk MPa 500 Ac cm2 1200 c 14 s 115 Ic cm4 360000 fcd MPa 1786 fyd MPa 4348 Wc cm3 12000 Ecs GPa 24 Es GPa 210 ysup cm 30 mín 015 yinf cm 30 Sistema Estrutural e Combinação Última de Ações pd13 5236 kNm pd2 4306 kNm Diagrama de Momento Fletor de Cálculo kNm Dimensionamento à Momento Fletor vão Dimensionamento à Momento Fletor apoio interno momento fletor positivo de cálculo Md 1576 kNm profundidade da linha neutra cd 2 d f bd M 2 1 d 1 x 1303cm 14 0 85 52 55 20 100 157 6 2 1 1 80 55 x 2 2475cm 0 45 55 0 45d x x lim armadura simples armadura longitudinal positiva yd cd s f b x f A 2 s 7 28cm 14 50 115 0 85 52 1303 80 20 A Asbh 7282060 061 mín 015 16 mm 804 cm2 momento fletor negativo de cálculo Md 1718 kNm profundidade da linha neutra cd 2 d f bd M 2 1 d 1 x 1436cm 14 0 85 52 55 20 100 1718 2 1 1 80 55 x 2 2475cm 0 45 55 0 45d x x lim armadura simples armadura longitudinal negativa yd cd s f b x f A 2 s 8 02cm 14 50 115 0 85 52 1436 80 20 A Asbh 8022060 067 mín 015 416 mm 804 cm2 Armadura Longitudinal Positiva vão 1 Armadura Longitudinal Negativa apoio central MUSSO FTOOL b 20 h 60 d 55 16 mm 416 mm VIGA Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 8 FMJTOOL ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE RESISTÊNCIA À MOMENTO FLETOR ELUM FMJTOOL VIGA Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 9 FMJTOOL ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE RESISTÊNCIA À MOMENTO FLETOR ELUM CONT FMJTOOL VIGA Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 10 TABELA DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À MOMENTO FLETOR b 15 cm MUSSO VIGA Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 11 TABELA DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À MOMENTO FLETOR b 20 cm MUSSO VIGA Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 12 TABELA DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À MOMENTO FLETOR b 30 cm MUSSO VIGA Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 13 TABELA DE DIMENSIONAMENTO À MOMENTO FLETOR concreto fck 25 MPa aço CA50 20x60 cm MUSSO VIGA Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 14 VIGA DISPOSIÇÃO DA ARMADURA LONGITUDINAL A NÍVEL DE SEÇÃO T1 Área da seção de Q barras longitudinais cm2 Diâmetro da barra mm Q 5 63 8 10 125 16 20 22 25 1 020 031 050 079 123 201 314 380 491 2 039 062 101 157 245 402 628 760 982 3 059 094 151 236 368 603 942 1140 1473 4 079 125 201 314 491 804 1257 1521 1963 5 098 156 251 393 614 1005 1571 1901 2454 6 118 187 302 471 736 1206 1885 2281 2945 7 137 218 352 550 859 1407 2199 2661 3436 8 157 249 402 628 982 1608 2513 3041 3927 9 177 281 452 707 1104 1810 2827 3421 4418 10 196 312 503 785 1227 2011 3142 3801 4909 11 216 343 553 864 1350 2212 3456 4181 5400 12 236 374 603 942 1473 2413 3770 4562 5890 13 255 405 653 1021 1595 2614 4084 4942 6381 14 275 436 704 1100 1718 2815 4398 5322 6872 15 295 468 754 1178 1841 3016 4712 5702 7363 16 314 499 804 1257 1963 3217 5027 6082 7854 17 334 530 855 1335 2086 3418 5341 6462 8345 18 353 561 905 1414 2209 3619 5655 6842 8836 19 373 592 955 1492 2332 3820 5969 7223 9327 20 393 623 1005 1571 2454 4021 6283 7603 9817 21 412 655 1056 1649 2577 4222 6597 7983 10308 22 432 686 1106 1728 2700 4423 6912 8363 10799 23 452 717 1156 1806 2823 4624 7226 8743 11290 24 471 748 1206 1885 2945 4825 7540 9123 11781 T2 Número máximo de barras por camada estribo de 2 ramos nbmáx INT1b2ct2tah ah MÁXIMO2 cm 12dag ct cm 25 dag mm 19 Largura da seção cm mm t mm 10 12 15 20 25 30 35 40 45 50 ah cm 5 2 2 3 5 6 8 10 11 13 15 63 1 2 3 5 6 8 10 11 13 14 8 1 2 3 5 6 8 9 11 13 14 8 10 1 2 3 4 6 8 9 11 13 14 228 5 1 2 3 4 6 8 9 11 12 14 63 1 2 3 4 6 7 9 10 12 14 8 1 2 3 4 6 7 9 10 12 13 10 10 1 2 3 4 6 7 9 10 12 13 228 5 1 2 3 4 6 7 8 10 11 13 63 1 2 3 4 5 7 8 10 11 13 8 1 2 3 4 5 7 8 10 11 12 125 10 1 2 2 4 5 7 8 9 11 12 228 5 1 2 2 4 5 6 8 9 10 11 63 1 2 2 4 5 6 7 9 10 11 8 1 1 2 4 5 6 7 9 10 11 16 10 1 1 2 3 5 6 7 9 10 11 228 5 1 1 2 3 4 6 7 8 9 10 63 1 1 2 3 4 6 7 8 9 10 8 1 1 2 3 4 6 7 8 9 10 20 10 1 1 2 3 4 5 7 8 9 10 228 5 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 63 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 25 10 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 250 obs t é o diâmetro da armadura transversal estribos ct é o cobrimento de concreto da armadura transversal T3 Número máximo de camadas ncmáx INT12x10hav av MÁXIMO2 cm 05dag dag mm 19 Altura da seção cm mm 30 35 40 45 50 55 60 70 80 90 100 av cm 8 3 3 3 4 4 4 5 6 6 7 8 20 10 3 3 3 4 4 4 5 5 6 7 7 20 125 2 3 3 3 4 4 4 5 5 6 7 20 16 2 2 3 3 3 4 4 4 5 6 6 20 20 2 2 3 3 3 3 4 4 5 5 6 20 25 2 2 2 3 3 3 3 4 4 5 5 25 MUSSO VIGA Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 15 VIGA DISPOSIÇÃO DA ARMADURA LONGITUDINAL A NÍVEL DE SEÇÃO T1 Área da seção de Q barras longitudinais cm2 Diâmetro da barra mm Q 5 63 8 10 125 16 20 22 25 1 020 031 050 079 123 201 314 380 491 2 039 062 101 157 245 402 628 760 982 3 059 094 151 236 368 603 942 1140 1473 4 079 125 201 314 491 804 1257 1521 1963 5 098 156 251 393 614 1005 1571 1901 2454 6 118 187 302 471 736 1206 1885 2281 2945 7 137 218 352 550 859 1407 2199 2661 3436 8 157 249 402 628 982 1608 2513 3041 3927 9 177 281 452 707 1104 1810 2827 3421 4418 10 196 312 503 785 1227 2011 3142 3801 4909 11 216 343 553 864 1350 2212 3456 4181 5400 12 236 374 603 942 1473 2413 3770 4562 5890 13 255 405 653 1021 1595 2614 4084 4942 6381 14 275 436 704 1100 1718 2815 4398 5322 6872 15 295 468 754 1178 1841 3016 4712 5702 7363 16 314 499 804 1257 1963 3217 5027 6082 7854 17 334 530 855 1335 2086 3418 5341 6462 8345 18 353 561 905 1414 2209 3619 5655 6842 8836 19 373 592 955 1492 2332 3820 5969 7223 9327 20 393 623 1005 1571 2454 4021 6283 7603 9817 21 412 655 1056 1649 2577 4222 6597 7983 10308 22 432 686 1106 1728 2700 4423 6912 8363 10799 23 452 717 1156 1806 2823 4624 7226 8743 11290 24 471 748 1206 1885 2945 4825 7540 9123 11781 T2 Número máximo de barras por camada estribo de 2 ramos nbmáx INT1b2ct2tah ah MÁXIMO2 cm 12dag ct cm 30 dag mm 25 Largura da seção cm mm t mm 10 12 15 20 25 30 35 40 45 50 ah cm 5 1 2 2 4 5 6 8 9 10 12 63 1 2 2 4 5 6 8 9 10 12 8 1 1 2 4 5 6 8 9 10 11 8 10 1 1 2 3 5 6 7 9 10 11 300 5 1 2 2 4 5 6 7 9 10 11 63 1 1 2 3 5 6 7 8 10 11 8 1 1 2 3 5 6 7 8 10 11 10 10 1 1 2 3 5 6 7 8 10 11 300 5 1 1 2 3 4 6 7 8 9 10 63 1 1 2 3 4 6 7 8 9 10 8 1 1 2 3 4 5 7 8 9 10 125 10 1 1 2 3 4 5 7 8 9 10 300 5 1 1 2 3 4 5 6 7 8 10 63 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 16 10 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 300 5 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 63 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 20 10 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 300 5 1 1 2 2 3 4 5 6 7 8 63 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 8 0 1 1 2 3 4 5 6 7 8 25 10 0 1 1 2 3 4 5 6 7 8 300 obs t é o diâmetro da armadura transversal estribos ct é o cobrimento de concreto da armadura transversal T3 Número máximo de camadas ncmáx INT12x10hav av MÁXIMO2 cm 05dag dag mm 25 Altura da seção cm mm 30 35 40 45 50 55 60 70 80 90 100 av cm 8 3 3 3 4 4 4 5 6 6 7 8 20 10 3 3 3 4 4 4 5 5 6 7 7 20 125 2 3 3 3 4 4 4 5 5 6 7 20 16 2 2 3 3 3 4 4 4 5 6 6 20 20 2 2 3 3 3 3 4 4 5 5 6 20 25 2 2 2 3 3 3 3 4 4 5 5 25 MUSSO VIGA Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 16 VIGA TAXA MÍNIMA DE ARMADURA DE FLEXÃO PARA VIGAS mín DEDUÇÃO DA TAXA MÍNIMA DE ARMADURA DE FLEXÃO PARA VIGASmín SEÇÃO RETANGULAR fck fctm mín 20 2210 015 25 2565 015 30 2896 015 35 3210 016 40 3509 018 45 3795 019 50 4072 020 60 4300 021 70 4586 023 80 4839 024 90 5064 025 015 f 0 25 f bh A bh f 0 25 f 115 f f 80 h 1 6 104 bh A 1 2 80 h z onde 2 115z f A f z A F z M seção re tan gular 6 bh h 2 bh 12 y J W onde 1 104W f 31 f 80 W 80 W f M yk ctm s mín mín yk ctm yk ctm 2 mín s yk s mín s mín yd s mín d 2 3 t o o ctm ctm o o ctksup mín d fyk 500 MPa s 115 NBR 61182014MUSSO Fs Asmínfyd Fc z Mdmín VIGA Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 17 VIGA DISPOSIÇÃO DA ARMADURA LONGITUDINAL A NÍVEL DE SEÇÃO E ARMADURA DE PELE ah máximo20 mm 12dag dc distância do centróide da armadura espaçamento livre mínimo horizontal entre tracionada ao centro da armadura da barras da armadura longitudinal primeira camada av máximo20 mm 05dag d distância do centróide da armadura espaçamento livre mínimo vertical entre barras comprimida à borda comprimida da seção da armadura longitudinal transversal As área da seção da armadura longitudinal d distância do centróide da armadura tracionada tracionada à borda tracionada da seção As área da seção da armadura longitudinal transversal comprimida fcd fck14 Asmín máximo015 025fctmfykbh resistência de cálculo do concreto à área da seção mínima da armadura compressão longitudinal seção retangular fck resistência característica do concreto à Asmáx As As 4bh compressão aos 28 dias área da seção máxima da armadura fyd fyk115 longitudinal resistência de cálculo de escoamento do Aspele 010bh por face lateral se h 60 cm aço à tração área da seção da armadura de pele fyk resistência característica de escoamento do b largura da seção transversal aço à tração ct cobrimento de concreto da armadura h altura da seção transversal transversal diâmetro da barra da armadura longitudinal d altura útil da seção transversal t diâmetro da barra da armadura transversal distância do centróide da armadura tracionada à borda comprimida da seção transversal dag diâmetro do agregado graúdo 95 mm brita 0 19 mm brita 1 25 mm brita 2 MUSSO b av máximo20 mm 05dag ah máximo20 mm 12dag ct 5 mm t b10 h d dc 10h d d Aspele 010bh se h 60 cm d3 20 cm As As 2ª camada t VIGA Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 18 DIMENSIONAMENTO A M FLETOR DIAG RETANGULAR DO CONCRETO dd 010 fck 50 MPa 12 MUSSO VIGA Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 19 DIMENSIONAMENTO A M FLETOR DIAG RETANGULAR DO CONCRETO dd 010 fck 50 MPa 22 MUSSO VIGA Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 20 DIMENSIONAMENTO A M FLETOR DIAG PARABÓLICO DO CONCRETO dd 010 fck 50 MPa 12 MUSSO VIGA Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 21 DIMENSIONAMENTO A M FLETOR DIAG PARABÓLICO DO CONCRETO dd 010 fck 50 MPa 22 MUSSO VIGA Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 22 VIGA DIMENSIONAMENTO DE SEÇÂO RETANGULAR À FORÇA CORTANTE ELUV fck 50 MPa Asw área da seção da armadura transversal h altura da seção transversal Aswmín área mínima da seção da armadura transversal Md momento fletor de cálculo b largura da seção transversal s espaçamento longitudinal entre estribos C força de compressão nas bielas de concreto 100 cm para obter Asw em cm2m d altura útil da seção transversal c V força cortante resistida por outros mecanismos distância do centróide da armadura tracionada Vd 14VG VQ força cortante de cálculo à borda comprimida da seção transversal VRd2 força cortante de cálculo máxima resistida por fcd fck14 resistência de cálculo do concreto à compressão diagonal das bielas de concreto compressão VG força cortante da ação permanente G fck resistência característica do concreto à VQ força cortante da ação variável Q compressão aos 28 dias Vsw força cortante de cálculo resistida pela fctd fctk14 resistência de cálculo do concreto à armadura transversal tração z braço de alavanca fctk 07fctm resistência característica do concreto à ângulo da tensão principal de tração tração 061 fck250 fck em MPa coeficiente de fctm 03fck 23 fck em MPa resistência média do redução da resistência do concreto fissurado concreto à tração por força cortante fywd fywk115 resistência de cálculo de escoamento c tensão principal de compressão do aço da armadura transversal t tensão principal de tração fywk resistência característica de escoamento do aço tensão tangencial da força cortante Fc força de compressão no concreto ângulo das bielas de concreto comprimidas Fs força de tração na armadura longitudinal wmín Aswmínbs taxa mínima de armadura transversal Analogia de treliça A Verificação da compressão diagonal do concreto dados b d e fck obter VRd2 Vd VRd2 Modelo resistente à força cortante no estado limite último Compressão diagonal das bielas de concreto corte aa cálculo simplificado 45o refinado 30o a 45o VRd2 0 45bd fcd sen2 0 45bd f cd A1 fck MPa 20 25 30 35 0552 0540 0528 0516 45o 0355 0434 0509 0581 bd V Rd2 30o 0307 0376 0441 0503 obs VRd2bd em kNcm2 B Dimensionamento da armadura transversal dados Vd b d fck e fywk obter Asw a 0 45bd f sen2 cos sen bz f Csen V cd cd Rd2 cálculo simplificado 45o refinado 30o a 45o Tração transversal dos estribos corte bb Asw ywd c d df 90 V s V cot df 90 V s V ywd c d B1 o d V V o d V V c V o V o V o o 2 Rd d Rd2 V V V V V B2 o V 60 bdfctd B3 Aswmín ywk ctm f 20 bsf B4 fck MPa 20 25 30 35 fctm MPa 2210 2565 2896 3210 fctd MPa 1105 1282 1448 1605 Vo bd kNcm2 00663 00769 00869 00963 wmín CA50 0088 0103 0116 0128 wmín CA60 0074 0085 0097 0107 b c d sw c sw d V V V ou V V V c cot f s 90 d A cot f s z A V ywd sw ywd sw sw b em c cot df 90 V s V A ywd c d sw MUSSO t c 2 t c t c tração compressão a b b a Vsw zcotsAswfywd estribos fissuras s zcot Vd Vc z 09d Md número de estribos em zcot b h Asw d Fs Fc fissuras C bzcosfcd zcos Fs bielas Md VRd2 b h Asw d z 09d Fc VIGA Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 23 EXEMPLO 1 SEÇÃO RETANGULAR 20x60 cm DIMENSIONAMENTO À FORÇA CORTANTE ELUV Concreto C25 Aço CA50 Seção Transversal cm fck MPa 25 fywk MPa 500 Ac cm2 1200 c 14 s 115 Ic cm4 360000 fcd MPa 1786 fywd MPa 4348 Wc cm3 12000 fctk MPa 1795 ysup cm 30 fctd MPa 1282 wmin 0103 yinf cm 30 Sistema Estrutural e Combinação Última de Ações pd13 5236k Nm pd2 4306 kNm Diagrama de Força Cortante de Cálculo kN Dimensionamento à Força Cortante 30o vão 13 Dimensionamento à Força Cortante 30o vão 2 força cortante de cálculo Vd 1857 kN força cortante resistente máxima sen2 bd 0 45 f V cd Rd2 em MPa f 250 f 1 60 ck ck 0 54 25 250 60 1 4134kN 20 55 14 sen60 0 54 52 0 45 V o Rd2 Vd 1857 kN VRd2 4134 kN não há esmagamento do concreto armadura transversal cot 90 df V s V A ywd c d sw modelo refinado 84 6 kN 20 55 1282 10 60 60 bdf V ctd o 58 6 kN 84 6 185 7 4134 185 7 4134 V V V V V V o o 2 Rd d Rd2 c 3 41cm m 55 50 115cot 30 90 58 6 100 185 7 A 2 o sw Aswbs 34130100 0170 wmín 0103 63mmc18cm 346 cm2m slmáx MÍNIMO06d 30 cm 30 cm Vd 067VRd2 força cortante de cálculo Vd 1292 kN força cortante resistente máxima sen2 bd 0 45 f V cd Rd2 em MPa f 250 f 1 60 ck ck 0 54 25 250 60 1 4134kN 20 55 14 sen60 0 54 52 0 45 V o Rd2 Vd 1292 kN VRd2 4134 kN não há esmagamento do concreto armadura transversal cot 90 df V s V A ywd c d sw modelo refinado 84 6 kN 20 55 1282 10 60 60 bdf V ctd o 73 2 kN 84 6 129 2 4134 129 2 4134 V V V V V V o o 2 Rd d Rd2 c 150cm m 55 50 115cot 30 90 73 2 100 129 2 A 2 o sw Aswbs 15020100 0075 wmín 0103 Aswmín 0103bs 010320100 205 cm2m 63mmc30cm 208 cm2m slmáx MÍNIMO06d 30 cm 30 cm Vd 067VRd2 Armadura Transversal vão 13 Armadura Transversal vão 2 MUSSO FTOOL 63mmc18cm 63mmc30cm b 20 h 60 d 55 VIGA Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 24 FMJTOOL ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE RESISTÊNCIA À FORÇA CORTANTE ELUV FMJTOOL VIGA Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 25 TABELA DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À FORÇA CORTANTE CA50 b 15 cm 30o MUSSO VIGA Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 26 TABELA DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À FORÇA CORTANTE CA50 b 20 cm 30o MUSSO VIGA Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 27 TABELA DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À FORÇA CORTANTE CA50 b 30 cm 30o MUSSO VIGA Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 28 TABELA DE DIMENSIONAMENTO À FORÇA CORTANTE concreto fck 25 MPa aço CA50 20x60 cm 30o MUSSO VIGA Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 29 VIGA DISPOSIÇÃO DA ARMADURA TRANSVERSAL A NÍVEL DE SEÇÃO T1 Área da seção transversal de estribos de 1 ramo cm2m Diâmetro da barra mm Diâmetro da barra mm s cm 5 63 8 10 125 s cm 5 63 8 10 125 7 280 445 718 1122 1753 19 103 164 265 413 646 8 245 390 628 982 1534 20 098 156 251 393 614 9 218 346 559 873 1364 21 093 148 239 374 584 10 196 312 503 785 1227 22 089 142 228 357 558 11 178 283 457 714 1116 23 085 136 219 341 534 12 164 260 419 654 1023 24 082 130 209 327 511 13 151 240 387 604 944 25 079 125 201 314 491 14 140 223 359 561 877 26 076 120 193 302 472 15 131 208 335 524 818 27 073 115 186 291 455 16 123 195 314 491 767 28 070 111 180 280 438 17 115 183 296 462 722 29 068 107 173 271 423 18 109 173 279 436 682 30 065 104 168 262 409 T2 Área da seção transversal de estribos de 2 ramos cm2m Diâmetro da barra mm Diâmetro da barra mm s cm 5 63 8 10 125 s cm 5 63 8 10 125 7 561 891 1436 2244 3506 19 207 328 529 827 1292 8 491 779 1257 1963 3068 20 196 312 503 785 1227 9 436 693 1117 1745 2727 21 187 297 479 748 1169 10 393 623 1005 1571 2454 22 178 283 457 714 1116 11 357 567 914 1428 2231 23 171 271 437 683 1067 12 327 520 838 1309 2045 24 164 260 419 654 1023 13 302 480 773 1208 1888 25 157 249 402 628 982 14 280 445 718 1122 1753 26 151 240 387 604 944 15 262 416 670 1047 1636 27 145 231 372 582 909 16 245 390 628 982 1534 28 140 223 359 561 877 17 231 367 591 924 1444 29 135 215 347 542 846 18 218 346 559 873 1364 30 131 208 335 524 818 T3 Área da seção transversal de estribos de 4 ramos cm2m Diâmetro da barra mm Diâmetro da barra mm s cm 5 63 8 10 125 s cm 5 63 8 10 125 7 1122 1781 2872 4488 7012 19 413 656 1058 1653 2584 8 982 1559 2513 3927 6136 20 393 623 1005 1571 2454 9 873 1385 2234 3491 5454 21 374 594 957 1496 2337 10 785 1247 2011 3142 4909 22 357 567 914 1428 2231 11 714 1134 1828 2856 4462 23 341 542 874 1366 2134 12 654 1039 1676 2618 4091 24 327 520 838 1309 2045 13 604 959 1547 2417 3776 25 314 499 804 1257 1963 14 561 891 1436 2244 3506 26 302 480 773 1208 1888 15 524 831 1340 2094 3272 27 291 462 745 1164 1818 16 491 779 1257 1963 3068 28 280 445 718 1122 1753 17 462 733 1183 1848 2887 29 271 430 693 1083 1693 18 436 693 1117 1745 2727 30 262 416 670 1047 1636 Espaçamento longitudinal máximo entre estribos Espaçamento transversal máximo entre ramos MUSSO stmáx Rd2 d 0 20V mín d 80 cm se V Rd2 d 0 20V d 35 cm se V mín 60 t 5 mm b10 Rd2 d 0 67V d 30 cm se V mín 60 Rd2 d 0 67V d 20 cm se V mín 30 slmáx VIGA Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 30 VIGA VERIFICAÇÃO DE FLECHA ELSDEF fck 50 MPa As área da seção da armadura longitudinal Lbal comprimento do balanço tracionada MG momento fletor da ação permanente G s A área da seção da armadura longitudinal MQ momento fletor da ação variável Q comprimida MQP MG 2MQ momento fletor da ação quase b largura da seção transversal permanente pQP momento positivo no vão d altura útil da seção transversal momento no engaste no caso de balanço distância do centróide da armadura tracionada Mr Wcfctf momento fletor de fissuração à borda comprimida da seção transversal e EsEcs razão entre os módulos de elasticidade d distância do centróide da armadura comprimida do aço e do concreto à borda comprimida da seção transversal pQP G 2Q ação quase permanente d h d Q ação variável Ecs i5600fck 12 fck em MPa módulo de x2 profundidade da linha neutra no estádio 2 elasticidade secante do concreto xc profundidade da linha neutra da seção bruta Es 210 GPa módulo de elasticidade do aço distância do centróide da seção bruta à fibra fck resistência característica do concreto à extrema comprimida compressão aos 28 dias t tempo que se deseja calcular a flecha meses fctf fctm resistência do concreto à tração na flexão to idade do concreto ao entrar em carga meses fctm 03fck 23 fck em MPa resistência média do yt h xc distância do centróide da seção bruta à concreto à tração fibra extrema tracionada fdiferida flecha do efeito da fluência do concreto Wc Icyt bh26 para seção retangular felástica flecha obtida com p pQP E Ecs e I Ic módulo resistente da seção bruta fimediata flecha da viga ao entrar em carga i 08 02fck80 fck em MPa flimite flecha máxima para limitar efeito visual f coeficiente para levar em conta a fluência do desagradável concreto no cálculo da flecha diferida ftotal fimediata fdiferida flecha total 2 03 para edificações residenciais G ação permanente 04 para edificações comerciais h altura da seção transversal 06 para bibliotecas oficinas e garagens I2 momento de inércia da seção no estádio 2 03 para pontes rodoviárias Ic bh312 para seção retangular fator de redução da ação variável para momento de inércia da seção bruta combinação de ação quase permanente Ie momento de inércia efetivo da seção Asbd taxa geométrica de armadura L vão entre apoios longitudinal comprimida A Flecha elástica F Parâmetros auxiliares felástica fck MPa 20 25 30 35 flecha obtida com pQP e Ecs A1 fctm MPa 2210 2565 2896 3210 B Flecha imediata i 0850 0863 0875 0888 Ecs GPa 21 24 27 29 e EsEcs 1000 875 778 724 e c elástica imediata I I f f B1 G Seção equivalente seção fissurada estádio 2 seção fissurada MQP Mr 2 3 QP r c 3 QP r e I M M 1 I M M I BRANSON B2 seção não fissurada MQP Mr c e I I B3 C Flecha diferida f imediata diferida f f C1 seção real seção equivalente de concreto 50 1 t t o f C2 4a a 2a a a x 1 3 1 2 2 2 2 G1 t 70 meses 0 68 0 996t t 032 a1 b 2 G2 t 70 meses 2 C3 s e s e 2 1 A A a G3 t meses 1 3 6 12 70 1 A d A d a s e s e 3 G4 t 068 095 118 144 200 D Flecha total limite diferida imediata total f f f f D1 2 2 s e 2 2 s e 3 2 2 d 1 A x x A d 3 bx I G5 E Flecha limite 250 L f limite L 2Lbal no caso de balanço E1 profundidade da l neutra i i i A x A x momento de inércia A I I 2 i i i MUSSO d b LN s A d x2 d b eAs LN e1 s A d x2 dx2 VIGA Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 31 VIGA SEÇÃO EQUIVALENTE DE CONCRETO SEÇÃO HOMOGENEIZADA OU TRANSFORMADA No estado limite de serviço de deformações ELSDEF tanto o concreto quanto o aço tem comportamento linear Assim a área A e 1As é uma área fictícia só de concreto seção equivalente que quando submetida a tensão c resulta na mesma carga P que atua na seção real composta de concreto e aço MOMENTO DE INÉRCIA DA SEÇÃO BRUTA IC E MOMENTO DE INÉRCIA DA SEÇÃO FISSURADA I2 Seção real Seção bruta de concreto Seção fissurada estádio 2 puro Armadura Simples 4a a 2a a a x 1 3 1 2 2 2 2 3 a1 b 2 s e 2 A a A d a s e 3 2 2 s e 3 2 2 x A d 3 bx I 4 Armadura Dupla 2 x c h 1 12 bh I 3 c 2 4a a 2a a a x 1 3 1 2 2 2 2 5 a1 b 2 s e s e 2 1 A A a 1 A d A d a s e s e 3 2 2 s e 2 2 s e 3 2 2 d 1 A x x A d 3 bx I 6 Armadura Simples f 1 3 1 2 2 2 2 h 4a a 2a a a x 9 2 b a w 1 s e f w f 2 A h b b a A d 2 b h b a s e 2 f w f 3 2 2 s e 2 f 2 f w f 3 f w f 3 2 w 2 x A d 2 h x h b b 12 h b b 3 b x I 10 Armadura Dupla f w f w 2 f w f 2 w c b h b h b b h b b h 2 1 x 7 2 f c f w f 3 f w f 2 c w 3 w c 2 h x b h b 12 b h b x 2 b h h 12 b h I 8 f 1 3 1 2 2 2 2 h 4a a 2a a a x 11 2 b a w 1 s e s e f w f 2 1 A A h b b a 1 A d A d 2 b h b a s e s e 2 f w f 3 2 2 s e 2 f 2 f w f 3 f w f 3 2 w 2 x A d 2 h x h b b 12 h b b 3 b x I 2 2 s e d 1 A x 12 Obs A I momento de inércia I A x Ai profundidade da linha neutra x 2 i i i i i MUSSO d h As b d h As As b d bw As bf hf d h h b xc LN bw bf hf h xc LN bw As bf hf d d h As d eAs b x2 LN bw eAs bf hf d x2 LN cs s e c e c cs s s cs c c s s s E E onde E E E E 1 A A A A A A A A P s e c s e c c s c e c c s s c c eAs P As Ac A e1As P s c s Es 1 s aço c Ecs 1 c concreto Ac A real equivalente bw eAs bf hf d d x2 LN e1As d b d x2 LN eAs e1As VIGA Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 32 EXEMPLO 1 SEÇÃO RETANGULAR 20x60 VERIFICAÇÃO DE FLECHA ELSDEF Concreto C25 Aço CA50 Flecha Limite Seção Transversal cm fck MPa 25 fyk MPa 500 flimite mm 24 mm Ac cm2 1200 c 14 s 115 t meses 70 Ic cm4 360000 fcd MPa 1786 fyd MPa 4348 to meses 1 Wc cm3 12000 Ecs GPa 24 Es GPa 210 2 04 ysup cm 30 fctm MPa 2565 e EsEcs 875 As cm2 804 yinf cm 30 Sistema Estrutural e Combinação Quase Permanente de Ações pQP13 3071 kNm pQP2 2536 kNm Diagrama de Momento Fletor para Combinação Quase Permanente de Ações kNm Flecha Elástica com Módulo de Elasticidade do Concreto Ecs e Combinação Quase Permanente de Ações felástica 341 mm a uma distância de 273 m dos apoios extremos Flecha vão 1 momento fletor quase permanente no vão MQP 923 kNm momento fletor de fissuração 3078kNm 12000 2565 10 100 W f M c ctm r MQP 923 kNm Mr 3078 kNm seção fissurada profundidade da linha neutra no estádio 2 As 0 4a a 2a a a x 1 3 1 2 2 2 2 10 0 cm 20 2 b 2 a1 2 s e 2 7035cm 8 04 8 75 A a 3869 3 cm 8 04 55 8 75 A d a s e 3 1646cm 10 2 4 10 3869 3 7035 7035 x 2 2 momento de inércia no estádio 2 As0 2 2 s e 3 2 2 x A d 3 bx I 4 2 3 2 134223 cm 1646 8 04 55 8 75 3 20 1646 I momento de inércia efetivo BRANSON 2 3 QP r c 3 QP r e I M M 1 I M M I 134223 92 3 3078 1 360000 92 3 3078 I 3 3 e 142596 cm4 flecha imediata 8 61mm 142596 3 41 360000 I I f f e c elástica imediata fator de fluência do concreto 50 1 t t o f Asbd 0 0 68 0 996t t 032 t 200 70 0 68 0 996 70 032 70 0 68 0 68 0 996 1 1 032 1 132 0 1 0 68 200 f flecha diferida 37mm 11 8 61 132 f f f imediata diferida flecha total 1998mm 37 11 8 61 f f f diferida imediata total 5 86 3 41 1998 f f obs elástica total flecha limite 24mm 250 6000 250 L f vão limite ftotal 1998 mm flimite 24 mm OK MUSSO FTOOL b 20 h 60 d 55 VIGA Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 33 FMJTOOL ESTADO LIMITE DE SERVIÇO DE DEFORMAÇÃO ELSDEF FMJTOOL VIGA Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 34 FMJTOOL ESTADO LIMITE DE SERVIÇO DE DEFORMAÇÃO ELSDEF CONT MUSSO FMJTOOL VIGA Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 35 VIGA VERIFICAÇÃO DE ABERTURA DE FISSURA ELSW MF Mr fck 50 MPa Acr área da região de envolvimento Mr Wcfctf momento fletor de fissuração As área da seção da armadura longitudinal pF G 1Q combinação frequente de ações tracionada Q ação variável s A área da seção da armadura longitudinal x2 profundidade da linha neutra no estádio 2 comprimida xc profundidade da linha neutra da seção bruta b largura da seção transversal distância do centróide da seção bruta à fibra d altura útil da seção transversal extrema comprimida distância do centróide da armadura tracionada yt h xc distância do centróide da seção bruta à à borda comprimida da seção transversal fibra extrema tracionada d distância do centróide da armadura comprimida Wc Icyt bh26 para seção retangular à borda comprimida da seção transversal módulo resistente da seção bruta d h d wk abertura de fissura Ecs i5600fck 12 fck em MPa módulo de e EsEcs razão entre os módulos de elasticidade elasticidade secante do concreto do aço e do concreto Es 210 GPa módulo de elasticidade do aço i 08 02fck80 fck em MPa fck resistência característica do concreto à diâmetro da barra da armadura longitudinal compressão aos 28 dias 1 100 lisa 14 entalhada 225 nervurada fctf fctm resistência do concreto à tração na flexão coeficiente de conformação superficial da barra fctm 03fck 23 fck em MPa resistência média do 1 04 para edificações residenciais concreto à tração 06 para edificações comerciais G ação permanente 07 para bibliotecas oficinas e garagens h altura da seção transversal 04 para passarelas de pedestres I2 momento de inércia da seção no estádio 2 05 para pontes rodoviárias Ic bh312 para seção retangular 10 para pontes ferroviárias momento de inércia da seção bruta fator de redução da ação variável para MG momento fletor da ação permanente G combinação frequente de ações MQ momento fletor da ação variável Q r AsAcr taxa de armadura As na área Acr MF MG 1MQ momento fletor da ação frequente s tensão no aço tracionado no estádio 2 para pF momento positivo no vão momento no combinação frequente de ações no engaste no caso de balanço A Área de envolvimento Acr E Parâmetros auxiliares fck MPa 20 25 30 35 fctf MPa 2210 2565 2896 3210 i 0850 0863 0875 0888 Ecs GPa 21 24 27 29 e EsEcs 1000 875 778 724 F Seção equivalente seção fissurada estádio 2 seção real seção equivalente de concreto h 2 57 bmínimoy Acr A1 B Tensão no aço tracionado no estádio 2 s 4a a 2a a a x 1 3 1 2 2 2 2 F1 s F s 2 2 F e c e s 90 dA M x ou d I M B1 a1 b 2 F2 C Abertura de fissura wk MÍNIMOw1 w2 wlim s e s e 2 1 A A a F3 1 A d A d a s e s e 3 F4 ctm s s s 1 1 f 3 E 12 5 w 45 4 E 12 5 w r s s 1 2 C1 D Abertura de fissura limite wlim CAA Agressividade do Ambiente wlim mm 2 2 s e 2 2 s e 3 2 2 d 1 A x x A d 3 bx I F5 I fraca 04 II e III moderada e forte 03 IV muito forte 02 profundidade da l neutra i i i A x A x momento de inércia A I I 2 i i i MUSSO h Acr b h2 75 y d b eAs LN e1 s A d x2 dx2 d b LN s A d x2 VIGA Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 36 EXEMPLO 1 SEÇÃO RETANGULAR 20x60 cm VERIFICAÇÃO DE ABERTURA DE FISSURA ELSW Concreto C25 Aço CA50 Abertura de Fissura Seção Transversal cm fck MPa 25 fyk MPa 500 wlim mm 03 Ac cm2 1200 c 14 s 115 1 225 Ic cm4 360000 fcd MPa 1786 fyd MPa 4348 ct cm 30 Wc cm3 12000 Ecs GPa 24 Es GPa 210 t mm 63 ysup cm 30 fctm MPa 2565 e EsEcs 875 mm 16 yinf cm 30 Sistema Estrutural e Combinação Frequente de Ações pF13 3295 kNm pF2 2716 kNm Diagrama de Momento Fletor para Combinação Frequente de Ações kNm Abertura de Fissura vão Abertura de Fissura apoio interno momento fletor frequente MF 991 kNm momento fletor de fissuração 3078kNm 2565 10 100 12000 W f M c ctm r MF 991 kNm Mr 3078 kNm seção fissurada profundidade da linha neutra no estádio 2 As 0 4a a 2a a a x 1 3 1 2 2 2 2 10 0 cm 20 2 b 2 a1 2 s e 2 7035cm 8 04 8 75 A a 3869 3 cm 8 04 55 8 75 A d a s e 3 1646cm 10 2 4 10 3869 3 7035 7035 x 2 2 momento de inércia no estádio 2 As0 2 2 s e 3 2 2 x A d 3 bx I 4 2 3 2 134223 cm 1646 8 04 55 8 75 3 20 1646 I tensão no aço tracionado no estádio 2 frequente x d I M 2 2 F e s 0 249 GPa cm kN 24 9 1646 134223 55 100 8 75 991 2 s área de envolvimento Acr e r AsAcr Acr bctt275 Acr 2030631627516 3286 cm2 r 8043286 245 abertura de fissura w1 e w2 0 20mm 2565 3 249 210 0 249 2 25 12 5 16 f 3 E 12 5 w ctm s s s 1 1 45 2 45 4 210 0 249 2 25 12 5 16 45 4 E 12 5 w r s s 1 2 w2 014 mm abertura característica de fissura wk wk mínimow1w2 mínimo020 014 014 mm wk 014 mm wlimite 030 mm OK momento fletor frequente MF 1082 kNm momento fletor de fissuração 3078kNm 2565 10 100 12000 W f M c ctm r MF 1082 kNm Mr 3078 kNm seção fissurada profundidade da linha neutra no estádio 2 As 0 4a a 2a a a x 1 3 1 2 2 2 2 10 0 cm 20 2 b 2 a1 2 s e 2 7035cm 8 04 8 75 A a 3869 3 cm 8 04 55 8 75 A d a s e 3 1646cm 10 2 4 10 3869 3 7035 7035 x 2 2 momento de inércia no estádio 2 As0 2 2 s e 3 2 2 x A d 3 bx I 4 2 3 2 134223 cm 1646 8 04 55 8 75 3 20 1646 I t ensão no aço tracionado no estádio 2 frequente x d I M 2 2 F e s 0 272GPa cm kN 27 2 1646 55 134223 100 8 75 108 2 2 s área de envolvimento Acr e r AsAcr Acr bctt275 Acr 2030631627516 3286 cm2 r 8043286 245 abertura de fissura w1 e w2 0 23mm 2565 3 272 210 0 272 2 25 12 5 16 f 3 E 12 5 w ctm s s s 1 1 45 2 45 4 210 0 272 2 25 12 5 16 45 4 E 12 5 w r s s 1 2 w2 015 mm abertura característica de fissura wk wk mínimow1w2 mínimo023 015 015 mm wk 015 mm wlimite 030 mm OK MUSSO FTOOL b 20 h 60 d 55 VIGA Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 37 FMJTOOL ESTADO LIMITE DE SERVIÇO DE ABERTURA DE FISSURA ELSW FMJTOOL VIGA Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 38 FMJTOOL ESTADO LIMITE DE SERVIÇO DE ABERTURA DE FISSURA ELSW CONT FMJTOOL VIGA Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 39 VIGA COEFICIENTE DE FISSURAÇÃO kfis AsAscal DEDUÇÃO DE kfis PARA USO PRÁTICO A abertura característica de fissura wk é obtida segundo a NBR 61182014 como o menor dos dois valores a seguir e deve ser menor ou igual a abertura de fissura limite wlim ctm s s s 1 1 f 3 E 12 5 w 1 e 45 4 E 12 5 w r s s 1 2 2 Simplificadamente podemos admitir que a tensão na armadura tracionada s para estado limite de serviço de fissuração combinação frequente de ações seja igual a tensão de cálculo fyd dividida pelo coeficiente de minoração f definido como a razão MdMF Assim f yd F d yd s f M M f onde Md momento fletor no estado limite último geralmente 14MG 14MQ MF momento fletor para combinação frequente de ações geralmente MG 1MQ f razão MdMF geralmente em torno de 14 E levando em consideração que a armadura adotada As é geralmente maior que a armadura calculada Ascal o que faz com que a tensão em serviço sofra uma redução proporcional a razão AscalAs podemos então reescrever s como r cal r f yd cr s cr cal s f yd s s cal s f yd s f A A A A f ou A A f 3 onde Acr área de concreto que envolve a armadura tracionada área de envolvimento para fissuração Substituindo s 3 na primeira equação de abertura de fissura 1 com w1 wlim temos 2 r cal r f yd s ctm 1 ctm s s s 1 lim f E f 3 12 5 f 3 E 12 5 w ou lim 2 f s ctm 1 2 yd 2 cal r r w E f 5 12 f 3 Fazendo yd lim s 1 f w f E w 12 5 a 4 Resulta 1 f a 3f k A A f ctm w yd fis1 cal s s cal r r 5 Substituindo s 3 na segunda equação de abertura de fissura 2 com w2 wlim e introduzindo aw 4 temos 45 4 E 1 f 12 5 45 4 E 12 5 w r s r cal r f yd 1 r s s 1 lim ou 1 45 4 a r r w r cal Desenvolvendo 0 4 45 a r cal r 2 w r ou 0 a 4 a 45 r cal w cal r r w 2 cal r r Resulta 1 a 4 a 22 5 a 22 5 k A A r cal w 2 w w fis2 cal s s cal r r 6 Adotaremos como multiplicador para a obtenção de As final o menor dos dois coeficientes kfis1 ou kfis2 Assim s cal fis2 fis1 s A k MÍNIMOk A 7 MUSSO Adaptado de José de Miranda Tepedino Fissuração Edições COTEC 0489 UFMG VIGA Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 40 VIGA COEFICIENTE DE FISSURAÇÃO kfis AsAscal AÇO CA50 MUSSO VIGA Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 41 VIGA DISPOSIÇÃO DA ARMADURA LONGITUDINAL A NÍVEL DE ELEMENTO Zona de boa e má aderência para as armaduras Resistência de aderência de cálculo fbd fyk 500 MPa 32 mm e c 14 MPa 2 0 2363 f 70 f 1 f 0 3375 f 14 2 25 70 30 f 2 25 f f 2 3 ck bdboa bdmá 2 3 ck 2 3 ck ctd bdboa concreto C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 zona boa 2487 2886 3259 3611 3947 4270 4581 zona má 1741 2020 2281 2528 2763 2989 3206 Comprimento de ancoragem básico lbbás fyk 500 MPa 32 mm s 115 e c 14 concreto C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 zona boa 437 377 334 301 275 255 237 zona má 624 538 477 430 393 364 339 Deslocamento lateral do diagrama de momentos fletores al Comprimento das barras da armadura longitudinal e ancoragem da armadura inferior nos apoios MUSSO h h 30 armaduras h 30 cm h 30 30 h 60 cm h 60 cm zona má zona boa 3 f 4 f logo l 4 A mas A f f l bd yd bás b 2 s s yd bd bbás fbd lbbás sfyd A a em b T1z M1 05Vzcot ou T1z M1 Val M1 M onde al 05zcote M Val Conclusão o momento fletor na seção 1 T1z é igual a M1 acrescido de Val o que é equivalente a uma translação lateral al do diagrama de momentos fletores ver fig abaixo C z T1 z zcot M2 V M2 T1z 05Vzcot b o V V zcot M2 V M2 M1 Vzcot a o M1 1 2 1 lbnec lbmín apoio externo B B 10 10 M al A A lbbás lbbás M al B B A A lbbás lbbás 10 10 Md Md deslocado de al deslocamento lateral do diagrama de momentos al 05zcot z 09d 4 30º 45º al 078d 045d inclinação da biela 10 apoio interno Asint Asvão3 se lMintlMvão2 Asint Asvão4 se lMintlMvão2 Mvão Mint Asvão Asext Asvão3 lbnec 1lbbás s ext yd d A 2f V cot 10ancoragem reta 07ancor com gancho lbmín máx03lbbás 10 10cm 5 se 20mm 8 se 20mm armadura de montagem 8 p gancho aço CA50 tan V Mal M Val M1 M1 1 armadura positiva armadura negativa p VIGA Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 42 VIGA V2 20x60 cm DETALHAMENTO DAS ARMADURAS LONGITUDINAIS E TRANSVERSAIS Deslocamento Lateral do Diagrama de Momentos Fletores Zona de Aderência Comprimento de Ancoragem Básico zona de má aderência 30 43cm 0 7855 0 78d a o l 86cm 61 53 8 53 8 l má b armadura negativa MUSSO 60 30boa 30má cm VIGA Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 43 VIGA TIPOS DE ANCORAGEM DA ARMADURA LONGITUDINAL TRACIONADA NBR 61182014 VIGA Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 44 VIGA EMENDAS DA ARMADURA LONGITUDINAL POR TRASPASSE NBR 61182014 VIGA Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 45 VIGA TIPOS DE ANCORAGEM DA ARMADURA TRANSVERSAL NBR 61182014 VIGA Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 46 EXEMPLO 1 VIGA DE EQUILÍBRIO OU VIGA ALAVANCA Concreto C25 Aço CA50 Armadura Mínima Seção Transversal cm fck MPa 25 fyk MPa 500 Ac cm2 4000 c 14 s 115 015 bh A s mín mín Ic cm4 2133333 fcd MPa 1786 fyd MPa 4348 Wc cm3 53333 Ecs GPa 24 Es GPa 210 0103 bs A swmín wmín ysup cm 40 fctd MPa 1282 010bh A s pele yinf cm 40 VIGA DE EQUILÍBRIO PLANTA Prédimensionamento da Seção de Concreto desprezando peso próprio da viga Altura Útil Mínima para Momento Fletor Altura Útil Mínima para Força Cortante força cortante de cálculo vd 141000 1400 kN força cortante resistente sem esmagamento do concreto cd Rd2 0 45bd f V ver formulário para 45o em MPa f 250 f 1 60 ck ck fck MPa 20 25 30 0552 0540 0528 momento fletor de cálculo Md 141000075 1050 kNm momento fletor limite com armadura simples 2 x d f b x M lim cd lim d lim ver formulário 50MPa para f 0 45d 0 85 x 80 ck lim cd 2 d lim 0 25bd f M fazendo limM d d lim d e d M M obtemos menor altura útil para armadura simples 69 cm 14 52 0 25 50 1050 100 0 25bf M d cd d limM considerando a largura da viga b 50 cm fazendo limV d Rd2 d e d V V obtemos menor altura útil para não esmagar o concreto 63cm 14 52 0 25 50 1400 0 25bf V 0 45 bf V d cd d cd d limV considerando a largura da viga b 50 cm adotaremos uma seção transversal de concreto bhd 5080725 cm Sistema Estrutural e Cargas pk kN m Peso Próprio da Viga 05008025 10 kNm Diagrama de Momento Fletor Mk kNm Diagrama de Força Cortante Vk kN MUSSO FTOOL b 50 h 80 d 725 P125x40 1000 kN 075 600 m P240x40 2000 kN VE divisa VIGA Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 47 EXEMPLO 1 VIGA DE EQUILÍBRIO OU VIGA ALAVANCA CONT Dimensionamento das Armaduras Armadura Longitudinal Armadura Transversal momento fletor de cálculo Md 14753 1054 kNm profundidade da linha neutra cd 2 d 425bd f 0 M 1 125d 1 x 2839cm x 14 52 425 50 72 5 0 1054 100 1 1 125 72 5 x 2 3263cm 0 45 72 5 0 45d x 2839cm x lim armadura simples armadura longitudinal yd cd s f 0 68bxf A 2 s 3965cm 14 50 115 0 68 50 2839 52 A 925 mm 54 4418 cm2 Asmín mínbh 0155080 600 cm2 416 mm armadura de pele Aspele 010bh 0105080 400 cm2face 610 mmface 471 cm2face força cortante de cálculo Vd 141007 1410 kN força cortante resistente sem esmagamento do concreto sen2 bd 0 45 f V cd Rd2 em MPa f 250 f 1 60 ck ck 0 54 25 250 60 1 1573kN 50 725 14 sen90 0 54 52 0 45 V o Rd2 Vd 1410 kN VRd2 1573 kN não há esmagamento do concreto armadura transversal cot 90 df V s V A ywd c d sw modelo simplificado 45o 279kN 1282 10 50 725 60 60 bdf V V ctd o c 3987 cm m 50 115cot 45 725 90 279 100 1410 A 2 o sw 2125mmc12cm 4092 cm2m 4 ramos slmáx mínimo03725 20 20 cm Vd 067VRd2 Aswmín wmínbs 010350100 515 cm2m 28mmc30cm 672 cm2m 4 ramos Armadura Transversal com Força Cortante reduzida de acordo com o item 174121 da NBR61182004 força cortante reduzida de cálculo a 075 m d 0725 cm a 075 m 2d 145 m 735kN 0 75 14 10 0 725 2 0 75 14 1000 V p a P a 2d V red d d d red d armadura transversal cot df 90 V s V A ywd c d red sw modelo simplificado 45o 279kN 1282 10 50 72 5 60 60 bdf V ctd o 1607 cm m 50 115cot 45 725 90 279 100 735 A 2 o sw 210mmc19cm 1652 cm2m 4 ramos slmáx mínimo06725 30 30 cm Vd 067VRd2 VIGA DE EQUILÍBRIO VE 50x80 ARMAÇÃO MUSSO FTOOL 4N3 5N1 4N2 6N4 6N4 N5 N5 corte AA N3416inf N42x610lat N15251acamsup N24252acamsup 416 2x610 925 P1 P2 a b B2 N52x410c19 B1 N62x178c30 A A VIGA Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 48 VIGA APOIOS INDIRETOS ARMADURA DE SUSPENSÃO Assus NBR 61182014 EUROCÓDIGO 2 Modelo de Treliça e Armadura de Suspensão em Apoios Indiretos Armadura de Suspensão Assus yd 1 2 d2 s sus f h h R A caso a1 h2 h1 yd d2 s sus f R A caso a2 e caso a3 MUSSO apoios indiretos v2 v1 a1 v1 a2 v2 a3 v2 v1 Rd2 Rd2 Rd2 Rd2 v2 viga apoiada h1 h2 h1 v1 viga de apoio modelo de treliça com barras comprimidas e tracionadas VIGA Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 49 VIGA LARGURA COLABORANTE DA MESA DE SEÇÃO T E LIGAÇÃO ALMAMESA DE SEÇÃO T NBR 61182014 VIGA Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 50 VIGA LIGAÇÃO ALMAMESA DE SEÇÃO T EUROCÓDIGO 2 VIGA Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 51 VIGA LIGAÇÃO ALMAMESA DE SEÇÃO T Sistema Estrutural Mesa Comprimida Mesa Tracionada Modelo de Treliça da Alma C Mdz T Mdz Modelo de Treliça da Mesa Força Cortante na área hfx Vfd Variação da Força Normal na aba da seção T no comprimento x Fa C b b F b C b F f a a f a a z M 2b b b C b b F V d f w f f a a fd T A A F A T A F s sa a s sa a z M A A T A A F V d s sa s sa a fd Comprimento x segundo Eurocódigo 2 Triângulo de Forças Força Cortante Resistente da Biela de Concreto VRd2 Vfd VRd2 xsen cos h f A cos F cos V f cd c c c Rd2 x sen2 h f 50 V f cd Rd2 em MPa f 250 1 f 60 ck ck Dimensionamento da Armadura de Costura Asf m 51 cm cot xf V s A x s cot A f A cot F cot V 2 yd f fd sf f sf yd s s s fd MUSSO Md MdMd Vd x Vd x Md MdMd Fa FaFa Fa FaFa x Fa Fa FaFa FaFa x Vd Md T C MdMd Vd CC TT MdMd Vd TT CC Md C T Vd z z bf ba bf bw2 hf z d bw ligação almamesa hfx armadura de costura As Asa hf z d bw ligação almamesa hfx armadura de costura armadura de costura em sf Asf em x Asfxsf Fc cAc Vfd x sf Fs sAs xsen hf Ac Asf VIGA Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 52 VIGA DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO T À MOMENTO FLETOR COM MESA COMPRIMIDA ELUM A Momento fletor resistido pela mesa comprimida MRf B Momento fletor máximo com armadura simples Mdlim h 2 d f b h Cz M f cd f f Rf A1 2 x f d x b h 2 f d b h b C z C z M M M lim cd lim w f cd f w f w w a a wlim a d lim B1 C Profundidade limite da linha neutra xlim xlim 045d se fck 50 MPa xlim 035d se fck 50 MPa C1 D CASO 1 Seção T com Md MRf parte da mesa comprimida G Armadura mínima para seção T Asmín armadura simples seção retangular com Md e b bf b h f 015 0 25f máximo A w yk ctm s mín G1 fck MPa 20 25 30 35 Asmínbwh 015 015 015 016 fctm MPa 2210 2565 2896 3210 H Tensão na armadura comprimida sd f yd s yd sd E yd s s s sd H1 fck 50 MPa 50 MPa s d d 0 45 778 d d 0 35 8 75 H2 cd 2 f d 425b d f 0 M 1 125d 1 x D1 fyk 250 MPa 500 MPa 600 MPa s A s mín yd cd f s A f 0 68b xf A D2 yd 1035 2070 2484 H3 E CASO 2 Seção T com MRf Md Mdlim toda mesa e parte da alma comprimidas Superposição de efeitos abas comprimidas parte da alma comprimida abas seção retangular com Ma e b bf bw alma seção retangular com Mw e b bw armadura simples h 2 f d b h b C z M f cd f w f a a a E1 a d w M M M E4 f f 125h h x E2 cd 2 w w 0 425b d f M 1 125d 1 x E5 w a s A A A yd cd w f a f b xf 0 68b A E3 yd cd w w f 0 68b xf A E6 F CASO 3 Seção T com Md Mdlim toda mesa e parte da alma comprimidas Superposição de efeitos abas comprimidas parte da alma comprimida abas seção retangular com Ma e b bf bw alma seção retangular com Mw e b bw armadura dupla h 2 f d b h b C z M f cd f w f a a a F1 a d w M M M F4 2 x f d x b M lim cd lim w wlim F5 yd lim cd w wlim f f 0 68b x A F6 f f 125h h x F2 d d M A sd s wlim w M M M F7 w a s A A A s A yd cd w f a f b xf 0 68b A F3 yd sd s wlim w f A A A F8 MUSSO x MRf x hf T Asfyd C bf hffcd z d hf 2 fcd h d bf As LN bw hf xlim Mdlim xlim T Aslimfyd Ca bf bwhf fcd za d hf 2 fcd h d bf As LN bw hf a w a zw d xlim 2 Cw bwxlimfcd h d bf As bw hf Md Ma bf bw Aa hf d bw Aw x Mw d Ma bf bw Aa hf d h d bf As bw hf Md d bf As x Md h d bf As bw hf Md d s A bw Aw xlim Mw s A d d s sd A s sd A M dd Awlimfyd Mwlim bwxlimfcd VIGA Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 53 VIGA SEÇÃO T EXEMPLO 1 DIMENSIONAMENTO À MOMENTO FLETOR E FORÇA CORTANTE Características do Concreto e Aço Seção Transversal cm fck MPa 25 fyk MPa 500 Ac cm2 3300 fcd MPa 1786 fyd MPa 4348 Ic cm4 1555000 fctm MPa 2565 Es GPa 210 ysup cm 2409 fctk MPa 1795 mín 0150 yinf cm 4591 fctd MPa 1282 wmin 0103 Sistema Estrutural e Cargas Últimas Diagrama de Força Cortante de Cálculo kN Diagrama de Momento Fletor de Cálculo kNm Dimensionamento à Momento Fletor Dimensionamento à Força Cortante 45o momento fletor de cálculo ½ do vão Md 791 kNm profundidade da linha neutra cd 2 f d 425b d f 0 M 1 125d 1 x 6 98cm 14 0 425 150 65 52 791 100 1 125 55 1 x 2 10cm h 5 58cm 6 98 80 x f mesa parcialmente comprimida armadura longitudinal yd cd f s f 0 68b xf A 2 s 29 3 cm 1450 115 6 98 52 0 68 150 A 1020 mm Asbwh 2933070 140 força cortante de cálculo apoio Vd 4219 kN força cortante resistente máxima sen2 b d 0 45 f V w cd Rd2 em MPa f 250 f 1 60 ck ck 0 54 25 250 60 1 846 2 kN 30 65 14 sen90 0 54 52 0 45 V o Rd2 Vd 4219 kN VRd2 8462 kN não há esmagamento do concreto armadura transversal cot 90 df V s V A yd c d sw modelo simplificado 150kN 30 65 128210 60 60 b df V ctd w c 10 7 cm m 65 50 115cot 45 90 150 100 4219 A 2 o sw 10c14 cm 2 ramos MUSSO hf10 bw30 bf150 h70 d65 VIGA Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 54 VIGA SEÇÃO T EXEMPLO 2 DIMENSIONAMENTO DA LIGAÇÃO ALMAMESA Características do Concreto e Aço Seção Transversal cm fck MPa 25 fyk MPa 500 Ac cm2 3300 fcd MPa 1786 fyd MPa 4348 Ic cm4 1555000 fctm MPa 2565 Es GPa 210 ysup cm 2409 fctk MPa 1795 mín 0150 yinf cm 4591 fctd MPa 1282 wmin 0103 Sistema Estrutural e Cargas Últimas Diagrama de Força Cortante de Cálculo kN Diagrama de Momento Fletor de Cálculo kNm Verificação do Esmagamento do Concreto 45o e Dimensionamento da Armadura de Costura comprimento x x 3752 1875 m metade da distância entre as seções de momento nulo e máximo variação do momento fletor de cálculo em x Md 5933 00 5933 kNm força cortante de cálculo na área hfx 90 d z z M 2b b b V d f w f fd 405 7 kN 0 65 90 593 3 2 150 30 150 Vfd força cortante de cálculo mínima dispensa da armadura de costura e necessidade apenas da armadura de flexão da mesa se Vfd Vfdmín x h 0 4f V f ctd fdmín Eurocódigo 2 93 6 kN 0 4 1282 10 10 182 5 V fdmín Vfd 4057 kN Vfdmin 936 kN armadura de costura necessária força cortante resistente da biela de concreto x sen2 h f 50 V f cd Rd2 em MPa f 250 f 1 60 ck ck 0 54 25 250 60 1 904kN 10 187 5 14 sen90 0 54 52 50 V o Rd2 Vfd 4057 kN VRd2 904 kN não há esmagamento do concreto armadura transversal armadura de costura cot xf V s A yd f fd sf 4 97cm m 50 115 cot 45 187 5 100 405 7 A 2 o sf 63c12 mm 2 ramos armadura mínima de flexão da mesa f f yk ctm s mín 015 100h 100h f 0 25 f A 51 cm m 015 100 10 100 10 500 0 25 2565 A 2 s mín MUSSO hf10 bw30 bf150 h70 d65 VIGA Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 55 VIGA SEÇÃO T EXEMPLO 3 DIMENSIONAMENTO À MOMENTO FLETOR E FORÇA CORTANTE Características do Concreto e Aço Seção Transversal cm fck MPa 25 fyk MPa 500 Ac cm2 5300 fcd MPa 1786 fyd MPa 4348 Ic cm4 3346000 fctm MPa 2565 Es GPa 210 ysup cm 3142 fctk MPa 1795 mín 0150 yinf cm 4858 fctd MPa 1282 wmin 0103 Sistema Estrutural e Cargas Últimas Diagrama de Força Cortante de Cálculo kN Diagrama de Momento Fletor de Cálculo kNm Dimensionamento à Momento Fletor Dimensionamento à Força Cortante 30o momento fletor de cálculo ½ do vão Md 18945 kNm profundidade da linha neutra cd 2 f d 425b d f 0 M 1 125d 1 x 1237cm 14 0 425 180 75 52 100 1894 5 1 125 75 1 x 2 mesa parcialmente comprimida armadura longitudinal yd cd f s f 0 68b xf A 2 s 62 2 cm 1450 115 0 68 180 1237 52 A 2020 mm Asbwh 6225080 156 força cortante de cálculo apoio Vd 801 kN força cortante resistente máxima sen2 b d 0 45 f V w cd Rd2 em MPa f 250 f 1 60 ck ck 0 54 25 250 60 1 1409 2 kN 50 75 14 sen60 0 54 52 0 45 V o Rd2 Vd 801 kN VRd2 14092 kN não há esmagamento do concreto armadura transversal cot 90 df V s V A yd c d sw modelo refinado 288 5 kN 50 75 1282 10 60 60 b df V ctd w o 156 6 kN 288 5 288 5 1409 2 801 1409 2 V V V V V V o o 2 Rd d Rd2 c 1268cm m 75 50 115cot 30 90 801 156 6 100 A 2 o sw 8c15 cm estribo de 4 ramos MUSSO hf10 bw50 bf180 h80 d75 VIGA Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 56 VIGA SEÇÃO T EXEMPLO 4 DIMENSIONAMENTO DA LIGAÇÃO ALMAMESA Características do Concreto e Aço Seção Transversal cm fck MPa 25 fyk MPa 500 Ac cm2 5300 fcd MPa 1786 fyd MPa 4348 Ic cm4 3346000 fctm MPa 2565 Es GPa 210 ysup cm 3142 fctk MPa 1795 mín 0150 yinf cm 4858 fctd MPa 1282 wmin 0103 Sistema Estrutural e Cargas Últimas Diagrama de Força Cortante de Cálculo kN Diagrama de Momento Fletor de Cálculo kNm Verificação do Esmagamento do Concreto 30o e Dimensionamento da Armadura de Costura comprimento x x 2 m metade da distância entre as seções de momento nulo e máximo mas distância entre cargas concentradas variação do momento fletor de cálculo em x Md 1368 00 1368 kNm força cortante de cálculo na área hfx 90 d z z M 2b b b V d f w f fd 7319 kN 0 75 90 1368 2 180 50 180 Vfd força cortante de cálculo mínima dispensa da armadura de costura e necessidade apenas da armadura de flexão da mesa se Vfd Vfdmín x h 0 4f V f ctd fdmín Eurocódigo 2 102 6 kN 0 4 1282 10 10 200 V fdmín Vfd 7319 kN Vfdmin 1026 kN força cortante resistente da biela de concreto x sen2 h f 50 V f cd Rd2 em MPa f 250 f 1 60 ck ck 0 54 25 250 60 1 8351 kN 10 200 14 sen60 0 54 52 50 V o Rd2 Vfd 7319 kN VRd2 8351 kN não há esmagamento do concreto armadura transversal armadura de costura cot xf V s A yd f fd sf 4 86cm m 200 50 115 cot30 100 7319 A 2 o sf 63c12 mm 2 ramos armadura mínima de flexão da mesa f f yk ctm s mín 015 100 h 100 h f 0 25 f A 51 cm m 015 100 10 100 10 500 0 25 2565 A 2 s mín MUSSO hf10 bw50 bf180 h80 d75 VIGA Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 57 VIGA DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À MOMENTO TORÇOR ELUT A bh área da seção transversal Fs força de tração na armadura longitudinal Ae behe área limitada pela linha média da seção h altura da seção transversal vazada s espaçamento longitudinal entre estribos As área da seção da armadura longitudinal 100 cm para obter Asw em cm2m tracionada te máximoAu 2c1 b2 h2 espessura da Asmín área mínima da seção da armadura longitudinal parede da seção vazada no perímetro ue Td 14TG TQ momento torçor de cálculo Asw área da seção da armadura transversal TRd2 momento torçor de cálculo máximo resistido por Aswmín área mínima da seção da armadura transversal compressão diagonal das bielas de concreto b largura da seção transversal TG momento torçor da ação permanente G c1 5 cm 2 c t t TQ momento torçor da ação variável Q ct cobrimento do estribo u 2b h perímetro da seção transversal d altura útil da seção transversal ue 2be he perímetro da área Ae fcd fck14 resistência de cálculo do concreto à be b te largura da área Ae compressão he h te altura da área Ae fck resistência característica do concreto à diâmetro da armadura longitudinal compressão aos 28 dias t diâmetro da armadura transversal fctm 03fck 23 fck em MPa resistência média do 051 fck250 fck em MPa coeficiente de concreto à tração redução da resistência do concreto fissurado fyd fyk115 resistência de cálculo de escoamento por momento torçor do aço tensão tangencial do momento torçor fyk resistência característica de escoamento do aço ângulo das bielas comprimidas de concreto Seção vazada de cálculo com espessura te Modelo resistente à momento torçor no estado limite último Compressão diagonal e tração longitudinal 1 parede A Verificação da compressão diagonal do concreto dados b h e fck obter TRd2 Td TRd2 simplificado refinado cálculo 45o 30o a 45o TRd2 cd e e f A t sen2 f t A cd e e A1 fck MPa 20 25 30 35 0460 0450 0440 0430 45o 0657 0804 0943 1075 A t T e e Rd2 30o 0569 0696 0817 0931 obs TRd2Aete em kNcm2 B Dimensionamento da armadura transversal dados Td b h e fyk obter Asw por parede a cos sen f t h Csen 2A h T cd e e e e Rd2 ou f sen2 A t T cd e e Rd2 b e yd e s s u h f A 2F 2 Ccos c tan h f u A Ccos tan Csen 2A T h e yd e s e d e ou tan 2A f T u A yd e e d s simplificado refinado Tração transversal 1 parede cálculo 45o 30o a 45o Asw yd e d 2A f T s cot 2A f s T yd e d B1 Aswmín yk ctm e f 20 t sf B2 C Dimensionamento da armadura longitudinal dados Td b h e fyk obter As total no perímetro ue simplificado refinado cálculo 45o 30o a 45o As yd e d e 2A f T u tan 2A f u T yd e d e C1 Asmín yk e e ctm f 20 t u f C2 d sw yd e e d e f A s h cot 2A T h ou cot 2A f T s A yd e d sw MUSSO fluxo de torção t e e e 2 e e 1 t b t h V V 2 2V h 2 2V b T e 2 e 1 d e e e e e e t b h t h b e Ae t 2 e d e 2A T t e e d 1 2A V T h e e d 2 A 2 T b V Td V2 Td he be V1 V2 V1 te Ae behe seção real seção de cálculo e e Rd2 2A h T e d e 2A T h fissura C tehecosfcd hecos Fs2 Asuehefyd2 biela Fs2 he armadura longitudinal na parede he b h As d Ae ue te A u Td hecotsAswfyd estribos fissuras s hecot he número de estribos em hecot b h Asw d Ae ue te A u Td e d e 2A T h VIGA Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 58 DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À M TORÇOR M FLETOR E FORÇA CORTANTE fck 50 MPa A Verificação da compressão diagonal do concreto A bh área da seção transversal dados Vd Td b h e fck Vd VRd2 Td TRd2 1 Ae behe área limitada pela linha média da seção simplificado refinado vazada cálculo 45o 30o a 45o AsM área da seção da armadura longitudinal VRd2 0 45bd fcd sen2 0 45bd f cd A1 tracionada para Md fck MPa 20 25 30 35 AsT área da seção da armadura longitudinal 0552 0540 0528 0516 tracionada para Td simplificado refinado AswT área da seção da armadura transversal para Td cálculo 45o 30o a 45o AswV área da seção da armadura transversal para Vd TRd2 cd e e f A t sen2 f t A cd e e A2 b largura da seção transversal fck MPa 20 25 30 35 c1 5 cm 2 c t t 0460 0450 0440 0430 ct cobrimento do estribo Superposição de força cortante e momento torçor d altura útil da seção transversal fcd fck14 resistência de cálculo do concreto à 1 T T V V 2 Rd d 2 Rd d A3 compressão B Dimensionamento da armadura transversal fck resistência característica do concreto à dados Vd Td b d h fck e fyk obter Aswtotal compressão aos 28 dias simplificado refinado fctd fctk14 resist de cálculo do concreto à tração cálculo 45o 30o a 45o fctk 07fctm resist característica do concreto à tração fctm 03fck 23 fck em MPa resistência média do AswV yd c d 90 df V s V cot 90 df V s V yd c d B1 concreto à tração o d V V o d V V fyd fyk115 resist de cálculo de escoamento do aço B2 fyk resistência característica de escoamento do aço c V o V o V o o 2 Rd d Rd2 V V V V V h altura da seção transversal o V 60 bdfctd B3 Md 14MG MQ momento fletor de cálculo fck MPa 20 25 30 35 Mdlim momento fletor de cálculo máximo com fctd MPa 1105 1282 1448 1605 armadura simples Vo bd kNcm2 00663 00769 00869 00963 s espaçamento longitudinal entre estribos simplificado refinado 100 cm para obter Asw em cm2m cálculo 45o 30o a 45o te máximoAu 2c1 b2 h2 espessura da parede da seção vazada AswT por parede yd e d 2A f T s cot 2A f s T yd e d B4 Td 14TG TQ momento torçor de cálculo Superposição de armaduras transversais TRd2 momento torçor de cálculo máximo resistido por swT swV swtotal 2A A A B5 compressão diagonal das bielas de concreto C Dimensionamento da armadura longitudinal ue 2be he perímetro da área Ae dados Md Td b d h fck e fyk 500 obter As por face u 2b h perímetro da seção transversal xlim xduc 045d x34 062832d C1 c V força cortante resistida por outros mecanismos Mdlim 025092bd2fcd 031988bd2fcd C2 Vd 14VG VQ força cortante de cálculo Aslim 0306bdfcdfyd 042726bdfcdfyd C3 VRd2 força cortante de cálculo máxima resistida por Armadura simples seção com As Md Mdlim x xlim compressão diagonal das bielas de concreto be b te largura da área Ae C4 he h te altura da área Ae cd 2 d 425bd f 0 M 1 125d 1 x x profundidade da linha neutra no estádio 3 ELU yd cd s M f 0 68bxf A face tracionada C5 xlim profundidade máxima da linha neutra para simplificado refinado ruptura dúctil da seção ruptura com aviso cálculo 45o 30o a 45o diâmetro da armadura longitudinal t diâmetro da armadura transversal AsT em ue yd e d e 2A f T u tan 2A f u T yd e d e C6 051 fck250 fck em MPa coeficiente de Superposição de armaduras longitudinais redução da resist do concreto fissurado por Td e e s T s face comprimida por M u b A A C7 061 fck250 fck em MPa coeficiente de e e s T s cada face lateral u h A A C8 redução da resist do concreto fissurado por Vd e e s T s M s face tracionada por M u b A A A C9 ângulo das bielas comprimidas de concreto MUSSO VIGA Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 59 DIMENSIONAMENTO DE VIGA À MOMENTO FLETOR FORÇA CORTANTE E MOMENTO TORÇOR A seção transversal de uma viga em balanço com carga de cálculo Fd tem largura b 30 cm altura h 60 cm altura útil d 55 cm e no engaste está submetida aos seguintes esforços momento fletor solicitante de cálculo Md kNm 05 força cortante solicitante de cálculo Vd kN 05 momento torçor solicitante de cálculo Td kNm 10 Utilizar concreto fck 25 MPa aço fyk 500 MPa DIMENSIONAMENTO À MOMENTO FLETOR a calcular a armadura longitudinal AsM cm2 para resistir ao momento fletor Md DIMENSIONAMENTO À FORÇA CORTANTE obs considerar modelo simplificado de cálculo com bielas de concreto inclinadas a 45º b calcular a força cortante resistente por compressão diagonal do concreto VRd2 kN c calcular a armadura transversal AswV cm2m total para resistir a força cortante Vd DIMENSIONAMENTO À MOMENTO TORÇOR obs considerar modelo simplificado de cálculo com bielas de concreto inclinadas a 45º d calcular a espessura da parede da seção vazada de cálculo adotar c1 5 cm e calcular o momento torçor resistente por compressão diagonal do concreto TRd2 kNm f calcular a armadura transversal AswT cm2m por face para resistir ao momento torçor Td g calcular a armadura longitudinal AsT cm2 total para resistir ao momento torçor Td FORÇA CORTANTE ASSOCIADA À MOMENTO TORÇOR h verificar a segurança contra esmagamento do concreto pela relação S VdVRd2 TdTRd2 i calcular a armadura transversal total Aswtot cm2m MOMENTO FLETOR ASSOCIADO À MOMENTO TORÇOR j calcular a armadura longitudinal Asinf cm2 na face inferior da seção k calcular a armadura longitudinal Assup cm2 na face superior da seção l calcular a armadura longitudinal Aslat cm2 em cada face lateral da seção MUSSO RESULTADOS a AsM 203 cm2 05 b VRd2 716 kN 05 c AswV 339 cm2m 05 d te 10 cm 05 e TRd2 804 kNm 05 f AswT 460 cm2m 05 g AsT 644 cm2 05 h S 078 05 i Aswtot 126 cm2m 10 j Asinf 092 cm2 10 k Assup 2123 cm2 10 l Aslat 230 cm2 10 20 cm 30 60 2 m Fd 200 kN VIGA Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 60 EXEMPLO DIMENSIONAMENTO DE VIGA À MOMENTO FLETOR FORÇA CORTANTE E MOM TORÇOR Características do Concreto e Aço Seção Transversal cm fck MPa 25 fyk MPa 500 Ac cm2 1800 fcd MPa 1786 fyd MPa 4348 Ic cm4 540000 fctm MPa 2565 Es GPa 210 u cm 180 fctk MPa 1795 mín 0150 Acu 10 fctd MPa 1282 wmin 0103 2c1 cm 2 50 10 Sistema Estrutural e Cargas Últimas Seção Vazada de Cálculo para Momento Torçor cm Dimensionamento à Momento Fletor Dimensionamento à Força Cortante 45o momento fletor de cálculo engaste Md 20020 400 kNm profundidade da linha neutra cd 2 d 425bd f 0 M 1 125d 1 x 2424cm 14 425 30 55 52 0 400 100 1 125 55 1 x 2 2475cm 0 45 55 0 45d x x lim armadura simples armadura longitudinal negativa yd cd s M f 0 68bxf A 2 s M 20 3 cm 14 50 115 0 68 30 2424 52 A força cortante de cálculo engaste Vd 200 kN força cortante resistente máxima 0 45 f sen2 bd V cd Rd2 em MPa f 250 f 1 60 ck ck 0 54 25 250 60 1 716kN 30 55 14 sen90 0 54 52 0 45 V o Rd2 Vd 200 kN VRd2 716 kN não há esmagamento do concreto armadura transversal cot 90 df V s V A yd c d swV modelo simplificado 127kN 30 55 1282 10 60 60 bdf V ctd c 3 39cm m 55 50 115 cot 45 90 127 100 200 A 2 o swV Dimensionamento à Momento Torçor Força Cortante com Momento Torçor verificação do esmagamento do concreto 1 T T V V 2 Rd d 2 Rd d OK 1 0 78 804 40 0 716 200 não há esmagamento do concreto armadura transversal total swT swV swtotal 2A A A 1259cm m 4 60 2 3 39 A 2 swtotal 10c12 mm 2 ramos 1309 cm2m Momento Fletor com Momento Torçor momento torçor de cálculo no engaste Td 200020 400 kNm momento torçor resistente máximo sen2 f A t T cd e e Rd2 em MPa f 250 f 1 50 ck ck 0 45 25 250 50 1 804kNm 14 sen90 100 0 45 52 1000 10 T o Rd2 Td 400 kNm TRd2 804 kNm não há esmagamento do concreto armadura tranversal por parede cot 2A f T s A yd e d swT 4 60cm m 1000 50 115 cot 45 2 40 100 100 A 2 o swT armadura longitudinal no perímetro ue tan 2A f T u A yd e d e s T 2 o s T 6 44cm 1000 50 115tan45 2 40 100 140 A e e s T s M s face trac por M u b A A A 2 s face trac por M 212 cm 6 44 20 140 20 3 A 5220mm 2199 cm2 2 e e s T s face compr por M 0 92cm 6 4020 140 b u A A Asmin 015bh 0153050 225 cm2 310mm 236 cm2 2 e e s T s cada face lateral 2 29cm 6 4050 140 u h A A 310mm 236 cm2 MUSSO b30 h60 d55 20 cm 30 60 2 m Fd 200 kN te10 he50 be20 Ae1000 ue140 te máximo2c1 Acu 10 VIGA Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 61 FMJTOOL ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE RESISTÊNCIA À MOMENTO TORÇOR ELUT FMJTOOL VIGA Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 62 DISPOSIÇÃO DA ARMADURA LONGITUDINAL E TRANSVERSAL A NÍVEL DE SEÇÃO PARA TORÇÃO T1 Área da seção transversal de Q barras longitudinais cm2 Diâmetro da barra mm Q 5 63 8 10 125 16 20 22 25 1 020 031 050 079 123 201 314 380 491 2 039 062 101 157 245 402 628 760 982 3 059 094 151 236 368 603 942 1140 1473 4 079 125 201 314 491 804 1257 1521 1963 5 098 156 251 393 614 1005 1571 1901 2454 6 118 187 302 471 736 1206 1885 2281 2945 7 137 218 352 550 859 1407 2199 2661 3436 8 157 249 402 628 982 1608 2513 3041 3927 9 177 281 452 707 1104 1810 2827 3421 4418 10 196 312 503 785 1227 2011 3142 3801 4909 11 216 343 553 864 1350 2212 3456 4181 5400 12 236 374 603 942 1473 2413 3770 4562 5890 13 255 405 653 1021 1595 2614 4084 4942 6381 14 275 436 704 1100 1718 2815 4398 5322 6872 15 295 468 754 1178 1841 3016 4712 5702 7363 16 314 499 804 1257 1963 3217 5027 6082 7854 17 334 530 855 1335 2086 3418 5341 6462 8345 18 353 561 905 1414 2209 3619 5655 6842 8836 19 373 592 955 1492 2332 3820 5969 7223 9327 20 393 623 1005 1571 2454 4021 6283 7603 9817 21 412 655 1056 1649 2577 4222 6597 7983 10308 22 432 686 1106 1728 2700 4423 6912 8363 10799 23 452 717 1156 1806 2823 4624 7226 8743 11290 T2 Área da seção transversal de estribos de 1 ramo cm2m Diâmetro da barra mm Diâmetro da barra mm s cm 5 63 8 10 125 s cm 5 63 8 10 125 7 280 445 718 1122 1753 19 103 164 265 413 646 8 245 390 628 982 1534 20 098 156 251 393 614 9 218 346 559 873 1364 21 093 148 239 374 584 10 196 312 503 785 1227 22 089 142 228 357 558 11 178 283 457 714 1116 23 085 136 219 341 534 12 164 260 419 654 1023 24 082 130 209 327 511 13 151 240 387 604 944 25 079 125 201 314 491 14 140 223 359 561 877 26 076 120 193 302 472 15 131 208 335 524 818 27 073 115 186 291 455 16 123 195 314 491 767 28 070 111 180 280 438 17 115 183 296 462 722 29 068 107 173 271 423 18 109 173 279 436 682 30 065 104 168 262 409 T3 Área da seção transversal de estribos de 2 ramos cm2m Diâmetro da barra mm Diâmetro da barra mm s cm 5 63 8 10 125 s cm 5 63 8 10 125 7 561 891 1436 2244 3506 19 207 328 529 827 1292 8 491 779 1257 1963 3068 20 196 312 503 785 1227 9 436 693 1117 1745 2727 21 187 297 479 748 1169 10 393 623 1005 1571 2454 22 178 283 457 714 1116 11 357 567 914 1428 2231 23 171 271 437 683 1067 12 327 520 838 1309 2045 24 164 260 419 654 1023 13 302 480 773 1208 1888 25 157 249 402 628 982 14 280 445 718 1122 1753 26 151 240 387 604 944 15 262 416 670 1047 1636 27 145 231 372 582 909 16 245 390 628 982 1534 28 140 223 359 561 877 17 231 367 591 924 1444 29 135 215 347 542 846 18 218 346 559 873 1364 30 131 208 335 524 818 VIGA ESPAÇAMENTO LONGITUDINAL E DISTRIBUIÇÃO DA ARMADURA LONGITUDINAL Espaçamento longitudinal máximo entre estribos Distribuição da armadura longitudinal MUSSO 35 cm t 5 mm b10 45o t b h slmáx 0 67 V V T T d 30 cm se mín 60 2 Rd d 2 Rd d 0 67 V V T T d 20 cm se mín 30 2 Rd d 2 Rd d