Transformada Z Inversa - Sistemas de Controle Digital Aula 4

Sistemas de Controle Digital Prof Anderson Rodrigo Rossi Aula 4 Transformada Z inversa Objetivo Familiarização com a Transformada Z inversa INTRODUÇÃO Sistemas Contínuos modelado por equações diferenciais transformada de Laplace Sistemas Discretos equações discretas ou de diferença funções de transferência expressa em transformada Z resposta ao impulso Laplace e Moivre Resolução de Problemas de Engenharia durante a II Guerra Mundial Sistemas Contínuos Transformada de Laplace Sistemas Discretos Transformada Z A equação de síntese da transformada Z que permite o cálculo da transformada inversa é definida como É uma integral de linha calculada em sentido antihorário sobre um contorno circular fechado a qual pode ser calculada utilizando o teorema dos resíduos Entretanto dependendo da expressão Xz o cálculo dessa integral pode não ser o modo mais eficaz de determinar a transformada z inversa xn Em geral a expansão de Xz em frações parciais ou em uma série de potências é a solução mais adequada Expansão em Frações Parciais A transformada z para a maioria dos sinais de interesse prático assume a forma racional x n 1 2π j X z zn1 dz X z N z D z Para encontrar os resíduos A1 s pólo 1 Ns spólo 1 spólo 2 s pólo 1 A2 spólo 2 Ns spólo 1 spólo 2 s pólo 2 A2 spólo 2 Ns spólo 1 spólo 2 s pólo 2 xs A1 spólo 1 A2 spólo 2 A maneira mais eficaz de calcular a transformada z inversa é através da expansão em frações parciais Considere Para a expansão em frações parciais de Xz assume a forma X z N z D z X z X z1 k Ak 1 dk z1 pólos da funçã 1 13 z1 0 1 32 z 0 z 1 Prof Anderson Rodrigo Rossi 13 2 z1 0 1 32 z 0 1 32 z z 23 A expressão em fração parcial fica xz A1 1 13 z1 A2 1 23 z1 A1 1 13 z1 1 12 z1 1 13 z1 1 23 z1 z1 3 A1 1 12 3 1 23 3 1 32 3 2 2 3 A1 52 56 3 A2 1 23 z1 1 12 z1 1 13 z1 1 23 z1 z1 32 A2 1 12 32 1 13 32 4 3 32 14 32 Az 14 23 212 16 Portanto Xz 56 1 13 z¹ 16 1 23 z¹ Ak dkn μn Ak 1 dk z¹ Assimi Xz 56 1 13 z¹ 16 1 23 z¹ xn 56 13n μn 16 23n μn xn 56 13n 16 23n μn Tabela de Transformadas Z 1 1 δt 1 2 ekTs δt kT zᵏ 3 1s 1t zz1 11z¹ 4 1sa ea t zzeaT 5 1s² t Tzz1² 6 2s³ t² T² zz1z1³ 7 6s⁴ t³ T³ zz² 4z 1z1⁴ 8 assa 1 ea t z1eaTz1zeaT 9 1sa² t ea t TzeaTzeaT² 10 2sa³ t² ea t T² 2zea TzeaTzeaT³ 11 ωs² ω² sinω t z sinω T z² 2 z cosω T 1 12 ss² ω² cosω t zzcosω T z² 2 z cosω T 1 13 ωsa² ω² ea t sinω t zeaT sinω T z² 2 z eaT cosω T e2 a T 14 sasa² ω² ea t cosω t z² 2 z eaT cosω T z² 2 z eaT cosω T e2 a T 15 aᵏ z z a 11 a z¹ 16 kaᵏ a z z a² 17 k² aᵏ a z z a z a³ 18 kk12 ak2 zza³ 19 aᵏ coskπ z z a Sinal Transformada de Fourier ROC δn 1 z δn n₀ zⁿ⁰ z exceto z 0 se n₀ 0 ou z se n₀ 0 un 11 z¹ z 1 un1 11 z¹ z 1 un n₀ un n₀ 1 zⁿ⁰ zⁿ₀¹1 z¹ z αⁿ un 11 α z¹ z α αn z²1αz¹ z¹ α z α αⁿ un1 11 α z¹ z α n αⁿ un α z¹1 α z¹² z α nαⁿ un1 α z¹1 α z¹² z α cosω₀ n un 1 cosω₀ z¹1 2 cosω₀ z¹ z² z 1 senω₀ n un senω₀ z¹1 2 cosω₀ z¹ z² z 1 αⁿ cosω₀ n un 1 α cosω₀ z¹1 2 α cosω₀ z¹ α² z² z α αⁿ senω₀ n un α senω₀ z¹1 2 α cosω₀ z¹ α² z² z α Utilizando o comando residue do matlaboctave Procedimento Experimental 1 Transformada Z inversa por expansão em frações parciais com o auxílio de software de simulação comando residue 2 Transformada Z inversa no Matlab apenas no Matlab O Matlab possui ferramentas capazes de representar sinais discretos através de sua transformada Z O comando syms serve para definir as variáveis n de forma simbólica O comando iztransfunção serve para calcular a transformada Z inversa de uma determinada função Exemplo 1 Implemente a transformada inversa z de syms z t s a w gzz1 prettyg iztransg Exemplo 2 Implemente a transformada inversa z de syms z t s a w g112z1113z129z2 prettyg iztransg Exercício Determine a Transformada Z inversa para os itens abaixo por Expansão em Frações Parciais Manuscrito Software de Simulação a b c Compare os valores encontrados