Integral Definida: Conceitos e Aplicações

Integral definida 5 58 85 85 8 A integral definida é de extrema relevancia para a aplicagao em determinar a Area entre curvas ou o volume de um sdlido dentre outros casos a integral definida associa limites reais no calculo da integral a Bons estudos FY 4 Objetivos de aprendizagem Ao término desta aula vocés serao capazes de estudar as integrais definidas compreender o teorema fundamental Calculo Diferencial e Integral II 26 3 Secdes de estudo Li et Ra EF A135 wa 0 2 2 2 1 Integral definida 2 Teorema fundamental do calculo Neste exemplo nao utilizamos 0 conceito de integral pois a area era um triangulo portanto Integral definida A Bh sa A integral definida esta associada ao calculo da area do 2 grafico de uma funcao entre dois numeros dados A geometria Veja o desenvolvimento a seguir é ineficaz para o calculo da area do grafico de uma fungao para esse fim utilizase o conceito das integrais definidas y fx LARSON ef a 1998 Podemos determinar a area de regides simples como poligonos e circulos usando formulas geométricas conhecidas E para as demais regides como podemos calcular A saida utilizarmos 0 conceito de Integral Definida que nada mais do que a area da regiao delimitada pelo grafico de y Regido sob o grafico de f f pelo eixo x e pelas retas x a e x b UNIVERSIDADE x DE SAO PAULO sd A notacao é dada por Fonte Elaborado pelo autor b a Limite inferior de integragao Vamos tentar preencher esta area com retangulos o J Sede com b Limite superior de integracao y fx v ha Veja 0 grafico abaixo devido a problemas técnicos todos os Yy retangulos tocam a curva fx em um ou dois pontos E nunca a ultrapassam a eid Yip Zi Vy Lp Fonte Elaborado pelo autor i ae V1 Temos um poligono nao regular que quase preenche x a Area A formado por retangulos de base Ax e altura fx portanto A Ax FLEMMING GONCALVES a b 1992 Fonte Elaborado pelo autor Note que quanto menor Ax maior o nimero de Exemplo tetangulos 1m mais proximo da area sob a curva vai estar a Plo area do poligono logo quando Ax 0 temos n 00 Calcule a area da figura formada sob a curva da fungao Avoig 2 A SWOKOWSKI 1994 fx 3x no intervalo x 0 3 Dai vamos expandir 0 conceito de Integral Definida pata Resolucao a n y A fxax fim fxAx a Ou seja a area sob a curva é a somatoria das areas dos 9 retangulos de area fx Ax quando Ax 0 en n de retangulos oo t x Z 2Teorema fundamental do calculo Fonte Elaborado pelo autor 27 8 Seja f uma funcao continua em a b e Ax a area compreendida entre a e x temos 1 ass 1 07 10 1 0 0 1 se eae ee e ae see 1 ae y 2 jena Fl as 2s se S y foo hs Ge 3 3 3 3 J6x Sde J6x7de Sde6xde sax 45352 2 2 2 2 2 1 tg GO GOP Fc respon il BY 257025 45 6f ca 535 2692 15 10 541625 7025 45 Ws b x Exercicios Calcule as seguintes integrais definidas 10 3 24 1 ex 3 18 xAx Ree 5 2 hseaza COS 2x dx Fonte Elaborado pelo autor 3 ee eh ge 4 senxCOSx dk 1 1 1 A Temos fx Ax Wet pelo limite fx é 1 t 9 timicum 2 derivada da integral Ax 5 jexdx 107 onde 6 ik Sx6 dx Ax Fx C Def de Integral 0 10 0 3 x4 para Sx Fx fx Detivada da Integral fe fs vara wos Aa 0 portanto 0 Fa C CFa 2 an 7 dx 27 onde Dai Ax Fx C Ax Fx Fa x Logo Ab Fb Fa portanto temos fos nmx0 senx para Oxa Ab f fxde FWF Teorema Fundamental do Calculo notacao mais comum Retomando a aula b b ly J fae Fx Fb Fa a Chegamos ao final da quinta aula entdo vamos Com F a integral de fx recordar I bonne Propriedades das Integrais Definidas 1 Integral definida t Na secao 1 vimos a definicio e as propriedades das 1 Pesiep k focjax jks cle integrais definides onde me b b 6 5 2 P4 ge f Fede f ga a a a eee A J Fxdbe lim fs b b 3 fde fxde fede aeb a a c 2Teorema fundamental do calculo 4 J Fxde 0 Vimos as propriedades e a demonstragao do teorema fundamental do calculo sendo 4 a 5 J fde J fae a 5 5 fae Fox Fb Fa Exemplos Calculo Diferencial e Integral II 28 Sh Vale a pena alk ae VS Vale a pena ler Reviséo das propriedades das integrais definidas Disponivel em httpsptkhanacademyorgmath apcalculusababintegrationnewab66adefinite integralspropertiesreview ee Vale a pena assistir Calculo Integral integral definida e célculo de area Disponivel em httpswwwyoutubecomwatchvl DaksKIOYo Propriedades da Integral Definida Disponivel em httpswwwyoutubecomwatchvnf5eUjYbrM Calculo I Aula 19 Integral Definida Teorema Fun damental do Calculo Disponivel em httpswwwyou tubecomwatchvpJpUMUJILpk Sp Minhas anotades 6º Aula Cálculo de área Objetivos de aprendizagem Ao término desta aula vocês serão capazes de compreender a aplicação da integral definida determinar a área entre curvas a partir da integral definida As integrais definidas serão aplicadas para a determinação de áreas abaixo de uma curva e ou a área entre duas curvas Bons estudos 89 Calculo Diferencial e Integral II 30 vezes fica mais facil obter a formula para a area se pensar Secoes de estudo geometricamente fazendo um esboco Em alguns casos talvez seja mais conveniente escolher retangulos horizontais 1 Cadlculo de reas de modo que a largura infinitesimal seja dy e a area total sera 2 Exemplos exercicios e aplicacées em funcao de y UNIVERSIADADE DE SAO PAULO sd 7 7 t i A 4 Calculo de areas 7 Exemplos exercicilOS aplicagoes os os Vamos supor duas curvas yfoyfos y0 e em Os exemplos e aplicagdes a seguir sao apresentados por um sistema de eixos ortogonais cuja interseccao entre estas Rabah 2009 cutvas se dé nos pontos Xxaxa e xbxb onde a cutva 1 Calcule a area sob a curva y x2 no intervalo 2 3 Jfofex esteja acima da curva ygxy2x no intervalo ab ab SWOKOWSKT 1994 O que queremos encontrar yx uma integral que possa representat a area definida entre estas curvas Um meio de pensarmos é adotar retangulos verticais ha iig SP 8 B28 18 de larguras infinitesimais A ASE 05 SSF G ea 3 x Of 23 Calculo da area entre duascurvas y atraves de integral Fonte httpswwwebahcombrcontentABAAAfiWUACnotasaulascalculo ii Acesso em 24 mar 2019 ygs 2 yeux fs Ajeu22 229 ja 7 2 3h 3 3 3 3 o y f x ola x a Er b x re Fonte httpswwwobaricentrodamentecom201805calculodeareaentre 2 Encontre a area limitada pela cutva y x 4x 1xO duascurvasatravesdeintegralhtmI Acesso em 25 mar 2019 X as retas xX lex3 y Os comprimentos dos retangulos sao variaveis a cada ponto dx e pode ser tepresentado por Se gesfosar que é ol 4 3 yx4x a distancia da curva inferior 4 curva superior FLEMMING GONCALVES 1992 A largura dos retangulos sao infinitesimais e representadas por dx Desse modo 0 elemento A de area é dado por dA Ufo g s J dx Fonte httpsimwtebahcombrcontentABAAAfWUACnotasaulascalculoiit ox P A area total da regiao sera dada pela soma das areas de affe seal P Saar Foe Zw3 2222 todos os retangulos de larguras infinitesimais no intervalo i sy US 8 als ab ab AdA 3 Encontre a area da regido limitada pelas curvas y A faax I leyx41 a y Woyxtl Integramos do limite inferior ao limite superior b de yxt1 modo que o incremento ou diferencial dx seja positivo Devemos assinalar também que ae b so os valores de xx pata os quais as duas fungdes tem o mesmo valor y ou seja ee x sao as solugdes da equagao f20 O ideal é a que a formula da integral seja construida a cada pr oblema pata que nio fi que algo mecanico e que assim FontetcattpswwnwebahcombrcontentABAAAfIWUACnotasaulascalculo possamos dominar 0 método LARSON et al 1998 Muitas 31 91 As curvas interceptamse nos pontos de abscissa1e2 Em nossa secao 1 vimos o calculo de area sob curvas entre curvas onde a area é definida pela integral inteirada No intervalo 1 2 x 1 x 1 Logo B 5 A Lf2 gx dx Bp a 92 sfar Ih ala 5526 5 4 a ra 2Exemplos exercicios e aplicagées Na seco 2 vimos a resolucao detalhada de exercicios de cAlculo de Areas por integrais Exercicios 1 Encontre a area da regiao limitada pela curva y x 2x 5x 6 0 eixo dos x e as retas x l ex 2 Resp 15712 ua Vale a pena 2 Encontre a area da regido limitada pela parabola y 2x 2earetay x5 Resp 18 a 4 we Vale a pena ler eS 3 Encontre a area da regiao limitada pelas curvas y x ale ap p y x 4x Resp 83 u y Resp 83 na Area entre curvas Disponivel em httpswww respondeaicombrconteudocalculoaplicacaode integrais areaenttecurvas495 4 Encontre a area da regiao limitada pelas curvas y x 6x 8x ey x 4x Resp 716 ua 5 Encontre a area da regido limitada pelas curvas y x 6eyx 0 e2yx0 Resp 22 ua ay e e Vale a pena assistir Area do circulo através de integral Disponivel em httpswwwyoutubecomwatchPpvLNyFfloCqg CALCULO 1 semana 5 aula 6 Integral Definida 8 area de uma regio abaixo do grafico Disponivel em ht tps 2vw5jgNOZy8 tpswwwyoutubecomwatchv wjgNOZy p Retomando a aula Integrais Definidas Calculo de Areas de figuras planas Disponivel em httpswwwyoutubecomwatchvr qY19TTtQ7o Integrais definidas e area negativa Matematica Chegamos ao final da sexta aula entdo vamos Khan Academy Disponivel em httpswwwyoutube comwatchvhxqHjyIXbBk recordar 1 1Calculo de areas 7º Aula Cálculo de Volume Objetivos de aprendizagem Ao término desta aula vocês serão capazes de compreender a aplicação da integral definida determinar o volume de um sólido de revolução aplicando as técnicas de discos circulares As integrais definidas serão aplicadas para a determinação de volumes especificamente de sólido obtidos a partir da revolução de uma figura plana Bons estudos 93 Calculo Diferencial e Integral II 34 Conforme Larson et al 1998 seja f continua em ab Secoes de estudo 0 volume V do sdlido de revolugao gerado pela rotacio da regiao delimitada pelos graficos de f de x a x b e do eixo x é dado por 1Solidos de revolucao b 2 Exemplos exercicios e aplicagdes eel ae AT e A férmula pode ser generalizada pata outras situacdes d Sdlidos de revolucdo pode serg P IA regiao R esta entre os graficos de duas funcgées Muitos dos sdlidos com que trabalhamos podem ser fx e gx de a até b obtidos através da rotagao de uma regiao plana em torno de um iX0 denominado eixo de rotagio UNIVERSIDADE Supondo fx 2 gx V x ab o volume do sélido T DE SAO PAULO s d A esfera por exemplo pode Sct gerado pela rotacao de R em torno do eixo dos x é dado por obtida girando um semicirculo em torno de um eixo que contenha o diametro do semicirculo Sdlidos obtidos dessa 9 forma sao chamados solidos de revolucao Dada certa regiio v mJ x i ex dx plana podese gerar uma infinidade de sdlidos de revolucao cada um deles obtido em funcao de um determinado eixo de rotacao FLEMMING GONCALVES 1992 ROGERIO e al 2009 Por exemplo fazendo a regiao limitada pelas retas y 0 y xey 4 girar em torno do eixo dos x 0 sdlido de y th NN revolucao obtido é um cone ROGERIO ef al 2009 WN Ki a yo9h zKWN K NW a 5 4 x xX Fonte httpwwwpfcunespbradrianacalculoIntDefCompacpdf Acesso em 28 mar 2019 Fonte httpwwwpfcunespbradrianacalculoIntDefCompacpdf Acesso em 28 mar 2019 II Ao invés de girar ao redor do eixo dos x a regiao R t d dos y Se o retangulo delimitado pelas retas x 0x 1 y BIA EMD NOETO CO EXO COS Y 0 ey 3 girar em torno do eixo dos y obtemos um cilindro Y Y Y 7 as 3k WN WN Z WN x 9 NN a 1 X 1 X Fonte httpwwwpfcunespbradrianacalculoIntDefCompacpdf Acesso 28 mar 2019 emawine Fonte httpwwwpfcunespbradrianacalculoIntDefCompacpdf Acesso em 28 mar 2019 Consideremos agora o problema de definir o volume do s6lido T gerado pela rotagéo em torno do eixo dos x da Neste caso temos regiao plana R LARSON ef a 1998 3 2 VnJgyF dy Y Y ie ny A OQ y A III A rotagao se efetua ao redor de uma reta WKUDM paralela a um dos eixos coordenados o Se 0 eixo de revolucao for a reta y L temos b VnJfxLf dx Fonte httpwwwpfcunespbradrianacalculoIntDefCompacpdf Acesso em 28 mar 2019 pneu Em matemiatica esse sdlido chamase Toro fi y fx 5 ce 1 WN a Fig 1 Fig2 i Fonte hepsjncruzime ufgbrup390CapC3ADtulo11pdf Acesso em 0S mar 4 b x Fonte shitty sewaripfcunespbradrianacalculointDefCompacpdf Acesso Neste cas 0 0 Tes ultado ser4 obtido calculandose a diferenca dos volumes de dois sdlidos de revolucao Se o eixo de revolucio for a reta x M temos SWOKOWSKI 1994 O volume procutado ea diferenca entre os volumes dos sdlidos gerados pela regio limitada por A y 24vV1 retas x1 e x1 e pelo eixo x e pela vneyMf ay tegiao limitada por 2 e tetas x1 e x1 lo et y24V1x tetas xlex e pelo eixo x e quando tiradas em torno do eixo x temos 1 2 1 2 M V n2 J1x dx n2 12 dx 1 1 ii beeen ov 2 1 2 2 v1 2 d gtad x 2 x Jax x f xdx 1 1 x gly Para resolver a ultima integral fagamos a substituiao 1 Tw x senu SSUS5 z e teremos que z 31 cos2u v8r cosu du 8 du 4n 2 x 2 2 Fonte httpwwwpfcunespbradrianacalculoIntDefCompacpdf Acesso em 28 mar 2019 3 Usando 0 método do disco circular calcule o volume do sdlido gerado pela revolucao da regiao sob a funcao y fx 2 Exemplos e aplicagdes no intervalo 12 Solugao 1 Calcule 0 volume do solido de revolugao obtido pela y 8 8 rotacdo em torno do eixo x da regiao limitada pela parabola fon yen fo xy 1 2e pelo eixo x a a Solugio p OD ee E 1 2 x A 3 ie rea plana 3 3 Elemento de volume Va nx 1 dxa I x42x1dx Fonte httpwwwprofessoresuffbrsaletewpcontentuploadssites111201708 9 9 a77pdf Acesso em 25 mar 2019 fxS 2x3 2 206m ven esl ae 2 2 2 ele 2 7 127 all fafdeaf Le Pde tire 20 1814315699unid vol 1 i 1 Fonte httpsjhcruzimeufgbrup390CapC3ADtulo11pdf Acesso em 27 mar 2019 4 Achar o volume gerado pela funao fx Va x 2 Calcule o volume do sélido obtido pela rotacio do la a disco y 2 xS 7 em torno do eixo x Solucao 4 Soluga4o Observe que o sdlido obtido através dessa rotacio figuras 1 e 2 tem o formato de uma camara de at de um Calculo Diferencial e Integral II 36 Be yeaa 5 Vale a pena a avy ey Semicirculo em rotagdo Solido gerado pela rotagao do Cy semicirculo Fonte httpwww Uff brsaletewpcontentuploadssites111201708 ote repli wn professores ft rsaletewpcontentuploadssites V al ea pe na e ry a 5 g Volume de um solido obtido por tevolugao Disponivel Ven JLfGoP ax nf a x J2de x a aaliide em httpscursosimeunicampbrdisciplinascalculo aa 5 5 aplicacoesdaintegralvolumedesoidoobtidopela n n a a n 243 rotacaoemtornodoeixoxedoeixoyvolumedeum solidoobtidoporrevolucao 514 3 s que é o volume da esfera gerada Exercicios lo 1 A regiao R limitada pela curva y 7 0 eixo dos xe Wale apena assistir as retas x 1 ex 4 gira em torno do eixo dos x Encontrar p vow sone 3 OW ay gerado Sdlidos de revolucao Disponivel em httpswww Resp V P uv youtubecomwatchv60Exf2eBir4 Solidos de revolucdo e anticlepsidra no GeoGebra 2 Calcular o volume do sdlido gerado pela rotacao em Disponivel em https youtubecomwatchv torno do eixo dos x da regiao limitada pela parabola y 3 GECoxIXmKU L X peta y ct 5 Calculo I Aula 24 Volumes de Solidos de Resp V 64 p5 u v Revolucao Disponivel em httpswwwyoutubecom tchPpvwq98IREKilc 3 Calcular o volume do sdlido gerado pela rotacio ware wa em torno do eixo dos x da regiao entre o grafico da fungao Jsenx eixo dos x de até Resp V p uv 1 Minhas anotaoes 4 A regiao R delimitada pela parabola x 5 pelas retas x7 y2 e y2 gira em torno da reta x7 Desenhe e determinar o volume do sélido de revolucao obtido Resp V 448 215 uv p Retomando a aula ne Chegamos ao final da sétima aula entdo vamos recordar 1 Se 1Sélidos de revolugao Vimos que um sdlido de revolugio uma figura solida obtida pela rotagao de um plano de curva em torno de alguma linha reta 0 eixo que se situa no mesmo plano 2 Exemplos exercicios e aplicagées Na secao 2 vimos uma tresolucao detalhada de exercicios calculo de volume por s6lidos de revolugao 8º Aula Centroide e momento Objetivos de aprendizagem Ao término desta aula vocês serão capazes de compreender a aplicação da integral definida determinar o centroide de figuras planas As integrais definidas serão aplicadas para a determinação das coordenadas do centroide de figuras sendo inicialmente a determinação da área e do momento estático da mesma Bons estudos 97 Calculo Diferencial e Integral II 38 elemento de area para calcular o centroide na maioria dos Secoes de estudo exercicios utilizase o formato retangular como elemento de area 1 Centroide e momento y 2 Exemplos exetcicios e aplicacdes y f Centroide e momento ax Frequentemente consideramos a fora peso dos corpos h como cargas concentradas atuando num unico ponto quando na realidade o que se passa que 0 peso uma forga distribuida isto é cada pequena porgao de matéria tem o seu proprio peso Esta simplificagao pode ser feita se aplicarmos a forca y concentrada num ponto especial denominado Baricentro a 7 Este ponto deve ter uma distribuicao de matéria homogénea em torno de si Tera importancia também a determinacio de b um ponto de uma superficie e nao somente de um corpo antes enetozy pow ecm ins tridimensional que tera uma distribuicéo homogénea de area om sheep fiw uh rirmifiles eometria das Massaspdf Acesso em torno de si UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA s d Vamos determinar as coordenadas do centroide Y Para Aeste ponto especial chamaremos de centroide ou Centro isso sao encontradas coordenadas do centroide do elemento de Gravidade CG Demonstrase que as coordenadas deste infinitesimal x y e a area do mesmo variando em telagao ponto serao obtidas no caso geral tomandose um elemento a x dAydx e y dAxd respectivamente EDWARDS de area dA e partindo do centroide deste elemento xel yel JR PENNEY 1997 FLEMMING GONCALVES 1992 fazemos a integracéo em toda a area A UNIVERSIDADE LEITHOLD 1986 FEDERAL DE JUIZ DE FORA s d Para determinar 0 X facamos 7 fxg ed x Xe X e dA ydx Yel faa b b x 6 Jxydx fxhdx n 2 1 x Jydx fhdx hx vs 0 0 Xe Para determinar o facamos LL x Fonte httpwwwufjfbrIrmfiles201005GeometriadasMassaspdf Acesso a em 27 mar 2019 As coordenadas deste ponto serao dadas pelas integrais IIIA abaixo h t f Xel s Yel x aa e Y aa Yel A integral IxdA conhecida como Momento Estatico de 1 ordem ou momento estatico de area em telacao ao eixo y ANTON 2000 SWOKOWSKI 1994 b Analogamente a integral yd A define o momento estatico de 1 ordem ou momento estatico de area em telacao ao eixo x Fonte httpwwwufjfbrIrmfiles201005GeometriadasMassaspdf Acesso GUIDORIZZI 1987 LARSON f al 1998 emi 27 mar 2019 7 me 2 Exemplos exercicios e aplicagoes 5 Data vexy dAxedy IN Considere o retangulo abaixo podese escolher qualquer 3h 3 Determinar as coordenadas do centro de gravidade da fy xdy J ybdy b 5 5 regido limitada pelas curvas y6x x 0 eixo x an 0 oh 1 7uh Temos yr h h y b y 2 h 2 Jx dy fo dy 0 0 0 y 6xx 0 Portanto t s ortanto temos y x6x0 x0 y Ate f 6 b2 b2 0 3 6 x h2 Fontehttpwwwprofessoresuffbrsaletewpcontentuploadssites111201708 a61pdf Acesso em 26 mar 2019 Ty h CG x Mx MxAy yp h2 A My My Ax yO an A b Calculo da area 6 3 6 2 2 Fonte httpwwwufjfbrIrmfiles201005GeometriadasMassaspdf Acesso A 6x x ja 3x em 27 mar 2019 0 0 A 36ua Onde CG 0 centro de gravidade da figura Calculo de Mx 2 Achar o centroide de uma semicircunferéncia A 1 5 equacao da circunferéncia é xy72 Mx 3 i 6x x Jox x Jax Temos que y 1 136x3 12x4 x y Mx 36x 12x3 4 ix 4 eS 24 2 3 45 y 4x Mx 1296 Calculo de My 6 My 6xx xe 2 2 5 6 3 4 Fontehttpwwwprofessoresuffbrsaletewpcontentuploadssites111201708 My le x Xx 3 Ja Ox x a61pdf Acesso em 26 mar 2019 0 3 4 0 My 1080 ar a4 any My 108 u4x x 3 A 36 ZA x fe a du 2x de po Me 1296 35 A 36 d CG3 36 2x 2 du 2 322 afew SLL ful du od we 2x 2 a 2 32 4Determinar as coordenadas do centro de gravidade da 2 140 limit i xty2 e y imei ul i Iery 0 como jé era esperado tegiao limitada pelas curvas jx xty2 e y0 no primeito 34 2 2 quadrante Temos Calculo Diferencial e Integral II 40 Pontos de inflexao gu La ya five 2 fda oe faa xtya2x2y 2 Exemplos exercicios e aplicagdes yx y 7 2 y 20 Na secao 2 vimos uma tesolucao detalhada de exercicios yotyre de determinacao das coordenadas do centroide i 2 desprezar t Vale a pena 42yy ky yp P SN ery 0 ss wy 2 3 a yy yp Tannen ee A2y f a 4 0 we panna ap Cs 6 Valea pena ler Fontehttpwwwprofessoresuff brsaletewpcontentuploadssites111201708 O calculo do centro de massa utilizando a integral a61pdf Acesso em 26 mar 2019 definida Disponivel em httpperiodicosiespedubr indexphpcampodosaberarticleview129 1 2 2yt My 2yy a ly 0 2 1 1 y 1 My52y y y fears y vw 2 13 os lo ome e Myt sy yyw 16 Vale a pena assistir eR 2 2 3 5 0 15 1 Mecanica dos Solidos Centroide CG 6 Integral Mx 2 yy oav Simples Disponfvel em httpswwwyoutubecom 0 watchvJsVPZQOdjmg 2 34 Centro de Massa Disponivel em httpswww Mx 2yy y jy youtubecomwatchvvTSI0zPSYO 9 Fisica I Como calcular momento de inércia de massa de 2y yy yf 5 corpo rigido extenso por integral aula 4 Disponivel em Mx 34 72 httpswwwyoutubecomwatchvLOM6Zjpzqx0 Ms 32 525 of 25 7 7 3514 5 M4 Referéncias p Retomando a a ula ANTON H Célculo um novo horizonte V 1 6 ed Bookman Porto Alegre 2000 Apostila de calculo IL Disponivel em wwwacivilnet combrFilesCalculo11Apostila20202009doc Chegamos ao final da oitava aula ento vamos Acesso em 21 mar 2019 oo eae AULA 6 Introducao a integracao Disponivel em httpswwwpasseidiretocomarquivo2579911 aula ey introducaoaintegracao Acesso em 18 mar 2019 1 Centroide e momento BUFFONL S S O Volume de Sélidos de Revolucao Disponivel em httpwwwprofessoresuffbrsaletewp Na seo 1 vimos que 0 centroide é 0 ponto associado content aproadlssites112201708a77 pat Acesso em a uma forma geométrica também conhecida como centto 1 www geométrico As coordenadas deste ponto serio dadas pelas cba ee J content ABAAAgh na an 4 integrais a seguir calculoivaula5 Acesso em 22 mat 2019