Exercícios de Sistemas de Controle

Lista de Exercícios Lugar das Raízes SISTEMAS DE CONTROLE 1 Desenhe o LR para os sistemas abaixo e especifique a faixa de ganho K que mantém o sistema estável a b c d e 2 Considere um sistema de controle com realimentação unitária com a seguinte função de transferência de ramo direto Desenhe o lugar das raízes do sistema Se o valor do ganho K for igual a 2 onde se situam os polos de malha fechada 3 Trace o gráfico do lugar das raízes para um sistema de controle de malha fechada com as funções abaixo Situe os polos de malha fechada no lugar das raízes cujos polos dominantes tenham coeficiente de amortecimento igual a 05 Determine o valor correspondente ao ganho K 1 a O sistema possui dois polos assim o LR possuirá dois ramos Retas assintóticas σ 0 1 2 3 2 2 40 Assim não há reta assintótica e o LR não tende a zeros infinitos logo O LR sai dos polos e vai em direção aos zeros Além disso o LR é simétrico em relação ao eixo X Para k 2 HΩ 2 ΩΩ² 4Ω 8 1 2 ΩΩ² 4Ω 8 HΩ 2 ΩΩ² 4Ω 8 2 HΩ 2 Ω³ 4Ω² 8Ω 2 A equação característica tomase Ω³ 4Ω² 8Ω 2 0 Que resulta em P1 0288 P2 185 j 1866 P3 185 j 1866 2 O sistema possui 3 polos logo o LR terá 3 ramos Assíntotas polos 0 2 j2 2 j2 σ 0 2 j2 2 j2 3 43 θ 2k 1π 3 θ0 π3 θ1 π θ2 5π3 Não há zeros finitos logo o LR vai em direção ao infinito O LR sai do polo 2 j2 e segue para o assíntoto π3 o polo 2 j2 segue para o assíntoto 5π3 e o polo em 0 para o infinito no eixo X π Estabilidade CΩRΩ kΩ2Ω3ΩΩ1 1 kΩ2Ω3ΩΩ1 HΩ kΩ2Ω3 ΩΩ1 kΩ2Ω3 HΩ kΩ2Ω3 k1Ω2 5k1Ω 6k Método de Routh Hurwitz Ω2 k1 6k Ω1 5k 1 0 Ω0 6k 0 k1 0 5k 1 0 6k 0 k 1 k 15 k 0 Portanto o sistema é estável para k 0 b O sistema possui três polos 0 0 e 36 assim o LR terá 3 ramos Retas assíntoticas σ 36 1 3 1 13 θ 2k1π 3 1 k0 θ π2 k1 θ 3π2 k2 θ 5π2 π2 Logo o LR se inicia nos polos e termina no zero seguindo duas assíntotas que tocam o eixo x em 13 e com ângulos de π2 e 3π2 Estabilidade HΩ kΩ1 Ω2Ω36 1 kΩ1 Ω2Ω36 HΩ kΩ1 Ω2Ω36 kΩ1 HΩ kΩ1 Ω3 36Ω kΩ k Ω3 1 k Ω2 36 k Ω1 26k36 0 Ω0 k 0 k 0 Portanto o sistema é estável para k 0 c O sistema possui 3 polos assim terá 3 ramos Polos 2 j 2 j e 0 Assíntotas σ 2 j 2 j 0 3 0 43 θ 2k1π 3 0 k0 θ π3 k1 θ π k2 θ 53π k3 θ π3 O L R começará nos polos 2j 2j e 0 e terminará nos zeros infinitos c HΩ k Ω Ω² 4Ω 5 1 k Ω Ω² 4Ω 5 HΩ k Ω³ 4Ω² 5Ω k Ω³ 1 5 Ω² 4 k Ω¹ 20k4 0 Ω⁰ k 0 20 k4 0 20 k k 0 Portanto o sistema é estável para 0 k 20 d O sistema possui 4 polos assim o L R terá 4 ramos Polos 0 1 2 3i 2 3i Assíntotas σ 0 1 2 j3 2 j3³ 4 54 θ 2k1π 4 θ π4 θ 5π4 θ 3π4 θ 7π4 O L R inicia nos polos e termina nos zeros infinitos d HΩ k ΩΩ1Ω2 4Ω 13 k HΩ k Ω4 5Ω3 17Ω2 13Ω k Ω4 1 17 k Ω3 5 13 0 Ω2 725 k 0 Ω1 1872 5k 725 0 0 Ω0 k 0 0 Logo 1872 5k 0 k 0 k 18725 k 3744 Portanto o sistema é estável para 0 k 3744 e O sistema possui 4 polos assim o LR terá 4 ramos Polos 0 0 2 e 5 σ 5 2 1 41 2 θ 2k 1π 41 θ π3 θ 5π3 θ π Assíntota π3 Assíntota 5π3 O polo em 0 inicia dois ramos que vão para dois zeros no infinito através das assíntotas O ramo que se inicia no polo 2 termina no zero em 1 O ramo que se inicia no polo 5 termina no zero infinito f Estabilidade HΩ kΩ12 Ω5Ω2Ω2 1 kΩ12 Ω5Ω2Ω2 HΩ 2Ω1k Ω5Ω2Ω2 2Ω1k HΩ 2Ω1k Ω4 7Ω3 10Ω2 2kΩ 2k Ω4 1 10 2k Ω3 7 2k 0 Ω2 702k7 2k 0 702k2k 14k 702k7 0 0 Ω0 2k 702k 0 k 35 k 0 Portanto o sistema é estável para 0 k 35 O sistema possui 3 polos logo terá 3 ramos Polos 0 2 j7 e 2 j7 σ 0 2 j7 2 j7 3 1 2 θ 2k 1π 3 1 θ0 π 12 θ 3π 12 em 2 9 Há um zero assim um dos ramos irá em sua direção Para um fator de amortecimento de 05 o ganho deve ser de k 1 e os polos estão em P12 15 j 26