Integral de Funções Trigonométricas: Metodologia e Exemplos

4º Aula Integral de funções trigonométricas Objetivos de aprendizagem Ao término desta aula vocês serão capazes de estudar as integrais de funções trigonométricas integral por substituição trigonométrica O Método de resolução de integrais de funções trigonométricas é de extrema relevância para resolução de diversas integrais que são aplicadas nas mais diferentes áreas do conhecimento assim tornase indispensável o estudo dos principais conceitos envolvendo esta metodologia Bons estudos 79 Calculo Diferencial e Integral II 20 Analisaremos caso a caso das fungoes trigonométricas Secoes de estudo 1 Caso As integrais Ssenn ame Scosu dy J teu due Seoten du Secu du e Scossecu du ns As integrais indefinidas dessas fungdes estao indicadas 1 Integrais de funcgdes trigonométricas na tabela 2 Método substituicdes trigonométricas Exem los xemplos Integrais de fu ngoes trigonometricas Machado 2015 apresenta a resolucao das seguintes integrais indefinidas Ha uma tabela com integrais imediatas de funcdes trigonométricas que é amplamente usada para o estudo dessas 1 i 2cos xdx 2 J cosxdx 2senxC fungdes segue abaixo 2 J3x sen x dx sen x3x7 dx senu du oosudu senu C xeosmiG cosniaiG fos secucot gudu cossecuC ux Oe gg cary Seat senudu cosuC dx tgudu h secuC h cosuC J 3 jsen 2xetvsenu St fsenu du sec udu tguC eppuait eens cot gudu hsenuC 2 2 j u2x secutgudu secuC J ul du 2 a dx 2 secudu h secu tguC Jcossec udu cot gu C 4 82 ea feevx dx tgu2du x Joos secudu Incos secu cot gu C 2jtgu du 2Insec u C 2Insee vx C Vamos também recordar algumas das principais yxx2 Identidades Trigonomeétricas du 1 VY VY x2 s2dux 2d i 2 sen xcosx1 e senxcos y senx ysenx y 2 Caso As integrais J senu du e J cosu du sec x1g9x senxsen y deosx ycosx y 2 Nestas integrais podemos usar artificios de calculo com auxilio das identidades trigonométricas ou usar as Formulas de Recorréncia cossec x 1cot gx cos xcos y zleosy cosxy 1 senxcosx 1 1 sen x 11cos 2x 1cosx 2sen 2 sen x 1cos2x 2 2 2 2 1 3 cos x 1cos2x cos x 10082x 1008x 200s 5 2 Visando a aplicagio do método da substituigao os exemplos que seguem ilustram os dois possiveis casos 7 é um e sen xcos x doen 2x e ltsenx1 cox numero impar ou um numero pat 2 2 Estas integrais também podem ser resolvidas com auxilio Fonte Swokowski 1994 das formulas de reducao ou recorréncia UNIVERSIDADE DESAO PAULO sd Exemplos 3 1 i x sen 2x sen 4x C 8 4 32 Determinar as integrais indefinidas 5 1 cos x dx wan S y ax 2 pended xc Usando o método da substituigao Jsenx dx 5x7 sendx 55 sen4x C Vamos inicialmente preparar o integrando observando que 0 artificio que usaremos valido sempre que for um e Usando formulas de redugdo ou recorréncia numero impart 1 fsenx dx senx er Como demonstrado em Rabah 2011 fatorando 4 4 convenientemente o integrando e aplicando a identidade 1 1 3 304 1 temos e anak 7g Ret hom x dx cos5 x cosxcosx 1 3 3 3 senxCOSx senxCOSx xC 2 2 4 8 8 1 senx cosx 1 2senx sen4 x cosx 13 3 3 2 senx dx senxCOSx senxcOSx x C cosx 2senxcosx sen4 xcosx 4 8 8 Portanto 3 Caso A integral sen ucos u du onde 7 e 7 os oe Joos x dx Jcosx 2sen xcosx sen xcos x dx sao inteiros positivos Joosx dx2 senxcosx dx sen xcosx dx Nestas integrais a prepatagao do integrando deve ser lope ee ae feita visando a aplicacdéo do método da substituicao senx sen x te senxC Quando pelo menos um dos expoentes é impart usamos aidentidade 1 e quando os dois expoentes s4o pares usamos Joos x dx senx sen x u senxC 2 e 3 e eventualmente também 1 a 5 Exemplos Rabah 2011 apresenta como exemplos as integrais r ALS log i Usando formulas de redugao ou recorréncia indefinidas 3 ted 2 4 dx 1 Jsen xcos x dx sen xcos xsen x dx Joos x dx cos xsen x s Joosx dx cosxsen x aa cos xsen X 2 foosx dx 5 ee 1cos xcos xsen x dx atl capt aca cae Rae ae NS 4 6 15 15 Jcosxsen x dx fcos xsenx dx 1 4 8 1 os 1 os 5 15 15 5 it 1 1 Jsenxcosx dx 508 008 x C 4 2 Jsen x dx oe ew Usando o método da substituicao 2 fsen xcos x dx sen xcos x dx Neste exemplo 7 é um numero pat Na preparacio do integrando usamos agora as identidades 2 e 3 Temos J cos 2 1 c0s 2 dx sen x senx i5Goos2s 2 2 conan cos 2x dx 22 42 4 0 cos20 1 1 1 1 1 2 i cos 2x cos 2x cos 2x cos 2x cos 2x dx 1 8 4 8 8 4 8 ll 2c082x c0s 2x 1 Lecos4 5 Loosan Loos 2x Loos 2x 41200san 20e 8 8 8 8 4 2 3 lh ogsax teosax aw gb gemax hy Lt 9084 gy 1 6 sen 2xcos2x dx 8 2 8 8 16 8 2 8 Portanto 54 SIR SATE Joos 2x dx Jsen 2xcos2x dx 4 Se 1 x sen2xsen4xsen2x sen 2x fsen x dx f cos2x cos4x dx 56 Se a ec 8 2 8 16 16 64 16 48 Calculo Diferencial e Integral II 22 1 x sen2x sen4x 5 4 5 2 2 Jtgxsec x dx Jtg xtg X 1sec x dx 1648 64 1 1 tgx tgxC OBS Quando m n usamos a identidatde senxcosx 1sen2x 4 a 5 cand 1s 1s 4 Caso As integrais Jrgra du Jcotgu du Isec udue S Jtgxsec x dx ri x 7 xC Jcosecu du onde n é inteiro positivo Na preparacio do integrando usamos as identidades Usando o método de integraga4o por partes m 5 5 5 5 par e n impar ou formulas de recorréncia cot gu cossecu1 ou cossec ucotgutl 2 3 2 3 Os artificios sao semelhantes aos usados nos casos 2 Jtgxsec x dx see x 1see x dx anteriores Temos 5 3 pe open Doubs geen Bie sec x sec x dx tg utg utgutg usecu1 fsec x dx fsec x dx cotgu cotg ucotg7u cotg ucossec u1 1 3 1 1 sec xtgx sec xtgx Insec x tgxC Exemplo 4 8 8 Determinar a integral indefinida OBS Numa situagao como essa aplicase recorréncia na maior integral Jsec x dx conservando a menor integral Usando o método da substituicgao J sec x dx para que no final possa ser subtrafda e aplicar 3 novamente a recorréncia caso seja necessatio Jtg 30 dé tg30tg 30 dé fs MN sf 2 Método Substituig6es Trigonometricas 2 tg30sec 301 dO Vamos estudat agora integrais que apresentem as formas Va bu Va b Vb uv a podendo expressalas sem Lo we ok eos os radicais utilizando a chamada Substituicao Trigonomeétrica tg30sec 30 dO tg30 dd RABAH 2011 Veja a tabela seguir 1 1 Trigonometria has tg 3 6 co In cos3 6 a Caso Radical Subst Transformada no Triangulo 6 3 Trigonométrica Retangulo Va bu u F send anlsen 6 acosO 1g0 C0 3 ee 1 tg30 dd tg30Incos36C J e 6 e 3 Va b u u 7190 al tg asecO cos OBS Lembrando que pode ser resolvida usando as Vbu a u seco asec 01 atg0 send 2 formulas de reducao ou recorréncia to m n m n Fonte httpswwwebahcombrcontentABAAAgFacAFcalculo4calculoivaula5 5 Caso As integrals i usec udu Jcotgucosecu du Acesso em 22 mar 2019 onde me n so inteiros positivos Quando m for impar ou n for pat podemos preparar Semopstraremos esenvowvimento do radical o integrando para aplicar o método da substituicao Quando Va B ue OS emails casos Sao analogos m for par e n for impar a integral deve ser resolvida por integracao por partes 2 2 8 PorP ya b2u2 a v2 Bsc a2 v seno a asen76 b Exemplos Ja1sen a1sen26 acos 6 acos Determinar as integrais indefinidas Usando 0 método da substituigao m impart e n par Obs Repate que a variavel final A expressao 23 correspondente na variável original é obtida usandose um triângulo retângulo Exemplos 1 Achar a integral Devemos agora voltar à variável original x 2 Achar a integral Voltando para a variável original x 3 Achar a integral Fonte Swokowski 1994 OBS Podemos resolver essa integral usando as fórmulas de recorrência 83 Calculo Diferencial e Integral II 24 Dai lias Wale a pena assistir t Fungdes Trigonométricas Eduardo Wagner 2007 Disponivel em httpswwwyoutubecom 2seconos2inteosigg25 4 caf Et SEA a glad at watchvNiyXhT3tw Método de integracdo de fungdes trigonométricas 7 de 7 Disponivel em httpswwwyoutubecomwatch Portanto f ge a2 4 tty oA vsWOrt0Ciy2JclistPL4Set2LURCI7TQ3zTw1SX Vx 4 2 zY8DURDNkeindex7 As integrais por substituigao trigonomeétrica tornatse uma maneira viavel de solugdes de integrais que de inicio Minhas anotagoes aparentam nao possuit uma solucao trivial p Retomando a aula I bj nua Chegamos ao final da quarta aula entdo vamos recordar i 1 becca nanan nena nnn nnn 1Integrais de fungées trigonométricas Na secao 1 estudamos a definicéo e as propriedades das integrais de fungdes trigonométricas estudando caso a caso das fung6es trigonoméetticas 2 Método substituiées trigonométricas Na secao 2 estudamos a resolucao detalhada de integrais por substituigao trigonométricas e a aplicacéo em diversas integrais Vale a pena a WG Wyss I Vale a pena ler Integraca bstituicao tri étrica Di ivel gtacao por substituicao trigonométrica Disponivel em httpengenhariaexercicioscombrcalculoa integral integralsubstituicaotrigzonomettica