Aula 2: Integral por Substituição de Variável

2º Aula Integral por substituição de variável Objetivos de aprendizagem Ao término desta aula vocês serão capazes de compreender o método de substituição de variável resolver integrais por substituição de variável O Método de resolução de integrais por substituição de variável é de extrema relevância para resolução de diversas integrais que são aplicadas nas mais diferentes áreas do conhecimento assim tornase indispensável o estudo dos principais conceitos envolvendo esta metodologia Bons estudos 71 Calculo Diferencial e Integral II 12 teorema fica na forma Secées de estudo Foe xdx reo du FuC 1 Método de substituicao de variavel 2 Exemplos exercicios e aplicagdes Por exemplo sabemos que a Regra Simples da Poténcia a sy dada por fxar com n1 usada quando a funcao é n 1 Método de substituicdo de variavel expressa como potfacia de x somente Vejamos outros tipos de fungoes Conforme a autora Rabah 2009 esse processo é analogo a regra da cadeia para derivagao muitas vezes a Para calcular temos que encontrar fx tal que fx simples identificagao das fundes permite fazer a substituicao 2xx2 13 dat mentalmente na mudanga de vatiavel no entanto escrevemos os calculos intermediatios ele 4x 12x Regra da Cadeia O papel da substituicdo na integracao comparavel ao da Regra da Cadeia na diferenciacio LARSON ef ai geet een Dividir ambos os membros por 4 1998 Lembrese de que se y Fu e u gx sao fungdes diferenciaveis a Regra da Cadeia diz que eal a f2xx 1 dr Integrando iF gx Fgxgx Note 2x no integrando ele é exatamente x 1 2 Da nossa definiao de antiderivada segue que Fazendo x 1 1 temos du2x dx logo Fgg de Fgx C EX Como descrito por Rabah 2009 enunciamos esse resultado no teorema abaixo 4 2 3 3 du i Teorema Antiderivada de uma Funcgao Composta axl 1 dx fu a dx fu du 4 C Sejam f e g fungodes tais que fog e 9 sao continuas em um intervalo I De F é uma antiderivada de f em I entao t ccmeetete t Feo xdx FgxC Existem diversas técnicas para aplicar a substituiao cada D aa Regra Geral da Poténcia para u funcao uma ligeiramente diferente da outra O objetivo no entanto é diferenciavel de x fica o mesmo com qualquer técnica estamos tentando encontrar uma antiderivada do integrando FLEMMING GONGALVES 1992 guts Me SWOKOWSKI 1994 Ju oa ae 3 COMED nd Observe que 0 teorema nao diz como distinguir entre fgx e gx no integrando SWOKOWSKI 1994 A medida Fonte Elaborado pelo autor que vocé adquire experiéncia em integracdo sua habilidade em identificar as funcdes aumenta FE claro que familiaridade Exemplos exercicios aplicagoes com derivadas é fundamental UNIVERSIDADE DE SAO PAULO s d Abaixo segue alguns exemplos de integrais que foram Os Exemplos a seguir mostram como aplicar 0 resolvidas utilizando a substituiao de variavel teorema direfamente teconhecendo a presenca de fgx e de 5 aes x da fungao nterna da composiao a 3Gx14 de Gx14 3defu4 du a i fungado Derivadada externa funcdo interna u3x1 v Y 43 aun3K J fgg de FgQQC a ft 2 or by fQxrtDe2 0de fle 2 0x4 de fudu 402 9 4 fungdao 2 2 interna ee Fonte Elaborado pelo autor ery aa Bess OBS Seu gx esctevemos du gx dxeaintegralno ld 13 73 3 x jot Frat Para feaea tt son DB 248 2x7c Valea pena assistir u 2 al x areaitie Integral de uma Funcio Mudanca de Variavel o Disponivel em httpswwwyoutubecom 4 watchPvzd9RLGOxIA4 8 jg r Jl 287 Any ae fu P C C ay Célculo I Aula 26 23 Método da substituicio w x wil mudanca de vatidvel Disponivel em httpswww a 43 3 gu dee youtubecomwatchvPAIZIcWnZo Calculo I Aula 26 33 Exemplos de substituiao Disponivel em httpswwwyoutubecom p Retomando a aula watchvR2PC55Gtu54 Calculo Diferencial e Integral Método de Integragao pot Substituicio de Varidvel Disponivel em https as wwwyoutubecomwatchvctSyKp7tlsQ Chegamos ao final da segunda aula Vamos recordar 4 Minhas anotacdes bee EE 1 Método de substituigao de variavel oO Na secao 1 vimos a definicao do método de substituicao de variavel onde a forma geral de integral é di nei fut Pae 5 C comn 1 comn1 i po 2Exemplos exercicios e aplicagées Em nossa ultima secao da aula 2 vimos a tesolucio detalhada de integrais por substituigao de variavel ee yp Vale a pena pe MG fo Pp Vale a pena ler Mudangea de variavel regra da substituiéo Disponivel em httpscutsosimeunicampbrdisciplinascalculo tecnicasdeintegracao mudancdevariaveismudanede variavelregradasubstituicao4 EE pp