Análise e Dimensionamento de Lajes em Concreto Armado

LAJE Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 1 3 LAJE LAJE Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 2 SISTEMAS ESTRUTURAIS DE LAJES EM CONCRETO ARMADO Lajes Maciças Lajes Nervuradas Laje maciça com vigas Laje nervurada com vigas Laje maciça lisa Laje nervurada com capitel Laje cogumelo nervurada Laje maciça com capitel Laje cogumelo maciça Laje nervurada com vigas integradas MUSSO LAJE Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 3 DIMENSÕES LIMITES PARA LAJES NBR 61182014 LAJE Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 4 LAJE MACIÇA COM VIGAS ANÁLISE DIMENSIONAMENTO E DETALHAMENTO DAS ARMADURAS UM EDIFÍCIO COMERCIAL DE 6 PISOS FOI PLANEJADO USANDO LAJE MACIÇA EM CONCRETO ARMADO COM DISTRIBUIÇÃO DE PILARES ESPAÇADOS DE 6 m CONFORME PLANTA A SEGUIR O SISTEMA TEM VIGAS E APRESENTA ALTURA DO PAVIMENTO IGUAL A 3 m AS CARGAS PERMANENTES CONSIDERADAS FORAM PESO PRÓPRIO DA LAJE PP DE 325 kNm2 ALTURA DA LAJE IGUAL A 13 cm REVESTIMENTO DA LAJE RV DE 100 kNm2 E ALVENARIA NA LAJE AL DE 200 kNm2 FOI UTILIZADA CARGA ACIDENTAL DE USO DE 3 kNm2 OS PILARES TEM SEÇÃO TRANSVERSAL DE 40x40 cm A ESPESSURA DA LAJE FOI DIMENSIONADA COMO 145 DO VÃO ENTRE PILARES 60045 13 cm AS VIGAS TEM SEÇÃO TRANSVERSAL DE 20x60 cm FOI CONSIDERADA CLASSE DE AGRESSIVIDADE AMBIENTAL II DA NBR 61182014 COM COBRIMENTO DA ARMADURA DA LAJE IGUAL A 25 cm E COBRIMENTO DE VIGAS E PILARES IGUAL A 30 cm O CONCRETO UTILIZADO TEM RESISTÊNCIA CARACTERÍSTICA fck 25 MPa E MÓDULO DE ELASTICIDADE SECANTE Ecs 24 GPa O AÇO TEM RESISTÊNCIA CARACTERÍSTICA fyk 500 MPa E MÓDULO DE ELASTICIDADE Es 210 GPa A ANÁLISE DA LAJE FOI FEITA ATRAVÉS DA UTILIZAÇÃO DE TABELAS GERADAS PELO AUTOR COM AUXÍLIO DO PROGRAMA DE ELEMENTOS FINITOS SAP2000 O DIMENSIONAMENTO DAS ARMADURAS LONGITUDINAIS DAS VIGAS SEGUIU CRITÉRIO DA NBR 61182014 COM DIAGRAMA RETANGULAR DE TENSÕES DO CONCRETO COMPRIMIDO NO ESTADO LIMITE ÚLTIMO A VERIFICAÇÃO À FORÇA CORTANTE SEGUIU CRITÉRIO DA NBR 61182014 A VERIFICAÇÃO DO ESTADO LIMITE DE SERVIÇO RELATIVO À DEFORMAÇÕES E ABERTURA DE FISSURAS SEGUIU CRITÉRIO DA NBR 61182014 PAVIMENTO TIPO FORMA PLANTA MUSSO 6 m típ 6 m típ fck 25 MPa Ecs 24 GPa fyk 500 MPa h 13 cm d 95 cm PP 325 kNm2 RV 100 kNm2 AL 200 kNm2 G 625 kNm2 Q 300 kNm2 1 2 3 4 A B C D PILAR DE BORDA PILAR DE CANTO PILAR INTERNO LAJE DE CANTO LAJE DE BORDA LAJE INTERNA VIGA EXTERNA VIGA INTERNA P2 P3 P4 P10 V1a 20x60 cm b P5 P6 P7 P8 P9 P11 P12 P13 P14 P15 P16 c V2a 20x60 cm c b L1 h13 cm L2 L3 L4 L5 L6 L8 L7 L9 V3a b c P1 40x40 cm V4a b c V5a b c V6a b c V7a b c V8a b c LAJE Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 5 CRITÉRIO SIMPLIFICADO DE ENGASTAMENTO DE LAJES CONTÍNUAS COM APOIOS LINEARES ESQUEMA 1 Engastar L1 em L2 Engastar L2 em L1 se 08a2 a1 ESQUEMA 2 Engastar L1 em L2 Engastar L2 em L1 se 08a2 a1 e x 2y3 Engastar L3 em L2 EXEMPLO MUSSO 4 m L1 L3 5 m 5m vazio L4 1 m laje em balanço 7m 6 m L2 a1 a2 L1 L2 a2 a1 a2 L1 L2 a2 x y vazio L3 a3 laje em balanço LAJE Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 6 LAJE ÁREAS PARA REAÇÕES DE LAJES COM CARGA UNIFORME E APOIOS LINEARES MUSSO a b 45o 45o 45o a2 a2 aba222 a24 a24 aba222 a2 a2 a b 30o 45o 30o 45o 3312ab23123a22 3121a2 3312a2 3121a2 3121a24 3121a2 3121a24 3121ab2312a22 ba 3121 4 a b 30o 30o 30o 30o ab312a262 ab312a262 312a212 312a212 312a6 312a6 a2 a2 ba 3123 7 a b 30o 45o 45o 60o 3312ab2a24 3312a2 3312a2 3121a2 3121a24 3121a2 3312a24 3121ab2a24 a b 45o 60o 45o 60o 3312ab32312a22 3312a2 3312a2 3121a2 3312a24 3312a2 3312a24 3121ab23123a22 ba 1 ba 3312 5 6a b a 45o 30o 45o 30o b2 b2 b24 b2 312b212 ab3123b2122 312b6 ab3123b2122 ba 3312 6b a b 30o 30o 45o ab3123a2122 312a212 312a6 a2 ab3123a2122 a24 45o a2 a2 a b 45o 45o 45o 45o a2 a2 aba222 a24 a24 aba222 a2 a2 ba 31236 ba 1 8 9 b a 30o 30o 30o 30o b2 b2 312b212 312b6 312b212 ab312b262 312b6 ab312b262 ba 312 ba 312 3a 3b a b 60o 60o 60o 60o 312a2 ab312a222 312a24 312a24 312a2 ab312a222 a2 a2 a b 45o 45o 60o 60o a2 312a2 ab3121a242 a24 312a24 a2 a2 ab3121a242 b a 45o 45o 30o 30o 3121b2 3312b2 3121b24 3121b2 3121b24 3312ab 23123b22 3121ab 2312b22 3121b2 ba 1 ba 31212 ba 31212 1 2a 2b LAJE Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 7 LAJE REAÇÕES DE APOIO DE LAJES COM CARGA UNIFORME E APOIOS LINEARES ba MUSSO a b 45o 45o 45o 45o a2 a2 pa1122 pa4 pa4 a2 a2 3121 a b 30o 45o 30o 45o pa3312231232 3121a2 3312a2 3121a2 pa31214 3121a2 pa31214 pa312123122 4 a b 30o 30o 30o 30o pa131262 pa131262 pa31212 pa31212 312a6 312a6 a2 a2 3123 7 3312 a b 30o 45o 45o 60o pa33121214 3312a2 3312a2 3121a2 pa31214 3121a2 pa33124 pa31211214 a b 45o 60o 45o 60o pa3312323122 3312a2 3312a2 3121a2 pa33124 3312a2 pa33124 pa3121231232 1 5 6a b a 45o 30o 45o 30o b2 b2 pa4 b2 pa31212 pa31232122 312b6 pa31232122 3312 6b a b 30o 30o 45o pa13123122 pa31212 312a6 a2 pa13123122 pa4 45o a2 a2 a b 45o 45o 45o 45o a2 a2 pa1122 pa4 pa4 pa1122 a2 a2 31236 1 8 9 312 b a 30o 30o 30o 30o b2 b2 pa31212 312b6 pa31212 pa312262 312b6 pa312262 312 3a 3b a b 60o 60o 60o 60o 312a2 pa131222 pa3124 pa3124 312a2 pa131222 a2 a2 a b 45o 45o 60o 60o a2 312a2 pa1312142 pa4 pa3124 a2 a2 31212 b a 45o 45o 30o 30o 3121b2 3312b2 pa31214 3121b2 pa31214 pa3312 2312322 pa3121 231222 3121b2 1 31212 1 2a 2b pa1122 pa1312142 LAJE Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 8 LAJE MOMENTOS FLECHAS E REACÕES DE APOIO PARA CARGA UNIFORME E APOIOS LINEARES MUSSO MOMENTOS E FLECHAS COM POISSON 02 SAP2000 REAÇÕES DE APOIO NBR61182014 LAJE Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 9 LAJE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À MOMENTO FLETOR ELUM fck 50 MPa As área da seção da armadura longitudinal fctm 03fck 23 MPa resist média do concreto à tração tracionada fyk resistência característica de escoamento do aço s A área da seção da armadura longitudinal h altura da seção transversal comprimida Md 14MG MQ momento fletor de cálculo Asmín área mínima da seção da armadura longitudinal Mdlim momento fletor de cálculo máximo com tracionada armadura simples Aslim área da seção da armadura tracionada MG momento fletor da ação permanente G correspondente a Mdlim MQ momento fletor da ação variável Q b largura da seção transversal T força de tração na armadura longitudinal C força de compressão no concreto x profundidade da linha neutra no estádio 3 ELU d altura útil da seção transversal xlim profundidade máxima da linha neutra para distância do centróide da armadura tracionada à ruptura dúctil da seção ruptura com aviso borda comprimida da seção transversal z braço de alavanca braço do binário d distância do centróide da armadura comprimida c encurtamento da fibra extrema de concreto à borda comprimida da seção transversal yd fydEs deformação de escoamento do aço d h d s alongamento da armadura tracionada dlim altura útil mínima com armadura simples s encurtamento da armadura comprimida Es 210000 MPa módulo de elasticidade do aço xd profundidade da linha neutra adimensional fcd fck14 resistência de cálculo do concreto à 08 coeficiente de redução da altura comprimida compressão da seção diagrama retangular x parabólico fck resistência característica do concreto à 085 coeficiente de redução da resistência de compressão aos 28 dias cálculo do concreto à compressão fyd fyk115 resistência de cálculo de escoamento Mdbd2fcd momento fletor adimensional do aço sd tensão de compressão na armadura longitudinal A Momento fletor de cálculo máximo com armadura simples dados b d e fck obter Mdlim Modelo resistente à momento fletor no estado limite último Armadura simples seção com As Md Mdlim x xlim xlim xduc 045d x34 062832d fyk 500 MPa A1 Mdlim 0 25092bd2fcd 0 31988bd2fcd A2 Aslim yd cd f 0 306bdf 0 42726bdfcd f yd A3 B Altura útil mínima da seção com armadura simples dados Md e b obter dlim xlim xduc 045d x34 062832d dlim cd d 0 25092bf M cd d 31988bf 0 M B1 C Dimensionamento da armadura longitudinal dados Md b d fck e fyk obter As e As Armadura simples seção com As Md Mdlim x xlim cd 2 d f bd M 2 1 d 1 x C1 yd cd s f b x f A C2 bh f máximo 015 0 25f A yk ctm s mín C3 fck MPa 20 25 30 35 a x 2 b x f d f x Cz M cd d b yd cd s cd s yd f b x f ou A b x f C A f T f bd a 2 cd 2d x 1 d x f bd M cd 2 d ou cd 2 d d 2 2 f bd M 1 2 d 1 f M ou x 1 2 1 c 0 2 2 2 1 Asmínbh 015 015 015 016 Armadura dupla seção com As e s A Md Mdlim x xlim Armadura dupla seção com As e s A Md Mdlim x xlim d d f M M A A yd d lim d s lim s C4 d d M M A sd d lim d s C5 yd s yd sd se f yd s s s sd se E C6 xlim xduc 045d x34 062832d s d d 7 78 0 45 d d 557 0 63 C7 fyk 250 MPa 500 MPa 600 MPa yd 1035 2070 2484 C8 d d lim d d lim d M M M M ou M M e d d M d ou A d A M sd s s sd f yd sd s s lim s sd s s lim yd s yd f A A ou A A f A A f MUSSO xlim Md Asfyd s sd A s sd A s sd A M dd Aslimfyd Mdlim xlim fcd fcd d b As LN s A d d xlim c 35 s d s d lim lim s x 53 d x x Md x T Asfyd C bxfcd x 2 d z fcd h d b As LN fcd d LAJE Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 10 LAJE DE CANTO MACIÇA DIMENSIONAMENTO À MOMENTO FLETOR ELUM Concreto Aço Laje Seção Transversal por Metro cm fck MPa 25 fyk MPa 500 a m 6 Ac cm2 1300 c 14 s 115 b m 6 Ic cm4 18308 fcd MPa 1786 fyd MPa 4348 g kNm2 625 Wc cm3 2817 08 Es GPa 210 q kNm2 300 ysup cm 65 085 mín 015 c cm 25 yinf cm 65 Coeficientes para LAJE TIPO 5 ba 6m6m 1 Momentos Fletores de Cálculo kNmm carga para combinação última de ações pd gg qq 14625 14300 1295 kNm2 momento fletor positivo no vão Mad 00306pda2 00306129562 1425 kNmm momento fletor negativo no engaste Maed 00691pda2 00691129562 3221 kNmm Dimensionamento à Momento Fletor vão Dimensionamento à Momento Fletor engaste momento fletor positivo no vão Md 1425 kNmm profundidade da linha neutra cd 2 d f bd M 2 1 d 1 x 131cm 14 0 85 52 59 100 1425 100 2 1 1 80 59 x 2 4 27cm 59 0 45 0 45d x 131cm x lim armadura simples armadura longitudinal positiva yd cd s f b x f A 14 50 115 0 85 52 131 80 100 A s 3 66 cm m A 2 s 8mmc13cm 387 cm2m próxima a face inferior da laje Asbh 38710013 030 mín 015 momento fletor negativo no engaste Md 3221 kNmm profundidade da linha neutra cd 2 d f bd M 2 1 d 1 x 3 23cm 14 0 85 52 59 100 3221 100 2 1 1 80 59 x 2 4 27cm 59 0 45 0 45d x 3 23cm x lim armadura simples armadura longitudinal negativa yd cd s f b x f A 14 50 115 0 85 52 3 23 80 100 A s 9 02 cm m A 2 s 125mmc13cm 944 cm2m próxima a face superior da laje Asbh 94410013 073 mín 015 Momentos Fletores de Cálculo kNmm Detalhamento da Armadura Longitudinal MUSSO b 100 h 13 d 95 LAJE Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 11 LAJE TABELA DE DIMENSIONAMENTO À MOMENTO FLETOR MUSSO LAJE Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 12 LAJE DISTRIBUIÇÂO DA ARMADURA LONGITUDINAL T1 Área da seção transversal de barras longitudinais por metro de laje cm2m Diâmetro da barra mm h8 Espaça mento 5 63 8 10 125 16 20 22 25 7 280 445 718 1122 1753 2872 4488 5430 7012 8 245 390 628 982 1534 2513 3927 4752 6136 9 218 346 559 873 1364 2234 3491 4224 5454 10 196 312 503 785 1227 2011 3142 3801 4909 11 178 283 457 714 1116 1828 2856 3456 4462 12 164 260 419 654 1023 1676 2618 3168 4091 13 151 240 387 604 944 1547 2417 2924 3776 14 140 223 359 561 877 1436 2244 2715 3506 15 131 208 335 524 818 1340 2094 2534 3272 16 123 195 314 491 767 1257 1963 2376 3068 17 115 183 296 462 722 1183 1848 2236 2887 18 109 173 279 436 682 1117 1745 2112 2727 19 103 164 265 413 646 1058 1653 2001 2584 20 098 156 251 393 614 1005 1571 1901 2454 21 093 148 239 374 584 957 1496 1810 2337 22 089 142 228 357 558 914 1428 1728 2231 23 085 136 219 341 534 874 1366 1653 2134 24 082 130 209 327 511 838 1309 1584 2045 25 079 125 201 314 491 804 1257 1521 1963 26 076 120 193 302 472 773 1208 1462 1888 27 073 115 186 291 455 745 1164 1408 1818 28 070 111 180 280 438 718 1122 1358 1753 29 068 107 173 271 423 693 1083 1311 1693 30 065 104 168 262 409 670 1047 1267 1636 31 063 101 162 253 396 649 1013 1226 1583 32 061 097 157 245 383 628 982 1188 1534 33 059 094 152 238 372 609 952 1152 1487 T2 Taxa mínima de armadura longitudinal mín Asmínbh e espaçamento máximo das barras fck MPa 20 25 30 35 40 45 50 armadura negativa de laje armada em duas direções 015 emáx 2h 20 cm 015 emáx 2h 20 cm 015 emáx 2h 20 cm 016 emáx 2h 20 cm 018 emáx 2h 20 cm 019 emáx 2h 20 cm 020 emáx 2h 20 cm armaduras positivas de laje armada em duas direções 010 emáx 2h 20 cm 010 emáx 2h 20 cm 010 emáx 2h 20 cm 011 emáx 2h 20 cm 012 emáx 2h 20 cm 013 emáx 2h 20 cm 014 emáx 2h 20 cm armadura negativa de laje armada em uma direção 015 emáx 2h 20 cm 015 emáx 2h 20 cm 015 emáx 2h 20 cm 016 emáx 2h 20 cm 018 emáx 2h 20 cm 019 emáx 2h 20 cm 020 emáx 2h 20 cm armadura positiva principal de laje armada em uma direção 015 emáx 2h 20 cm 015 emáx 2h 20 cm 015 emáx 2h 20 cm 016 emáx 2h 20 cm 018 emáx 2h 20 cm 019 emáx 2h 20 cm 020 emáx 2h 20 cm armadura positiva secundária de laje armada em uma direção 09cm2m 008 02Asprinc emáx33cm 008 02Asprinc emáx33cm 008 02Asprinc emáx33cm 008 02Asprinc emáx33cm 009 02Asprinc emáx33cm 009 02Asprinc emáx33cm 010 02Asprinc emáx33cm obs 1 valores acima válidos para fyk 500 MPa aço CA50 2 laje armada em uma direção é a laje cuja razão entre o comprimento do lado maior e o comprimento do lado menor 2 3 laje armada em duas direções é a laje cuja razão entre o comprimento do lado maior e o comprimento do lado menor 2 4 independente da laje ser definida como armada em uma ou duas direções toda laje possui armadura longitudinal disposta nas duas direções 5 armadura negativa é aquela colocada próxima a face superior da laje resiste a tração superior causada por momento fletor negativo 6 armadura positiva é aquela colocada próxima a face inferior da laje resiste a tração inferior causada por momento fletor positivo MUSSO LAJE Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 13 LAJE TAXA MÍNIMA DE ARMADURA DE FLEXÃO PARA LAJES mín DEDUÇÃO DA TAXA MÍNIMA DE ARMADURA DE FLEXÃO PARA LAJESmín SEÇÃO RETANGULAR fck fctm mín 20 2210 015 25 2565 015 30 2896 015 35 3210 016 40 3509 018 45 3795 019 50 4072 020 60 4300 021 70 4586 023 80 4839 024 90 5064 025 015 f 0 25 f bh A bh f 0 25 f 115 f f 80 h 1 6 104 bh A 1 2 80 h z onde 2 115z f A f z A F z M seção re tan gular 6 bh h 2 bh 12 y J W onde 1 104W f 31 f 80 W 80 W f M yk ctm s mín mín yk ctm yk ctm 2 mín s yk s mín s mín yd s mín d 2 3 t o o ctm ctm o o ctksup mín d fyk 500 MPa s 115 NBR 61182014MUSSO Fs Asmínfyd Fc z Mdmín LAJE Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 14 LAJE VERIFICAÇÃO DA RESISTÊNCIA À FORÇA CORTANTE SEM ARMADURA TRANSVERSAL ELUV NBR61182014 LAJE Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 15 LAJE DE CANTO MACIÇA VERIFICAÇÃO À FORÇA CORTANTE ELUV Concreto Aço Laje Seção Transversal por Metro cm fck MPa 25 fyk MPa 500 a m 6 Ac cm2 1300 c 14 s 115 b m 6 Ic cm4 18308 fcd MPa 1786 fyd MPa 4348 g kNm2 625 Wc cm3 2817 fctk MPa 1795 Es GPa 210 q kNm2 300 ysup cm 65 fctd MPa 1282 c cm 25 yinf cm 65 Coeficientes para LAJE TIPO 5 ba 6m6m 1 Momentos Fletores de Cálculo kNmm carga para combinação última de ações pd gg qq 14625 14300 1295 kNm2 força cortante no apoio simples Vad 01830pda 0183012956 1422 kNm força cortante no engaste Vaed 03170pda 0317012956 2463 kNmm Verificação à Força Cortante apoio simples Verificação à Força Cortante engaste força cortante no apoio simples Vd 1422 kNm tensão resistente de cálculo do concreto ao cisalhamento ctd Rd 0 25f 2 Rd 0 0321 kN cm 0 25 1282 10 coeficiente k 1 d máximo 61 k d em m 150 0 095 1 máximo 61 k armadura longitudinal de tração no apoio simples As1 387 cm2m ver ELUM taxa de armadura longitudinal de tração 1 1 As1bwd 1 38710095 041 força cortante resistente de cálculo b d 40 k 21 V w 1 Rd Rd1 59 0 41 100 40 0 0321 150 21 V Rd1 6239 kN m V 1 Rd verificação da tração transversal Vd 1422 kNm VRd1 6239 kNm OK não há necessidade de armadura transversal força cortante no engaste Vd 2463 kNm tensão resistente de cálculo do concreto ao cisalhamento ctd Rd 0 25f 2 Rd 0 0321 kN cm 0 25 1282 10 coeficiente k 1 d máximo 61 k d em m 150 0 095 1 máximo 61 k armadura longitudinal de tração no apoio simples As1 944 cm2m ver ELUM taxa de armadura longitudinal de tração 1 1 As1bwd 1 94410095 099 força cortante resistente de cálculo b d 40 k 21 V w 1 Rd Rd1 59 0 99 100 40 0 0321 150 21 V Rd1 7300kN m V 1 Rd verificação da tração transversal Vd 2463 kNm VRd1 7300 kNm OK não há necessidade de armadura transversal MUSSO b 100 h 13 d 95 LAJE Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 16 LAJE VERIFICAÇÃO DE DEFORMAÇÃO ELSDEF fck 50 MPa As área da seção da armadura longitudinal Lbal comprimento do balanço tracionada MG momento fletor da ação permanente G s A área da seção da armadura longitudinal MQ momento fletor da ação variável Q comprimida MQP MG 2MQ momento fletor da ação quase b largura da seção transversal permanente pQP momento positivo no vão d altura útil da seção transversal momento no engaste no caso de balanço distância do centróide da armadura tracionada Mr Wcfctf momento fletor de fissuração à borda comprimida da seção transversal e EsEcs razão entre os módulos de elasticidade d distância do centróide da armadura comprimida do aço e do concreto à borda comprimida da seção transversal pQP G 2Q ação quase permanente d h d Q ação variável Ecs i5600fck 12 fck em MPa módulo de x2 profundidade da linha neutra no estádio 2 elasticidade secante do concreto xc profundidade da linha neutra da seção bruta Es 210 GPa módulo de elasticidade do aço distância do centróide da seção bruta à fibra fck resistência característica do concreto à extrema comprimida compressão aos 28 dias t tempo que se deseja calcular a flecha meses fctf fctm resistência do concreto à tração na flexão to idade do concreto ao entrar em carga meses fctm 03fck 23 fck em MPa resistência média do yt h xc distância do centróide da seção bruta à concreto à tração fibra extrema tracionada fdiferida flecha do efeito da fluência do concreto Wc Icyt bh26 para seção retangular felástica flecha obtida com p pQP E Ecs e I Ic módulo resistente da seção bruta fimediata flecha da viga ao entrar em carga i 08 02fck80 fck em MPa flimite flecha máxima para limitar efeito visual f coeficiente para levar em conta a fluência do desagradável concreto no cálculo da flecha diferida ftotal fimediata fdiferida flecha total 2 03 para edificações residenciais G ação permanente 04 para edificações comerciais h altura da seção transversal 06 para bibliotecas oficinas e garagens I2 momento de inércia da seção no estádio 2 03 para pontes rodoviárias Ic bh312 para seção retangular fator de redução da ação variável para momento de inércia da seção bruta combinação de ação quase permanente Ie momento de inércia efetivo da seção Asbd taxa geométrica de armadura L vão entre apoios longitudinal comprimida A Flecha elástica F Parâmetros auxiliares felástica fck MPa 20 25 30 35 flecha obtida com pQP e Ecs A1 fctm MPa 2210 2565 2896 3210 B Flecha imediata i 0850 0863 0875 0888 Ecs GPa 21 24 27 29 e EsEcs 1000 875 778 724 e c elástica imediata I I f f B1 G Seção equivalente seção fissurada estádio 2 seção fissurada MQP Mr 2 3 QP r c 3 QP r e I M M 1 I M M I BRANSON B2 seção não fissurada MQP Mr c e I I B3 C Flecha diferida f imediata diferida f f C1 seção real seção equivalente de concreto 50 1 t t o f C2 4a a 2a a a x 1 3 1 2 2 2 2 G1 t 70 meses 0 68 0 996t t 032 a1 b 2 G2 t 70 meses 2 C3 s e s e 2 1 A A a G3 t meses 1 3 6 12 70 1 A d A d a s e s e 3 G4 t 068 095 118 144 200 D Flecha total limite diferida imediata total f f f f D1 2 2 s e 2 2 s e 3 2 2 d 1 A x x A d 3 bx I G5 E Flecha limite 250 L f limite L 2Lbal no caso de balanço E1 profundidade da l neutra i i i A x A x momento de inércia A I I 2 i i i MUSSO d b LN s A d x2 d b eAs LN e1 s A d x2 dx2 LAJE Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 17 LAJE SEÇÃO EQUIVALENTE DE CONCRETO SEÇÃO HOMOGENEIZADA OU TRANSFORMADA No estado limite de serviço de deformações ELSDEF tanto o concreto quanto o aço tem comportamento linear Assim a área A e 1As é uma área fictícia só de concreto seção equivalente que quando submetida a tensão c resulta na mesma carga P que atua na seção real composta de concreto e aço MOMENTO DE INÉRCIA DA SEÇÃO BRUTA IC E MOMENTO DE INÉRCIA DA SEÇÃO FISSURADA I2 Seção real Seção bruta de concreto Seção fissurada estádio 2 puro Armadura Simples 4a a 2a a a x 1 3 1 2 2 2 2 3 a1 b 2 s e 2 A a A d a s e 3 2 2 s e 3 2 2 x A d 3 bx I 4 Armadura Dupla 2 x c h 1 12 bh I 3 c 2 4a a 2a a a x 1 3 1 2 2 2 2 5 a1 b 2 s e s e 2 1 A A a 1 A d A d a s e s e 3 2 2 s e 2 2 s e 3 2 2 d 1 A x x A d 3 bx I 6 Armadura Simples f 1 3 1 2 2 2 2 h 4a a 2a a a x 9 2 b a w 1 s e f w f 2 A h b b a A d 2 b h b a s e 2 f w f 3 2 2 s e 2 f 2 f w f 3 f w f 3 2 w 2 x A d 2 h x h b b 12 h b b 3 b x I 10 Armadura Dupla f w f w 2 f w f 2 w c b h b h b b h b b h 2 1 x 7 2 f c f w f 3 f w f 2 c w 3 w c 2 h x b h b 12 b h b x 2 b h h 12 b h I 8 f 1 3 1 2 2 2 2 h 4a a 2a a a x 11 2 b a w 1 s e s e f w f 2 1 A A h b b a 1 A d A d 2 b h b a s e s e 2 f w f 3 2 2 s e 2 f 2 f w f 3 f w f 3 2 w 2 x A d 2 h x h b b 12 h b b 3 b x I 2 2 s e d 1 A x 12 Obs A I momento de inércia I A x Ai profundidade da linha neutra x 2 i i i i i MUSSO d h As b d h As As b d bw As bf hf d h h b xc LN bw bf hf h xc LN bw As bf hf d d h As d eAs b x2 LN bw eAs bf hf d x2 LN cs s e c e c cs s s cs c c s s s E E onde E E E E 1 A A A A A A A A P s e c s e c c s c e c c s s c c eAs P As Ac A e1As P s c s Es 1 s aço c Ecs 1 c concreto Ac A real equivalente bw eAs bf hf d d x2 LN e1As d b d x2 LN eAs e1As LAJE Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 18 LAJE FLECHA NO CENTRO DO VÃO ELSDEF Sistema Momento Fletor no Centro do Vão Mm Flecha no Centro do Vão fm 8 pL M 2 o EI M L 48 5 o 2 EI M L 96 10 o 2 2 M1 EI L M 16 1 1 2 EI M L 96 6 1 2 2 M2 EI M L 16 1 2 2 EI M L 96 6 2 2 2 M 2 M M M 2 1 o m ou 2 M 2 M M M 2 1 m o 1 6M 6M 96EI 10M L 2 1 o 2 2 1 em 2 M 10M 96EIM L 2 m 1 2 3 EX1 Obter com a equação 3 a flecha no centro do vão L de uma laje biapoiada com carga uniforme p Momentos Fletores na Laje Biapoiada M1 0 8 pL M 2 m M2 0 Flecha no Centro do Vão da Laje Biapoiada EI pL 384 5 4 5pL 96EI L 0 8 10 pL 96EI 0 L f 4 2 2 2 2 m EX2 Obter com a equação 3 a flecha no centro do vão L de uma laje biengastada com carga uniforme p Momentos Fletores na Laje Biengastada 12 pL M 2 1 24 pL M 2 m 12 pL M 2 2 Flecha no Centro do Vão da Laje Biengastada EI pL 384 1 4 pL 96EI L 12 pL 24 10 pL 12 pL 96EI L f 4 2 2 2 2 2 2 m EX3 Obter com a equação 3 a flecha no centro do vão L de uma laje monoengastada com carga uniforme p Momentos Fletores na Laje Monoengastada 8 pL M 2 1 16 pL M 2 m M2 0 Flecha no Centro do Vão da Laje Monoengastada EI pL 192 1 2 pL 96EI L 0 16 10 pL 8 pL 96EI L f 4 2 2 2 2 2 m EX4 Obter com a equação 3 a flecha no centro do vão L de uma laje quadrada toda engastada com carga uniforme p coeficiente de poisson 02 Ver tabela de lajes gerada por MUSSO caso 9 fm 00147pL4Eh3 Momentos Fletores na Laje toda Engastada 2 1 0 0512 pL M 2 m 0 0214 pL M 2 2 0 0512 pL M Flecha no Centro do Vão da Laje toda Engastada 3 4 4 2 2 2 2 2 2 m Eh 0 0140 pL EI 0 0011625 pL 96EI 01116 pL L 0 0512 pL 0 0214 pL 10 0 0512 pL 96EI L f MUSSO p L L M1 L M2 p L M1 M2 LAJE Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 19 LAJE DE CANTO MACIÇA VERIFICAÇÃO DE DEFORMAÇÃO ELSDEF Concreto Aço Deformação Seção Transversal por Metro cm fck MPa 25 fyk MPa 500 flimite mm 24 mm Ac cm2 1300 fctm MPa 2565 Es GPa 210 t meses 70 Ic cm4 18308 Ecs GPa 24 e EsEcs 875 to meses 1 Wc cm3 2817 As cm2m 387 2 04 ysup cm 65 yinf cm 65 Coeficientes para LAJE TIPO 5 ba 6m6m 1 Momentos Fletores Quase Permanentes kNmm carga para combinação quase permanente de ações pQP g 2q 625 04300 745 kNm2 momento fletor positivo no vão MaQP 00306pQPa2 0030674562 820 kNmm momento fletor negativo no engaste MaeQP 00691pQPa2 0069174562 1853 kNmm Flecha Elástica com Módulo de Elasticidade do Concreto Ecs e Combinação Quase Permanente de Ações 4 65mm 1000 013 10 24 7 45 6 0 0254 h E a 0 0254 p f 3 6 4 3 cs 4 QP elástica Flecha vão momento fletor quase permanente no vão MaQP 820 kNmm momento fletor de fissuração 7 22kNm m 2565 10 100 2817 W f M c ctm r MaQP 820 kNmm Mr 722 kNmm seção fissurada profundidade da linha neutra no estádio 2 As 0 4a a 2a a a x 1 3 1 2 2 2 2 50cm 100 2 b 2 a1 2 s e 2 3386cm 3 87 8 75 A a 3 s e 3 69cm 321 59 3 87 8 75 A d a 2 22cm 50 2 69 4 50 321 3386 3386 x 2 2 momento de inércia no estádio 2 As0 2 2 s e 3 2 2 x A d 3 bx I 4 2 3 2 2158 cm 2 22 3 87 59 8 75 3 2 22 100 I momento de inércia efetivo BRANSON 2 3 QP r c 3 QP r e I M M 1 I M M I 4 3 3 e 13182cm 2158 8 20 7 22 1 18308 8 20 7 22 I flecha imediata 6 46mm 13182 4 65 18308 I I f f e c elástica imediata fator de fluência do concreto 50 1 t t o f Asbd 0 0 68 0 996t t 032 t 2 00 70 0 68 0 996 70 032 70 0 68 0 68 0 996 1 1 032 1 132 0 1 0 68 200 f flecha diferida 8 53mm 6 46 132 f f f imediata diferida flecha total 1499mm 8 53 6 46 f f f diferida imediata total 3 22 4 65 1499 f f obs elástica total flecha limite 24mm 250 6000 250 L f vão limite ftotal 1499 mm flimite 24 mm OK MUSSO b 100 h 13 d 95 LAJE Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 20 LAJE VERIFICAÇÃO DE ABERTURA DE FISSURA ELSW MF Mr fck 50 MPa Acr área da região de envolvimento Mr Wcfctf momento fletor de fissuração As área da seção da armadura longitudinal pF G 1Q combinação frequente de ações tracionada Q ação variável s A área da seção da armadura longitudinal x2 profundidade da linha neutra no estádio 2 comprimida xc profundidade da linha neutra da seção bruta b largura da seção transversal distância do centróide da seção bruta à fibra d altura útil da seção transversal extrema comprimida distância do centróide da armadura tracionada yt h xc distância do centróide da seção bruta à à borda comprimida da seção transversal fibra extrema tracionada d distância do centróide da armadura comprimida Wc Icyt bh26 para seção retangular à borda comprimida da seção transversal módulo resistente da seção bruta d h d wk abertura de fissura Ecs i5600fck 12 fck em MPa módulo de e EsEcs razão entre os módulos de elasticidade elasticidade secante do concreto do aço e do concreto Es 210 GPa módulo de elasticidade do aço i 08 02fck80 fck em MPa fck resistência característica do concreto à diâmetro da barra da armadura longitudinal compressão aos 28 dias 1 100 lisa 14 entalhada 225 nervurada fctf fctm resistência do concreto à tração na flexão coeficiente de conformação superficial da barra fctm 03fck 23 fck em MPa resistência média do 1 04 para edificações residenciais concreto à tração 06 para edificações comerciais G ação permanente 07 para bibliotecas oficinas e garagens h altura da seção transversal 04 para passarelas de pedestres I2 momento de inércia da seção no estádio 2 05 para pontes rodoviárias Ic bh312 para seção retangular 10 para pontes ferroviárias momento de inércia da seção bruta fator de redução da ação variável para MG momento fletor da ação permanente G combinação frequente de ações MQ momento fletor da ação variável Q r AsAcr taxa de armadura As na área Acr MF MG 1MQ momento fletor da ação frequente s tensão no aço tracionado no estádio 2 para pF momento positivo no vão momento no combinação frequente de ações no engaste no caso de balanço A Área de envolvimento Acr E Parâmetros auxiliares fck MPa 20 25 30 35 fctf MPa 2210 2565 2896 3210 i 0850 0863 0875 0888 Ecs GPa 21 24 27 29 e EsEcs 1000 875 778 724 F Seção equivalente seção fissurada estádio 2 seção real seção equivalente de concreto h 2 57 bmínimoy Acr A1 B Tensão no aço tracionado no estádio 2 s 4a a 2a a a x 1 3 1 2 2 2 2 F1 s F s 2 2 F e c e s 90 dA M x ou d I M B1 a1 b 2 F2 C Abertura de fissura wk MÍNIMOw1 w2 wlim s e s e 2 1 A A a F3 1 A d A d a s e s e 3 F4 ctm s s s 1 1 f 3 E 12 5 w 45 4 E 12 5 w r s s 1 2 C1 D Abertura de fissura limite wlim CAA Agressividade do Ambiente wlim mm 2 2 s e 2 2 s e 3 2 2 d 1 A x x A d 3 bx I F5 I fraca 04 II e III moderada e forte 03 IV muito forte 02 profundidade da l neutra i i i A x A x momento de inércia A I I 2 i i i MUSSO h Acr b h2 75 y d b nAs LN n1 s A d x2 dx2 d b LN s A d x2 LAJE Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 21 LAJE DE CANTO MACIÇA VERIFICAÇÃO DE ABERTURA DE FISSURA ELSW Concreto Aço Abertura de Fissura Seção Transversal por Metro cm fck MPa 25 fyk MPa 500 wlimite mm 03 Ac cm2 1300 fctm MPa 2565 Es GPa 210 1 225 Ic cm4 18308 Ecs GPa 24 e EsEcs 875 c cm 25 Wc cm3 2817 Asvão 387 vão mm 8 ysup cm 65 Aseng 944 eng mm 125 yinf cm 65 Coeficientes para LAJE TIPO 5 ba 6m6m 1 Momentos Fletores Frequentes kNmm carga para combinação frequente de ações 1 06 pF g 1q 625 06300 805 kNm2 momento fletor positivo no vão MaF 00306pFa2 0030680562 886 kNmm momento fletor negativo no engaste MaeF 00691pFa2 0069180562 2002 kNmm Abertura de Fissura vão Abertura de Fissura engaste momento fletor frequente no vão MF 886 kNmm momento fletor de fissuração 7 22kNmm 2565 10 100 2817 W f M c ctm r MF 886 kNmm Mr 722 kNmm seção fissurada profundidade da linha neutra no estádio 2 As 0 4a a 2a a a x 1 3 1 2 2 2 2 50cm 100 2 b 2 a1 2 s e 2 3386cm 3 87 8 75 A a 3 s e 3 69cm 321 59 3 87 8 75 A d a 2 22cm 50 2 69 4 50 321 3386 3386 x 2 2 momento de inércia no estádio 2 As0 2 2 s e 3 2 2 x A d 3 bx I 4 2 3 2 2158 cm 2 22 3 87 59 8 75 3 2 22 100 I tensão no aço tracionado no estádio 2 frequente x d I M 2 2 F e s 0 261GPa cm kN 261 2 22 59 2158 8 86 100 8 75 2 s área de envolvimento Acr e r AsAcr Acr mínimobhd75 bh2 Acr bh2 100132 650 cm2 r 387650 059 abertura de fissura w1 e w2 011mm 2565 3 261 210 0 261 2 25 12 5 8 f 3 E 12 5 w ctm s s s 1 1 45 0 59 4 210 0 261 2 25 12 5 8 45 4 E 12 5 w r s s 1 2 w2 025mm abertura característica de fissura wk wk mínimow1w2 mínimo011 025 011 mm wk 011 mm wlim 030 mm OK momento fletor frequente no engaste MF 2002 kNmm momento fletor de fissuração 7 22kNmm 2565 10 100 2817 W f M c ctm r MF 2002 kNmm Mr 722 kNmm seção fissurada profundidade da linha neutra no estádio 2 As 0 4a a 2a a a x 1 3 1 2 2 2 2 50cm 100 2 b 2 a1 2 s e 2 8260cm 9 44 8 75 A a 3 s e 3 784 7 cm 59 9 44 8 75 A d a 3 22cm 50 2 4 50 784 7 8260 8260 x 2 2 momento de inércia no estádio 2 As0 2 2 s e 3 2 2 x A d 3 bx I 4 2 3 2 4370 cm 3 22 9 44 59 8 75 3 3 22 100 I tensão no aço tracionado no estádio 2 frequente x d I M 2 2 F e s 0 252GPa cm kN 25 2 3 22 59 4370 8 75 2002 100 2 s área de envolvimento Acr e r AsAcr Acr mínimobhd75 bh2 Acr bh2 100132 650 cm2 r 944650 145 abertura de fissura w1 e w2 016mm 2565 3 252 210 0 252 2 25 12 5 12 5 f 3 E 12 5 w ctm s s s 1 1 45 145 4 210 0 252 2 25 12 5 12 5 45 4 E 12 5 w r s s 1 2 w2 017 mm abertura característica de fissura wk wk mínimow1w2 mínimo016 017 016 mm wk 016 mm wlim 030 mm OK MUSSO b 100 h 13 d 95 LAJE Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 22 LAJE DE CANTO MACIÇA DIMENSIONAMENTO AUTOMÁTICO LAJE LAJE Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 23 LAJE DE BORDA MACIÇA DIMENSIONAMENTO AUTOMÁTICO LAJE LAJE Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 24 LAJE INTERNA MACIÇA DIMENSIONAMENTO AUTOMÁTICO LAJE LAJE Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 25 LAJE NERVURADA COM VIGAS ANÁLISE DIMENSIONAMENTO E DETALHAMENTO DAS ARMADURAS UM EDIFÍCIO COMERCIAL DE 6 PISOS FOI PLANEJADO USANDO LAJE NERVURADA EM CONCRETO ARMADO COM DISTRIBUIÇÃO DE PILARES ESPAÇADOS DE 6 m CONFORME PLANTA A SEGUIR O SISTEMA TEM VIGAS E APRESENTA ALTURA DO PAVIMENTO IGUAL A 3 m AS CARGAS PERMANENTES CONSIDERADAS FORAM PESO PRÓPRIO DA LAJE PP DE 299 kNm2 ALTURA DA LAJE IGUAL A 23 cm ESPAÇAMENTO ENTRE NERVURAS DE 60 cm ESPESSURA DAS NERVURAS DE 13 cm e ALTURA DA MESA DE 5 cm REVESTIMENTO DA LAJE RV DE 100 kNm2 E ALVENARIA NA LAJE AL DE 200 kNm2 FOI UTILIZADA CARGA ACIDENTAL DE USO DE 3 kNm2 OS PILARES TEM SEÇÃO TRANSVERSAL DE 40x40 cm A ESPESSURA DA LAJE FOI DIMENSIONADA COMO 126 DO VÃO ENTRE PILARES 60026 13 cm AS VIGAS TEM SEÇÃO TRANSVERSAL DE 20x60 cm FOI CONSIDERADA CLASSE DE AGRESSIVIDADE AMBIENTAL II DA NBR 61182014 COM COBRIMENTO DA ARMADURA DA LAJE IGUAL A 25 cm E COBRIMENTO DE VIGAS E PILARES IGUAL A 30 cm O CONCRETO UTILIZADO TEM RESISTÊNCIA CARACTERÍSTICA fck 25 MPa E MÓDULO DE ELASTICIDADE SECANTE Ecs 24 GPa O AÇO TEM RESISTÊNCIA CARACTERÍSTICA fyk 500 MPa E MÓDULO DE ELASTICIDADE Es 210 GPa A ANÁLISE DA LAJE FOI FEITA ATRAVÉS DA UTILIZAÇÃO DE TABELAS GERADAS PELO AUTOR COM AUXÍLIO DO PROGRAMA DE ELEMENTOS FINITOS SAP2000 O DIMENSIONAMENTO DAS ARMADURAS LONGITUDINAIS SEGUIU CRITÉRIO DA NBR 61182014 COM DIAGRAMA RETANGULAR DE TENSÕES DO CONCRETO COMPRIMIDO NO ESTADO LIMITE ÚLTIMO A VERIFICAÇÃO À FORÇA CORTANTE SEGUIU CRITÉRIO DA NBR 61182014 A VERIFICAÇÃO DO ESTADO LIMITE DE SERVIÇO RELATIVO À DEFORMAÇÕES E ABERTURA DE FISSURAS SEGUIU CRITÉRIO DA NBR 61182014 PAVIMENTO TIPO FORMA PLANTA MUSSO 6 m típ 6 m típ fck 25 MPa Ecs 24 GPa fyk 500 MPa h 23 cm d 195 cm PP 299 kNm2 RV 100 kNm2 AL 200 kNm2 G 599 kNm2 Q 300 kNm2 1 2 3 4 A B C D PILAR DE BORDA PILAR DE CANTO PILAR INTERNO LAJE DE CANTO LAJE DE BORDA LAJE INTERNA VIGA EXTERNA VIGA INTERNA P2 P3 P4 P10 V1a 20x60 cm b P5 P6 P7 P8 P9 P11 P12 P13 P14 P15 P16 c V2a 20x60 cm c b L1 h23 cm L2 L3 L4 L5 L6 L8 L7 L9 V3a b c P1 40x40 cm V4a b c V5a b c V6a b c V7a b c V8a b c LAJE Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 26 LAJE NERVURADA FORMAS ROMANIO DADOS TÉCNICOS RO 600x600x180 RO 650x650x210 wwwromaniocombr LAJE Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 27 LAJE NERVURADA FORMAS ROMANIO DADOS TÉCNICOS RO 800x800xVAR wwwromaniocombr LAJE Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 28 LAJE DE CANTO NERVURADA FORMA RO 180 DIMENSIONAMENTO À MOMENTO FLETOR ELUM Concreto Aço Laje 6m x 6m Seção Transversal por Metro cm fck MPa 25 fyk MPa 500 g kNm2 599 Ic cm4 40548 c 14 s 115 q kNm2 300 Wcsup cm3 5378 fcd MPa 1786 fyd MPa 4348 enerv cm 60 Wcinf cm3 2623 08 Es GPa 210 bnerv cm 13 ysup cm 754 085 mín 015 Qnervm 10060 yinf cm 1546 Coeficientes para LAJE TIPO 5 ba 6m6m 1 Momentos Fletores de Cálculo kNmm carga para combinação última de ações pd gg qq 14599 14300 1258 kNm2 momento fletor positivo no vão Mad 00306pda2 00306125862 1384 kNmm momento fletor negativo no engaste Maed 00691pda2 00691125862 3130 kNmm Dimensionamento à Momento Fletor vão Dimensionamento à Momento Fletor engaste momento fletor positivo no vão b bf 100 Md 1384 kNmm profundidade da linha neutra cd 2 f d f d b M 2 1 d 1 x 0 59cm 14 0 85 52 19 5 100 1384 100 2 1 1 80 19 5 x 2 5 cm h 0 47cm 0 59 80 x f mesa parcialmente comprimida armadura longitudinal positiva por metro yd cd f s f x f b A 14 50 115 0 85 52 0 59 80 100 A s 165 cm m A 2 s armadura longitudinal positiva por nervura 0 99 cm nerv 165 100 60 A 100 e A 2 nerv s s nerv 28mmc60cm 167 cm2m próxima a face inferior da laje Asbwh 167216723 033 mín 015 momento fletor negativo no engaste b bw bnervQnervm Md 3130 kNmm profundidade da linha neutra cd 2 w d f d b M 2 1 d 1 x 715cm 14 0 85 52 67 19 5 21 30 100 31 2 1 1 80 19 5 x 2 18 cm h h 5 72cm 715 80 x f nervura parcialmente comprimida armadura longitudinal negativa por metro yd cd w s f x f b A 14 50 115 0 85 52 715 80 67 21 A s 4 33 cm m A 2 s armadura longitudinal negativa por nervura 2 60 cm nerv 4 33 100 60 A 100 e A 2 nerv s s nerv 3125mmc60cm 614 cm2m próxima a face superior da laje Asbwh 614216723 123 mín 015 Momentos Fletores de Cálculo kNmm Detalhamento da Armadura Longitudinal MUSSO hf5 bw2167 bf100 h23 d195 LAJE Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 29 LAJE DE CANTO NERVURADA FORMA RO 180 VERIFICAÇÃO À FORÇA CORTANTE ELUV Concreto Aço Laje 6m x 6m Seção Transversal por Metro cm fck MPa 25 fyk MPa 500 g kNm2 599 Ic cm4 40548 c 14 s 115 q kNm2 300 Wcsup cm3 5378 fcd MPa 1786 fyd MPa 4348 enerv cm 60 Wcinf cm3 2623 fctk MPa 1795 Es GPa 210 bnerv cm 13 ysup cm 754 fctd MPa 1282 Qnervm 10060 yinf cm 1546 Coeficientes para LAJE TIPO 5 ba 6m6m 1 Momentos Fletores de Cálculo kNmm carga para combinação última de ações pd gg qq 14599 14300 1258 kNm2 força cortante no apoio simples Vad 01830pda 0183012586 1381 kNm força cortante no engaste Vaed 03170pda 0317012586 2393 kNmm Verificação à Força Cortante apoio simples Verificação à Força Cortante engaste força cortante no apoio simples Vd 1381 kNm tensão resistente de cálculo do concreto ao cisalhamento ctd Rd 0 25f 2 Rd 0 0321 kN cm 0 25 1282 10 coeficiente k 1 d máximo 61 k d em m 141 0195 1 máximo 61 k armadura longitudinal de tração no apoio simples As1 167 cm2m ver ELUM largura de nervura por metro de laje bw 100enervbnerv 1006013 2167 cm taxa de armadura longitudinal de tração 1 1 As1bwd 1 1672167195 039 força cortante resistente de cálculo b d 40 k 21 V w 1 Rd Rd1 67 19 5 0 39 21 40 0 0321 141 21 V Rd1 2593kN m V 1 Rd verificação da tração transversal Vd 1381 kNm VRd1 2593 kNm OK não há necessidade de armadura transversal força cortante no engaste Vd 2393 kNm tensão resistente de cálculo do concreto ao cisalhamento ctd Rd 0 25f 2 Rd 0 0321 kN cm 0 25 1282 10 coeficiente k 1 d máximo 61 k d em m 141 0195 1 máximo 61 k armadura longitudinal de tração no apoio simples As1 614 cm2m ver ELUM largura de nervura por metro de laje bw 100enervbnerv 1006013 2167 cm taxa de armadura longitudinal de tração 1 1 As1bwd 1 6142167195 145 força cortante resistente de cálculo b d 40 k 21 V w 1 Rd Rd1 67 19 5 145 21 40 141 21 0 0321 V Rd1 3404kN m V 1 Rd verificação da tração transversal Vd 2393 kNm VRd1 3404 kNm OK não há necessidade de armadura transversal MUSSO hf5 bw2167 bf100 h23 d195 LAJE Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 30 LAJE DE CANTO NERVURADA FORMA RO 180 VERIFICAÇÃO DE DEFORMAÇÃO ELSDEF Concreto Aço Deformação Seção Transversal por Metro cm fck MPa 25 fyk MPa 500 flimite mm 24 mm Ic cm4 40548 fctm MPa 2565 Es GPa 210 t meses 70 Wcsup cm3 5378 Ecs GPa 24 e EsEcs 875 to meses 1 Wcinf cm3 2623 As cm2m 167 2 04 ysup cm 754 yinf cm 1546 Coeficientes para LAJE TIPO 5 ba 6m6m 1 Momentos Fletores Quase Permanentes kNmm carga para combinação quase permanente de ações pQP g 2q 599 04300 719 kNm2 momento fletor positivo no vão MaQP 00306pQPa2 0030671962 792 kNmm momento fletor negativo no engaste MaeQP 00691pQPa2 0069171962 1788 kNmm Flecha Elástica com Módulo de Elasticidade do Concreto Ecs e Combinação Quase Permanente de Ações 0 81mm 1000 0 23 10 24 719 6 0 0254 h E a 0 0254 p f 3 6 4 3 cs 4 QP elásticaR 203mm 40548 12 0 81 100 23 I b h 12 f I I f f 3 c 3 f elásticaR c R elásticaR elásticaT Flecha vão momento fletor quase permanente no vão MQP 792 kNmm momento fletor de fissuração 6 73kNm m 2565 10 100 2623 W f M c ctm r MQP 792 kNmm Mr 673 kNmm seção fissurada profundidade da linha neutra no estádio 2 As 0 4a a 2a a a x 1 3 1 2 2 2 2 50cm 100 2 b 2 a f 1 2 s e 2 1461cm 167 8 75 A a 3 s e 3 28494 cm 59 167 8 75 A d a 2 25cm 50 2 4 50 28494 1461 1461 x 2 2 momento de inércia no estádio 2 As0 2 2 s e 3 2 f 2 x A d 3 b x I 4 2 3 2 4728 cm 2 25 16719 5 8 75 3 2 25 100 I momento de inércia efetivo BRANSON 2 3 QP r c 3 QP r e I M M 1 I M M I 4 3 3 e 26706cm 4728 7 92 6 73 1 40548 7 92 6 73 I flecha imediata 3 08mm 26706 203 40548 I I f f e c elásticaT imediata fator de fluência do concreto 50 1 t t o f Asbd 0 0 68 0 996t t 032 t 2 00 70 0 68 0 996 70 032 70 0 68 0 68 0 996 1 1 032 1 132 0 1 0 68 200 f flecha diferida 4 06mm 3 08 132 f f f imediata diferida flecha total 714mm 4 06 3 08 f f f diferida imediata total 3 52 203 714 f f obs elástica total flecha limite 24mm 250 6000 250 L f vão limite ftotal 714 mm flimite 24 mm OK MUSSO hf5 bw2167 bf100 h23 d195 LAJE Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 31 LAJE DE CANTO NERVURADA FORMA RO 180 VERIFICAÇÃO DE ABERTURA DE FISSURA ELSW Concreto Aço Abertura de Fissura Seção Transversal por Metro cm fck MPa 25 fyk MPa 500 wlimite mm 03 Ic cm4 40548 fctm MPa 2565 Es GPa 210 1 225 Wcsup cm3 5378 Ecs GPa 24 e EsEcs 875 c cm 25 Wcinf cm3 2623 Asvão cm2m 167 vão mm 8 ysup cm 754 Aseng cm2m 614 eng mm 125 yinf cm 1546 Coeficientes para LAJE TIPO 5 ba 6m6m 1 Momentos Fletores Frequentes kNmm carga para combinação frequente de ações 1 06 pF g 1q 599 06300 779 kNm2 momento fletor positivo no vão MaF 00306pFa2 0030677962 858 kNmm momento fletor negativo no engaste MaeF 00691pFa2 0069177962 1938 kNmm Abertura de Fissura vão Abertura de Fissura engaste momento fletor frequente no vão MF 858 kNmm momento fletor de fissuração 6 73kNm m 2565 10 100 2623 f W M c inf ctm r MF 858 kNmm Mr 673 kNmm seção fissurada profundidade da linha neutra no estádio 2 As 0 4a a 2a a a x 1 3 1 2 2 2 2 50cm 100 2 b 2 a f 1 2 s e 2 1461cm 167 8 75 A a 3 s e 3 28494cm 167 19 5 8 75 A d a 2 25cm 50 2 4 50 28494 1461 1461 x 2 2 momento de inércia no estádio 2 As0 2 2 s e 3 2 f 2 x A d 3 b x I 4 2 3 2 4728 cm 2 25 16719 5 8 75 3 2 25 100 I tensão no aço tracionado no estádio 2 frequente x d I M 2 2 F e s 0 274GPa cm 274 kN 2 25 19 5 4728 8 58 100 8 75 2 s área de envolvimento Acr e r AsAcr Acr mínimobwhd75 bwh2 Acr bwhd75 2167231956 206 cm2 r 167206 081 abertura de fissura w1 e w2 012mm 2565 3 274 210 0 274 2 25 125 8 f 3 E 125 w ctm s s s 1 1 45 0 81 4 210 0 274 2 25 12 5 8 45 4 E 12 5 w r s s 1 2 w2 020 mm abertura característica de fissura wk wk mínimow1w2 mínimo012 020 012 mm wk 012 mm wlim 030 mm OK momento fletor frequente no engaste MF 1938 kNmm momento fletor de fissuração 1379kNm m 2565 10 100 5378 f W M csup ctm r MF 1938 kNmm Mr 1379 kNmm seção fissurada profundidade da linha neutra no estádio 2 As 0 4a a 2a a a x 1 3 1 2 2 2 2 1083cm 67 2 21 2 b a w 1 2 s e 2 5372cm 614 8 75 A a 3 s e 3 1047 6 cm 614 19 5 8 75 A d a 7 66cm 1083 2 4 1083 1047 6 5372 5372 x 2 2 momento de inércia no estádio 2 As0 2 2 s e 3 2 w 2 x A d 3 b x I 4 2 3 2 10778 cm 7 66 61419 5 8 75 3 7 66 67 21 I tensão no aço tracionado no estádio 2 frequente x d I M 2 2 F e s 0186GPa cm kN 18 6 7 66 19 5 10778 8 75 1938 100 2 s área de envolvimento Acr e r AsAcr Acr mínimobwhd75 bwh2 Acr bwh2 2167232 249 cm2 r 614249 246 abertura de fissura w1 e w2 0 08 mm 2565 3 186 210 0186 2 25 12 5 12 5 f 3 E 12 5 w ctm s s s 1 1 45 2 46 4 210 0186 2 25 12 5 12 5 45 4 E 12 5 w r s s 1 2 w2 008 mm abertura característica de fissura wk wk mínimow1w2 mínimo008 008 008 mm wk 008 mm wlim 030 mm OK MUSSO hf5 bw2167 bf100 h23 d195 LAJE Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 32 LAJE DE CANTO NERVURADA FORMA RO 180 DIMENSIONAMENTO AUTOMÁTICO LAJE LAJE Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 33 LAJE DE BORDA NERVURADA FORMA RO 180 DIMENSIONAMENTO AUTOMÁTICO LAJE LAJE Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 34 LAJE INTERNA NERVURADA FORMA RO 180 DIMENSIONAMENTO AUTOMÁTICO LAJE LAJE Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 35 LAJE LISA CONCRETO ARMADO ANÁLISE DIMENSIONAMENTO E DETALHAMENTO DAS ARMADURAS UM EDIFÍCIO DE ESCRITÓRIOS FOI PLANEJADO USANDO LAJE LISA EM CONCRETO ARMADO COM DISTRIBUIÇÃO DE PILARES ESPAÇADOS DE 6M CONFORME PLANTA A SEGUIR O SISTEMA NÃO TEM VIGAS NEM CAPITÉIS NOS PILARES E APRESENTA ALTURA DO PAVIMENTO IGUAL A 3 m AS CARGAS PERMANENTES CONSIDERADAS FORAM PESO PRÓPRIO DA LAJE PP DE 5 kNm2 ALTURA DA LAJE IGUAL A 20 CM REVESTIMENTO DA LAJE RV DE 100 kNm2 E ALVENARIA NA LAJE AL DE 200 kNm2 FOI UTILIZADA CARGA ACIDENTAL DE USO DE 3 kNm2 OS PILARES TEM SEÇÃO TRANSVERSAL DE 40 x 40 cm A ESPESSURA DA LAJE FOI DIMENSIONADA COMO 130 DO VÃO LIVRE ENTRE PILARES 600 4030 20 cm RECOMENDAÇÃO DO ACI 31805 FOI CONSIDERADA CLASSE DE AGRESSIVIDADE AMBIENTAL II DA NBR 61182014 COM COBRIMENTO DA ARMADURA DA LAJE IGUAL A 25 cm O CONCRETO UTILIZADO TEM RESISTÊNCIA CARACTERÍSTICA fck 25 MPa E MÓDULO DE ELASTICIDADE SECANTE Ecs 24 GPa O AÇO TEM RESISTÊNCIA CARACTERÍSTICA fyk 500 MPa E MÓDULO DE ELASTICIDADE Es 210 GPa A ANÁLISE DA LAJE FOI FEITA ATRAVÉS DO MÉTODO DO PÓRTICO EQUIVALENTE DO ACI 31805 COM RIGIDEZ À FLEXÃO DO PILAR EQUIVALENTE E POSTERIOR DISTRIBUIÇÃO DOS MOMENTOS DOS PÓRTICOS PARA AS FAIXAS DOS PILARES E FAIXAS CENTRAIS A ANÁLISE É FEITA PARA OS PÓRTICOS INTERNOS E EXTERNOS IDÊNTICOS NAS DUAS DIREÇÕES O DIMENSIONAMENTO DAS ARMADURAS LONGITUDINAIS SEGUIU CRITÉRIO DA NBR 61182014 COM DIAGRAMA RETANGULAR DE TENSÕES DO CONCRETO COMPRIMIDO NO ESTADO LIMITE ÚLTIMO A VERIFICAÇÃO DA PUNÇÃO SEGUIU CRITÉRIO DA NBR 61182014 A VERIFICAÇÃO DO ESTADO LIMITE DE SERVIÇO RELATIVO À DEFORMAÇÕES SEGUIU CRITÉRIO DA NBR 61182014 LAJE LISA FORMA PLANTA MUSSO L1 6 m típ 6 m típ fck 25 MPa Ecs 24 GPa fyk 500 MPa h 20 cm d 16 cm PP 5 kNm2 RV 1 kNm2 AL 2 kNm2 G 8 kNm2 Q 3 kNm2 PÓRTICO INTERNO 12 FAIXA CENTRAL FAIXA DO PILAR 12 FAIXA CENTRAL 12 FAIXA CENTRAL FAIXA DO PILAR PÓRTICO EXTERNO L2 6 m L2 3 m 40x40 cm típ 1 2 3 4 A B C D PILAR DE BORDA PILAR DE CANTO PILAR INTERNO LAJE Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 36 MÉTODO DO PÓRTICO EQUIVALENTE RIGIDEZ À FLEXÃO DO PILAR EQUIVALENTE KEC ACI 31805 MUSSO LAJE Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 37 LAJE LISA MÉTODO DO PÓRTICO EQUIVALENTE ACI 31805 SISTEMA ESTRUTURAL E CARGAS PERMANENTES G 8 kNm2 E VARIÁVEIS Q 3 kNm2 PÓRTICO INTERNO L2 6 m CARGA PERMANENTE GL2 48 kNm CARGA VARIÁVEL QL2 18 kNm PÓRTICO EXTERNO L2 3 m CARGA PERMANENTE GL2 24 kNm CARGA VARIÁVEL QL2 9 kNm MOMENTOS FLETORES E REAÇÕES kN m PÓRTICO INTERNO CARGA PERMANENTE CARGA VARIÁVEL PÓRTICO EXTERNO CARGA PERMANENTE CARGA VARIÁVEL MUSSO FTOOL LAJE Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 38 LAJE LISA MÉTODO DO PÓRTICO EQUIVALENTE ACI 31805 SISTEMA ESTRUTURAL E CARGAS NO ESTADO LIMITE ÚLTIMO PÓRTICO INTERNO 144818 92 kNm PÓRTICO EXTERNO 14249 46 kNm MOMENTOS FLETORES E REAÇÕES NO ESTADO LIMITE ÚLTIMO kN m PÓRTICO INTERNO PÓRTICO EXTERNO DISTRIBUIÇÃO DOS MOMENTOS FLETORES kNm DOS PÓRTICOS NAS FAIXAS ACI 31805 MUSSO FTOOL 100 100 0 0 60 60 40 20 75 75 25 125 20 125 0 75 75 25 125 60 60 40 20 75 75 25 125 20 125 125 75 75 25 125 60 60 40 20 100 100 0 0 20 0 125 358 1072 26 39 358 1072 222 37 708 236 222 37 236 37 37 121 0 1188 396 243 405 396 405 0 243 405 1188 396 121 0 396 0 405 0 88 348 522 392 1178 392 1178 348 522 0 88 PÓRTICO INTERNO PÓRTICO EXTERNO PÓRTICO EXTERNO Md kNm PÓRTICO INTERNO Md kNm 12 FAIXA CENTRAL FAIXA DO PILAR 12 FAIXA CENTRAL 12 FAIXA CENTRAL FAIXA DO PILAR 12 FAIXA CENTRAL FAIXA DO PILAR 12 FAIXA CENTRAL 12 FAIXA CENTRAL FAIXA DO PILAR LAJE Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 39 LAJE LISA MOMENTOS FLETORES kNmm E ÁREAS DE AÇO cm2m NAS FAIXAS POR METRO DE LAJE LAJE LISA ARMAÇÃO POSITIVA E NEGATIVA VÁLIDA PARA AS DUAS DIREÇÕES MUSSO 587 403 0 0 348 396 232 264 785 81 261 27 264 27 0 715 74 239 247 26 236 173 157 715 74 239 247 157 247 247 785 81 261 27 348 396 232 264 587 403 0 0 264 0 27 343 1102 300 375 343 1102 1191 367 350 300 1191 367 300 367 367 613 300 602 393 1320 403 393 403 300 1320 403 602 393 613 300 393 300 403 300 919 344 525 389 1274 389 1274 344 525 300 919 PÓRTICO INTERNO Md kNmm PÓRTICO EXTERNO Md kNmm PÓRTICO EXTERNO As cm2m PÓRTICO INTERNO As cm2m 12 FAIXA CENTRAL FAIXA DO PILAR 12 FAIXA CENTRAL 12 FAIXA CENTRAL FAIXA DO PILAR 12 FAIXA CENTRAL FAIXA DO PILAR 12 FAIXA CENTRAL 12 FAIXA CENTRAL FAIXA DO PILAR 125c20 10c20 125c20 10c20 10c20 10c20 10c20 PÓRTICO INTERNO As POSITIVA PÓRTICO EXTERNO As POSITIVA PÓRTICO EXTERNO As NEGATIVA PÓRTICO INTERNO As NEGATIVA 12 FAIXA CENTRAL FAIXA DO PILAR 12 FAIXA CENTRAL 12 FAIXA CENTRAL FAIXA DO PILAR 12 FAIXA CENTRAL FAIXA DO PILAR 12 FAIXA CENTRAL 12 FAIXA CENTRAL FAIXA DO PILAR 10c20 10c20 10c20 10c20 10c20 10c20 125c20 10c20 125c20 10c20 10c20 10c20 16c15 125c20 16c15 125c20 10c20 10c20 10c20 10c20 10c20 10c20 10c20 10c20 16c15 16c20 16c15 16c20 LAJE Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 40 LAJE LISA LAJE COM CAPITEL DISPOSIÇÃO DA ARMADURA LONGITUDINAL ACI 31805 LAJE LISA DISPOSIÇÃO DA ARMADURA LONGITUDINAL NBR 61182014 ACI 31805 NBR 61182014 LAJE Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 41 LAJE LISA ARMAÇÃO HORIZONTAL POSITIVA E NEGATIVA MUSSO LAJE Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 42 LAJE LISA MÉTODO DO PÓRTICO EQUIVALENTE ACI 31805 SISTEMA ESTRUTURAL E CARGAS NO ESTADO LIMITE DE SERVIÇO DE DEFORMAÇÕES pQP ELSDEF PÓRTICO INTERNO 480418 55 kNm PÓRTICO EXTERNO 24049 28 kNm MOMENTOS FLETORES E REAÇÕES NO ESTADO LIMITE DE SERVIÇO DE DEFORMAÇÕES ELSDEF kN m PÓRTICO INTERNO PÓRTICO EXTERNO DISTRIBUIÇÃO DOS MOMENTOS FLETORES kNm DOS PÓRTICOS NAS FAIXAS ELSDEF ACI 31805 MUSSO FTOOL 100 100 0 0 60 60 40 20 75 75 25 125 20 125 0 75 75 25 125 60 60 40 20 75 75 25 125 20 125 125 75 75 25 125 60 60 40 20 100 100 0 0 20 0 125 22 65 16 23 22 65 133 22 42 14 133 22 14 22 22 72 0 71 24 145 24 24 24 0 145 24 71 24 72 0 24 0 24 0 53 21 32 24 71 24 71 21 32 0 53 PÓRTICO INTERNO PÓRTICO EXTERNO PÓRTICO EXTERNO MQP kNm PÓRTICO INTERNO MQP kNm 12 FAIXA CENTRAL FAIXA DO PILAR 12 FAIXA CENTRAL 12 FAIXA CENTRAL FAIXA DO PILAR 12 FAIXA CENTRAL FAIXA DO PILAR 12 FAIXA CENTRAL 12 FAIXA CENTRAL FAIXA DO PILAR LAJE Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 43 LAJE LISA MOMENTOS FLETORES POR METRO DE LAJE kNmm PARA CARGA QUASE PERMANENTE FLECHA TOTAL NO PAINEL INTERNO VÃO L 6 m MACGREGOR Reinforced Concrete Fifth Edition Ecs GPa 24 b cm 100 Ic m4 10020312 fctm MPa 2565 h cm 20 Wc cm3 1002026 PAINEL INTERNO FAIXA DO PILAR FAIXA CENTRAL flecha elástica na faixa do pilar 2 m 1 c cs 2 elástica M 10M M 96E I L f 44 10 14 44 12 20 1 24 10 96 1000 6 f 3 6 2 elástica felástica 122mm flecha elástica na faixa central 2 m 1 c cs 2 elástica M 10M M 96E I L f 15 10 9 15 12 20 1 96 24 10 1000 6 f 3 6 2 elástica mm felástica 141 momento fletor quase permanente no vão MQP 14 kNmm momento fletor de fissuração 1710kNm m 2565 10 100 6667 W f M c ctm r MQP 14 kNmm Mr 1710 kNmm seção não fissurada momento de inércia efetivo Ie Ic 66667 cm4 flecha imediata 122mm 66667 122 66667 I I f f e c elástica imediata fator de fluência do concreto 50 1 t t o f 132 0 1 0 68 200 f flecha diferida mm 161 122 132 f f f imediata diferida flecha total na faixa do pilar 283mm 161 122 f f f diferida imediata totalFP momento fletor quase permanente no vão MQP 9 kNmm momento fletor de fissuração 1710kNm m 2565 10 100 6667 W f M c ctm r MQP 9 kNmm Mr 1710 kNmm seção não fissurada momento de inércia efetivo Ie Ic 66667 cm4 flecha imediata 141mm 66667 141 66667 I I f f e c elástica imediata fator de fluência do concreto 50 1 t t o f 132 0 1 0 68 200 f flecha diferida 186mm 141 132 f f f imediata diferida flecha total na faixa central 3 27mm 186 141 f f f diferida imediata totalFC 16 mm 3 27 283 f f f totalFC totalFP totalPI flimite L250 6000250 24 mm MUSSO 35 24 0 0 21 24 14 16 47 48 16 16 16 16 0 43 44 15 15 15 14 11 9 43 44 15 15 9 15 15 47 48 161 16 21 24 14 16 35 24 0 0 16 0 16 PÓRTICO INTERNO MQP kNmm PÓRTICO EXTERNO MQP kNmm 12 FAIXA CENTRAL FAIXA DO PILAR 12 FAIXA CENTRAL 12 FAIXA CENTRAL FAIXA DO PILAR LAJE Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 44 LAJE LISA E LAJE COGUMELO NBR 61182014 LAJE Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 45 LAJE LISA MÉTODO DO PÓRTICO EQUIVALENTE NBR 61182014 SISTEMA ESTRUTURAL E CARGAS NO ESTADO LIMITE ÚLTIMO PÓRTICO INTERNO 144818 92 kNm PÓRTICO EXTERNO 14249 46 kNm MOMENTOS FLETORES E REAÇÕES NO ESTADO LIMITE ÚLTIMO kN m PÓRTICO INTERNO PÓRTICO EXTERNO LAJE LISA FORÇA NORMAL E MOMENTOS FLETORES TRANSMITIDOS PELA LAJE AOS PILARES SAP2000 PILAR INTERNO PILAR DE BORDA PILAR DE CANTO Nd kN Md1 kNm Md2 kNm Nd kN Md1 kNm Md2 kNm Nd kN Md1 kNm Md2 kNm 626 242 242 256 1158 112 110 474 474 LAJE LISA FLECHAS ELÁSTICAS OBTIDAS COM PQP G 04Q 92 kNm2 E Ecs 24 GPa SAP2000 PAINEL INTERNO PAINEL DE BORDA PAINEL DE CANTO felástica mm felástica mm felástica mm 35 55 71 LAJE LISA FLECHAS ELÁSTICAS pQP 92 kNm2 E MOMENTOS FLETORES pd 154 kNm2 SAP2000 FLECHA ELÁSTICA mm MOMENTO FLETOR DE CÁLCULO kNmm MUSSO FTOOL SAP2000 LAJE Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 46 LAJE COGUMELO MOMENTOS FLETORES E FLECHAS FAVRE LAJE Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 47 LAJE COGUMELO MOMENTOS FLETORES E FLECHAS CONT FAVRE LAJE Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 48 LAJE COGUMELO MOMENTOS FLETORES E FLECHAS CONT FAVRE LAJE Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 49 LAJE COGUMELO MOMENTOS FLETORES E FLECHAS FAVRE LAJE Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 50 LAJE SEM VIGA ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE RESISTÊNCIA À PUNÇÃO ELUPUNÇÃO Punção é a ruptura local por cisalhamento resultante de uma força concentrada carga ou reação atuando em uma área relativamente pequena chamada de área carregada Ruptura por Punção de Laje em Concreto Armado Sistemas Estruturais de Lajes para Verificação de Resistência à Punção Laje Maciça Lisa Laje Maciça com Capitel Laje Nervurada com Capitel Ensaio de Resistência à Punção 1908 2006 Modelo para Verificação de Resistência à Punção 1 No contorno C perímetro uo do contorno do pilar deve ser verificada indiretamente a resistência à compressão diagonal do concreto Fdef FRd2 força concentrada solicitante de cálculo força concentrada resistente por compressão diagonal do concreto no perímetro uo 2 No contorno C perímetro u1 afastado 2d do pilar deve ser verificada indiretamente a resistência à tração transversal do concreto sem armadura de punção Fdef FRd1 força concentrada solicitante de cálculo força concentrada resistente por tração transversal do concreto no perímetro u1 Se Fdef FRd1 há necessidade de armadura de punção calculada fazendo Fdef FRd3 força concentrada solicitante de cálculo força concentrada resistente por tração transversal no perímetro u1 com armadura de punção 3 Havendo necessidade de armadura de punção no contorno C no contorno C perímetro un afastado 2d do último perímetro de armadura deve ser verificada indiretamente a resistência à tração transversal do concreto sem armadura de punção Fdef FRdn força concentrada solicitante de cálculo força concentrada resistente por tração transversal do concreto no perímetro un Contornos C e C Contorno C MUSSO LAJE Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 51 PUNÇÃO FORÇA CONCENTRADA EFETIVA DE CÁLCULO NBR 6118 Esforços transferidos pela Laje ao Pilar Força Concentrada Efetiva de Cálculo Fdef Fd onde é um fator amplificador da força concentrada Fd Perímetro Crítico u1 R 2d e Perímetro Crítico un R kdd Pilar Interno Pilar de Borda Pilar de Canto u1 2c1c22R u1 2c1c2R u1 c1c2R2 Perímetro Crítico Reduzido u1 R 2d e Perímetro Crítico Reduzido un R knd Pilar Interno Pilar de Borda Pilar de Canto u 2a1c2R u a1a2R2 Fator Amplificador calculado para u u1 e u un Fd com excentricidade e1 Md1Fd paralela a c1 Pilar Interno Pilar de Borda Pilar de Canto 1 1 1 W e u k e u u 1 1 1 W e u k e u u 1 1 1 W u 1 k e obs e1 e 0 obs e1 e 0 Coeficiente k1 k1 03c1c2 03 para c1c2 entre 05 e 10 k1 01c1c2 05 para c1c2 entre 10 e 30 c1c2 05 10 20 30 k1 045 060 070 080 Módulo de Resistência Plástica u 1 1 e W calculado para os Perímetros Críticos u1 e un Pilar Interno Pilar de Borda Pilar de Canto 1 2 2 2 1 2 1 1 Rc 4R 2c R c c 2 c W Rc 2 2R c R 2 c c 2 c W 1 2 2 1 2 2 1 1 4 Rc R c R 2 c c 4 c W 1 2 2 1 2 2 1 1 Excentricidade do Perímetro Crítico Reduzido em relação ao Centro do Pilar e e u u 1 1 Pilar Interno Pilar de Borda Pilar de Canto R c 2a Rc 2 2R c R c c 2 a c a e 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 1 R 2 a 2a Rc 2 2R 2a R c a a c a e 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 1 Fator Amplificador calculado para u u1 e u un Fd com excentricidades e1 Md1Fd e e2 Md2Fd Pilar Interno Pilar de Borda Pilar de Canto 2 2 2 1 1 1 1 W u k e W e u k e u u 1 1 1 1 W e u k e u u 2 2 2 1 1 1 W u k e W u k e 1 obs e1 e1 0 obs e1 e1 0 para cálculo de k2 e W2 usar as mesmas relações de k1 e W1 trocando c1 por c2 k2 obtido a partir da razão c2c12 Rc 2 2R 2c R c c 4 c W 2 2 1 2 1 2 2 2 calcular separadamente para cada momento solicitante obs no caso de pilar interno de diâmetro D e carga excêntrica o fator amplificador 4d e D 60 1 1 MUSSO NBR61182014 c1 c2 R R c1 c2 R R c1 c2 R R c1 c2 R R 15d 05c1 a1 c1 c2 R R 15d 05c2 15d 05c1 a1 a2 Ndsup Ndinf Fd Ndinf Ndsup Mdsup Mdinf Md Mdinf Mdsup LAJE Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 52 PUNÇÃO FORÇA CONCENTRADA EFETIVA DE CÁLCULO EUROCÓDIGO 2 Esforços transferidos pela Laje ao Pilar Força Concentrada Efetiva de Cálculo Fdef Fd onde é um fator amplificador da força concentrada Fd Perímetro Crítico do Pilar uo utilizar calculado para perímetro a 2d da face do pilar Pilar Interno Pilar de Borda Pilar de Canto uo 2c1 c2 uo mínimo2c1c2 c23d uo mínimoc1c2 3d Perímetro Crítico u1 Pilar Interno Pilar de Borda Pilar de Canto u1 2c1c24d u1 2c1c22d u1 c1c2d Dimensões b1 e b2 Perímetro Crítico Reduzido u1 Pilar Interno Pilar de Borda Pilar de Canto b1 c14d b2 c24d u1 2a1c22d u1 a1a2d Fator Amplificador Fd com excentricidade e1 Md1Fd paralela a c1 Pilar Interno Pilar de Borda Pilar de Canto 1 1 1 1 W u 1 k e u u 1 1 u u 1 1 Coeficiente k1 k1 03c1c2 03 para c1c2 entre 05 e 10 k1 01c1c2 05 para c1c2 entre 10 e 30 c1c2 05 10 20 30 k1 045 060 070 080 Módulo de Resistência Plástica u1 1 1 e W calculado para o Perímetro Crítico u1 Pilar Interno Pilar de Borda Pilar de Canto 1 2 2 2 1 2 1 1 2 dc 16d 4c d c c 2 c W Fator Amplificador Fd com excentricidades e1 Md1Fd e e2 Md2Fd Pilar Interno Pilar de Borda Pilar de Canto 2 2 2 2 1 1 b e b e 81 1 2 1 2 2 1 1 W u k e u u u u 1 1 para b1 e b2 ver figura acima k2 obtido a partir da razão c1c22 2 2 1 2 1 2 2 2 dc 8d 4c d c c 4 c W calcular separadamente para cada momento solicitante obs no caso de pilar interno de diâmetro D e carga excêntrica o fator amplificador 4d e D 60 1 1 MUSSO EUROCÓDIGO 2 c1 c2 2d 2d c1 c2 2d 2d c1 c2 2d 2d Ndsup Ndinf Fd Ndinf Ndsup Mdsup Mdinf Md Mdinf Mdsup c1 c2 2d 2d 15d 05c1 a1 c1 c2 2d 2d 15d 05c2 15d 05c1 a1 a2 c1 c2 2d 2d b1 b2 c1 c2 c1 c2 c1 c2 LAJE Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 53 PUNÇÃO DEDUÇÃO DO FATOR AMPLIFICADOR DA FORÇA CONCENTRADA PARA PILAR INTERNO A força concentrada efetiva de cálculo para punção é igual a um fator amplificador multiplicado pela força concentrada transmitida pela laje ao pilar ou seja Fdef Fd Para um pilar interno onde a laje transmite ao pilar uma força concentrada Fd e um momento fletor Md1 atuando em um plano paralelo a dimensão c1 do pilar o fator amplificador para o perímetro crítico u1 é igual a 1 1 1 1 W u 1 k e onde k1 é um coeficiente para ajustar à variação da razão entre as dimensões do pilar c1c2 e1 é a excentricidade da força concentrada paralela a c1 dada por Md1Fd u1 é o perímetro crítico a uma distância R 2d da face do pilar W1 é o módulo de resistência plástica dado por 1 2 2 2 1 2 1 1 Rc 4R 2c R c c 2 c W com R 2d O fator amplificador considera o acréscimo da tensão de cisalhamento causada pelo momento fletor Md1 na seção crítica de perímetro u1 e altura útil d Assim 1 u d F u d F d u F u d F F 1 d 1 d 1 ef d 1 d ef d Fdu1d é a parcela da tensão de cisalhamento causada pela força concentrada Fd é o acréscimo da tensão de cisalhamento causada pelo momento fletor Md1 A distribuição da tensão de cisalhamento causada pelo momento fletor Md1 transferido da laje ao pilar está indicada abaixo Para que haja equilíbrio o momento fletor Md1 deve ser igual ao momento em torno do eixo do pilar da tensão de cisalhamento atuante na seção crítica de perímetro u1 e altura útil d Assim W d 2 M dW Rc 4R 2c R c c 2 d c 2R 2 c 4 4 2 R R 2 c 2c 4 c 2 d 4 c M 1 1 d 1 1 2 2 2 1 2 1 1 1 2 1 1 1 d ui i 1 d d1 1 1 1 1 1 1 d 1 d 1 d 1 1 d 1 d 1 d e e W F M e onde W u e 1 W u F M 1 u d F W d M u d F u d F 2 em 1 MUSSO Md1 d LAJE Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 54 PUNÇÃO FORÇA CONCENTRADA RESISTENTE NBR 6118 EUROCÓDIGO 2 ACI 318 MUSSO LAJE Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 55 LAJE COM CAPITEL LAJE COGUMELO DEFINIÇÃO DA ALTURA ÚTIL E PERÍMETROS CRÍTICOS NBR 61182014 LAJE Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 56 DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS DA ARMADURA DE PUNÇÃO ARMADURA CONTRA COLAPSO PROGRESSIVO NBR 61182014 LAJE Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 57 LAJE LISA DIMENSIONAMENTO À PUNÇÃO PILAR INTERNO NBR 61182014 LAJE Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 58 LAJE LISA DIMENSIONAMENTO À PUNÇÃO PILAR DE BORDA NBR 61182014 LAJE Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 59 LAJE LISA DIMENSIONAMENTO À PUNÇÃO PILAR DE CANTO NBR 61182014 LAJE Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 60 LAJE LISA CONCRETO PROTENDIDO ANÁLISE DIMENSIONAMENTO E DETALHAM DAS ARMADURAS UM EDIFÍCIO DE ESCRITÓRIOS FOI PLANEJADO USANDO LAJE LISA EM CONCRETO PROTENDIDO COM DISTRIBUIÇÃO DE PILARES ESPAÇADOS DE 6M CONFORME PLANTA A SEGUIR O SISTEMA NÃO TEM VIGAS NEM CAPITÉIS NOS PILARES E APRESENTA ALTURA DO PAVIMENTO IGUAL A 3 m AS CARGAS PERMANENTES CONSIDERADAS FORAM PESO PRÓPRIO DA LAJE PP DE 5 kNm2 REVESTIMENTO DA LAJE RV DE 100 kNm2 E ALVENARIA NA LAJE AL DE 200 kNm2 FOI UTILIZADA CARGA ACIDENTAL DE USO DE 3 kNm2 OS PILARES TEM SEÇÃO TRANSVERSAL DE 40 x 40 cm A ESPESSURA DA LAJE FOI DIMENSIONADA COMO 135 DO VÃO ENTRE PILARES 60035 17 cm FOI CONSIDERADA CLASSE DE AGRESSIVIDADE AMBIENTAL II DA NBR 61182014 COM COBRIMENTO DA ARMADURA DA LAJE IGUAL A 25 cm O CONCRETO UTILIZADO TEM RESISTÊNCIA CARACTERÍSTICA fck 30 MPa E MÓDULO DE ELASTICIDADE SECANTE Ecs 24 GPa O AÇO DA ARMADURA PASSIVA TEM RESISTÊNCIA CARACTERÍSTICA fyk 500 MPa E MÓDULO DE ELASTICIDADE Es 210 GPa O AÇO DA ARMADURA ATIVA TEM RESISTÊNCIA CARACTERÍSTICA NA RUPTURA fptk 1900 MPa CORDOALHA ENGRAXADA DE 7 FIOS A ANÁLISE DA LAJE FOI FEITA ATRAVÉS DO MÉTODO DO PÓRTICO EQUIVALENTE DA NBR 61182014 E POSTERIOR DISTRIBUIÇÃO DOS MOMENTOS DOS PÓRTICOS PARA AS FAIXAS DOS PILARES E FAIXAS CENTRAIS A ANÁLISE É FEITA PARA OS PÓRTICOS INTERNOS E EXTERNOS IDÊNTICOS NAS DUAS DIREÇÕES O DIMENSIONAMENTO DAS ARMADURAS LONGITUDINAIS SEGUIU CRITÉRIO DA NBR 61182014 COM DIAGRAMA RETANGULAR DE TENSÕES DO CONCRETO COMPRIMIDO NO ESTADO LIMITE ÚLTIMO A VERIFICAÇÃO DA PUNÇÃO SEGUIU CRITÉRIO DA NBR 61182014 A VERIFICAÇÃO DO ESTADO LIMITE DE SERVIÇO RELATIVO À DEFORMAÇÕES SEGUIU CRITÉRIO DA NBR 61182014 LAJE LISA FORMA PLANTA MUSSO L1 6 m típ 6 m típ fck 25 MPa Ecs 24 GPa fyk 500 MPa h 16 cm d 16 cm PP 5 kNm2 RV 1 kNm2 AL 2 kNm2 G 8 kNm2 Q 3 kNm2 PÓRTICO INTERNO 12 FAIXA CENTRAL FAIXA DO PILAR 12 FAIXA CENTRAL 12 FAIXA CENTRAL FAIXA DO PILAR PÓRTICO EXTERNO L2 6 m L2 3 m 40x40 cm típ 1 2 3 4 A B C D PILAR DE BORDA PILAR DE CANTO PILAR INTERNO LAJE Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 61 PERFIL VERTICAL DO CABO E CARGA EQUIVALENTE DE PROTENSÃO MODELO SIMPLIFICADO CARGA p NO CONCRETO EXERCIDA POR UM CABO SUBMETIDO A UMA FORÇA DE PROTENSÃO P do triângulo de forças 2 2Psen p s da geometria 2 2r sen s p para pequeno sen2 2 e no limite p 2 2 p r P logo p dx d y r 1 ds e d ds P d p onde rp é o raio de curvatura do cabo OBS Notar que a carga p é igual a razão entre a força de protensão P e o raio de curvatura rp do cabo e teoricamente direcionada para o centro da curvatura em qualquer ponto do cabo Na prática a maioria dos perfis dos cabos é razoavelmente plana Assim podemos considerar que a carga p em qualquer ponto é vertical EXEMPLO Uma viga simplesmente apoiada de comprimento L tem um cabo submetido a uma força de protensão P O cabo tem perfil parabólico e excentricidade máxima e Calcular a carga uniformemente distribuída p vertical e direcionada para cima que o cabo exerce na viga Obter o momento fletor M no centro do vão 2 2 2 L e 4 L 2 e k e y 2 L kx para x y 2 p 2 2 2 2 2 L 8e r 1 dx x d y L 8e dx x dy L 4e logo y Pe 8 pL assim M L 8Pe r P p mas 2 2 p OBS Notar que o diagrama de momentos fletores é uma versão escalada da forma do perfil do cabo Para excentricidade do cabo abaixo do centróide da seção o momento fletor da força de protensão é negativo Para excentricidade acima do centróide o momento fletor é positivo O fato do diagrama de momentos fletores ter o mesmo formato do perfil do cabo de protensão é verdadeiro para toda estrutura estaticamente determinada CARGA EQUIVALENTE EM FUNÇÃO DA FORÇA DE PROTENSÃO P E DO RAIO DE CURVATURA rp Sejam A e B os pontos superior e inferior do trecho AB da parábola ABC e rp o seu raio de curvatura 2a c ou r c 2a r 1 dx x d y c 2a dx x dy c a logo y c a k a c y kx para x y 2 p 2 p 2 2 2 2 2 2 2 d 2b r c 2a r 2 pBC 2 pAB c b a 1 d r r pBC pAB d 2 c L distâncias c e d e carga equivalente p b a 1 L b a d e b a 1 L 1 em 2 c 2 2 p 2Pb d 2Pa c P r p PERFIL DO CABO E CARGA EQUIVALENTE DE PROTENSÃO Le vão externo Li vão interno Lb vão balanço Trecho Te1 Te2 Ti1 Ti2 Tb c 0414Le 0586Le 05Li 05Li Lb a 05f f f f 05f rp c22a 0172Le 2f 0172Le 2f 0125Li 2f 0125Li 2f Lb 2f p Prp 58PfLe 2 58PfLe 2 8PfLi 2 8PfLi 2 PfLb 2 R pc 0414pLe 0586pLe 05pLi 05pLi pLb MUSSO L e x y L2 L2 p P P s p P P P P ps rp x y rp b y L C A x a d B c p Rapc Rbpd Le f 0414Le 0586Le 05Li Li Lb 05Li f 05f 05f Te1 Te2 Ti1 Ti2 Tb p Re1 Re2 Ri Ri Rb cgs LAJE Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 62 CARGA EQUIVALENTE DE PROTENSÃO E TRAÇADO VERTICAL DO CABO MODELO REFINADO CARGA q NO CONCRETO EXERCIDA POR UM CABO SUBMETIDO A UMA FORÇA DE PROTENSÃO P do triângulo de forças 2 2Psen p s da geometria 2 2r sen s p para pequeno sen2 2 e no limite p 2 2 p r P logo p dx d y r 1 ds e d ds P d p onde rp é o raio de curvatura do cabo OBS Notar que a carga p é igual a razão entre a força de protensão P e o raio de curvatura rp do cabo e teoricamente direcionada para o centro da curvatura em qualquer ponto do cabo Na prática a maioria dos perfis dos cabos é razoavelmente plana Assim podemos considerar que a carga p em qualquer ponto é vertical EXEMPLO Uma viga simplesmente apoiada de comprimento L tem um cabo submetido a uma força de protensão P O cabo tem perfil parabólico e excentricidade máxima e Calcular a carga uniformemente distribuída p vertical e direcionada para cima que o cabo exerce na viga Obter o momento fletor M no centro do vão 2 2 2 L e 4 L 2 e k e y 2 L kx para x y 2 p 2 2 2 2 2 L 8e r 1 dx x d y L 8e dx x dy L 4e logo y Pe 8 pL assim M L 8Pe r P p mas 2 2 p OBS Notar que o diagrama de momentos fletores é uma versão escalada da forma do perfil do cabo Para excentricidade do cabo abaixo do centróide da seção o momento fletor da força de protensão é negativo Para excentricidade acima do centróide o momento fletor é positivo O fato do diagrama de momentos fletores ter o mesmo formato do perfil do cabo de protensão é verdadeiro para toda estrutura estaticamente determinada CARGA EQUIVALENTE EM FUNÇÃO DA FORÇA DE PROTENSÃO P E DO RAIO DE CURVATURA rp Seja A o ponto inferior do trecho AB da parábola reversa ABC B o seu ponto de inflexão e rp o seu raio de curvatura 2a c ou r c 2a r 1 dx x d y c 2a dx x dy c a logo y c a k a c y kx para x y 2 p 2 p 2 2 2 2 2 2 2 semelhança de triângulos b a e f f d b e f d e f b c a e f c a raios de curvatura rp e cargas equivalentes p d 2b r c 2a r 2 pBC 2 pAB 2 bBC BC 2 pAB AB 2Pb d P r 2Pa c p P r p PERFIL DO CABO E CARGA EQUIVALENTE DE PROTENSÃO Le vão externo Li vão interno Lb vão balanço Trecho Te1 Te2 Te3 Ti1 Ti2 Ti3 Ti4 Tb1 Tb2 c 05Le 04Le 01Le 01Li 04Li 04Li 01Li 01Lb 09Lb a 05f 08f 02f 02f 08f 08f 02f 005f 045f rp c22a 025Le 2f 01Le 2f 0025Le 2f 0025Li 2f 01Li 2f 01Li 2f 0025Li 2f 01Lb 2f 09Lb 2f p Prp 4PfLe 2 10PfLe 2 40PfLi 2 40PfLi 2 10PfLb 2 10PfLe 2 40PfLe 2 10PfLi 2 10PfLi 2 MUSSO L e x y L2 L2 p P P s p P P P P ps rp x y rp y b e C A x a c d B x y f pAB pBC Le f 05Le 04Le 01Le 01Li 01Li 01Lb 04Li Li 09Lb Lb 04Li 08f 05f 02f 005f 045f Te1 Te2 Te3 Ti1 Ti2 Ti3 Ti4 Tb2 Tb1 03f p cgs LAJE Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 63 ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE RESISTÊNCIA AO MOMENTO FLETOR COM PROTENSÃO ELUM fck 50 MPa As área da seção da armadura longitudinal passiva h altura da seção transversal Ap área da seção da armadura longitudinal ativa Md 14MG 14MQ 09 ou 12MH b largura da seção transversal momento fletor de cálculo C força de compressão no concreto MG momento fletor da ação permanente G d h d altura útil da seção transversal MQ momento fletor da ação variável Q distância do centróide de As à borda MH momento fletor do hiperestático de protensão H comprimida da seção transversal MRd momento fletor resistente de cálculo dp h dp distância do centróide de Ap à borda T força de tração na armadura passiva comprimida da seção transversal Tp força de tração na armadura ativa d distância do centróide de As à borda x profundidade da linha neutra no estádio 3 ELU tracionada da seção transversal xlim profundidade máxima da linha neutra para dp distância do centróide de Ap à borda ruptura dúctil da seção ruptura com aviso tracionada da seção transversal z braço de alavanca da armadura passiva Es 210000 MPa módulo de elasticidade do aço zp braço de alavanca da armadura ativa da armadura passiva 08 coeficiente de redução da altura comprimida Ep 200000 MPa módulo de elasticidade do aço da seção diagrama retangular x parabólico da armadura ativa 085 coeficiente de redução da resistência de fcd fck14 resistência de cálculo do concreto à cálculo do concreto à compressão compressão p Apbdp taxa geométrica de armadura ativa fck resistência característica do concreto à pd p115 tensão de cálculo da armadura ativa compressão aos 28 dias p p p tensão na armadura ativa fyd fyk115 resistência de cálculo de escoamento p 08pi tensão na armadura ativa após todas do aço da armadura passiva as perdas 6 imediata 14 progressiva fyk resistência característica de escoamento do aço pi MÍNIMO080fptk088fpyk tensão máxima fptk resistência característica de ruptura do aço da aplicada à armadura ativa pelo equipamento armadura ativa de tração fpyd fpyk115 resistência de cálculo de escoamento p acréscimo de tensão na armadura ativa não do aço da armadura ativa aderente fpyk 09fptk resistência característica de escoamento do aço da armadura ativa Momento fletor resistente de cálculo MRd Exemplo Para fck 50 MPa 08 085 xlim 045d a s yd pd p p cd A f A T T b x f C ou lim cd s yd p pd x f b A f A x ruptura dúctil da seção b x 2 d A f x 2 d A Tz T z M s yd p pd p p p Rd c s p p s p pd pi p 80 para 20 de perdas imediata e progressiva d para armadura ativa não aderente com p Apbdp 210 MPa 300 f 70 p ck p para vãodp 35 420 MPa 100 f 70 p ck p para vãodp 35 Laje lisa protendida de espessura 17 cm e vãos de 6 m Largura do pórtico b 6 m Concreto fck 30 MPa Armadura passiva aço CA50 As 252 cm2 6 m d 14 cm sobre os pilares Armadura ativa cordoalha engraxada de 7 fios CP 190 RB 127 mm Ap 12 cabos 6 m 119 cm2 dp 13 cm p 0152 fptk 1900 MPa fpyk 09fptk 1710 MPa Ap 099 cm2 1505 MPa 1505 1520 0 88f mínimo 0 80f pyk ptk pi 1204 MPa 1505 80 80 pi p para vãodp 60013 46 35 210 MPa MPa 136 0152 300 30 70 300 f 70 p ck p 1340 MPa 136 1204 p p p Profundidade da linha neutra OK 7 88 cm 0 45 17 5 0 45d x x 86 cm 2 0 85 3 14 80 600 50 115 25 2 136 115 119 f b A f A x lim cd s yd pd p Momento fletor resistente 307 kNm 286 2 80 50 11514 2 25 286 2 80 136 11513 9 11 x 2 d A f x 2 d A M s yd p pd p Rd MUSSO x MRd x T Asfyd C bxfcd fcd fcd h dp b Ap corte As d Tp Appd elevação z zp LAJE Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 64 LAJE LISA PROTENDIDA ANÁLISE DIMENSIONAMENTO E DETALHAMENTO DAS ARMADURAS 17 FMJTOOL LAJE Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 65 LAJE LISA PROTENDIDA ANÁLISE DIMENSIONAMENTO E DETALHAMENTO DAS ARMADURAS 27 FMJTOOL LAJE Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 66 LAJE LISA PROTENDIDA ANÁLISE DIMENSIONAMENTO E DETALHAMENTO DAS ARMADURAS 37 FMJTOOL LAJE Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 67 LAJE LISA PROTENDIDA ANÁLISE DIMENSIONAMENTO E DETALHAMENTO DAS ARMADURAS 47 FMJTOOL LAJE Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 68 LAJE LISA PROTENDIDA ANÁLISE DIMENSIONAMENTO E DETALHAMENTO DAS ARMADURAS 57 FMJTOOL LAJE Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 69 LAJE LISA PROTENDIDA ANÁLISE DIMENSIONAMENTO E DETALHAMENTO DAS ARMADURAS 67 FMJTOOL LAJE Fernando Musso Junior fmjufesgmailcom Estruturas de Concreto Armado 70 LAJE LISA PROTENDIDA ANÁLISE DIMENSIONAMENTO E DETALHAMENTO DAS ARMADURAS 77 FMJTOOL