Mapa Conceitual com Base no Texto

21 21 VIDYA v 32 n 2 p2135 juldez 2012 Santa Maria 2012 ISSN 0104270 X Professor do Instituto Federal SulRioGrandense IFSUL Campus Pelotas e aluno de doutorado do Programa de Pósgraduação em Educação para Ciência na Universidade Estadual Paulista UNESP Campus de Bauru Email xmontoitoigcombr Professor Doutor Mestrado Profissional em Ensino de Física e de Matemática UNIFRA email leivasjcunifrabr RESUMO O texto que se segue de abordagem piagetiana tem por objetivo discutir como se dá a representação do espaço na criança e as principais características das relações que compõem este processo as relações topológicas projetivas e euclidianas Consiste de uma pesquisa bibliográfica ao se concentrar em textos relacionados aos estudos de Piaget seus colaboradores e seguidores Visando melhorar o ensino de geometria principalmente na préescola e nas séries iniciais propomosnos a recapitular e ilustrar alguns conceitos da teoria de Piaget os quais servirão para elucidar ainda mais cada uma das citadas relações e discutir algumas atividades que podem ajudar na construção do pensamento matemático no que tange à geometria Palavraschave Piaget Representação do Espaço na Criança Relações Topológicas Relações Projetivas Relações Euclidianas ABSTRACT The study has a Piagetian approach and aims to discuss how the representation of space to children takes place as well as the main characteristics of the relationships that comprise this process the topological projective and Euclidean relations It consists of a literature review by focusing on some texts related to Piagets studies his collaborators and followers With the objective to improve the teaching of geometry especially in preschool and early grades it revises and illustrate some concepts of Piagets theory which may serve to further elucidate each of those relationships and to discuss some activities that can help in the construction of mathematical thinking with respect to geometry Keywords Piaget Space representation to children Topological relations Projective Relations Euclidean Relations A REPRESENTAÇÃO DO ESPAÇO NA CRIANÇA SEGUNDO PIAGET OS PROCESSOS MENTAIS QUE A CONDUZEM À FORMAÇÃO DA NOÇÃO DO ESPAÇO EUCLIDIANO THE REPRESENTATION OF SPACE TO CHILDREN ACCORDING TO PIAGET MENTAL PROCESSES THAT LEAD THEM TO THE FORMATION OF THE CONCEPT OF EUCLIDEAN SPACE Rafael Montoito José Carlos Pinto Leivas 22 Um Pouco da Teoria de Piaget Devido à grande quantidade de obras escritas por Piaget e seus colaboradores e também às inúmeras apropriações feitas e publicadas sobre seus estudos ao longo dos anos vemonos no início deste trabalho com necessidade de recapitular algumas ideias da sua teoria a fim de deixar claro ao nosso leitor quais abordagens estaremos fazendo ao longo do texto pois é importante ressaltar nem tudo que se lê sobre e se atribui a Piaget é condizente com aquilo que ele e sua equipe pesquisaram e defenderam Por meio da teoria hoje conhecida como Epistemologia Genética o biólogo Piaget tentou explicar o desenvolvimento humano e sua condição mental ou seja tentou desvendar como se dá a evolução da inteligência humana e para guiar suas pesquisas baseouse em pressupostos da biologia da lógica e da epistemologia Enquanto Bertrand Russell tem como questões básicas de toda a teoria do conhecimento as perguntas O que conhecemos e Como conhecemos Piaget vai formular uma só pergunta ainda mais básica a partir da qual vai poder propor uma resposta às anteriores Esta tal pergunta é Como um sujeito passa de um estado de menor conhecimento para um de maior conhecimento FERREIRO GARCIA 1975 p 11 tradução nossa Piaget não realizou seus estudos considerando a educação propriamente dita mas sim o desenvolvimento mental bem como as estruturas lógicas da formação da inteligência e do conhecimento Tendo como ponto de partida os primeiros dias de nascimento suas observações concluíram que se forma na criança e com o passar do tempo no adolescente e no adulto de modo que este processo é infindo estruturas operatórias que se relacionam e formam novas estruturas sendo que estas muitas vezes abarcam as anteriores modificandoas significativamente A inteligência humana para Piaget é um processo de construção e é sobretudo a soma de constructos mentais em formas de equilibração ou seja o caráter da reversibilidade que nada mais é que a possibilidade de saber proceder num retorno ao ponto de início É entender o deslocar no equilíbrio de ir e vir mentalmente um desconstruir e reconstruir O sujeito inteligente é o sujeito tocado afetado pelo mundo na conformidade interna biopsíquica em que se processa o conhecer mediado pela lógica da ação ajustada nas linguagens O caráter da inteligência é como o do rizoma que por todos os lados se entra se liga se estrutura e se estende se conjuga A inteligência é múltipla diversa é tecida pela rede de conhecimentos de compreensões do possível imaginável da possibilidade de ser de modos diversos apresentado reapresentado PACHECO DE VASCONCELOS 2010 p 5 Vêse então que o processo de aquisição da inteligência não é simples bem como não o é a sua verificação nas distintas etapas que o ser humano vivencia Na procura por padrões que o ajudariam a desvendar as nuances deste processo Piaget e seus colaboradores criaram para cada tema investigado uma sequência de testes Entretanto para explicar a busca de estruturas intelectuais em diferentes níveis não há como padronizar testes 23 23 logo o método clínico da observação e experimentação é o mais viável já que o comportamento não é o mesmo para todos Assim são criadas oportunidades de vivenciar novas experiências priorizando qualidade rejeitando a mensuração pois as diferenças individuais não seriam percebidas por meio de testes padronizados para a compreensão do desenvolvimento intelectual DE SOUZA 2010 p 3 Para Piaget a criança constrói seu conhecimento por meio de uma experimentação ativa ou seja experienciando os objetos sem formar conceitos sobre estes pois isto só ocorrerá mais tarde Por meio da experiência física a criança conhece os objetos conforme os vai manipulando o que a leva a descobrir propriedades materiais que podem ser notadas através da observação e do tato Para que ocorra de fato o aprendizado é necessário que a criança já possua um certo nível de abstração o qual é a base para uma estrutura organizada da inteligência A fim de verificar tudo isso a epistemologia genética pretende ser ciência e proceder consequentemente como as demais ciências formulando perguntas verificáveis Os procedimentos de verificação serão em função da pergunta e a verificação empírica se imporá reiteradamente para conhecer a gênesis real de certas noções processos de inferência formas elementares de raciocínio etc FERREIRO GARCIA 1975 p 13 tradução nossa Para explicar o desenvolvimento humano Piaget DE SOUZA 2010 divide sua teoria em cinco processos mentais assimilação e acomodação estes quando elaborados simultaneamente conduzem à adaptação à organização e à equilibração Em linhas gerais podemos explicá los como se segue A assimilação é um fator que consiste ao sujeito pois é o processo de compreensão de algo Utiliza o conhecimento prévio que tem sobre o assunto A acomodação é a superação por esforço cognitivo próprio Adaptar é assimilar e acomodar um determinado conhecimento simultâneo A totalidade desse processo é a organização da estrutura mental A equilibração cognitiva é o autorregular do pensamento ao utilizar sobretudo o pensamento reversível DE SOUZA 2010 p 4 Há que se considerar ainda no processo de desenvolvimento da inteligência humana um outro fator importante a reversibilidade Por meio desta o pensamento tornase móvel e dinâmico unindose a outros conhecimentos e desdobrandose em partes de modo que as transformações sobre os objetos passam a ser entendidas como atos mutáveis que podem ser corrigidos e ou transformados indo do ponto de partida até o final fazendo o caminho inverso ou compreendendose como se dá a ação em pontos isolados do processo total da transformação O conhecimento de algo não é mais um ponto de chegada isolado mas é reconhecido como parte de uma associação mental que pode ser percorrida no caminho inverso A teoria de Piaget possui três aspectos de fundamental importância o conteúdo a estrutura e a função o primeiro diz respeito a dados comportamentais no que concerne à forma de pensar no que se pensa e como cada indivíduo age a função está intimamente ligada 24 à inteligência pois referese à adaptação mental no que diz respeito aos processos de assimilação e acomodação uma vez que ela assimila e acomoda do novo ao velho e viceversa definindo o comportamento inteligente DE SOUZA 2010 p 3 a estrutura por sua vez é colocada entre o conteúdo e a função uma vez que organiza as situações entre eles e explora biologicamente o desenvolvimento da inteligência através de fatores biológicos e hereditários Nas palavras de Flavell as estruturas são as propriedades organizacionais da inteligência organizações criadas através do funcionamento e inferíveis a partir de conteúdos comportamentais cuja natureza determinam FLAVELL apud DE SOUZA 2010 p 4 Além disso a teoria aponta também a divisão de três períodos também chamados estádios de desenvolvimento do pensamento o da inteligência sensóriomotora de 0 a 2 anos o da preparação e da organização das operações concretas de 2 a 11 anos e o das operações formais de 11 a 15 anos No segundo período encontramos duas subdivisões bastante importantes o estádio préoperacional de 2 a 7 anos e o estádio das operações concretas de 7 a 11 anos É importante ressaltar que embora esta regularidade tenha sido observada em muitas crianças que participaram dos testes aplicados e também em crianças de outras nacionalidades quando a teoria de Piaget foi aplicada e verificada por outros pesquisadores em diferentes países do mundo pode haver algumas discrepâncias nas idades observadas com relação aos estádios pois cada ser humano é único unitário e complexo e com isto apresenta diferentes maneiras de perceberse e interagir com o mundo O que Piaget garante é que mesmo com pequenas variações de idade todo indivíduo terá sua inteligência desenvolvida a partir de um estágio3 de equilíbrio sendo necessário que ocorra o desequilíbrio entre sujeito e objeto para que no processo de equilibração seja produzido o conhecimento da situação explicando assim a construção das estruturas mentais por meio do progressivo equilíbrio entre o assimilar e o acomodar DE SOUZA 2010 p 4 É preciso deixar claro que desde os níveis mais elementares do desenvolvimento o conhecimento jamais é uma cópia passiva da realidade externa pálido reflexo da transformação social mas sim criação contínua assimilação transformadora FERREIRO GARCIA 1975 p 15 tradução nossa Além disso a divisão por estádios justificase porque o homem normal não é social da mesma maneira aos seis meses ou aos vinte anos de idade e por conseguinte sua individualidade não pode ser da mesma qualidade nesses dois diferentes níveis PIAGET apud DE LA TAILLE 1992 p 12 e é por causa desta diferenciação que se faz necessário saber especificamente o que procurar observar em cada estádio vivenciado pelo ser humano No processo de ensino e aprendizagem o professor deve encorajar a independência das crianças sua curiosidade e suas iniciativas ajudandoas a ter confiança na sua habilidade 3 O termo estágio corresponde ao termo estádio em diferentes literaturas sobre o tema 25 25 de construir sua própria ideia das coisas deve também permitir que as crianças se expressem com convicção e lutem construtivamente com seus medos e ansiedades de modo a não se desencorajarem facilmente Este princípio claramente sobrepõe se a implicações cognitivas da teoria Piagetiana ilustrando uma vez mais quão inseparáveis são estes aspectos do desenvolvimento A autonomia é então emocional social moral e intelectual ao mesmo tempo De qualquer forma o uso da inteligência no indivíduo depende em grande escala de como efetivamente ele se sente imaginando coisas o quanto ele se satisfaz buscando curiosidades intelectuais e como ele se sente sobre seus erros Estas considerações socioemocionais são extremamente importantes em si mesmas e no desenvolvimento cognitivo visto que a inteligência quanto mais usada mais é desenvolvida KAMII DEVRIES 1992 p 39 A pergunta que nos fazemos agora é como esta teoria e todas suas nuances pode ajudar o professor a refletir sobre como se dá a formação dos conceitos geométricos na criança e sobre como ela lidaobservase relaciona com os entes matemáticos nas aulas de geometria Algumas considerações sobre isso serão feitas a seguir A Representação do Espaço na Criança O ensino de Geometria tem sido ao longo dos anos negligenciado nas salas de aula Vários estudos SADDO PAVANELLO apud SCORTEGAGNA BRANDT 2008 comprovam que este conteúdo é frequentemente relegado em várias séries e quando ensinados são ministrados superficial e simploriamente sem estabelecer conexões com outros conteúdos da matemática e com outras disciplinas Isto ocorre porque muitos professores têm deficiência em sua formação inicial com relação à geometria mas também porque muitos livros didáticos deixamna para os últimos capítulos o que a faz ficar prensada nos últimos dias do atribulado ano letivo brasileiro que possui todas as dificuldades que já conhecemos Na maioria das vezes o que se percebe nos tratamentos que se dá na escola à geometria é o uso da representação dos entes matemáticos anteriormente à sua construção contrariamente ao preconizado pelos estudos de Piaget e seus seguidores Para Piaget e Inhelder 1993 as relações topológicas vêm em primeiro lugar seguidas das relações projetivas e euclidianas e esta sequência admite coordenações entre ações cada vez em grau maior de complexidade como por exemplo nas ações que determinam reta ângulo paralelas coordenadas e isso em geral não é visto na construção geométrica na escola básica Para os autores podese compreender então que a representação espacial é uma ação interiorizada e não simplesmente a imaginação de um dado exterior qualquer resultado de uma ação p 474 Nas séries iniciais por não se sentirem à vontade para trabalhar com o conteúdo os professores limitam sua abordagem ao reconhecimento das figuras planas mais comuns e à introdução de fórmulas para o cálculo de áreas o que não leva à construção de conceitos ao relacionamento dos conteúdos entre si e destes com os das demais disciplinas ou com a realidade do aluno PAVANELLO apud SCORTEGAGNA e BRANDT 2008 p 1 26 No entanto todo instinto animal já supõe uma geometria observem as figuras regulares das células de uma colmeia ou de uma teia de aranha e toda a morfogênese a qual em parte prolonga o instinto é uma criação contínua de formas elaboradas em conexão com o meio PIAGET 1975 p 140 Deste modo se a geometria é tão natural por que há tão grande dificuldade em aprendêla e em ensinála Obviamente as noções geométricas como qualquer outro conhecimento desenvolvem se aos poucos respeitando as demais redes cognitivas que o ser humano vai tecendo na sua compreensão do mundo e assim como foi referido anteriormente auxilia na modificação destas à medida que se forma Para Piaget a causa dos fracassos da educação formal da Matemática decorre do fato de se iniciar pela linguagem ao invés de fazêlo pela ação real e material desenvolvida de forma sistemática e ininterrupta durante todo ensino fundamental É neste sentido que a Matemática incluindo a Geometria não deve ser ensinada como se tratasse de verdades acessíveis somente por meio da linguagem A chegada à abstração é imprescindível pois finalizam uma série ininterrupta de ações concretas anteriores SCORTEGAGNA BRANDT 2007 p 6 Não queremos dizer com isso que para ensinar bem os professores devem menosprezar a força das palavras Não temos nada contra o desenvolvimento da linguagem De fato estamos a favor O que estamos dizendo é que quando ensinamos palavras às crianças temos que darnos conta que tudo que estamos fazendo é ensinando palavras Nós também precisamos ter cuidado em não ensinar palavras de maneira que paralise o pensamento Palavras contribuem para o desenvolvimento cognitivo mas não de maneira exagerada como o positivismo lógico levanos a acreditar Como Furth 1996 evidenciou em sua pesquisa sobre crianças surdas linguagem não é mesmo necessária para o desenvolvimento das operações concretas KAMII DEVRIES 1992 p 42 Para os professores encaminharem um bom trabalho em sala de aula no sentido de não só desenvolverem atividades com situações concretas mas com aquelas que envolvem processos de abstração eles precisam conhecer os processos mentais que cada aluno vivencia em cada estádio e tendo isto por base tentar desenvolver atividades que reconstruam os conhecimentos que devem ser ensinados adaptados às estruturas e idades adequadas O primeiro espaço que a criança vivencia é postural e orgânico PACHECO DE VASCONCELOS 2010 p 4 ou seja o corpo é o seu movimento Somente depois é que ela vai diferenciar outros corpos diferentes do seu e estabelecer relação de longeperto maiormenor na frenteatrás igualdiferente etc Por fim há a conquista de um espaço perspectivo que demanda os transversamentos de estruturas e esquemas que pervertem a materialidade concreta para adentrar em estratégias do signo nas suas nuances lógicomatemáticas e assim ascender a um espaço euclidiano PACHECO DE VASCONCELOS 2010 p 4 esta é a conquista sígnicológica Piaget e Inhelder 1993 explicam como se dá 27 27 esta mudança gradativa na percepção do espaço em seu livro A Representação do Espaço na Criança no qual descrevem como a criança sai das relações topológicas passa pelas relações projetivas e chega às relações euclidianas É este processo que comentaremos resumidamente nos parágrafos que se seguem Para eles as estruturas perceptivas ou sensóriomotoras constituem o ponto de partida uma vez que se constituem a partir do contato direto com os objetos e posteriormente é que ocorre a construção representativa do espaço pois que evoca a imagem do objeto em sua ausência Ela somente ocorre muito depois do aparecimento da linguagem e da representação as quais ocorrem mais ou menos simultaneamente à percepção e motricidade 1 Relações topológicas são as primeiras construídas pela criança e dizem respeito às características dos objetos em si mesmos revelando suas relações de vizinhança perto ou longe do observador objetos perto ou longe uns dos outros separação distinguir elementos uns dos outros e partes do todo envolvimento perceber numa sequência linear ou cíclica um elemento entre outros e saber reproduzir esta sequência bem como perceber as relações de dentro e fora para figuras planas e formas tridimensionais continuidade perceber que uma linha ou superfície é ou não interrompida e ordem a qual se divide em duas partes a ordem perceptiva e a ordem representativa A ordem perceptiva consiste em perceber vizinhanças separação de elementos vizinhos e um sentido de percurso ao traduzir elementos em ordem linear cíclica ou inversa e a representativa consiste em realizar separações que deslocam as vizinhanças perceptivas permitindo reconstituílas e resultam da coordenação das ações de deslocar transportar mentalmente e recolocar aos poucos na qual o sentido do percurso deve se manter constante durante os transportes e deve dirigilos de modo a conservar ou restabelecer as vizinhanças que foram deslocadas SCORTEGAGNA BRANDT 2008 p 3 Nos testes planejados para esta fase Piaget pedia para as crianças reconhecerem através do tato sem ver o objeto a forma cuja réplica estava ao seu lado ou seja tocar num objeto e ver o seu idêntico atribuindo a eles a relação de paridade Dentre os objetos havia aqueles comuns ao dia a dia da criança chave lápis bala tesoura etc e outros que representavam formas geométricas regulares ou não triângulo quadrado círculo oval meio círculo com diâmetro dentado etc O resultado observado foi que o sujeito compreende a questão colocada pois mostrase apto a reconhecer a maior parte dos objetos usuais apresentados Mas quando se trata de formas geométricas não consegue reconstituir a figura do conjunto e segundo tenha tocado uma figura com limite curvo ou reto ou uma ponta assimila a forma apalpada a uma forma visual que apresenta o mesmo caráter parcial sem preocuparse com as outras partes da figura nem procurar reconstruir a estrutura total PIAGET INHELDER 1993 p 3839 Devido a isso por exemplo ao tocar o círculo dentado algumas crianças relacionavamno com o triângulo uma vez que o tato as enganava fazendoas priorizar apenas a ponta bicuda que sentiam Leivas 2009b p 62 afirma Faz sentido atualmente iniciar a construção do espaço infantil pelas intuições topológicas sendo esse 28 o objetivo principal deste artigo acreditando que muito ganhamos na construção do espaço geométrico da criança Sugere ainda atividades ilustrando algumas propriedades topológicas que podem ser desenvolvidas nesse nível de ensino A faixa de Möebius é uma superfície rica para ilustrar por exemplo a propriedade de continuidade a qual geralmente é feita ao final do ensino fundamental médio e até mesmo no superior Leivas 2008 2009a apresenta resultados de uma investigação com alunos de uma Licenciatura em Matemática com tal propósito Conclui com a pesquisa que os resultados das provas aplicadas comprovam que propriedades topológicas são importantes para formação do professor de Matemática as quais não são estudadas em geral em tal formação Na fase das relações topológicas não há pois o reconhecimento das formas euclidianas 2 Relações projetivas são aquelas que coordenam os objetos em relação uns aos outros e que levam em conta todos os pontos de vista sem conservar inicialmente as distâncias e as dimensões como um sistema de coordenadas pois o ponto de vista a princípio é considerado como único Nos testes desta fase as crianças utilizam muitas vezes termos que conhecem para se referir às figuras geométricas de modo que telhado da casa equivale a triângulo roda remete a círculo etc A exploração tátil difere um pouco da do nível anterior porque a criança já não sente mais a necessidade de seguir com os dedos todo o contorno das figuras mas descobre ao acaso alguns elementos que as caracterizam e atribuem significado a eles como os dentes do círculo dentado por exemplo que o faz diferirse de todas as outras formas analisadas no mesmo teste O resultado de tais progressos na atividade perceptiva é que não somente as relações topológicas que intervêm durante essas experiências são inteiramente dominadas mas ainda há o início de diferenciação entre as formas curvilíneas e retilíneas sendo estas reconhecidas por seus ângulos Em resumo há sempre oposição entre as duas grandes classes das figuras sem ângulos ou curvilíneas e das figuras com ângulos ou retilíneas mas o conteúdo de cada uma dessas duas classes permanece muito pouco analisável PIAGET INHELDER 1993 p 45 Este nível intermediário entre os que se caracterizam pelas relações topológicas e euclidianas é fortemente caracterizado por um começo de abstração habilidade esta que será mais aprofundada e desenvolvida no nível seguinte No entanto durante os testes para esta fase os quais compreendiam desenhos feitos pelas crianças depois que estas manipulavam os objetos é possível perceber que esta habilidade totalmente inexistente no nível anterior começa a manifestarse O trecho abaixo que explica melhor algumas características das relações projetivas comenta as reações de Leo e Lam crianças que participaram dos testes feitos por Piaget O caráter diferencial que marca a passagem das relações topológicas nesse início de distinção das relações euclidianas é certamente constituído pela análise do ângulo não é a reta como tal que é oposta pela criança às formas curvilíneas mas o complexo de retas que constitui o ângulo Ora a descoberta do ângulo não é tipicamente 29 29 uma abstração a partir do objeto Como mostrou Volkelt os desenhos ou modelagens desse nível apresentam com frequência e independentemente de toda estereognosia4 um caráter polissensorial simultaneamente tátil cinestésico e visual a palavra de Leo é alguma coisa que finca é uma definição do ângulo que ilustra ao mesmo tempo a tese de Volkelt e o papel da acomodação ao objeto na constituição dessas primeiras formas representativas euclidianas Mas nem tudo é dito assim para compreender o ângulo à maneira das duas retas que se cortam desenho de Lam e sobretudo para incoporálo no conjunto de uma figura fechada é questão que a criança o reconstitua e essa reconstituição supõe precisamente uma abstração a partir da ação e não mais unicamente do objeto O ângulo é a esse respeito o resultado de dois movimentos do olhar ou da mão que se juntam ou do afastamento entre um movimento de ida e o movimento de volta e é necessário evocar essas noções que englobam a de reta para ultrapassar a simples impressão de alguma coisa que finca O objeto com suas propriedades de espaço físico desempenha pois com certeza um papel na diferenciação das formas euclidianas mas essas propriedades são assimiladas ao mesmo tempo graças à construção prévia das relações topológicas a um sistema de movimentos coordenados do qual o desenho constitui uma das manifestações PIAGET INHELDER 1993 p 465 Ainda analisandose os desenhos notase alguma confusão entre o ponto de vista da criança e o do observador revelando representações diferentes das que seriam corretas no que concerne às perspectivas Isso ocorre porque para representar corretamente é necessário que a criança tome consciência do seu próprio ponto de vista e para isso é preciso se dar conta que ele se situa entre os outros ou seja diferencia se dos outros coordenandoos com eles É à medida que a criança leva em consideração o ponto de vista alheio que compreende o seu SCORTEGAGNA BRANDT 2008 p 3 o que ainda não ocorre totalmente neste nível Segundo Battro 1976 da mesma forma que as noções elementares de vizinhança e separação nas relações topológicas conduzem a uma geometria do objeto a criança precisa coordenálas de modo a estabelecer uma geometria do espaço e afirma que a coordenação mais simples e primitiva consiste em referir tudo ao ponto de vista próprio Indo mais além indica que todo processo que conduza a uma descentralização levará então a uma coordenação dos diversos pontos de vista p 208 209 O autor exemplifica como elaborar a reta projetiva em uma atividade que pode ser levada a efeito com crianças por volta de sete anos a qual consiste em tomar dois pontos A e Z balizas fixas e alinhar um conjunto de objetos que podem ser representações de postes de telefone por exemplo tudo disposto em uma mesa Os resultados são indicados na figura 3 adaptada pelos autores no GeoGebra de Battro 1976 p 209 4 Estereognosia é a percepção que utiliza apenas o tato como meio de reconhecimento de objetos 5 A leitura do 5º do item 1 da Primeira Parte de A Representação do Espaço na Criança deixará claro para quem quiser aprofundarse no assunto os testes aplicados às crianças e os pensamentos e as reações destas durante os testes 30 3 Relações euclidianas apesar de não se importar com medidas até os nove anos de idade a criança já antes vive envolvida com elas pois sabe comparar sua altura com a dos colegas tem consciência de que não alcança um objeto que está num nível bem mais alto que ela etc Esta construção informal do conceito de medida gera a compreensão da ideia de distância da qual surge por sua vez as relações euclidianas DE SOUZA 2010 É neste período que a criança transfere os conhecimentos topológicos para os euclidianos passa do espaço para o plano Nesta fase adquiremse os conceitos através da noção dos objetos no espaço projetase o espaço no plano visualizase a ideia do objeto DE SOUZA 2010 p 11 Desse modo a geometria plana euclidiana é utilizada para a representação plana de objetos com visualização espacial Outra característica importante desta fase é a coordenação operatória Uma operação é uma ação suscetível de voltar ao seu ponto de partida e de fazer composição com outras segundo esse duplo modo direto e inverso É interessante observar que mesmo nesse domínio das ações elementares que são os movimentos de exploração tátilcinestésica a atividade perceptiva é suscetível de se complicar graças ao auxílio das representações cada vez melhor diferenciadas que repercutem sobre elas após têlas engendrado até dar lugar ao redor de 78 anos isto é na idade normal das primeiras operações concretas a uma tal coordenação reversível a qual se apresenta sob uma forma muito simples mas a observação mostra precisamente que ela permanecia inacessível até este nível a do retorno sistemático ao ponto de partida de modo a agrupar todos os elementos de uma figura em torno de um ou mais pontos estáveis de referência PIAGET INHELDER 1993 p 51 Ao final da análise Piaget concluiu que o espaço topológico percebido quando as crianças têm em torno de 2 anos serve de base para a construção das relações projetivas e euclidianas sendo que estas são interdependentes e que as relações euclidianas formamse no indivíduo até a idade de 78 anos em média Utilizar mapas como o do Brasil na figura abaixo para colorir apenas com quatro cores é uma atividade que pode ser útil para o desenvolvimento da percepção de vizinhança talvez a mais elementar e que independe de medidas e é mais adequada ao indicado nas pesquisas de Piaget e Inhelder Figura 1 Resultados da elaboração da reta projetiva 31 31 Uma segunda ilustração de atividade que independe de medidas e portanto antecede às noções euclidianas na concepção piagetiana consiste do conjunto de anéis da figura 3 a qual pode auxiliar na compreensão da segunda relação topológica mais elementar a de separação Nela são apresentados três anéis sobrepostos para a criança investigar o que ocorre se for removido um dos anéis Conforme a maturidade da criança a investigação pode ser também a seguinte Há algum par de anéis ligados entre si Além desta E os três anéis estão ligados entre si CONSIDERAÇÕES FINAIS PENSANDO NO ENSINO DE GEOMETRIA Conforme podemos perceber o caminho que o pensamento percorre das relações topológicas às relações euclidianas se dá em grande parte antes de a criança entrar no primeiro ano do ensino fundamental No entanto hoje em dia muitas crianças frequentam a préescola e até mesmo foi inserido no currículo nacional um ano a mais anterior ao primeiro ano O medo ao qual nos referíamos dos professores com relação ao ensino de geometria presente em quase todos os anos de escolarização também pode ser evidenciado nos professores da préescola Não é nem de longe nosso objetivo criticálos ou desmerecêlos mas o fato é que na tradição escolar estes anos são dedicados ao conhecimento das primeiras letras à contagem das primeiras unidades e a trabalhos que desenvolvam a motricidade Mas se a criança nesta idade segundo as pesquisas de Piaget já está formando suas relações espaciais é preciso que os professores estejam atentos para incentivá las neste processo e trabalhar atividades que auxiliem a construção destas noções Piaget ressalta bastante o trabalho cooperativo A figura do adulto para a criança pode algumas vezes passarlhe uma ideia de coação o que não ocorre quando as crianças fazem atividades umas com as outras Este tipo de atividade conjunta representa uma etapa obrigatória e necessária da socialização da criança Todavia se somente houvesse coação não se compreenderia o desenvolvimento das operações mentais A cooperação necessária a esse desenvolvimento tem seu início segundo Piaget nas relações entre as crianças daí a simpatia que ele sempre teve pelos trabalhos em grupo como Figura 3 Conjunto de anéis Foto dos autores Figura 2 Mapa do Brasil Fonte httpwwwwallsystemcombrnovo imgmapabrasil2jpg 32 alternativa pedagógica Mas por que as relações entre crianças representam o ponto de partida da cooperação Ora simplesmente pelo fato de que não há hierarquias préestabelecidas entre as crianças que se concebem iguais umas às outras DE LA TAILLE 1992 p 20 Trabalhar cooperativamente não significa somente deixar as crianças em grupos manipularem blocos lógicos ou brinquedos de formas geométricas que se encaixam Os professores da préescola muitas vezes enfatizam que a criança aprende manipulando objetos A distinção empiristaPiagetiana sugere que devemos olhar esta afirmação e perguntar o que e como a criança aprende através da manipulação de objetos Isto faz uma grande diferença em nossos métodos de ensino se admitirmos do ponto de vista empirista que a criança simplesmente absorve informação sensorial através de suas manipulações ou na concepção Piagetiana que as manipulações implicam em si mesmas processos de raciocínio KAMII DEVRIES 1992 p 1213 Vimos que as crianças manipulam objetos e dão nomes a eles telhado roda etc Estas formas geométricas assim reconhecidas podem ser trabalhadas por meio de desenhos de narrativa de histórias de brincadeiras em grupo colagens etc Não cremos que seja preciso mudar o que os professores da préescola e das séries iniciais fazem com seus alunos mas sim focar estas atividades com outras intenções Jogando bolinha de gude por exemplo as crianças observam o que acontece quando batem umas nas outras Este conhecimento físico não pode ser construído só com símbolos mesmo se a criança tivesse um nível de representação de estudante de 2º grau Jogando com bolinhas de gude as crianças também estruturam seus conhecimentos lógicomatemáticos Por exemplo elas notam que juntando as bolinhas podem atingilas melhor do que quando dispersas Elas também estruturam melhor seu espaço antecipando e verificando a direção na qual as bolinhas rolam Assim acreditamos na manipulação de objetos por razões que não têm nada a ver com a inabilidade das crianças mais novas em usar palavras e imagens Mesmo se a criança estiver perfeitamente apta para trabalhar com palavras e imagens nós ainda insistiremos em usar objetos reais Uma vez que o conhecimento é construído atuando na realidade e transformandoa crianças devem trabalhar com a própria realidade e palavras e imagens não podem substituir KAMII DEVRIES 1992 p 44 Outros bons exemplos de como trabalhar as relações topológicas projetivas e euclidianas sem se preocupar com o uso exato de definições e termos matemáticos o que seria inadequado para esta idade é o trabalho de Scortegagna e Brandt 2008 no qual as pesquisadoras desenvolvem atividades tendo como acionador cognitivo a narrativa do conto Chapeuzinho Vermelho As autoras adaptam a atividade e solicitam que as crianças desenhem a casa do personagem com figuras geométricas e que busquem as relações topológicas envolvidas No primeiro capítulo do livro Organização dos Tempos e dos Espaços na Infância Leivas 2009 elabora um material a ser utilizado para um curso de Pedagogia a Distância no qual introduz propriedades topológicas elementares com atividades simples para serem utilizadas pelos professores da Educação Infantil bem como outras propriedades topológicas não apenas elementares 33 33 o que contribuiu de forma significativa na formação dos pedagogos que o utilizaram segundo avaliações em diversas edições da disciplina à qual o material se destinou O livro Las Matemáticas de los Cuentos y las Canciones de María Dolores Saá Rojo mostra que as histórias infantis e algumas canções têm um grande potencial para trabalhar ainda na tenra idade conteúdos e noções matemáticas com os alunos A autora mostra que até mesmo as relações topológicas as primeiras que as crianças desenvolvem segundo Piaget estão presentes em histórias que nossas crianças conhecem Por exemplo em O patinho feio o patinho se refugia debaixo de uma árvore em Bambi o animalzinho faz vigia no alto de uma colina em Dumbo o elefante pisa primeiro a orelha direita e depois a esquerda etc O trabalho de Rojo abre portas diferenciadas para um trabalho sobre relações binárias ordenação de uma coleção conjuntos quantificadores todos alguns estimação e comparação de quantidades relações espaciais formas e tamanhos formas geométricas e não geométricas etc Auxiliar as crianças a formarem as noções de representação do espaço é o começo de uma educação que alicerçará a compreensão da geometria nas próximas séries seja essa plana ou espacial com a aquisição de outras habilidades ou operações como a de continuidade por exemplo Assim a intuição das formas geométricas incluindo dimensões vai se estabelecendo Não é curto o caminho da formação do pensamento formal o qual é hipotéticodedutivo ou seja capaz de deduzir as conclusões de puras hipóteses e não somente através de uma observação real até porque se o conhecimento matemático sobre geometria fosse baseado estritamente na observação não haveria geometria tal como é ensinada Em efeito o que queremos dizer quando atribuímos à natureza a posição de retas círculos e outras formas geométricas particulares Com toda segurança elas não existem no estado de realização completa pois tanto as emissões de energias quanto as estruturas da matéria são descontínuas a horizontal que caracteriza o nível de água tranquila não se assemelha absolutamente com uma reta quando examinada no microscópio etc As retas ou elipses etc são pois constituídas por linhas de forças ou pelas trajetórias dos corpúsculos desprovidos de uma estrutura geométrica simples Mais precisamente quanto mais se avança na análise microfísica do espaço mais se complica a geometria dos elementos da realidade dizer por exemplo que esta geometria não é arquimediana é dizer que as formas métricas elementares não estão representadas nela Em resumo as formas geométricas simples que descobrimos na natureza como o plano a esfera produzida por uma bolha de sabão os diversos poliedros constituídos por cristais etc sempre são relativas a certa escala de observação e traduzem a geometria do observador bem como as propriedades da matéria observada PIAGET 1975 p 163 Da préescola até o ensino médio o aluno passa então gradativamente da geometria tátil e real para a formalização desta tornandose independe de objetos à mostra e até mesmo de desenhos de modo que se vê capaz de visualizá la apenas mentalmente esta é a distinção entre o real e o possível e se formos pensar no possível tendo como base as estruturas das relações espaciais expostas por Piaget e a equilibração que novas experiências infringem sobre as anteriores talvez seja possível chegarmos até o ensino de geometrias não euclidianas O estado do Paraná foi o primeiro estado brasileiro a levar 34 estes conteúdos para a sala de aula Caldatto 2011 conta que as novas propostas curriculares do estado do Paraná inseriram há pouco tempo atividades que despertam nos adolescentes a curiosidade e o interesse o estudo das geometrias hiperbólica elíptica projetiva e dos fractais Isto parece possível porque diante de um problema o adolescente procura imaginar todas as relações possíveis para resolvêlo escolhe procedimentos analisa logicamente e experimenta Tudo isso mostra um pensamento elaborado científico e não só empírico As conquistas do desenvolvimento acontecem do geral para o específico enquanto a criança percebe o aqui e o agora o adolescente visa generalizações para um futuro remoto DE SOUZA 2010 p 10 Entendemos que podem ser tomados como problemas as seguintes perguntas É possível traçarmos um triângulo cuja soma dos ângulos seja sempre maior que 180º Dada uma reta e um ponto fora dela é possível que passemos por este duas retas paralelas à reta dada diferentes entre si ou Dada uma reta e um ponto fora dela é possível que não haja nenhuma reta paralela à reta dada passando por ele Há muitas dissertações teses e artigos Cavichiolo 2011 Brito 1995 Camargo 2012 que nos últimos anos têm falado sobre as geometrias não euclidianas e sobre atividades para abordálas em sala de aula Devemos pensar melhor em como ensinar esses assuntos Precisaríamos de mais pesquisas sobre a teoria de Piaget e intervenções práticas para podermos afirmar se depois das relações euclidianas construídas seria possível pensarmos em ensinar geometrias não euclidianas por meio de uma abordagem piagetiana Isto fica para um trabalho futuro O que podemos afirmar até aqui é que sem pensarmos em como se dá a construção do espaço na criança e sem dedicarmos atenção a este processo o ensino de geometria é falho e sem alicerce apenas armazenará conhecimentos de uma maneira frágil sem significados ou interconexões apenas com o objetivo de cumprir o programa escolar isto se considerarmos que a geometria chegue mesmo às salas de aula e não apareça apenas como anotações nos cadernos de registros escolares REFERÊNCIAS BATTRO A M O pensamento de Jean Piaget Rio de Janeiro Editora Forense Universitária Ltda 1976 BRITO A de J Geometrias nãoeuclidianas um estudo históricopedagógico 1995 Dissertação Mestrado em Educação Universidade Estadual de Campinas UNICAMP Campinas 1995 CALDATTO M E O Processo Coletivo de Elaboração das Diretrizes Curriculares para a Educação Básica do Paraná e a Inserção das Geometrias Não Euclidianas 2011 Dissertação Mestrado em Educação para a Ciência e o Ensino de Matemática Universidade Estadual de Maringá Maringá 2011 CAMARGO K C A A Expressão Gráfica e o Ensino das Geometrias Não Euclidianas 2012 144 f Dissertação Mestrado em Ciências e em Matemática Universidade Federal do Paraná Curitiba 2012 CAVICHIOLO C V Geometrias Não Euclidianas na Formação Inicial do Professor de Matemática o que dizem os formadores 2011 164 f Dissertação Mestrado em Educação Universidade Federal do Paraná Curitiba 2011 35 35 DE LA TAILLE Y O lugar da interação social na concepção de Jean Piaget In DE LA TAILLE Y DE OLIVEIRA M K DANTAS H Piaget Vygotsky Wallon teorias psicogenéticas em discussão São Paulo Summus 1992 DE SOUZA K B Piaget e a construção de conceitos geométricos Revista Temporis ação v 1 n 9 2007 Disponível em wwwneeuegbrseer indexphptemporisacaoar ticleview3049 Acesso em 03 mar 2010 FERREIRO E GARCÍA R Apresentação In PIAGET Jean Introdución a la epistemologia genética el pensamiento matemático Buenos Aires Paidos 1975 KAMMI C DEVRIES R Piaget para a educação préescolar Porto Alegre Artes Médicas 1992 LEIVAS J C P A aprendizagem de noções topológicas para classificação de quadriláteros na Licenciatura em Matemática In SEMINÁRIO DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO DA REGIÃO SUL 7 Anais Itajaí 2008 Imaginação Intuição e Visualização a riqueza de possibilidades da abordagem geométrica no currículo de cursos de licenciatura de matemática 2009 294 f Tese Doutorado em Educação Universidade Federal do Paraná Curitiba 2009a Organizando o espaço geométrico por caminhos topológicos Rev Vidya v 28 n 2 2009b PACHECO E D DE VASCONCELOS P A C Crise espaço e representação Bocc ISSN 1646 3137 Disponível em wwwboccuffbrpag vasconcelospaulocriseespacopdf Acesso em 03 mar 2010 PIAGET J Introdución a la epistemologia genética el pensamiento matemático Buenos Aires Paidos 1975 INHELDER B A representação do espaço na criança Porto Alegre Artes Médicas 1993 ROJO M D S Las matemáticas de los cuentos y las canciones Madri Editorial EOS 2002 SCORTEGAGNA G M BRANDT C F O professor e seu papel na construção do espaço pela criança In ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 9 Anais Belo Horizonte 2007 Contribuições dos estudos piagetianos para a elaboração de uma situação de ensino voltada para a aprendizagem da geometria In SEMINÁRIO DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO DA REGIÃO SUL 7 Anais Itajaí 2008 RECEBIDO EM 12072012 APROVADO EM 03102012 A Representação do Espaço na Criança segundo Piaget Relações topológicas Epistemologia Genética Aspectos da inteligência Iniciase com Relações projetivas Evolui para Relações euclidianas Culmina em Inteligência humana Desenvolve Piaget Criada por Biologia Se baseia em Propôs Dados comportamentais Conteúdo Adaptação mental Função Geometria na Educação Real e abstrato Transita entre Assimilação e Acomodação Inclui Lógica Estrutura Conteúdo e Função Organiza Estádios do desenvolvimento Descreveu incluem Inteligência sensório motora Operações concretas Operações formais Ações concretas Depende de Processos de abstração Transformamse em Processos de abstração Processos mentais da criança Deve respeitar Idade e estruturas cognitivas Considera Ações reais Por meio Formação necessita profissionais Práticas tradicionais para superar Epistemologia Ações reais Por meio Idade e estruturas cognitivas Considera Processos mentais da criança Deve respeitar Processos de abstração Relações euclidianas Relações projetivas Relações topológicas A Representação do Espaço na Criança segundo Piaget Processos de abstração Depende de Ações concretas Evolui para Iniciase com Epistemologia Genética Desenvolve Criase por Inteligência humana Se baseia em Biologia Piaget Lógica Epistemologia Práticas tradicionais para superar profissionais Formação Real e abstrato Geometria na Educação Transita entre Aspectos da inteligência Conteúdo Dados comportamentais Função Adaptação mental Inclui Estrutura Organiza Conteúdo e Função Assimilação e Acomodação Estádios do desenvolvimento Inteligência sensóriomotora Operações concretas Operações formais