Mecanismos de Grashof e Vibração de Maquinas - Notas de Aula

Mecanismos e Vibração de Máquinas Grashof e Mecanismos Simples Lei de Grashof Projeto de Mecanismos Buscase SEMPRE a simplicidade Quanto menor a quantidade de peças que podem realizar o trabalho geralmente fornece a solução MAIS CONFIÁVEL e MAIS BARATA Por este motivo devemos sempre tentar usar o Mecanismo de Quatro Barras Concepção Básica A manivela é acionada por um motor com movimento contínuo em um único sentido descrevendo uma rotação completa 360 em torno de um eixo passando pela articulação da base da manivela Lei de Grashof Franz Grashof Critério para determinação do tipo de mecanismos Para mecanismos de 4 Barras que descrevem movimento plano se a soma dos comprimentos das barras mais curta e mais comprida for inferior ou igual à soma dos comprimentos das duas barras restantes então a barra mais curta pode girar continuamente em torno do seu eixo Onde Me L2 Ma L1 b1 L3 b2 L4 PUCMINAS ENG AERONÁUTICA ENG MECÂNICA Cinemática dos Mecanismos Unidade 03 Mecanismos Articulados Classificação e Funcionamento Me Ma b1 b2 28 Lei de Grashof Mecanismo de 4 Barras Inversões Possíveis mediante Critério de Grashof Lei de Grashof Condição Me Adjacente a Ma PUCMINAS ENG AERONÁUTICA ENG MECÂNICA Cinemática dos Mecanismos Unidade 03 Mecanismos Articulados Classificação e Funcionamento Lei de Grashof Mecanismo de 4 Barras Inversões Possíveis mediante Critério de Grashof Lei de Grashof Condição Me Adjacente a Ma Caso 1 Me Ma b1 b2 Classe I Temse três possibilidades dependendo de que peça é fixada como base do mecanismo O mecanismo é do tipo manivelabalancim a ou c crank rocker ou rocker crank quando a menor barra for a manivela isto é gira completamente a maior barra for movida oscila e qualquer uma das barras adjacentes for fixa O mecanismo é do tipo dupla manivela b double crank isto é as duas manivelas giram completamente quando a menor barra for fixa O mecanismo é do tipo duplo balancim d rocker rocker isto é as manivelas podem apenas oscilar quando a barra oposta a barra menor é fixada PUCMINAS ENG AERONÁUTICA ENG MECÂNICA Cinemática dos Mecanismos Unidade 03 Mecanismos Articulados Classificação e Funcionamento Lei de Grashof Mecanismo de 4 Barras Inversões Possíveis mediante Critério de Grashof Lei de Grashof Condição Me Adjacente a Ma Caso 2 Me Ma b1 b2 Classe II Neste caso qualquer situação isto é qualquer barra que fixe sempre resulta em mecanismos do tipo triplo balancim Geram mecanismos do tipo Triple Rocker Non Grashof rocker rocker Caso 3 Me Ma b1 b2 Classe III Os quatro tipos de mecanismos possíveis são idênticos ao caso 1 Porém todos eles possuem a condição de alinhamento do acoplador Um mecanismo importante desta classe não mostrado na figura acima é o paralelogramo que consiste de duas manivelas do mesmo tamanho e a base e o acoplador também possuem o mesmo comprimento Todos são denominados dupla manivela PUCMINAS ENG AERONÁUTICA ENG MECÂNICA Cinemática dos Mecanismos Unidade 03 Mecanismos Articulados Classificação e Funcionamento Lei de Grashof Mecanismo de 4 Barras Inversões Possíveis mediante Critério de Grashof Condição Me Oposto a Ma PUCMINAS ENG AERONÁUTICA ENG MECÂNICA Cinemática dos Mecanismos Unidade 03 Mecanismos Articulados Classificação e Funcionamento Condições Limitantes e Índices de Mérito Posições de Ponto Morto ou Singularidades O projetista deve verificar se o mecanismo pode de fato alcançar todas as posições definidas no projeto sem encontrar um posição limitante A figura mostra um mecanismo Grashof de 4 Barra no seu limite de movimento chamado de Posições de Morto As posições de morto são determinadas pelas colinearidades dos dois elos móveis C 1D1 linha contínua são as posições de morto alcançadas quando movidos pelo elo 2 C 3D3 linha tracejada são as posições de morto alcançadas quando movidos pelo elo 4 Quando em uma posição triangular ponto morto será possível aplicar futuros movimentos de direção de um dos elos seguidores não entrada na tanto 2 quanto 4 33 Posições de Ponto Morto do mecanismo 4 Barras Grashof Duplo Seguidor Condições Limitantes e Índices de Mérito Posições de Ponto Morto ou Singularidades A figura mostra um mecanismo não Grashof de 4 Barra no seu limite de movimento chamado de Posições de Morto C1D1 e C 2D2 linha contínua são as posições de morto alcançadas quando movidos pelo elo 2 C3D3 e C 4D4 linha tracejada são as posições de morto alcançadas quando movidos pelo elo 4 Um mecanismo de 4 Barras triplo seguidor terá 4 posições de pontos mortos Obs PUCMINAS ENG AERONÁUTICA ENG MECÂNICA Cinemática dos Mecanismos Unidade 03 Mecanismos Articulados Classificação e Funcionamento Posições de Ponto Morto do mecanismo 4 Barras Não Grashof Triplo Seguidor No ponto morto ω4 iguala a zero e se for aplicado um momento em L4 a barra L2 estará submetida somente a tração ou compressão de forma que ela não sofrerá movimento 35 Condições Limitantes e Índices de Mérito Posições Estacionárias Um mecanismo de 4 Barra Grashof Manivela Seguidor assumirá também duas posições estacionárias como mostrado na figura a seguir quando o elo menor manivela O2C estiver colinear com o acoplador CD elo 3 colinearmente estendidos O2C2D2 colinearmente sobrepostos O2C1D1 Ele não pode ser movido para trás a partir do seguidor O 4D elo 4 por meio dessas posições clineares as quais agem como pontos mortos mas quando a manivela O 2C elo 2 é movida o mecanismo sairá dessa posição estacionária porque o sistema é Grashof Posições de Ponto Estacionário do Mecanismo 4 Barras Grashof Condições Limitantes e Índices de Mérito Vantagem Mecânica Considerando um Mecanismo de 4 Barras Grashof isto é a manivela elo 2 completando uma rotação de 360º e desconsiderando as forças de atrito e de inércia ou seja estudo cinemático A relação do conjugado aplicado na manivela T2 conjugado de entrada necessário para acionar a seguidora elo 4 e vencer o conjugado resistente T4 estabelece o conceito de vantagem mecânica VM que é a razão entre o conjugado resistente e conjugado de entrada A vantagem mecânica está diretamente relacionada com o chamado ângulo de transmissão g o qual é medido entre a biela elo 3 e a seguidora elo 4 Este conceito será explicado a seguir no estudo da posição de um Mecanismo de 4 Barras T 2 VM T 4 ω2 ω4 38 Mecanismos Simples Mecanismo Articulado de 4 Barras Mecanismo de Acionamento Simples Permite Oscilação ou Rotação do Elemento Final PUCMINAS ENG AERONÁUTICA ENG MECÂNICA Cinemática dos Mecanismos Unidade 03 Mecanismos Articulados Classificação e Funcionamento 39 θ 3 Ângulo da Biela θ 4 Ângulo da Saída α Ângulo Oposto à Barra Motora Manivela β Ângulo Oposto à Barra Acopladora Biela g Ângulo da Transmissão Onde L1 Solo Link Fixo L2 Barra Motora Manivela L3 Barra Acopladora Biela L4 Barra Seguidora Saída θ 2 Ângulo da Manivela Mecanismos Simples Mecanismo Articulado de 4 Barras Estrutura Básica PUCMINAS ENG AERONÁUTICA ENG MECÂNICA Cinemática dos Mecanismos Unidade 03 Mecanismos Articulados Classificação e Funcionamento Mecanismos Simples Mecanismo Articulado de 4 Barras Características Manivela L2 G ira ou Oscila Biela L3 G ira ou Oscila Saída L4 G ira ou Oscila OBS Enquanto as dimensões do conjunto permitem que a Manivela gire NÃO há perigo de travamento do sistema Entretanto se a Manivela apenas oscila devese tomar o devido CUIDADO do dimensionamento das ligações para evitar pontos mortos Ponto Morto Ocorre quando a linha de ação da força acionadora Manivela tiver a mesma direção da ligação de Saída Forma Triangular Mecanismos Simples Mecanismo Articulado de 4 Barras Ângulo de Transmissão g Aplicandose a Lei dos Cossenos aos Triângulos Δ Aθ2θ4 e Δ ABθ4 temse Z ² L 1 ² L 2 ² 2 L 1 L 2 cos θ2 Z ² L 3 ² L 4 ² 2L 3L 4cos γ Mecanismos Simples Mecanismo Articulado de 4 Barras Ângulo de Transmissão g Ambas as Equações estão em Função de Z igualandose as duas temse OBS Conhecendose L1 L2 L3 L4 o Ângulo de Transmissão γ será função apenas do ângulo de entrada θ 2 cos γ L1 ² L2 ² 2L1L2cosθ 2 L 3 ² L 4 ² 2L 3L 4 γ arccos L ² L ² 2 1 2 1 2 2 3 4 L L cosθ L ² L ² 2L 3L 4 γ arccos Z² L ² L ² 3 4 2L 3L 4 PUCMINAS ENG AERONÁUTICA ENG MECÂNICA Cinemática dos Mecanismos Unidade 03 Mecanismos Articulados Classificação e Funcionamento Mecanismos Simples Mecanismo Articulado de 4 Barras Ângulo de Transmissão g Observase que para qualquer valor arbitrado para θ 2 o ângulo de transmissão possui duas soluções possíveis Mecanismos Simples Mecanismo Articulado de 4 Barras Ângulo de Transmissão g Para um valor arbitrario de θ2 o mecanismo pode ser montado de 2 formas e como consequência fornece 2 opções possíveis α β e θ4 Em geral α arccos Z² L 4² L 3 ² 2ZL 4 β arccos Z² L 1² L 2 ² 2 Z L 1 θ4 180 α β 2 2 180o θ 360o 0o θ 180o 0o β 180o 180o β 360o Mecanismos Simples Mecanismo Articulado de 4 Barras Análise de Posição Metodologia Analítica Processo de determinação do ângulo da variável de saída θ4 do mecanismo em função do ângulo de entrada θ2 OBS Para maior eficiência na transmissão de forças as ligações 3 e 4 devem ser perpendiculares Se o ângulo de transmissão g for menor que 40o o mecanismo tenderá a parar devido ao atrito nas articulações Para grandes forças gmax 140 e gmin 40 Mecanismos Simples Mecanismo Articulado de 4 Barras Análise de Posição Metodologia Analítica A figura a seguir apresenta os ângulos de transmissão mínimo e máximo g e g respectivamente para um mecanismo de 4 Barras São observados quando a barra L2 alcança os pontos mortos ou os pontos extremos à esquerda e à direita PUCMINAS ENG AERONÁUTICA ENG MECÂNICA Cinemática dos Mecanismos Unidade 03 Mecanismos Articulados Classificação e Funcionamento Mecanismos Simples Mecanismo Articulado de 4 Barras Exemplo 1 A figura a seguir apresenta um mecanismo articulado de 4 Barras Sabendo se que o ângulo de entrada θ 2 é igual a 60o determine o ângulo de transmissão γ e o ângulo de saída θ 4 Considere L1 180 mm L2 80 mm L3 200 mm e L4 150 mm Z L 1² L 2² 2 L 1 L 2 cos θ2 Z 180 ² 80 ² 2 180 80 cos 60o Z 15620 mm γ arccos Z² L 3² L 4 ² 2L 3L 4 γ arccos 15620² 200 ² 150 ² 2 200 150 γ 5058 o γ 5058 o e γ 30942 o Mecanismos Simples Mecanismo Articulado de 4 Barras Exemplo 31 Resolução Continuação Z² L 4 ² L 3 ² α arccos 2 Z L 4 α arccos 1562² 150 ² 200 ² 21562 150 α 8 1 5 3 o β arccos Z² L 1 ² L 2 ² 2 Z L 1 β arccos 1562² 180 ² 80 ² 21562180 β 2633 o Como θ 60o 0o θ 180o 2 2 β 0o β 2633 o 4 θ 180 o 8153 o 2633 o θ 7214 o ou θ 23520o 4 4 PUCMINAS ENG AERONÁUTICA ENG MECÂNICA Cinemática dos Mecanismos Unidade 03 Mecanismos Articulados Classificação e Funcionamento Mecanismos Simples Mecanismo Articulado de 4 Barras Análise de Posição Metodologia Analítica Vantagens Soluções são obtidas com um número finito de equações e de cálculos Obtenção de soluções exatas Desvantagens Difícil desenvolvimento e implementação de uma análise auxiliada por computador Cada sistema em estudo precisa de um conjunto específico de equações para resolução Mesmo sendo de mesma configuração tipo 4 Barras Cada configuração do mecanismo gera um programa diferente PUCMINAS ENG AERONÁUTICA ENG MECÂNICA Cinemática dos Mecanismos Unidade 03 Mecanismos Articulados Classificação e Funcionamento Mecanismos Simples Mecanismo Articulado de 4 Barras Análise de Posição Metodologia Recursiva Método NEWTON RAPHSON Desenvolvido por Isaac Newton e Joseph Raphson Tem o objetivo de estimar as raízes de uma função Método Arbitrase uma aproximação inicial para esta Calculase a equação da reta tangente derivada da função nesse ponto e a interseção dela com o eixo das abcissas a fim de encontrar uma melhor aproximação para a raiz Repetindose o processo criase um método iterativo para encontrarmos a raiz da função Quando a diferença entre duas iterações consecutivas for inferior ao erro desejado o processo se encerra e obtêmse as raízes Mecanismos Simples Mecanismo Articulado de 4 Barras Considere um mecanismo clássico de 4 Barras com o elo 1 partindo da origem e se sobrepondo ao eixo X como o apresentado acima Como o mecanismo de 4 Barras forma um cadeia cinemática fechada o somatório das coordenadas X e Y dos elos precisa ser obrigatoriamente igual a zero Análise de Posição Metodologia Recursiva Método NEWTONRAPHSON Análise Vetorial L L L L 0 1 4 2 3 C omponente X Lx1 Lx 4 Lx 2 Lx 30 L 1 L 4cos θ4 L 2 cos θ2 L 3cos θ3 0 eq 1 C omponente Y Ly4 Ly 2 Ly3 0 L4 sen θ4 L2 sen θ 2 L3 sen θ3 0 eq2 Mecanismos Simples Mecanismo Articulado de 4 Barras Análise de Posição Metodologia Recursiva Método NEWTONRAPHSON Determinar as raizes destas das equações f1θ e f2θ é equivalente a encontrar 3 4 o valor de θ e θ que zeram as equações simultaneamente Equações 1e 2são satisfeitas APENAS para valores de θ3 e θ 4 que fecham a cadeia cinemática Este valores de θ 3 e θ 4 denominamse as RAÍZES da equação Esta análise define as seguintes equações C omponente X f 1 θ f 1 θ3θ4 L1 L4 cosθ4 L2 cosθ 2 L3 cos θ3 C omponente Y f 2 θ f 2 θ3 θ4 L 4 sen θ4 L 2 sen θ2 L 3 sen θ3 θ θ3θ4 θ θ² θ³ f θ Δ f θ f θ Δ ²f θ Δ ² ³f θ Δ ³ PUCMINAS ENG AERONÁUTICA ENG MECÂNICA Cinemática dos Mecanismos Unidade 03 Mecanismos Articulados Classificação e Funcionamento Mecanismos Simples Mecanismo Articulado de 4 Barras Análise de Posição Metodologia Recursiva Método NEWTONRAPHSON 1 Arbitrar Escolher valores iniciais para θ 3 e θ 4 NÃO SÃO AS RAÍZES 2 Determinar uma valor de correção θ3 e θ4 que somados a θ3 e θ4 fazem com que f1θ e f2θ sejam iguais a zero Os valores de θ3e θ4são obtidos por meio da expansão da Série de Taylor das funções fθ em torno do ponto θ θ3θ4 Utilizase apenas os dois primeiros termos da série ou seja realizase uma aproximação Série de Taylor 𝑓𝑖 𝜃 𝑓𝑖𝜃 𝜃3 𝜃3 𝑓𝑖𝜃 𝜃4 𝜃4 0 i12 PUCMINAS ENG AERONÁUTICA ENG MECÂNICA Cinemática dos Mecanismos Unidade 03 Mecanismos Articulados Classificação e Funcionamento Mecanismos Simples Mecanismo Articulado de 4 Barras Análise de Posição Metodologia Recursiva Método NEWTONRAPHSON 3Substituindo i por 1 e 2 e rearranjando as fórmulas temse o seguinte sistema a partir do qual se obtém θ3e θ4 𝒇𝟏𝜽 𝜽𝟑 𝜽𝟑 𝒇𝟏𝜽 𝜽𝟒 𝜽𝟒 𝒇𝟏 𝜽 𝒇𝟐𝜽 𝜽𝟑 𝜽𝟑 𝒇𝟐𝜽 𝜽𝟒 𝜽𝟒 𝒇𝟐 𝜽 5Repetir os passos 2 3e 4até que o valor da função no ponto θ θ3θ4 se torne menor do que a incerteza definida e 4 Atualizar θ3 e θ4 θ3t θ 3t 1 Δ θ3 θ4t θ 4t 1 Δ θ4 f 1θ Δ f 1θ3 Δθ3 θ4 Δ θ4 Incerteza f 2θ Δ f 2θ3 Δ θ3 θ4 Δ θ4 Incerteza Incerteza 1105 Incerteza 1105 Mecanismos Simples Mecanismo Articulado de 4 Barras Método NEWTONRAPHSON Exemplo 2 A figura a seguir apresenta um mecanismo articulado de 4 Barras Sabendose que o ângulo de entrada θ2 é igual a 60o determine o ângulo da manivela θ3 e o ângulo de saída θ4 Considere L1 180 mm L2 80 mm L3 200 mm e L4 150 mm f 1θ3 θ4 L 1 L 2 cos θ4 L 2 cosθ2 L 3 cosθ3 f 2θ3 θ4 L 4sen θ4 L 2sen θ2 L 3 sen θ3 00001 f θ 00001 PUCMINAS ENG AERONÁUTICA ENG MECÂNICA Cinemática dos Mecanismos Unidade 03 Mecanismos Articulados Classificação e Funcionamento Mecanismos Simples Mecanismo Articulado de 4 Barras Método NEWTONRAPHSON Exemplo 2 Resolução 1 Estimativa Inicial θ o o 3 15 e θ4 80 2 Cálculo da Função fθ no ponto Inicial 1 3 4 f θ θ 180 150cos80o 80cos60o 200cos15o 2 7 1 3 8 2 3 4 f θ θ 150sen 80o 80sen 60o 200sen 15o 26675 3 Cálculo da 1a Estimativa de θ3e θ4 f 1θ3 θ4 0 e f 2θ3 θ4 0 f 1 θ3 o L3sen θ3 200sen 15 51764 f 1 θ4 o L 4sen θ4 150sen 80 147721 Mecanismos Simples Mecanismo Articulado de 4 Barras Método NEWTONRAPHSON Exemplo 2 Resolução Continuação 3 Cálculo da 1a Estimativa de θ3e θ4 f 2 θ3 o L3cosθ 3 200cos15 193185 f 2 θ4 o L4cosθ4 150cos80 26047 51764Δ θ3 147721Δ θ4 27138 193185Δ θ3 26047Δ θ4 26675 Δ θ3 01189 rad 6812 o Δ θ4 01420 rad 8136 4 Atualizar os valores de θ 3 e θ4 o θ θ Δ θ 15o 6812o 21812o 3 3 3 θ θ Δ θ 80o 8136o 71864o 4 4 4 PUCMINAS ENG AERONÁUTICA ENG MECÂNICA Cinemática dos Mecanismos Unidade 03 Mecanismos Articulados Classificação e Funcionamento Mecanismos Simples Mecanismo Articulado de 4 Barras Método NEWTONRAPHSON Exemplo 2 Resolução Continuação 5 Realizar a 2a Iteração f 2 θ3 o 200 cos 21812 185682 f 2 θ4 o 150 cos 71864 46691 74312Δ θ3 142548Δ θ4 1009 185682Δ θ3 46691Δ θ4 1046 Δ θ 0 0 0 4 4 rd 0252 o θ θ Δ θ 21812o 0252o 21560o 3 3 3 3 Δ θ 00048rd 0275o θ θ Δ θ 71864o 0275o 72139o 4 4 4 4 f 1 180 150cos71864 o 80cos 60o 200cos21812 o 1009 f 2 150sen 71864o 80sen 60o 200sen 21812o 1 0 4 6 f 1 θ3 o 200sen 21812 74312 f 1 θ4 o 150 sen 71864 142548 Mecanismos Simples Mecanismo Articulado de 4 Barras Método NEWTONRAPHSON Exemplo 2 Resolução Continuação 5 Realizar a 3a Iteração f 2 θ3 o 200cos21560 186007 f 2 θ4 o 150cos72139 46006 73495Δ θ3 142771Δ θ4 0000329 186007Δ θ3 46006Δ θ4 0006594 Δ θ 0000041 rd 000235o 3 Δ θ4 0000024 rd 000138 o 3 θ 21560o 000235o 215577o 4 θ 72139o 000138o 721377o f 1 180 150cos72139o 80cos60o 200cos21560 o 0000329 f 2 150sen 72139o 80sen 60o 200sen 21560o 0006594 f 1 θ3 o 200sen 21560 73495 f 1 θ4 o 150 sen 72139 142771 PUCMINAS ENG AERONÁUTICA ENG MECÂNICA Cinemática dos Mecanismos Unidade 03 Mecanismos Articulados Classificação e Funcionamento Mecanismos Simples Mecanismo Articulado de 4 Barras Método NEWTONRAPHSON Exemplo 2 Resolução Continuação θ o 200cos215577 186010 f 2 θ4 o 150cos721377 46010 73488Δ θ3 142769Δ θ4 0000040 186010Δ θ3 46010Δ θ4 0000171 3 Δ θ 000000113 rd 00000647o 4 Δ θ 000000086 rd 00000049 o 1 6 Realizar a 4a Iteração f 180 150cos721377 o 80cos60o 200cos215577o 0000040 f 2 150sen 721377o 80sen 60o 200sen 215577o 0000171 f 1 f 2 θ3 3 o 200sen 215577 73488 f 1 θ4 o 150sen 721377 142769 PUCMINAS ENG AERONÁUTICA ENG MECÂNICA Cinemática dos Mecanismos Unidade 03 Mecanismos Articulados Classificação e Funcionamento Mecanismos Simples Mecanismo Articulado de 4 Barras Método NEWTONRAPHSON 7 Verificar se a solução satifaz f 1 180 150cos7213769 o 80cos60o 200cos2155764 o 0000092 f 2 150sen 7213769 o 80sen 60o 200sen 2155764o 0000015 Exemplo 2 Resolução Continuação 6 Realizar a 4a Iteração o o o θ3 215577 00000647 215576353 o o o θ4 721377 00000049 721376951 8 Como o erro está dentro da janela de incerteza desejada devese interromper o processo Resultado final θ 215576353 o 3 θ4 721376951 o Mecanismos Simples Exercício 3 Considere o mecanismo articulado de 4 Barras apresentado na figura abaixo Sabendose que o ângulo de entrada θ2 é igual a 45o e considerando L1 300 mm L2 100 mm L3 250 mm e L4 200 mm determine o ângulo de transmissão g e o ângulo de saída θ4 ObsUtilize a metodologia analítica Mecanismos Simples Exercício 4 Considere o mecanismo articulado de 4 Barras apresentado na figura abaixo Sabendose que o ângulo de entrada θ2 é igual a 60o e considerando L1 300 mm L2 100 mm L3 250 mm e L4 200 mm desenvolver um algorítmo computacional na linguagem que desejar ex C MatLab Python etc para determinar o ângulo da manivela θ3 e o ângulo de saída θ4 utilizando o Método de NEWTONRAPHSON Lembrete Verificar se o sistema usa radianos ou graus f 1θ3 θ4 L 1 L 4 cos θ4 L 2 cos θ2 L 3 cos θ3 f 2θ3 θ4 L4sen θ4 L2sen θ2 L3sen θ3 000001 f θ 000001 o o Usar θ 330 e θ 4100