Integração por Partes: Compreensão e Aplicações

3º Aula Integral por partes Objetivos de aprendizagem Ao término desta aula vocês serão capazes de compreender o método de integração por partes resolver integrais por partes O Método de resolução de integrais por partes é de extrema relevância para resolução de diversas integrais que são aplicadas nas mais diferentes áreas do conhecimento assim tornase indispensável o estudo dos principais conceitos envolvendo esta metodologia Bons estudos 75 Calculo Diferencial e Integral II 16 Exemplo 2 Secdes de estudo gh ot ux dvedx J xedx 1 Integracdo por partes du 2xdx ve 2 Exemplos exercicios e aplicagdes t rt Jreax xe Je 2xdx Integraao por partes yy ud wy v du A integracgio por partes um método que permite expressar a integral de um produto de funcdes em outra xe Afxeax Mais simples Mas nao imediata integral A integracao por partes pode ser vista como uma vy ee dveeldx versio integrada da regra do produto LARSON f af 1998 J xede xe fea a ws WIKIPEDIA sd Imediata xe 2xe 2ferdx xe 2xe 2eC Como disposto por Swokowski 1994 tomando como ponto de partida a Derivagao pela Regra do Produto temos d B 7s aul uvuv Regra do Produto 2Exemplos exercicios e aplicagées a Abaixo segue alguns exemplos de integrais que foram Z on9 Juvde Juvde Integrando ambos os lados tesolvidas utilizando a integragio por partes em conjunto com regras basicas de integragéo apresentadas no site da uv fou dx fu dx Reescrevendo a expressao Universidade de Sao PauloUSP Exemplo 1 uv vdufudv Escrevendo na forma diferencial I J xcosxdx J xcosxde xsenx f senxdx usw a y du Temos dv cosxdx v senx Ixsenx cosxC fudvuvfvdu Exemplo 2 oo T x 3x de x23x du2x3 dv ey Integracao por Partes com u e v fungées diferenciaveis de x e pele pae Segundo Flemming e Goncalvez 1992 ao aplicarmos I 3eesa Ceossx 3dx noe esta técnica devemos separar o integrando em duas partes cose x 32 Qx3comeae ue dy levando em conta duas diretrizes 1 A parte escolhida como dv deve ser facilmente u2x3du2x dv cosxdx v senx integravel T cossx 3x 2 3senx 2f senxxdx Lo 2 vd deve ser mais simples do que udv I cosxx 3x 2x 3 senx2cosxC Tente inverter a escolha O que acontece Exemplo 1 Observagao 1 De modo geral em integrais das formas xsenxdx udv uv rau Jf Ge coszdx ou J 8sencx dx ux dv senxdx onde fx é um polinémio usamos a integracao por partes fazendo respectivamente du dx VCOSX senna xcosx f cos xdx u fx du fxdx dv cosxdx v senx ou J v J J u fx du f xdx dv senxdx v cosx un y v xcosxsenxC Exemplo 3 Objetivo encontrar uma integral mais simples que a integral de partida fue dx xe fe Xdy xe e C Se tivéssemos escolhido usenx e dvxdx Z usenx dv xdx 2 f xsenads senx5 fx cos du cos xdx ux dudx dv edx H ve Ls mais complicada 17 T Observacao 2 De modo geral em integrais da forma Exemplo 9 x ax Jrca fe cosbxdx oo seKts 8 fee sen bx dx onde fx é um polinémio tomamos b b u fx du fxdx dvatdx valna ue duaedx senbx Exemplo 4 dv cosbxdx v ax ax finxdx xn x Jx Ze tnx fe inxzC ze senbx al e cosbx 2 Je cosbx b b b b uInx du dxx dvdx Hvx p om hia am dx E lo 5 xemplo oe on 2 2 Jxtnxdx 2 tnx 2 4 log e senbx aecosbx a uInx du dxx dv dx Hvx 2 2 ax ax a esenbx aecosbx Observacao 3 De modo geral em integrais da forma JE C2tog 2 ce I e b senbx acosbx 6 y ss 5 2 b2 onde fx é uma fungao polinomial tomamos a dx vloga x duT dv fx v uma primitiva de fx p Retomando a aula Exemplo 6 oe 1 2 1 a J arotg 2 di x arctg x In 1C 1 Chegamos ao final da terceira aula Vamos recordar uarctgx du dxx1 dvdx vx Exemplo 7 1 Integral por partes gtal por p farcsenxdx xarcsenx lx C Em nossa secdo 1 vimos a definigao de integral por uarctgx du dxx 1 dvdx vx partes onde a forma geral de integral é Exemplo 8 udv uv vau 2 Mi x ax 2 J 2Exemplos exercicios e aplicagées glad dg dv dx vx Em nossa secao 2 vimos a resolucao detalhada de integrais por partes Calculo Diferencial e Integral II 18 p Vale a pena ey any VS Vale a pena ler Método de integragéo por partes Disponivel em httpswwwobaricentrodamentecom201007 metododeintegracaoporparteshtml Vale a pena assistir Calculo Integral integracao por partes Disponivel em httpswwwyoutubecomwatchvO2q45TzlsSM Integral por partes ciclica exemplo exsenx dx Disponivel em httpswwwyoutubecom watchvLej3EqjJfU0 Calculo I Aula 22 Técnicas de integracao parte 2 Disponivel em httpswwwyoutubecom watchvy5Lmes9H4A Calculo I Aula 27 23 Exemplos de integracao por partes Disponfvel em httpswwwyoutubecom watchv3iyT8FDup4 Minhas anotades I