4ª Aula: Retas e suas Propriedades

4º Aula Retas Objetivos de aprendizagem Ao término desta aula vocês serão capazes de desenvolver cálculo para obter o ponto de uma reta compreender como é a reta quando as componentes de um vetor são nulas estabelecer características que indicam o ângulo de duas retas Prezadosas alunosas Nesta aula estudaremos equação da reta retas paralelas aos planos e aos eixos coordenados e condições de duas retas Ainda indicação dos pontos e vetores que possibilitam formar uma reta propriedades de uma reta ortogonal Características que determinam o ângulo entre as retas Bons estudos Álgebra Linear e Geometria Analítica 24 1 Equação da reta 2 Retas paralelas aos planos e aos eixos coordenados 3 Condições de duas retas 1 Equação da reta Uma reta r passa pelo ponto A e tem a mesma direção do vetor conforme fi gura 1 É necessário que os vetores e sejam colineares para que um ponto P do espaço pertença à reta Fig 1 Projeção da reta Fonte STEINBRUCH Alfredo Geometria analítica 1987 p 99 Isto é x y z x1 y1 z1 t a b c essa equação é dada desta maneira apenas quando P x y z A x1 y1 z1 e a b c é denominada equação vetorial da reta r O vetor a b c é chamado vetor direto da reta r e t é denominado parâmetro Cada valor de t corresponde um ponto particular de P Exemplo determinar a equação vetorial da reta r que passa pelo ponto A 3 0 5 e tem a direção do vetor 2 2 Designado por P x y z um ponto genérico dessa reta temse P A t Isto é x y z 3 0 5 t 2 2 1 Quando t varia de a P descreve a reta r Assim se t2 x y z 3 0 5 2 2 2 1 x y z 3 05 4 4 2 x y z 7 4 7 O ponto P 7 4 7 é um ponto de reta r A cada ponto P r corresponde um número real t Por exemplo sabese que o ponto P 7 4 7 pertence a reta R x y z 3 0 5 t 2 2 1 Logo é verdadeira a afi rmação 7 4 7 3 0 5 t 2 2 1 para algum número real t Seções de estudo Após a igualdade obtémse t 2 2 1 7 4 7 30 5 t 2 2 1 4 4 2 2t 2t 1t 4 4 2 Com a defi nição de igualdade de vetores temos t2 Equação paramétrica da reta Tendo 0 um sistema de coordenadas P x y z A x1 y1 z1 abrange um ponto genérico r e um ponto dado a b c um vetor de mesma direção de r Da equação vetorial x y z x1 y1 z1 t a b c chegase Na equação acima a b e c não são todos nulos essas são designadas equações paramétrica da reta r relacionadas ao sistema de coordenadas fi xado A reta r é o conjunto de todos os pontos x y z Exemplo as equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto A 3 1 2 e é paralela ao vetor 3 21 são Ao atribuir um valor particular para t é possível obter um ponto desta reta t 6 Ou seja o ponto 15 13 8 é um ponto da reta r Equação simétrica da reta Ao relacionar a equação a a seguir supondo que abc 0 é possível obter a equação b Equação a Equação b Essas equações são denominadas equações simétricas de uma reta que passam por um ponto A x1 y1 z1 e tem direção a b c Exemplo as equações simétricas da reta que passa pelo ponto A 3 0 5 e tem direção do vetor 2 2 são A condição para que três pontos A1 x1 y1 z1 A2 x2 y2 z2 e A3 x3 y3 z3 estejam em linha reta é que os vetores e sejam colineares isto é 25 m para algum m IR Ou Exemplo os pontos A1 5 2 6 A2 1 4 3 e A3 7 4 7 estão em linha reta De fato substituindo as coordenadas dos pontos nas equações tem se ou 2 Retas paralelas aos planos e aos eixos coordenados As equações a e b representam uma reta r determinada por um ponto A x1 y1 z1 e por um vetor diretor a b c Até o momento as componentes do vetor eram diferentes de zero entretanto uma ou duas dessas componentes podem ser nulas A fi gura 2 demonstra um caso com vetor possui a0 ortogonal ao eixo X e paralelo ao plano yz onde a reta r é paralela ao plano dos outros eixos e as coordenadas x y z de um ponto P da reta r variam somente y e z Fig 2 Coordenadas com a 0 Fonte STEINBRUCH Alfredo Geometria analítica 1987 p 110 A fi gura 3 mostra as coordenadas de um ponto genérico P x y z da reta e variam somente x e y Fig 3 Coordenadas com c 0 Fonte STEINBRUCH Alfredo Geometria analítica 1987 p 111 No caso de duas das componentes de serem nulas o vetor tem a direção de um dos vetores 1 0 0 ou 0 1 0 ou 0 0 1 portanto a reta r é paralela ao eixo que tem a direção de ou ou A fi gura 4 demonstra coordenada com duas componentes nulas Fig 4 Coordenadas com ab0 Fonte STEINBRUCH Alfredo Geometria analítica 1987 p 112 3 Condições de duas retas Sejam as retas r1 que passa pelo ponto A1 e tem direção de um vetor 1 e r2 que passa pelo ponto A2 e tem direção de um vetor 2 Nomeiase ângulo de duas retas r1 e r2 o menor ângulo de um vetor diretor de r1 e de um vetor diretor de r2 logo sendo ᴓ este ângulo tem se Cos ᴓ com 0 ᴓ Ou em coordenadas Cos ᴓ As condições de paralelismo das retas r1 e r2 é a mesma dos vetores 1 e 2 que defi nem as direções dessas retas Ou seja 1 m 2 Caso a reta r1 passe pelos pontos A1 e B1 e a reta r2 passe por A2 e B2 a direção de r1 é obtida pelo vetor 1 a direção de r2 é obtida pelo vetor 2 a condição de paralelismo de duas retas é dada por As condições de ortogonalidade das retas r1 e r2 é a mesma dos vetores 1 e 2 isto é o que defi ne as direções dessas retas 1 20 ou a1a2 b1b2 c1c2 0 Exemplo tendo as retas r1 y3 r2 Álgebra Linear e Geometria Analítica 26 A direção de r1 é dada pelo vetor 1 8 0 6 a direção de r2 é dada pelo vetor 2 3 5 4 e a condição de ortogonalidade de duas retas é a1 b1 a2 b2 a3 b3 0 8 x 3 0 x 5 6 x 4 24 0 24 0 Através dessas informações é possível provar que as retas r1 e r2 são ortogonais A reta r1 que passa pelo ponto A1 e tem direção de um vetor 1 e a reta r2 que passa pelo ponto A2 e tem direção de um vetor 2 são coplanares se os vetores 1 2 e forem coplanares ou seja se o produto misto for nulo conforme a fi gura 5 1 2 0 Fig 5 Vetores coplanares Fonte STEINBRUCH Alfredo Geometria analítica 1987 p 121 Exemplo r1 r2 As retas acima são coplanares a reta r1 passa pelo ponto A1 2 0 5 e o vetor que defi ne a sua direção é 1 2 3 4 A reta r2 passa pelo ponto A2 5 3 6 e o vetor que defi ne sua direção é 21 1 3 O vetor denominado pelos pontos A1 é 7 3 1 A condição de coplanaridade das retas r1 e r2 é que o produto misto seja nulo ou seja 1 2 0 Duas retas r1 e r2 no espaço podem ser coplanares ou seja estão situadas no mesmo plano A fi gura 6 apresenta retas coplanares concorrentes que tem o ponto I sendo o ponto de interseção das retas r1 e r2 Fig 6 Retas coplanares concorrentes Fonte STEINBRUCH Alfredo Geometria analítica 1987 p 123 A fi gura 7 mostra retas coplanares paralelas onde ø é o conjunto vazio Fig 7 Retas coplanares paralelas Fonte STEINBRUCH Alfredo Geometria analítica 1987 p 124 Quando a reta não está situada no mesmo plano ela é denominada reversa conforme a fi gura 8 Fig 8 Retas reversas Fonte STEINBRUCH Alfredo Geometria analítica 1987 p 124 Interseção de duas retas Duas retas r1 e r2 coplanares e não paralelas são concorrentes r1 y 3 x 2 z 3x 1 r2 x t y 1 2 t z 2 t E determinamos o seu ponto de interseção Se I x y z é este ponto suas coordenadas satisfazem o sistema formado pelas equações de r1 e r2 isto é I x y z é a solução do sistema 27 Y 3x 2 Z 3 x 1 X t Y 1 2 t Z 2 t Eliminando t nas três últimas equações temos o sistema equivalente Y 3 x 2 Z 3 x 1 Y 1 2x Z 2 x Ao resolver o sistema encontrase X 1 Y 1 Z 2 Logo o ponto de interseção das retas r1 e r2 é I112 Reta ortogonal a duas retas Sejam as retas r1 e r2 não paralelas com as condições dos vetores 1 e 2 respectivamente Qualquer reta r simultaneamente ortogonal as retas r1 e r2 terá um vetor diretor paralelo ou igual ao vetor 1 x 2 conforme a fi gura 9 Fig 9 Demonstração de Retas e vetores Fonte STEINBRUCH Alfredo Geometria analítica 1987 p 128 Exemplo determinar as equações da reta r que passa pelo ponto A 2 1 3 e é ortogonal comum as retas R1 x 2 t Y 1 2 t Z 3 t R2 y 2 Solução as direções de r1 e r2 são defi nidas pelos vetores 1 1 2 3 e 2 3 0 1 então a reta r tem a direção do vetor 1 x 2 2 8 6 Ao escrever as equações simétricas de r obtémse Retomando a aula Parece que estamos indo bem Então para encerrar esta aula vamos recordar alguns pontos importantes 1 Equação da reta Nessa seção estudamos sobre propriedades que determinam se um ponto P no espaço pertence à reta e particularidades da equação da reta com vetores não nulos 2 Retas paralelas aos planos e aos eixos coordenados Nesse item vimos particularidades da equação da reta com um ou dois vetores nulos Quando duas componentes do vetor são nulas este tem a mesma direção de ou ou 3 Condições de duas retas Nesse item abordamos sobre características que determinam o ângulo de duas retas r1 e r2 qual a forma que possibilita obter a condição de paralelismo de duas retas Retas paralelas Disponível em httpsbrasilescola uolcombrmatematicaretasparalelashtm Acesso em 10 Out 2019 Posições relativas de duas retas Disponível em httpsmundoeducacaoboluolcombrmatematica posicoesrelativasduasretashtm Acesso em 10 Out 2019 Equação fundamental da reta Disponível em https wwwyoutubecomwatchvKjugJ3kIkU0 Acesso em 10 Out 2019 Vale a pena acessar Vale a pena